7.2.2 单位圆与三角函数线（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）

7.2.2 单位圆与三角函数线 题型一 三角函数线的画法 1.如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角的终边于T，则角的正弦线､余弦线､正切线分别是（ ） A．有向线段OM，AT，MP B．有向线段OM，MP，AT C．有向线段MP，AT，OM D．有向线段MP，OM，AT 2.已知角的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则的终边在（　　） A．第一象限的角平分线上 B．第四象限的角平分线上 C．第二、第四象限的角平分线上 D．第一、第三象限的角平分线上 3.作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线． （1）； （2）； （3）； （4）． 题型二 利用三角函数线比大小 1.利用正弦线比较的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2.设，，，则（    ） A． B． C． D． 3.若，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 4.利用三角函数线比较大小 (1)与； (2)与； (3)与. 题型三 利用三角函数线解三角不等式 1．（2024高一·全国·课后作业）不等式在区间上的解集为 ． 2．（2024高一下·陕西榆林·阶段练习）在内，则满足不等式的取值集合是 . 3.根据条件利用单位圆写出的取值范围： (1)； (2)． 题型四 利用三角函数线求三角值的范围 1．（2024高一·全国·课后作业）已知是的一个内角，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.若，则的取值范围是 ． 3.已知，则的取值范围是______． 1.（23-24高一下·北京顺义·月考）已知，那么下列命题成立的是（    ） A．若，是第一象限角，则 B．若，是第二象限角，则 C．若，是第三象限角，则 D．若，是第四象限角，则 2.在上，利用单位圆，得到成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·江西南昌·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）把，，，由小到大排列为 ． 5．（2024高一·上海·专题练习）若，证明： (1)； (2). 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2.2 单位圆与三角函数线 题型一 三角函数线的画法 1.如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角的终边于T，则角的正弦线､余弦线､正切线分别是（ ） A．有向线段OM，AT，MP B．有向线段OM，MP，AT C．有向线段MP，AT，OM D．有向线段MP，OM，AT 【答案】D 【解析】由题图知：圆O为单位圆， 则，且， 故角的正弦线､余弦线､正切线分别是有向线段MP，OM，AT.故选：D 2.已知角的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则的终边在（　　） A．第一象限的角平分线上 B．第四象限的角平分线上 C．第二、第四象限的角平分线上 D．第一、第三象限的角平分线上 【答案】C 【分析】由题意可知角终边上的点的纵坐标和横坐标互为相反数，即可得出答案. 【详解】因为角的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等， 所以角终边上的点的纵坐标和横坐标互为相反数， 所以的终边在第二、第四象限的角平分线上. 故选：C. 3.作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析 【解析】（1）如图所示，正弦线为有向线段，余弦线为有向线段，正切线为有向线段； （2）如图所示，正弦线为有向线段，余弦线为有向线段，正切线为有向线段； （3）如图所示，正弦线为有向线段，余弦线为有向线段，正切线为有向线段； （4）如图所示，正弦线为有向线段，余弦线为有向线段，正切线为有向线段. 题型二 利用三角函数线比大小 1.利用正弦线比较的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，， 在单位圆中，观察正弦线可知， 在区间，的长度随着增大而增大， 所以故选：D 2.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出的三角函数线即得解. 【详解】设的终边与单位圆相交于点， 根据三角函数线的定义可知，，， 显然. 所以. 故选：D 3.若，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由三角函数线定义作出如图： 是角的终边，圆是单位圆， 则，，， ，，即.故选：D 4.利用三角函数线比较大小 (1)与； (2)与； (3)与. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据三角函数线即可比较大小. 【详解】（1）与对应的三角函数线分别为有向线段如下图所示： 故，    （2）与对应的三角函数线分别为有向线段 由图可得：． （3）与对应的三角函数线分别为有向线段所以 题型三 利用三角函数线解三角不等式 1．（2024高一·全国·课后作业）不等式在区间上的解集为 ． 【答案】 【分析】利用余弦函数的定义及三角函数线即得. 【详解】如图所示，由于， 所以在上的解集为． 故答案为： 2．（2024高一下·陕西榆林·阶段练习）在内，则满足不等式的取值集合是 . 【答案】或 【分析】作出图形，根据三角函数线找出使得对应的角的集合. 【详解】作出单位圆如下图所示： 满足不等式的角的区域如图中的阴影部分所示（位于直线的下方）， 故在内，则满足不等式的取值集合是或. 故答案为：或. 3.根据条件利用单位圆写出的取值范围： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或． 【分析】根据题意，画出单位圆，根据三角函数线，结合不等式，求出的取值范围． 【详解】（1）根据题意，画出单位圆，如图所示， 在单位圆中，其中为有向线段，当与轴正方向方向相同时结果为正，反向时结果为负， 故在的角是， ∴的取值范围是； （2）根据题意，画出单位圆，如图所示， 在单位圆中，，为有向线段，与轴正方向相同时，为正， 与轴正方向相反时，为负， 因为， 所以在上满足条件的角是，或， ∴的取值范围是或． 题型四 利用三角函数线求三角值的范围 1．（2024高一·全国·课后作业）已知是的一个内角，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，即可求出的取值范围. 【详解】解：， 令，又，所以，作角的正切线，如图所示.由图可得，当时，， 此时，，即的取值范围是. 故选：. 【点睛】本题考查三角函数线的应用，利用三角函数线解三角不等式，属于基础题. 2.若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由下图可知，，，即． 3.已知，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用三角函数的定义、三角函数线及基本不等式即得. 【详解】如图，作出单位圆中的三角函数线，则有，，， 在中，， ∴, 又， ∴即， 当且仅当取等号， ∴， 故答案为：. 1.（23-24高一下·北京顺义·月考）已知，那么下列命题成立的是（    ） A．若，是第一象限角，则 B．若，是第二象限角，则 C．若，是第三象限角，则 D．若，是第四象限角，则 【答案】D 【解析】对于A中，若，是第一象限角，且，作出三角函数线，如图1所示， 则，因为，所以，所以A错误； 对于B中，若，是第二象限角，且， 作出三角函数线得到有向线段， 如图2所示，则，所以，所以B错误； 对于C中，若，是第三象限角，且， 作出三角函数线得到有向线段， 如图3所示，则，所以，所以C错误； 对于D中，若，是第四象限角，且， 作出三角函数线得到有向线段， 如图4所示，则，所以，所以D正确.故选：D. 2.在上，利用单位圆，得到成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正余弦、正切函数的定义，应用数形结合判断即可. 【详解】如图所示， 在单位圆中，设，则，，， 由图形可得在第一象限均大于0，在第一象限恒成立，即在第一象限恒成立，以为分界线，当时，即，当时，即；综上在第一象限无解； 由图形可得在第二象限大于0，均小于0，所以在第二象限无解； 由图形可得在第三象限小于0，大于0，所以在第三象限无解； 有图形可得在第四象限大于0，小于0，且恒成立，即在恒成立，所以 在第四象限的解为， 综上在的解集为， 故选：C 3．（2024高一下·江西南昌·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明当时，再由对数的运算性质得到，即可判断. 【详解】首先证明当时， 构造单位圆，如图所示： 则，设，则， 过点作直线垂直于轴，交所在直线于点， 由，得，所以， 由图可知， 即， 即， 又，，， 所以. 故选：D 4．（24-25高一上·全国·课后作业）把，，，由小到大排列为 ． 【答案】 【分析】由三角函数的定义，利用三角函数线即可比较大小. 【详解】如图所示，在平面直角坐标系中,以为圆心作单位圆，分别作出已知角， 则，， ，． 而， ∴， ∴． 故答案为： 5．（2024高一·上海·专题练习）若，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用正切线与余弦线的定义，结合三角形两边之和大于第三边即可得证； （2）利用三角函数线的定义，结合三角形与扇形的面积大小即可得证. 【详解】（1）如图，在平面直角坐标系中作出角，角的正弦线和余弦线.    由，为直角三角形，且，，， 在中，，所以. （2）如图，，分别为角的正弦线和正切线，连结，    由，显然有， 而，， ， 所以，即. 6 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$