7.2 任意角的三角函数 7.2.1 三角函数的定义-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂（人教B版2019）

１．已知α＝－３rad．则α是 (　　) A．第一象限角　　　　　B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ２．将－３００°化为弧度数为 (　　) A．－４３π B．－ ５ ３π C．－７６π D．－ ７π ４ ３．角２５π６ 是第　　　　象限角． ４．如图,扇形AOB 的面积是１,它的 弧长是２,则扇形的圆心角α的弧 度数为　　　　　　;弦 AB 的 长为　　　　． ５．已知α＝－８００°． (１)把α改写成β＋２kπ(k∈Z,０≤β＜２π)的形式,并 指出α是第几象限角; (２)求γ,使γ与α的终边相同,且γ∈(－π２ ,π ２ )． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７．２　任意角的三角函数 ７．２．１　三角函数的定义 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 ２．掌握三角函数在各象限的符号 通过学习三角函数的定义培养学生直观想 象和数学抽象素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　根据三角函数的定义,各个三角函数值是用单位 圆上点的坐标表示的,当角在不同象限时,其与单位 圆的交点坐标的符号就不同,因此其各个三角函数值 的正负就不同,你能推导出sinα,cosα,tanα在不同 象限内的符号吗? [知识梳理] [知识点一]　利用角α终边上一点的坐标定义三角 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 函数 􀪋􀪋 　如图所示,设α是一个任意角,它的终边上任意一 点P(不与原点O 重合)的坐标为(x,y),点P 与原 点的距离为r, 则sinα＝　　　　,cosα＝　　　　,tanα＝　　 　　． 其中r＝ x２＋y２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．终边在坐标轴的角α的三角函数值分别 是什么? ２．对于确定的角α,请问三角函数的结果会随点P 在α终边上的位置的改变而改变吗? [知识点二]　三角函数值的符号 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋(１)图形表示: 正弦:　　　象限正,　　象限负; 余弦:　　　象限正,　　象限负; 正切:　　　象限正,　　象限负． (２)记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B (３)本质:三角函数值在各个象限内的符号,是根据单 位圆与角的终边在各个象限内的交点坐标的符号 决定的． (４)应用:根据三角函数值在各个象限内的符号,可以 在不求三角函数值的情况下,判断三角函数的 正负． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３．三角函数在各象限的符号由什么决定? [预习自测] １．已知角α的终边与单位圆的交点为P(１２ ,－ ３２ ), 则tanα＝ (　　) A．３　　B．－ ３　　C．３３　　D．－ ３ ３ ２．若sinα＜０且tanα＞０,则α在 (　　) A．第一象限　　　　　　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ３．角α的终边经过点P(－b,４)且cosα＝－３５ ,则b 的值为 (　　) A．３　　B．－３　　C．±３　　D．５ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　用定义求三角函数值 [例１]已知角α的终边过点P(－３a,４a)(a≠０),求 ２sinα＋cosα的值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　根据点P 的坐标,求出点P 到原点 O 的距离|OP|,再根据定义求出sinα,cosα的 值,计算时要注意讨论a的正负． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 已知角α的终边上一点P(x,y),求三角函数值 时,先求r＝|OP|(O 为原点),再根据定义sinα ＝yr ,cosα＝xr ,tanα＝yx 确定三角函数值． 若条件中含有参数,要注意对参数进行分类讨论． 􀳀[变式训练] １．已知角α的终边上一点P(m,３),且cosα＝ １０４ , 则m＝　　　　． 　　　三角函数概念的综合应用 [例２]已知角α的终边在直线y＝２x上,求sinα,cosα, tanα的值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　注意讨论角的终边所在象限． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 已知角α的终边在直线(或射线)上的问题时,常 用的解题方法 第一步,取点,在角α的终边上任取一点P(x,y), (P 与原点不重合), 第二步,计算r:r＝|OP|＝ x２＋y２, 第三步,求值:由sinα＝yr ,cosα＝xr ,tanα＝yx (x≠０)求值． 􀳀[变式训练] ２．若角α的终边与直线y＝３x 重合且sinα＜０,又 P(m,n)是α终边上一点,且OP＝ １０,则m－n＝ 　　　　． 　　　三角函数的符号 [例３]判定下列各式的符号: (１)tan１９１°－cos１９１°; (２)sin２cos３tan４． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　角的大小确定了,所在的象限就确 定了,三角函数值的符号也就确定了,因此只需确 定角所在象限,即可进一步确定各式的符号． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９􀅰 第七章　三角函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．判断三角函数值正负的两个步骤 (１)定象限:确定角α所在的象限． (２)定符号:利用三角函数值的符号规律,即“一全 正二正弦,三正切,四余弦”来判断． 提醒:若sinα＞０,则α的终边不一定落在第一象 限或第二象限内,有可能终边落在y轴的非负半 轴上． ２．正弦、余弦函数值的正负规律 􀳀[变式训练] ３．判断下列各式的符号: (１)tan１２０°sin２６９°; (２)cos４tan(－２３π４ )． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．如果α的终边过点(２sin３０°,－２cos３０°),那么sinα ＝ (　　) A．１２　　　　　　　　B．－ １ ２ C．３２ D．－ ３ ２ ２．若sinθ＜０,cosθ＜０,则θ２ 是 (　　) A．第二象限角 B．第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 ３．已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半 轴,若 P(４,y)是 角θ 终 边 上 一 点,且 sinθ＝ －２ ５５ ,则y＝　　　　． ４．已知角α的终边经过点(３a－９,a＋２)且sinα＞０, cosα≤０,则实数α的取值范围是　　　　． ５．已知角α的终边过点P(５,a),且tanα＝－１２５ ,求 sinα＋cosα的值． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７．２．２　单位圆 与三角函数线 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的 正弦、余弦和正切 ２．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题 通过学习三角函数线的意义及应用三角函数线 解决问题,提升直观想象与数学抽象素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　江南水乡,水车在清清的河流里悠悠转动,缓缓 地把河流里的水倒进水渠,流向绿油油的大地,流向 美丽的大自然,在水车转动的瞬间,同学们能想到些 什么呢? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B θ２＝－６０°＋k２􀅰３６０°(k２∈Z), 令－７２０°≤θ１≤－１８０°,－７２０°≤θ２≤－１８０°, 即－７２０°≤１０８°＋k１􀅰３６０°≤－１８０°(k１∈Z) －７２０°≤－６０°＋k２􀅰３６０°≤－１８０°(k２∈Z) 得k１＝－２或k１＝－１,k２＝－１． 故在[－７２０°,－１８０°]内,与β１ 终边相同的角是－６１２°和 －２５２°,与β２ 终边相同的角是－４２０°． [例３]　[解]　(１)因为扇形的圆心角所对的弦长为２,圆心 角为２π ３ ,所以半径r＝ １ sinπ３ ＝２ ３３ , 所以这个圆心角所对的弧长l＝２ ３３ × ２π ３＝ ４ ３π ９ ． (２)由(１)得扇形的面积S＝１２× ２ ３ ３ × ４ ３π ９ ＝ ４π ９． 变式训练 ３．(１)解析:因为１３５°＝１３５π１８０＝ ３π ４ ,所以扇形的半径为３π ３π ４ ＝ ４,面积为１２×３π×４＝６π． 答案:４　６π (２)解:设扇形的圆心角为θ,半径为r,弧长为l,面积为 S,则l＋２r＝４０,所以l＝４０－２r, 所以S＝１２lr＝ １ ２× (４０－２r)r＝－(r－１０)２＋１００． 所以当半径r＝１０cm 时,扇形的面积最大,最大值为１００ cm２,这时θ＝lr ＝ ４０－２×１０ １０ ＝２rad． 随堂步步夯实 １．C　[∵－π＜－３rad＜－π２ ,∴－３rad是第三象限角．] ２．B　[－３００°＝－３００× π１８０＝－ ５π ３． ] ３．解析:∵２５π６ ＝ π ６＋４π ,∴２５π６ 与π ６ 终边相同, ∴２５π６ 是第一象限角． 答案:一 ４．解析:设扇形半径为r,则 １ ２αr ２＝１, αr＝２, { α＝２ , r＝１．{ ∴AB 的长为２rsinα２＝２sin１． 答案:２　２sin１ ５．解:(１)∵－８００°＝－３×３６０°＋２８０°,２８０°＝１４９π , ∴α＝－８００°＝１４π９ ＋ (－３)×２π． ∵α与角１４π９ 终边相同,∴α是第四象限角． (２)∵与α终边相同的角可写为２kπ＋１４π９ ,k∈Z的形式, 而γ与α的终边相同,∴γ＝２kπ＋１４π９ ,k∈Z． 又γ∈(－π２ ,π ２ ),∴－π２＜２kπ＋ １４π ９ ＜ π ２ ,k∈Z, 解得k＝－１,∴γ＝－２π＋１４π９ ＝－ ４π ９． ７．２　任意角的三角函数 ７．２．１　三角函数的定义 课前预习学案 情境引入 　提示:当α在第一象限时,sinα＞０,cosα＞０,tanα＞０;当 α在第二象限时,sinα＞０,cosα＜０,tanα＜０;当α在第三 象限时,sinα＜０,cosα＜０,tanα＞０;当α在第四象限时, sinα＜０,cosα＞０,tanα＜０． 知识梳理 知识点一、y r 　 x r 　 y x 知识点二、(１)一二　三四　一四　二三　一三　二四 [思考] １．提示:α终边在x 轴非负半轴时,sinα＝０, cosα＝１,tanα＝０; α终边在y 轴非负半轴时,sinα＝１,cosα＝０,tanα不 存在; α终边在x 轴非正半轴时,sinα＝０,cosα＝－１,tanα＝０; α终边在y 轴非正半轴时,sinα＝－１,cosα＝０,tanα不 存在． ２．提示:不会．三角函数也是函数,是以角为自变量,以单位 圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数;三角函数 值只与角α的大小有关,即由角α的终边位置决定． ３．提示:由三角函数定义可知,三角函数在各象限的符号由 角α终边上任意一点的坐标来确定． 预习自测 １．B　２．C ３．A　[r＝ b２＋１６,cosα＝－br ＝ －b b２＋１６ ＝－３５． 所以b＝３．] 课堂互动学案 [例１]　解:因为点 P 的坐标为(－３a,４a)(a≠０),原点 为O, 所以r＝|OP|＝ (－３a)２＋(４a)２＝５|a|． ⅰ．当a＞０时,则r＝５a,角α在第二象限,sinα＝yr ＝ ４a ５a ＝４５ ,cosα＝xr ＝ －３a ５a ＝－ ３ ５ ,所以２sinα＋cosα＝８５－ ３ ５＝１． ⅱ．当a＜０时,则r＝－５a,角α在第四象限, sinα＝ ４a－５a＝－ ４ ５ ,cosα＝－３a－５a＝ ３ ５ , 所以２sinα＋cosα＝－８５＋ ３ ５＝－１． 综上所述,２sinα＋cosα＝±１． 变式训练 １．解析:由题意得x＝m,y＝ ３,∴r＝|OP|＝ m２＋３, ∴cosα＝xr ＝ m m２＋３ ＝ １０４ ,很明显m＞０, 解得m＝ ５． 答案:５ [例２]　解析:在直线y＝２x上任取一点P(t,２t)(t≠０) 则r＝ t２＋(２t)２＝ ５|t|． ①若t＞０时,则r＝ ５t,从而sinα＝２t ５t ＝２５ ５ , cosα＝t ５t ＝ ５５ ,tanα＝yx ＝２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９８􀅰 参考答案 ②若t＜０,则r＝－ ５t, 从而sinα＝ ２t － ５t ＝－２５ ５ ,cosα＝ t － ５t ＝－ ５５ ,tanα＝ y x ＝２． 变式训练 ２．解析:因为y＝３x,sinα＜０,所以点P(m,n)位于y＝３x 在第三象限的图像上,且m＜０,n＜０,n＝３m． 所以OP＝ m２＋n２＝ １０|m|＝－ １０m＝ １０． 所以m＝－１,n＝－３,所以m－n＝２． 答案:２ [例３]　[解]　(１)∵１９１°是第三象限角, ∴tan１９１°＞０,cos１９１°＜０, ∴tan１９１°－cos１９１°＞０． (２)∵π２＜２＜π ,π ２＜３＜π ,π＜４＜３π２ , ∴２是第二象限角,３是第二象限角,４是第三象限角． ∴sin２＞０,cos３＜０,tan４＞０． ∴sin２cos３tan４＜０． 变式训练 ３．解析:(１)因为１２０°角是第二象限角, 所以tan１２０°＜０． 因为２６９°角在第三象限内,所以sin２６９°＜０． 所以tan１２０°sin２６９°＞０． (２)因为π＜４＜３π２ ,所以４弧度角是第三象限角, 所以cos４＜０,因为－２３π４ ＝－６π＋ π ４ , 所以－２３π４ 是第一象限角,所以tan(－２３π４ )＞０, 所以cos４tan(－２３π４ )＜０． 随堂步步夯实 １．D　[依题意可知点(２sin３０°,－２cos３０°),即(１,－ ３),则 r＝ １２＋(－ ３)２＝２,因此sinα＝yr ＝－ ３ ２． ] ２．C　[由sinθ＜０,cosθ＜０知π＋２kπ＜θ＜３π２＋２kπ ,k∈Z． ∴π２＋kπ＜ θ ２＜ ３π ４＋kπ ,k∈Z． ∴θ２ 是第二或第四象限角．] ３．解析:因为sinθ＝ y ４２＋y２ ＝－２ ５５ , 所以y＜０,且y２＝６４,所以y＝－８． 答案:－８ ４．解析:因为点(３a－９,a＋２)在角α的终边上,sinα＞０,cos α≤０,所以 a＋２＞０ , ３a－９≤０,{ 解得－２＜a≤３． 答案:－２＜a≤３ ５．解析:根据三角函数的定义,tanα＝a５＝－ １２ ５ ,所以a＝ －１２,所以P(５,－１２),r＝１３,所以sinα＝－１２１３ ,cosα＝ ５ １３ ,从而sinα＋cosα＝－７１３． ７．２．２　单位圆 与三角函数线 课前预习学案 情境引入 　提示　sinα＝MP,cosα＝OM,tanα＝AT． 知识梳理 知识点一、１．x２＋y２＝１　２．横坐标　纵坐标 知识点二、１．MP→　OM→　AT→　２．三角函数线 [思考] １．提示:方向与x 轴或y 轴的正方向一致的为正值,反之, 为负值． ２．提示:长度等于三角函数值的绝对值,方向表示三角函数 值的正负． 预习自测 １．B　[由三角函数线的定义知①③④正确,②错误．] ２．C　[依题意cosα＝－３５ ,sinα＝４５ , 所以sinα－cosα＝７５． ] ３．解析:如 图 所 示,作 出 π２ 和５π ４ 的 正 弦 线,可 得 sinθ ∈ － ２２ ,１ æ è ç ö ø ÷． 答案: － ２２ ,１ æ è ç ö ø ÷ 课堂互动学案 [例１]　[解]　如图,作－５π６ 的终 边与单位圆交于点P,作PM⊥ x轴,M 为垂足． 直线x＝１过点A(１,０)且与－ ５π ６ 终边所在直线交于点T． 所以－５π６ 的正弦线为MP→,余弦 线为OM→,正切线为AT→． 依题意∠POM＝π６ , 所以 MP＝１２ ,OM＝ ３２ ,AT＝ ３３ , 所以点P 坐标为(－ ３２ ,－１２ ), 故sin －５π６( )＝－ １ ２ , cos －５π６( )＝－ ３ ２ ,tan －５π６( )＝ ３ ３． 变式训练 １．解:已知角α的正弦值,可知 MP ＝１２ ,则P 点纵坐标为１２． 所以 在y轴上取点(０,１２ ),过该点作 x轴的平行线,交单位圆于 P１, P２ 两点,则OP１,OP２ 是角α的终边,因而角α的取值集 合为 αα＝２kπ＋π６ ,或α＝２kπ＋５π６ ,k∈Z{ }． [例２]　[解]　如图,sin２π３＝|MP →|,cos２π３＝－|OM →|,tan ２π ３＝－|AT →|,sin４π５＝|M′P′ →|, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０９􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B