第一章 章末复习课-【创新教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册五维课堂（北师大版2019）

参考答案 ②假设当n=(k∈N+)时，不等式成立，即2牛1.4+1. 1 2 4 时，式子为号一中十2即不等式为员十量十…十 .2+√+1， 1 11 2k k+2)2>2k+3 则当=+1时2岁，中…出·品> 答案安+京十叶十2>号 1 11 4 2k 研·常品 1 要证当m=k十1时，不等式成立，只需证张十3≥ 是，由地猜怒a,="m∈N。 2十T (2)证明：①当n=1时，41=0，等式成立 +2,即证2+3>+1h+2, k一1 2 ②假设n=k(k≥1，且k∈N+)时等式成立，即a= 由基本不等式，得23=+)十h+2≥ 2 2 1 =1-+1-1 当川=十1时，12-@2- k十1 √(k+1)(k+2)成立， k :2张十3≥干2成立，当n=6十1时，不等式 当n=k十1时等式也成立 2+I 由①和②知，对于任意的n∈N+a,=”二恒成立 成立. 由①②可知，对一切列∈N+,原不等式均成立. 章未复习课 变式训练 [例门[解折]1片-1+十片3号-3+号5后=5 3.证明：(1)由a≤an一an+1,得am+1≤an一a品 在数列{an》中，an>0,∴am+t>0,∴.an一a员>0，∴0< +品ia,=2m-1+nD ae<1, [答案]B 故数列{an}中的任何一项都小于1. [例2][解]：a2一a1=3-1=2, (2)由(1)知，0<a1<1=行那么ag≤a1-i= a3-a2=7-3=4, a4-a3=13-7=6, -（a-号)+名由此精想a<行 am-am-1=2(n-1)(n≥2). 下面用数学归纳法证明：当n≥2，且n∈N4时猜想正确. 以上n一1个等式左右两边分别相加，得 ①当n=2时已证： am-a1=2×[1十2+3+…+(n-1)]=(n-1)m, ②假设当m=k(k≥2，且k∈N+)时，有a4<成立， am=n2-n十1(n≥2)，且n=1时，a1=1适合上式. ∴.an=n2-n十1. 那么大≤2a1≤aw-i=-（:-2)+}< [例3】[解]：a1=2.,+1=2m+D. -(食)+片是会号中…当 =2x2.4=2×3, a 1 n=k十1时，猜想正确. 以上n-1个等式左右两边分别相乘得=·2”-1， 等上所运，对于一切nEN,海有a,< al .4n=n·2"(n≥2)，且n=1时，1=2适合上式.∴4n 当堂达标 n·2". 1.C[当n=1时，左边=2，右边=2，等式成立： [例4幻[解丁a+1-an十an+1·an=0,1 1 当n=2时，左边=1×2+2×3=8，右边=3×22一3×2+ aH+14对 2=8,等式成立： =1. 当n=3时，左边=1×2十2×3+3×4=20，右边=3×32 又=1已}是首项为1，公差为1的等差敦到. 一3×3十2=20，等式成立， 当n=4时，左边=1×2+2×3+3×4十4×5=40，右边3 =n.…an ×42-3×4+2=38,等式不成立.故选：C.] [例5门[解]方法-“a+1=24,十1心4+2=立a+刊 2.D[结合「()中各项的特征可知，分子均为1，分母为1， n十1，…，n2的连续自然数共有n2一n+1个，且f(2)= +1. +写+ 两式相减得au+2-dn1-之(a1一a, 3.解析：从不等式结构看，左边n=k十1时，最后一项为 令6，-a+1-a,a-1,23…).得6-4g-a1-号-1 十2，前面的分修的底数是连续的整数，右边n=k十1 =2 ·91· 数学(BS)·选择性必修第二册 ba+1= 由0m≥0， lan+1≤0， 得n=20.∴使Sm取得最大值的1是20. 六量列仙，是首项为是，公比为宁的等比数到 (2)因为{an}为等比数列，所以am-1um+1=a品，又由 ∴an=a1+(ag-a1）+(ag-ag)+…+(an-an-1)=a am-1am+1一2am=0(am≠0)，从而am=2.由等比数列的 +b1+b2十…+bm-1 性质可知前(2m一1)项积T2m1=a1,则22m-1= 128,故m=4. [答案](1)B(2)4 1- [例9][解](1)设f(1)=a1十4g+…十am=Sm =n+D, 方法二设a,+1-A=(an一A),则a+1=2a 2 则a,=5-s,-1=m中卫_a1Dn=m≥2， 2A+A. 2 2 当n=1时a1=1,S1=1成立.所以an=n(n∈N+). 根据a1=号4，十1，可得-2A+A=1,即A=2, (2)由(1)知f(x)=x十2x2+…十x”, a1-2-号a,-2. 令6，=a,-2,得6=a-2=-1,61=2b: (）+2x+3x+…+-+× 六餐列6，是首项为一1、公北为号的等比数列。 @ be=b1·g"-1=(-1) (侵) w-1,∴.am=2十bn=2 0-@得f(侵）+安++一= (侵). 1 202+' [例6][解](1)设数列{an}的公比为q, 由已知得16=2g3, 所以1（合）=22点兰<2 解得g=2,.an=2×2-1=2",n∈N+. [例10][解](1)由a-(2n-1)am一2n=0.得 (2)由(1)得a3=8,a5=32, (am-2n)(am十1)=0. 则b3=8,b5=32. 由于{an}是正项数列，所以an=21,n∈N+ 设数列6，的公差为山，则有么十2山=8， 1b1+4d=32. (2由=2=ma得 解得=一16， d=12, 所以6m=-16+12(n-1)=12n-28,n∈N+. 工=[)+合)十+（片）十 所以数列{bn}的前n项和 S-n-16+12m-28》=6m2-2mn∈N. (日切 2 [例7][解](1)证明：an十Sn=m,①∴.an+1十S+1 =n+1.@ [例11门[解](1)设等差数列{am}的公差为d, ②-①得aw+1-an十an+1=1, 2am+1=a,+l.2(a+1-1)=4,-1.gt11 由题意可如（伯广-·品即a+2=aa十 an-1 从而a1d=d. 1 因为d≠0，所以d=a1=a.故通项公式an=a. （2)由(1)知，eg=2ub.-2a' 1 :首项0=a-1a+a=14=号=-号. 故数列，是首项为一号公比为号的等比数列 (2)由(1)知，=一 ×)=-(侵八 ∴，=1-（侵）月 [例8][解析](1)由a1+a3+a5=105,得3a3=105, [例12][解析]由题意可得，ab,c成公比为2的等比数 a3-35. 同理可得a4=33,∴d=a4-ag=-2,an=a!+(n-4)× 列，b=2uc= :故4+2x十c=50,解得c=职 (-2)=41-2m. [答案]D ·92· 参考答案 [例13】解折：根搭题意可得A,十B,=3A,=子A-1十 [例2][负解]s(tn)=2(1a)s(p-)>s2(-△)， 故1o)-14,一))--y) △ 所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，即在如题图所示 A,=子A,1+3-A-)=A1+ 的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快 3 变式训练 2.ABD[在0到0范围内，甲，乙的平均速度都为兰，故A,B 数列， 错误：在到1范固内，甲的平均速度为2二，乙的平均速 -61 度为二要因为为一和>1一南山一6>0，所以二> t1-to 31 1 六B=3-A。=22市小A。-B2市X2= 一，故C正确，D错误.] t1一to N+). [例3][解](1)质点P在[1,1十△]这段时间内的平均速 答案 度为 第二章导数及其应用 =8-31+)2-8+3×1=-6-3(m/s. §1平均变化率与瞬时变化率 (2)由1)知会=-6-3M,当山趋于0时，兰趋于-6， 1.1平均变化率 △ 所以质点P在1=1时的眸时速度为一6m/s 1.2醉时变化率 变式训练 课前预习学案 3.解：△y=f(1+△x)-f(1) 知识梳理 =3(1+△x)2+(1+△x)-(3+1) 知识点一，L.改变量△x改变量△y函数值自变量 =7△x+3(△x)2. 2.快慢 [思考] Ay=7△x+3(△x) △x △x =7+3Ax. [提示]不一定，当取定值，△x取不同的数值时，函数的 平均变化率不一定相同：当△x取定值，取不同的数值时， 当△楚于0时会器=7+30楚于7+3X0=7 函数的平均变化率也不一定. ∴.函数y=3x2十x在点x=1处的醉时变化率为7. 预习自测 当堂达标 1.(1)×(2)/(3)√(4)/ 2B会=）@2X2+2X1+D-2] 1.B[手均支化率为}-1.订 b-a 2-1 2.C[由平均变化率的概念知C正确.] 3A[因为4=s(3+M)-s(3)=6△+（△）2，所以A=6 3.D [Ay_f(x2)-f()BC △z x2一1 -AC=tan∠BAC=kAB.] +△.] 4.解析：△y=[2(xo十△x)2+11-(2.x号+1)=4.xo△x+ 4.解析：△y=f(2十△x)-f(2)=3(2+△x)+1-(3×2+1)= 34,别哈-验=3当△c地于0时会地于8 2ar,=40+2a,吉△r趋于0时，会是趋于4 =-8..x0=-2.∴.点M的坐标为(-2,9). 答案3 答案：（一2,9） 课堂互动学案 [例1门解：当自变量从o变化到xo十△x时，函数的平均变化 §2导数的概念及其几何意义 率为 2.1导数的概念 △y=fx+△r)-fxn) 2.2导数的几何意义 △x _[2(m+△x)2+3]-(2x+3) 课前预习学案 At 知识梳理 4xo△x+2(△x)2 [思考] =4.x+2△x [提示]曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可 当西=2,4r=一号时，平均支化率的值为4X2+2× 以有多个，甚至可以无穷多，与曲线只有一个公共点的直 线也不一定是曲线的切线， （2). 预习自测 变式训练 1.(1)/(2)×(3)×(4)×(5)×(6)× kD会-2I+△2-2X-4+2A.款选D 2.B[由导数的几何意义，f(xA),(xB)分别是切线在点 Ar A,B处切线的斜率，由图像可知(xA)<f(rB).] ·93·章末复习课 知识整合􀅰思维导图 数列 一般数列 表示方法 列表法 解析法 通项公式 递推公式 图像法 分类 有穷数列 无穷数列 定义 性质 单调性 递增数列 递减数列 其他 常数列 摆动数列 函数特性 定义域 图像 特殊数列 等差数列 通项公式 性质 应用 定义 等差中项 等差数列 的前n项和 定义 公式推导 性 质 与 应 用基本运算 等比数列 通项公式 性质 应用 定义 等比中项 等比数列 的前n项和 定义 公式推导 性 质 与 应 用基本运算 数列在日常经济生活中的应用 题型梳理􀅰素养聚焦 [考点一]　逻辑推理、数学抽象———求数列的通项 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 公式 􀪋􀪋 数列的通项公式是数列的重要内容之一,它把数列各 项的性质集于一身．常用的求通项的方法有观察法、 公式法、累加法、累乘法、前n 项和作差法、辅助数 列法． １．观察法 就是观察数列的特征,横向看各项之间的关系结构, 纵向看各项与项数n的内在联系,从而归纳出数列的 通项公式． [例１]　数列１１４ ,３２９ ,５３１６ ,７４２５ ,􀆺的通项公 式为 (　　) A．an＝(２n－１)􀅰 n (n＋１)２ B．an＝(２n－１)＋ n (n＋１)２ C．an＝(２n＋１)＋ n (n＋１)２ D．an＝ ４n＋１ (n＋１)２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７３􀅰 第一章　数　列 ２．累加法与累乘法 (１)累加法:数列的基本形式为an＋１－an＝f(n)(n∈ N＋)的解析式,而f(１)＋f(２)＋􀆺􀆺＋f(n)的和 可求出． (２)累乘法:数列的基本形式为 an＋１ an ＝f(n)(n∈N＋) 的解析式,而f(１)􀅰f(２)􀅰􀆺􀅰f(n)的积可 求出． [例２]　求数列１,３,７,１３,２１,􀆺的一个通项公式． [例３]　在数列{an}中,a１＝２,an＋１＝ ２(n＋１) n an ,求 通项an． ３．构造法 有些数列直观上不符合以上各种形式,这时,可对 其结构进行适当变形,以利于使用以上各类方法． 形如已知a１,an＋１＝pan＋q(p、q为常数)形式均可 用构造等比数列法,即an＋１＋x＝p(an＋x),{an＋ x}为等比数列,或an＋２－an＋１＝p(an＋１－an), {an＋１－an}为等比数列． [例４]　设数列{an}是首项为１的正项数列,且an＋１ －an＋an＋１􀅰an＝０(n∈N＋),求{an}的通项公式． [例５]　若数列{an}满足a１＝１,an＋１＝ １ ２an ＋１ , 求an． [考点二]　数学运算、数学抽象———等差、等比数列 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 的基本运算 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例６]　在等比数列{an}中,已知a１＝２,a４＝１６． (１)求数列{an}的通项公式; (２)若a３,a５ 分别为等差数列{bn}的第３项和第５ 项,试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　在等差数列和等比数列的通项公式an 与前 n 项和公式Sn 中,共涉及五个量:a１,an,n,d 或 q,Sn,其中a１ 和d或q 为基本量,“知三求二”是 指将已知条件转换成关于a１,d 或q,an,Sn,n的 方程组,利用方程的思想求出需要的量,当然在求 解中若能运用等差(比)数列的性质会更好,这样 可以化繁为简,减少运算量,同时还要注意整体代 入思想方法的运用． [考点三]　逻辑推理、数学运算———等差、等比数列 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 的判定 􀪋􀪋􀪋 [例７]　已知数列{an}的前n项和为Sn,且an＋Sn ＝n． (１)设cn＝an－１,求证:{cn}是等比数列; (２)求数列{an}的通项公式． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８３􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 判断和证明数列是等差、等比数列的方法 (１)定义法:对于n≥１的任意自然数,验证an＋１ －an 或 an＋１ an æ è ç ö ø ÷为与正整数n 无关的常数． (２)中项公式法: ①若２an＝an－１＋an＋１(n∈N＋,n≥２),则{an}为 等差数列． ②若a２n＝an－１􀅰an＋１(n∈N＋,n≥２且an≠０),则 {an}为等比数列． (３)通项公式法:an＝kn＋b(k,b是常数)⇔{an}是 等差数列;an＝c􀅰qn(c,q为非零常数)⇔{an}是 等比数列． (４)前n 项和公式法:Sn＝An２＋Bn(A,B 为常 数,n∈N＋)⇔{an}是等差数列;Sn＝Aqn－A(A,q 为常数,且A≠０,q≠０,n∈N＋)⇔{an}是公比不 为１的等比数列． [考点四]　逻辑推理、数学运算———等差、等比数列 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 的性质及应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例８]　(１)已知{an}为等差数列,a１＋a３＋a５＝１０５, a２＋a４＋a６＝９９,以Sn 表示数列{an}的前n项和, 则使得Sn 取得最大值的n 是 (　　) A．２１　　　B．２０　　　C．１９　　　D．１８ (２)记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N＋),已知 am－１am＋１－２am＝０,且T２m－１＝１２８,则m＝　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 等差数列 等比数列 若m＋n＝p＋q(m,n, p,q∈N＋),则am ＋an ＝ap＋aq． 特别地,若 m＋n＝２p, 则am＋an＝２ap 若m＋n＝p＋q(m, n,p,q∈N＋),则am 􀅰an＝ap􀅰aq． 特别 地,若 m＋n＝ ２p,则am􀅰an＝a２p am,am＋k,am＋２k,􀆺仍是 等差数列,公差为kd am,am＋k,am＋２k,􀆺仍 是 等 比 数 列,公 比 为qk 若{an},{bn}是两个项 数相同的等差数列,则 {pan ＋qbn}仍 是 等 差 数列 若{an},{bn}是两个 项数 相 同 的 等 比 数 列,则{pan􀅰qbn}仍 是等比数列 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 Sm,S２m －Sm,S３m － S２m,􀆺是等差数列 Sm,S２m －Sm,S３m － S２m,􀆺是等比数列(q ≠－１或q＝－１且 m 为奇数) 若数 列{an}的 项 数 为 ２n,则 S偶 －S奇 ＝nd, S奇 S偶 ＝ an an＋１ 若数列{an}的项数为 ２n,则 S偶 S奇 ＝q 若数 列{an}的 项 数 为 ２n＋１,则 S奇 －S偶 ＝ an＋１, S奇 S偶 ＝ n＋１ n 若数列{an}的项数为 ２n＋１,则 S奇 －a１ S偶 ＝q [考点五]　数学运算、逻辑推理———数列求和 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例９]　已知数列{an}是n次多项式f(x)＝a１x＋ a２x２＋􀆺＋anxn 的系数,且f(１)＝ n(n＋１) ２ ． (１)求数列{an}的通项公式; (２)求f １２ æ è ç ö ø ÷,并说明f １２ æ è ç ö ø ÷＜２． [例１０]　正项数列{an}满足:a２n－(２n－１)an－２n ＝０． (１)求数列{an}的通项公式an; (２)令bn＝ １ (n＋１)an ,求数列{bn}的前n项和Tn． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９３􀅰 第一章　数　列 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数列求和的常用类型 (１)错位相减法:适用于各项由一个等差数列和一 个等比数列对应项的乘积组成的数列．把Sn ＝a１＋a２＋􀆺＋an 两边同乘以相应等比数列 的公比q,得到qSn＝a１q＋a２q＋􀆺＋anq,两式 错位相减即可求出Sn． (２)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的 代数和的形式,然后通过累加抵消中间若干项 的方法,裂项相消法适用于形如 c anan＋１{ }(其 中{an}是各项均不为零的等差数列,c为常 数)的数列． (３)拆项分组法:把数列的每一项拆成两项(或多 项),再重新组合成两个(或多个)简单的数列, 最后分别求和． (４)并项求和法:与拆项分组相反,并项求和是把 数列的两项(或多项)组合在一起,重新构成一 个数列再求和,一般适用于正负相间排列的数 列求和,注意对数列项数(是奇数还是偶数)的 讨论． [考点六]　逻辑推理、数学运算———等差、等比数列 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 的综合问题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例１１]　已知公差不为０的等差数列{an}的首项a１ 为a(a∈R),且１a１ ,１ a２ ,１ a４ 成等比数列． (１)求数列{an}的通项公式; (２)记bn＝ １ a２n (n∈N＋),求{bn}的前n项和Tn． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　等差、等比数列是两类基本的数列,两数列相 结合的问题经常考查,特别是通项公式、前n项和 公式以及等差中项、等比中项是命题的热点． [考点七]　数学建模、数学运算———等差、等比数列 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 的实际应用问题 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [例１２]　中国古代数学名著«九章算术»中有这样一 个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗．羊 主曰:“我羊食半马．”马主曰:“我马食半牛．”今欲 衰偿之,问各出几何? 此问题的译文是:今有牛、 马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿５斗粟． 羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马 主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算 按此比率偿还,他们各应偿还多少? 已知牛、马、羊 的主人各应偿还粟a升,b升,c升,１斗为１０升,则 下列判断正确的是 (　　) A．a,b,c成公比为２的等比数列,且a＝５０７ B．a,b,c成公比为２的等比数列,且c＝５０７ C．a,b,c成公比为１２ 的等比数列,且a＝５０７ D．a,b,c成公比为１２ 的等比数列,且c＝５０７ [例１３]　已知桶A０ 中盛有２升水,桶B０ 中盛有１ 升水．现将桶A０ 中的水的 ３ ４ 和桶B０ 中的水的 １ ４ 倒 入桶A１ 中,再将桶A０ 与桶B０ 中剩余的水倒入桶 B１ 中;然后将桶A１ 中的水的 ３ ４ 和桶B１ 中的水的 １ ４ 倒入桶A２ 中,再将桶A１ 与桶B１ 中剩余的水倒 入桶 B２ 中;若如此继续操作下去,则桶 An(n∈ N＋)中的水比桶Bn(n∈N＋)中的水多　　　　升． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 应用数列知识解决实际问题的步骤 (１)根据实际问题提取数据; (２)建立数据关系,对提取的数据进行分析、归纳, 建立数列的通项公式或递推关系; (３)检验关系是否符合实际,符合实际可以使用, 不符合则要修改关系; (４)利用合理的结论对实际问题展开讨论． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０４􀅰 数学(BS)􀅰选择性必修第二册