中考第一轮复习质量检测卷04《几何初步与三角形》-备战2025年中考复习质量检测卷（湖北专用）

2025年九年级数学中考第一轮复习检测卷04 《几何初步与三角形》 测试时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共30分） 1．如图，这是某学校领奖台的示意图，其左视图为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可． 【解答】解：从左面看，是一个矩形，矩形内部中间靠上有一条横向的实线，中间靠下有一条横向的虚线． 故选：B． 【点评】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 2．钟表上显示的时间是下午2时30分，时针与分针的夹角的度数是（　　） A．105° B．110° C．115° D．120° 【分析】根据时钟上一大格是30°进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：3.5×30°＝105°， 故选：A． 【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键． 3．一个正方体的每个面都写有一个汉字，其表面展开图如图所示，则在该正方体中，和“知”相对的面上写的汉字是（　　） A．就 B．是 C．力 D．量 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “就”与“力”是相对面， “知”与“量”是相对面， “是”与“识”是相对面． 故选：D． 【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 4．如图，用剪刀沿虚线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．经过两点有且只有一条直线 B．经过一点有无数条直线 C．两条直线相交只有一个交点 D．两点之间，线段最短 【分析】根据两点之间，线段最短解答即可． 【解答】解：用剪刀沿虚线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短． 故选：D． 【点评】本题考查的是线段的性质，掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 5．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D，C的对应点分别为D′，C′，ED′交BC于点G．若∠EFG＝56°，则∠AEG＝（　　） A．56° B．68° C．72° D．75° 【分析】根据平行线的性质可得∠DEF＝∠EFG＝56°，再由折叠的性质可得∠GEF＝∠DEF＝56°，即可求解． 【解答】解：∵AE∥BF，∠EFG＝56°， ∴∠DEF＝∠EFG＝56°， 由折叠的性质得：∠GEF＝∠DEF＝56°， ∴∠AEG＝180°﹣∠GEF﹣∠DEF＝68°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟记平行线的性质，折叠的性质是解题的关键． 6．如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（∠C＝90°）绕过两地间的一片湖，在A，B间建好桥后，就可直接从A村到B村．若AC＝5km，BC＝12km，那么，建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．2km B．4km C．10km D．14km 【分析】根据勾股定理求出AB的长即可求解． 【解答】解：由勾股定理得， AB（km）， ∴建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为（5+12）﹣13＝4（km）， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 7．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上．已知 AB∥DE，BF＝CE．给出下列条件：①∠A＝∠D，②∠B＝∠E，③AC＝DF，④AC∥DF，能判定△ABC≌△DEF的是（ㅤㅤ） A．①②③ B．①②④ C．①④ D．①②③④ 【分析】①根据AB∥DE得∠B＝∠E，根据BF＝CE得BC＝EF，因此当∠A＝∠D时可依据“AAS”判定△ABC和△DEF全等，据此可对①进行判断； ②由AB∥DE得∠B＝∠E，因此当∠B＝∠E时不能判定△ABC和△DEF，据此可对②进行判断； ③根据AB∥DE得∠B＝∠E，根据BF＝CE得BC＝EF，因此当AC＝DF时，不能判定△ABC和△DEF，据此可对③进行判断； ④根据AB∥DE得∠B＝∠E，根据BF＝CE得BC＝EF，再根据AC∥DF得∠ACB＝∠EFD，由此可依据“ASA”判定△ABC和△DEF全等，据此可对④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E， ∵BF＝CE，点B，F，C，E在同一直线上， ∴BF+FC＝CE+FC， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）， 故条件①能判定△ABC≌△DEF； ②∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E， 故条件②不能判定△ABC≌△DEF； ③∵∠B＝∠E，BC＝EF， ∴当AC＝DF时，则两边对应相等且其中一边的对角相等的两三角形不全等， 故条件③不能判定△ABC≌△DEF； ④∵∠B＝∠E，BC＝EF， 又∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠EFD， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 故条件④能判定△ABC≌△DEF． 综上所述：能判定△ABC≌△DEF的是①④， 故选：C． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键． 8．如图，△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点D在EF上，延长AD交BC于N，BD⊥AN，AB＝6，BC＝8，则DF＝（　　） A．2 B． C．1 D． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线求得ED的长度，由三角形中位线定理求得EF的长度，则DF＝EF﹣ED． 【解答】解：如图，∵BD⊥AN， ∴∠ADB＝90°． ∵E是AB的中点， ∴ED是斜边AB上的中线， ∵AB＝6， ∴EDAB＝3． ∵E，F分别是AB，AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线． ∴EFBC． ∵BC＝8， ∴EF＝4． ∴DF＝EF﹣ED＝4﹣3＝1． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 9．如图，等边三角形ABC的边长为12，D为AC边上一动点，E为AB延长线上一动点，DE交CB于点P，点P为DE中点．若DE⊥AC，则AE＝（　　） A．15 B．16 C．18 D．20 【分析】过点D作DF∥AB，交BC于F，先证△CDF是等边三角形，再证△PDF≌△PEB，得CD＝BE，设BE＝x，则BE＝CD＝x，AD＝12﹣x，AE＝12+x，最后根据在直角三角形中，30°的角所对的边是斜边的一半，计算12﹣x（12+x），即可求解． 【解答】解：如图，过点D作DF∥AB，交BC于F， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°， ∵DF∥AB， ∴∠CDF＝∠A＝60°，∠DFC＝∠ABC＝60°，∠DFP＝∠EBP， ∴△CDF是等边三角形， ∴CD＝DF， ∵点P为DE中点， ∴PD＝PE， 在△PDF和△PEB中， ， ∴△PDF≌△PEB（AAS）， ∴DF＝BE， ∴CD＝BE， ∵DE⊥AC， ∴∠ADE＝90°， ∴∠E＝90°﹣∠A＝30°， ∴ADAE， 设BE＝x，则BE＝CD＝x，AD＝12﹣x，AE＝12+x， ∴12﹣x（12+x）， 解得：x＝4， ∴AE＝AB+BE＝12+4＝16， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，在直角三角形中，30°的角所对的边是斜边的一半，解题的关键是作辅助线证明△PDF≌△PEB． 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，CE⊥AD交AB于E，BE＝CF，BF交CE于P，连接PD，下列说法：①AC＝AE；②CD＝BE；③BP＝PF；④∠BDP＝67.5°．其中正确结论是（　　） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【分析】①由余角的性质可证∠AEC＝∠ACE，可得AC＝AE；故①正确； ②由“ASA”可证△ACD≌△BCH，可得CD＝BH，∠H＝∠CFB，由余角的性质得到∠ACE＝∠H，等量代换得到∠BEH＝∠H，由等腰三角形的性质得到BE＝BH，等量代换得到CD＝BE，故②正确； ③根据全等三角形的性质得到∠BCE＝∠FBC，于是得到PB＝PC，同理PF＝PC，等量代换得到PB＝PF；故③正确； ④由△CFD是等腰直角三角形，得到∠CFD＝∠CAB＝45°，得到DF∥AB，根据平行线的性质得到∠DFB＝∠ABF，推出DF＝DB，根据等腰三角形的性质得到PD⊥BF，即可求∠BDP＝67.5°，故④正确． 【解答】解：①∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝∠ACE， ∴AC＝AE；故①正确； ②过B作BH⊥BC交CE的延长线于H， ∴∠ACD＝∠CBH＝90°， ∵CE⊥AD， ∴∠CAD＝∠BCH， 在△ACD与△CBH中， ， ∴△ACD≌△BCH（ASA）， ∴CD＝BH，∠H＝∠CFB， ∵∠ACE+∠DCE＝∠H+∠DCE＝90°， ∴∠ACE＝∠H， ∵∠ACE＝∠AEC，∠BEH＝∠AEC， ∴∠BEH＝∠H， ∴BE＝BH， ∴CD＝BE，故②正确； ∴CF＝BE＝CD， 在△ACD与△BCF中， ， ∴△ACD≌△BCF（SAS）， ∴∠BCE＝∠FBC， ∴PB＝PC， 同理PF＝PC， ∴PB＝PF；故③正确； ④连接FD， ∵CF＝CD， ∴△CFD是等腰直角三角形， ∴∠CFD＝∠CAB＝45°， ∴DF∥AB， ∴∠DFB＝∠ABF， ∵∠CBF＝∠CAD∠CAB＝22.5°， ∴∠DFB＝∠ABF＝22.5°， ∴∠DFB＝∠DBF， ∴DF＝DB， ∵PF＝PB， ∴PD⊥BF， ∴∠BDP＝67.5°，故④正确， 故选：D． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2、 填空题（每小题3分，共15分） 11．一个角补角比它的余角的2倍多30°，这个角的度数为 　 　 ． 【分析】设这个角为x，根据余角和补角的概念列出方程，解方程即可． 【解答】解：设这个角为x， 由题意得180°﹣x＝2（90°﹣x）+30°， 解得x＝30°． 答：这个角的度数是30°． 故答案为：30°． 【点评】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补． 12．如图，∠ACB＝90°，按如下步骤操作：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧交于点G；④作射线CG．若∠FCG＝50°，∠B为 　 度． 【分析】由作图步骤可知，∠FCG＝∠A＝50°，再结合三角形内角和定理可得答案． 【解答】解：由作图步骤可知，∠FCG＝∠A， ∴∠A＝50°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝40°． 故答案为：40． 【点评】本题考查作图—基本作图、三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理、作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键． 13．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5dm，3dm和1dm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是 　　 ． 【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【解答】解：将台阶展开，如图， 因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝5， 所以AB2＝AC2+BC2＝169， 所以AB＝13（dm）， 所以蚂蚁爬行的最短线路为13dm． 答：蚂蚁爬行的最短线路为13dm． 故答案为：13dm． 【点评】此题主要考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键． 14．如图，已知BO平分∠ABC，过点O作EF∥BC分别交AB于E，交AC于F．且恰好∠FOC＝∠FCO，若∠BOC＝130°，∠AFE＝56°，则∠EOB＝　 　 ． 【分析】由平行线的性质推出∠ACB＝∠AFE＝56°，∠FOC＝∠BCO，∠EOB＝∠OBC，得到∠FCO＝∠BCO，求出∠BCO∠ACB＝28°，由三角形内角和定理得到∠OBC＝22°，因此∠EOB＝22°． 【解答】解∵EF//BC， ∴∠ACB＝∠AFE＝56°，∠FOC＝∠BCO，∠EOB＝∠OBC， ∵∠FOC＝∠FCO， ∴∠FCO＝∠BCO， ∴∠BCO∠ACB56°＝28°， ∵∠BOC＝130°， ∴∠OBC＝180°﹣130°﹣28°＝22°， ∴∠EOB＝22°． 故答案为：22°． 【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，关键是由平行线的性质推出∠ACB＝∠AFE＝56°，∠FOC＝∠BCO，∠EOB＝∠OBC，由三角形内角和定理求出∠OBC的度数． 15．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＞90°，AC⊥BC，若AB＝2，，则BD的长为 　 　 ． 【分析】过点A作AE⊥CD于点E，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，在Rt△ADE中，求出DE，AE，在Rt△ABC中，求出BC，AC，可知AE＝CE，得到∠ACD＝45°，∠DCF＝45°，再在Rt△CDF中，求出DF，CF，最后在Rt△BDF中，可求出BD． 【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F， 在Rt△ADE中， ∵∠ADC＝60°，， ∴DEAD，AE， 在Rt△ABC中， ∵∠ABC＝60°，AB＝2， ∴BCAB＝1，AC， 在Rt△ACE中， CE， ∴CE＝AE，CD＝CE+DE， ∴∠ACD＝45°， ∴∠DCF＝180°﹣∠ACB﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣45°＝45°， 在Rt△CDF中， CF＝DFCD， ∴BF＝BC+CF＝1， 在Rt△BDF中， BD1． 故答案为：1． 【点评】本题考查含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的运算等知识，能够构造出直角三角形，并能灵活相关图形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（共9个大题，共75分） 16．（6分）如图，直线AB，CD相交于点O，OA是∠COE的平分线． （1）若∠DOE＝92°，求∠BOD的度数； （2）若∠COE：∠DOE＝7：8，求∠BOD的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义，平角的定义以及对顶角相等进行计算即可； （2）根据图形中角的大小比例关系，平角的定义求出∠COE＝84°，再根据对顶角相等和角平分线的定义即可求出答案． 【解答】解：（1）∵OA是∠COE的平分线， ∴∠AOE＝∠AOC， ∵∠AOC+∠AOE+∠DOE＝180°，∠DOE＝92°， ∴∠AOC44° ∴∠BOD＝∠AOC＝44°； （2）∵∠COE：∠DOE＝7：8，∠COE+∠DOE＝180°， ∴∠COE＝18084°，∠DOE＝180°96°， ∴∠BOD＝∠AOC∠COE＝42°． 【点评】本题考查角平分线，对顶角以及平角，掌握角平分线的定义，对顶角相等以及平角的定义是正确解答的关键． 17．（7分）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补． （1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由； （2）如图2，∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P，EP延长线与CD交于点G，点H是MN上一点，且PF∥GH，试判断直GH与EG的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）利用邻补角的定义及已知得出∠1＝∠CFE，即可判定AB∥CD； （2）利用（1）中平行线的性质推知∠AEF+∠EFC＝180°，然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF＝90°，即EG⊥PF，故结合已知条件PF∥GH，易证GH⊥EG； 【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下： ∵∠1与∠2互补， ∴∠1+∠2＝180°， 又∵∠2+∠CFE＝180°， ∴∠1＝∠CFE， ∴AB∥CD； （2）GH⊥EG，理由如下： 由（1）知，AB∥CD， ∴∠AEF+∠EFC＝180°． 又∵∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P， ∴∠FEP+∠EFP（∠BEF+∠EFD）＝90°， ∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF， ∵PF∥GH， ∴GH⊥EG． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质．熟记平行线的判定与性质及注意“数形结合”数学思想的运用是解题的基础． 18．（8分）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE． （1）证明：△ADC≌△BCE； （2）若CF＝3，DF＝4，求△DCE的面积． 【分析】（1）根据AD∥BE，可以得到∠A＝∠B，然后根据SAS即可证明结论成立； （2）根据（1）中的结果和等腰三角形的性质，可以得到DE的长，CF⊥DE，再根据三角形的面积计算公式即可计算出△DCE的面积． 【解答】（1）证明：∵AD∥BE， ∴∠A＝∠B， 在△ACD和△BEC中， ， ∴△ACD≌△BEC（SAS）； （2）解：由（1）知△ADC≌△BCE， ∴DC＝CE， 又∵CF平分∠DCE， ∴CF⊥DE，DF＝EF， ∴CF垂直平分DE， ∵CF＝3，DF＝4． ∴DE＝2DF＝8， ∴S△DCE12， 即△DCE的面积是12． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是找出△ACD≌△BEC需要的条件，其中用到的数学思想是数形结合的思想． 19．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE． （1）求证：CG＝EG． （2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△BEC的面积． 【分析】（1）连接DE，根据直角三角形的性质得到DEAB＝AE，根据等腰三角形的性质证明结论； （2）作EF⊥BC于F，根据题意求出BD，根据等腰三角形的性质求出DF，根据勾股定理求出EF，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解答】（1）证明：连接DE， 在Rt△ADB中，点E是AB的中点， ∴DEAB＝AE， ∵CD＝AE， ∴DE＝DC，又DG⊥CE， ∴CG＝EG． （2）解：作EF⊥BC于F， ∵BC＝13，CD＝5， ∴BD＝13﹣5＝8， ∵DE＝BE，EF⊥BC， ∴DF＝BF＝4， ∴EF3， ∴△BEC的面积CB×EF13×3． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键． 20．（8分）庆庆家附近有一条东西走向的公路（AB），一天一辆宣传车从这条路上经过．如图，从监测中心A处测得这辆宣传车从B点开始沿AB所在直线由东向西运动，已知点C为庆庆家的位置，点C与监测中心A的距离（AC）为400m，与这辆宣传车的起始位置B的距离（BC）为300m，且∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，以这辆宣传车为圆心，半径为260m的圆形区域内会听到宣传车的声音． （1）求监测点A与宣传车的起始位置B之间的距离； （2）若这辆宣传车的行驶速度为25m/min，则庆庆家能听到多长时间的宣传车声音？ 【分析】（1）利用勾股定理求出AB即可； （2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出庆庆家C听到宣传车声音；利用勾股定理得出ED以及CF的长，进而得出结论． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC＝300m，AC＝400m， ∴AB500（m）， 答：监测点A与宣传车的起始位置B之间的距离为500m； （2）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴S△ABCAC•BCCD•AB， ∴300×400＝500CD， ∴CD＝240（m）， ∵以宣传车为圆心周围260m以内为受影响区域， ∴庆庆家C会受到宣传车的影响． 以C为圆心，260m长为半径画弧，交AB于E，F， 则CE＝CF＝260m时，正好影响C， 在Rt△CDE中， ∵ED100（m）， ∴EF＝200m， ∵宣传车的速度为25m/min， ∴200÷25＝8（min）． 答：庆庆家能听到多长时间的宣传车声音8min． 【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC边上一点，过点E作EF⊥CD，垂足为F，连接AE，M为AE的中点． （1）如图1，过点M作MG⊥AE交AB于点G，若AG＝BE，∠CEF＝32°，求∠AEF的度数； （2）如图2，若CF＝AD，过点M作MH⊥AB，垂足为H．求证：EF＝AH+MH． 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得AG＝GE＝BE，由等腰三角形的性质和平行线的性质可求解； （2）由“ASA”可证△ACD≌△CEF，可得EF＝CD，通过证明MH是△AEN的中位线，可得MHENFD，AHAN，即可求解． 【解答】（1）解：如图1，连接EG， ∵CD⊥AB，EF⊥CD， ∴EF∥AB， ∴∠B＝∠CEF＝32°，∠FEA＝∠EAB， ∵M为AE的中点，MG⊥AE， ∴AG＝GE， ∴∠GAE＝∠AEG＝∠AEF， ∵AG＝BE， ∴BE＝GE， ∴∠B＝∠EGB＝32°， ∴∠GAE＝∠AEG＝16°＝∠AEF； （2）如图2，过点E作EN⊥AB于N， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠ECF＝90°＝∠ACD+∠CAD， ∴∠CAD＝∠ECF， 又∵∠ADC＝∠CFE＝90°，AD＝CF， ∴△ACD≌△CEF（ASA）， ∴EF＝CD， ∵EN⊥AB，EF⊥CD，CD⊥AB， ∴四边形EFDN是矩形， ∴EF＝DN，FD＝EN， ∵MH⊥AN，EN⊥AN， ∴MH∥EN， ∵点M是AE的中点， ∴MH是△AEN的中位线， ∴MHENFD，AHAN， ∴AH+MHDFAN（CD﹣CF+AD+DN）2EF＝EF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 22．（8分）如图△DEF为等边三角形，分别延长FD，DE，EF，到点A，B，C，使DA＝EB＝FC，连接AB，AC，BC，连接BF并延长交AC于点G． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）若AD＝DF＝2，求FG的长． 【分析】（1）根据题干可得EB＝EF＝ED，∠DEF＝60°，进而可以解决问题； （2）作CH⊥BG，交BG的延长线于点H，易证△AFG∽△CHG，根据相似比易求FG的长度． 【解答】（1）证明：∵△DEF为等边三角形，∴DE＝BE＝EF，∠DEF＝∠DFE＝∠EDF＝60°， ∴∠ADB＝∠BEC＝120°， ∵EB＝FC，DE＝EF ∴DB＝EC， 在△ADB和△BEC中， ， ∴△ADB≌△BEC（SAS）， ∴AB＝BC，∠BAD＝∠CBE， ∵∠BAD+∠ABD＝∠BDF＝60， ∴∠CBE+∠ABD＝∠ABC＝60， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：∵△DEF为等边三角形， ∴DE＝BE＝EF，∠DEF＝∠DFE＝∠EDF＝60°， ∵AD＝DF，DA＝EB， ∴DF＝DE＝EB， ∴∠DBF＝∠EFB＝30°， ∴∠AFB＝90°， 作CH⊥BG，交BG的延长线于点H， ∵∠CFH＝∠BFE＝30°，AD＝DF＝CF＝2， ∴CHCF＝1， ∴FH， ∵∠AFG＝∠CHG＝90°，∠AGF＝∠CGH， ∴△AFG∽△CHG， ∴4， ∴FGFH． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质等相关知识是解题关键． 23．（10分）如图，长方形ABCD绕点C旋转到长方形CEFG处，点B的对应点E落在AD边上，BC＝10． （1）若AB＝6，如图（1），连接DF． ①求DE的长； ②求△DEF的面积． （2）若AB＝6，AE＝2，如图（2），连接BG，BG交EC于点H，连接DH，求△DEH的面积． 【分析】（1）①在Rt△CED中，利用勾股定理可直接进行计算求出DE； ②过点F作FH⊥AD于H，可证△FHE∽△EDC，则，得FH，代入计算即可得出面积； （2）过点F作FH⊥AD于H，过点G作GQ⊥BC，交BC的延长线于Q，以B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，通过AAS可证△FEH≌△GCQ，从而得出点G的坐标，求出直线BG、CE的函数解析式，联立得出点H的坐标，即可解决问题． 【解答】解：（1）①∵长方形ABCD绕点C旋转到长方形CEFG处， ∴BC＝EC＝10， 在Rt△CED中，由勾股定理得， DE； ②过点F作FH⊥AD于H， ∴∠FEH+∠DEC＝90°， ∵∠DEC+∠DCE＝90°， ∴∠FEH＝∠DCE， 又∵∠EHF＝∠CDE， ∴△FHE∽△EDC， ∴， ∴， ∴FH， ∴S△DEF； （2）过点F作FH⊥AD于H，过点G作GQ⊥BC，交BC的延长线于Q， 以B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ∵∠ECG＝∠DCQ， ∴∠DCE＝∠GCQ， 由（1）知∠DCE＝∠FEH， ∴∠GCQ＝∠FEH， 在△FEH和△GCQ中， ， ∴△FEH≌△GCQ（AAS）， ∴GQ＝FH， ∴可得G（）， ∴直线BG的函数解析式为y， ∵C（10，0），E（2，6）， ∴直线CE的函数解析式为y， 联立得H（）， ∴点H到AD的距离为6， ∴S△EDH． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，建立直角坐标系，运用代数方法解决几何问题是解本题的关键． 24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于两点A（﹣1，0）、B（4，0），于y轴交于点C，且△ABC为直角三角形． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线上是否存在点P，能使点P满足S△PAC＝S△PBC，若存在，求出所有点P的坐标，若不存在，请说明理由． （3）将△ABC绕平面内一动点Q（m，m）旋转180°后所得△A'B'C'与该抛物线没有公共点，请直接写出m的取值范围 ． 【分析】（1）先判定△ACO∽△CBO，利用CO2＝AO•BO比例关系得OC＝2，进而设交点式可求抛物线解析式； （2）分两类讨论：①以PC为△PAC和△PBC的公共底，当PC∥AB时，满足S△PAC＝S△PBC，利用对称性可得P坐标；②以PC为△PAC和△PBC的公共底，可得高必须相等，进而制造全等得到F点的坐标，最后求出CF的解析式，令直线CF与抛物线联立可求得点P坐标； （3）先表示出A（﹣1，0）、B（4，0），C（0，2）三点绕Q（m，m）旋转180°后得到：A'（2m+1，2m）、B'（2m﹣4，2m）、C'（2m，2m﹣2）．接下来分为：①当A'（2m+1，2m）不在抛物线上时，△A'B'C'与该抛物线没有公共点，②当直线B'C'与抛物线没有交点时，△A'B'C'与该抛物线没有公共点．计算出这两类情况的临界点，最后可求m的取值范围． 【解答】解：（1）∵A（﹣1，0）、B（4，0），且△ABC为直角三角形．即∠ACB＝90°， ∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°， ∴∠OCB＝∠CAO， ∴△ACO∽△CBO， 故CO2＝AO•BO，即CO2＝1×4＝4，故CO＝2， 从而C（0，2）． ∵抛物线与x轴交于两点A（﹣1，0）、B（4，0）， ∴设解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），代入C（0，2）， 即2＝﹣4a，解得a， 故该抛物线的解析式为y（x+1）（x﹣4）． （2）存在这样的点P，理由如下： 如图1所示，以PC为△PAC和△PBC的公共底， 当PC∥AB时，满足S△PAC＝S△PBC， 抛物线对称轴为直线x，由对称性易知P（3，2）； 如图2所示，以PC为△PAC和△PBC的公共底， 从A、B两点分别向CP作高AE、BD， 又S△PAC＝S△PBC，则AE＝BD， 易证△AFE≌△BFD，故AF＝BF， 所以F为AB中点， 因此F（，0）． 设直线CF的解析式为y＝kx+b，代入点F（，0），C（0，2）， 可得，解得， 故直线CF的解析式为y， 联立y与y， 解得x或0（舍去）， 此时P点横坐标为，纵坐标为， 即P（，）， 综上，P点坐标为（，）或（3，2）． （3）∵A（﹣1，0）、B（4，0），C（0，2）， 将上述三点绕Q（m，m）旋转180°后得到A'（2m+1，2m）、B'（2m﹣4，2m）、C'（2m，2m﹣2）． ①当A'（2m+1，2m）不在抛物线上时，△A'B'C'与该抛物线没有公共点， 把A'（2m+1，2m）代入y中， 即2m（2m+1）22，整理得2m2+m﹣3＝0， 解得m或1（不合题意，舍去）， 故此时m的取值范围为m； ②当直线B'C'与抛物线没有交点时，△A'B'C'与该抛物线没有公共点， 设直线B'C'的解析式为y＝px+q，代入B'（2m﹣4，2m）、C'（2m，2m﹣2）． 即，解得， 故直线B'C'的解析式为y， 联立y与y， 可得x2﹣4x+6m﹣8＝0，令Δ＝16﹣4（6m﹣8）＝0， 解得m＝2， 故m＞2， 综上，m的取值范围为m或m＞2． 故答案为：m或m＞2． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质，二次函数与三角形的面积，点的中心对称规律，中点坐标公式，根的判别式，第三问要分类画出图形讨论，熟练掌握以上内容是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年九年级数学中考第一轮复习检测卷04 《几何初步与三角形》 测试时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共30分） 1．如图，这是某学校领奖台的示意图，其左视图为（　　） A． B． C． D． 2．钟表上显示的时间是下午2时30分，时针与分针的夹角的度数是（　　） A．105° B．110° C．115° D．120° 3．一个正方体的每个面都写有一个汉字，其表面展开图如图所示，则在该正方体中，和“知”相对的面上写的汉字是（　　） A．就 B．是 C．力 D．量 4．如图，用剪刀沿虚线将一片平整的长方形纸片剪掉一部分，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．经过两点有且只有一条直线 B．经过一点有无数条直线 C．两条直线相交只有一个交点 D．两点之间，线段最短 5．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D，C的对应点分别为D′，C′，ED′交BC于点G．若∠EFG＝56°，则∠AEG＝（　　） A．56° B．68° C．72° D．75° 6．如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（∠C＝90°）绕过两地间的一片湖，在A，B间建好桥后，就可直接从A村到B村．若AC＝5km，BC＝12km，那么，建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为（　　） A．2km B．4km C．10km D．14km 7．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上．已知 AB∥DE，BF＝CE．给出下列条件：①∠A＝∠D，②∠B＝∠E，③AC＝DF，④AC∥DF，能判定△ABC≌△DEF的是（ㅤㅤ） A．①②③ B．①②④ C．①④ D．①②③④ 8．如图，△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点D在EF上，延长AD交BC于N，BD⊥AN，AB＝6，BC＝8，则DF＝（　　） A．2 B． C．1 D． 9．如图，等边三角形ABC的边长为12，D为AC边上一动点，E为AB延长线上一动点，DE交CB于点P，点P为DE中点．若DE⊥AC，则AE＝（　　） A．15 B．16 C．18 D．20 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，CE⊥AD交AB于E，BE＝CF，BF交CE于P，连接PD，下列说法：①AC＝AE；②CD＝BE；③BP＝PF；④∠BDP＝67.5°．其中正确结论是（　　） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 2、 填空题（每小题3分，共15分） 11．一个角补角比它的余角的2倍多30°，这个角的度数为 　 　 ． 12．如图，∠ACB＝90°，按如下步骤操作：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点；②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F；③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧交于点G；④作射线CG．若∠FCG＝50°，∠B为 　 度． 13．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5dm，3dm和1dm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是 　　 ． 14．如图，已知BO平分∠ABC，过点O作EF∥BC分别交AB于E，交AC于F．且恰好∠FOC＝∠FCO，若∠BOC＝130°，∠AFE＝56°，则∠EOB＝　 　 ． 15．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＞90°，AC⊥BC，若AB＝2，，则BD的长为 　 　 ． 三、解答题（共9个大题，共75分） 16．（6分）如图，直线AB，CD相交于点O，OA是∠COE的平分线． （1）若∠DOE＝92°，求∠BOD的度数； （2）若∠COE：∠DOE＝7：8，求∠BOD的度数． 17．（7分）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补． （1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由； （2）如图2，∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P，EP延长线与CD交于点G，点H是MN上一点，且PF∥GH，试判断直GH与EG的位置关系，并说明理由． 18．（8分）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE． （1）证明：△ADC≌△BCE； （2）若CF＝3，DF＝4，求△DCE的面积． 19．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE． （1）求证：CG＝EG． （2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△BEC的面积． 20．（8分）庆庆家附近有一条东西走向的公路（AB），一天一辆宣传车从这条路上经过．如图，从监测中心A处测得这辆宣传车从B点开始沿AB所在直线由东向西运动，已知点C为庆庆家的位置，点C与监测中心A的距离（AC）为400m，与这辆宣传车的起始位置B的距离（BC）为300m，且∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，以这辆宣传车为圆心，半径为260m的圆形区域内会听到宣传车的声音． （1）求监测点A与宣传车的起始位置B之间的距离； （2）若这辆宣传车的行驶速度为25m/min，则庆庆家能听到多长时间的宣传车声音？ 21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC边上一点，过点E作EF⊥CD，垂足为F，连接AE，M为AE的中点． （1）如图1，过点M作MG⊥AE交AB于点G，若AG＝BE，∠CEF＝32°，求∠AEF的度数； （2）如图2，若CF＝AD，过点M作MH⊥AB，垂足为H．求证：EF＝AH+MH． 22．（8分）如图△DEF为等边三角形，分别延长FD，DE，EF，到点A，B，C，使DA＝EB＝FC，连接AB，AC，BC，连接BF并延长交AC于点G． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）若AD＝DF＝2，求FG的长． 23．（10分）如图，长方形ABCD绕点C旋转到长方形CEFG处，点B的对应点E落在AD边上，BC＝10． （1）若AB＝6，如图（1），连接DF． ①求DE的长； ②求△DEF的面积． （2）若AB＝6，AE＝2，如图（2），连接BG，BG交EC于点H，连接DH，求△DEH的面积． 24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于两点A（﹣1，0）、B（4，0），于y轴交于点C，且△ABC为直角三角形． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线上是否存在点P，能使点P满足S△PAC＝S△PBC，若存在，求出所有点P的坐标，若不存在，请说明理由． （3）将△ABC绕平面内一动点Q（m，m）旋转180°后所得△A'B'C'与该抛物线没有公共点，请直接写出m的取值范围 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$