精品解析：上海市金山区2025届高三下学期二模数学试题

2024学年第二学期质量监控 高三数学试卷 （满分：150分，完卷时间：120分钟） 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法计算即可. 【详解】依题意，. 故答案为： 3. 已知向量，若，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】因为，， 所以，解得. 故答案为：. 4. 若为第二象限角，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】结合角所在象限，借助同角三角函数基本关系计算即可得. 【详解】由为第二象限角，则， 故. 故答案为：. 5. 在展开式中的系数为80，则实数的值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用二项式定理求出展开式中的项，再由给定的系数求出值. 【详解】展开式中的项为， 依题意，，所以. 故答案为：2 6. 若直线是曲线在处的切线，则的斜率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出斜率. 【详解】函数，求导得，则， 所以的斜率为. 故答案为： 7. 已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解． 【详解】依题意，设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为，高为， ， 设圆锥的轴截面的两母线夹角为，显然， 则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为， 故截面的面积为，当且仅当时，等号成立， 故截面的面积的最大值为． 故答案为：. 8. 已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】转化为是的两个根，由韦达定理和等差数列性质得到. 【详解】由题意得是的两个根， 由韦达定理得， 因为是等差数列，所以. 故答案为：2 9. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为__________． 【答案】 【解析】 【详解】该同学通过测试的概率为，故答案为. 10. 已知函数的图象是折线段，且，则函数的图象与轴围成的图形面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求出的表达式，进而得到的表达式，利用图象分割求解面积. 【详解】由题可得，， ， 设函数的图象与轴围成的图形面积为， 如图，由二次函数和可知，曲边三角形的面积等于曲边三角形的面积， 所以. 故答案为：. 11. 如图，现对某景区一长，宽的矩形空地进行建设.规划在边上分别取点修建人行步道（不考虑宽度），且满足点关于步道的对称点在边上.在内种植花卉，在内搭建娱乐设施，其余区域规划为露营区，则人行步道的最短距离为__________.（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】由题设有，设，根据图形中边角关系，结合三角函数可得，注意的范围，进而应用换元法并构造函数，利用导数求最值. 【详解】由题意，， 设，则， 在中，得， 则， 由于，解得， 则，解得， 令，，则. 令，则， 令，则，函数单调递增； 令，则，函数单调递减； 所以， 所以， 即人行步道的最短距离为. 故答案为：. 12. 设均是正整数，且，则的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先将四个数都写成的指数幂和的指数幂的积的形式，再根据，分、、三种情况讨论，即可得解. 【详解】， ， 当时， 不妨取， 则，此时， 而， 所以满足题目条件； 当时， 不妨取， 则，此时， 而从中任取个数相乘不能得出， 所以不满足条件， 不妨取， 则，此时， 但任意任意4个数相乘得不到， 故不满足条件， 综上所述，， 所以. 故答案为：. 二､选择题（本题共有4题，满分18分，13､14每题4分，15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知，则下列结论不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式性质判断AD；举例说明判断B；利用绝对值的三角形不等式判断C. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，取，，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，D正确. 故选：B 14. 某人统计了甲、乙两家零售商店在周一到周五的营业额（单位：百元）情况，得到了如下的茎叶图（其中茎表示十位数，叶表示个位数），关于这5天的营业额情况，下列结论正确的是（ ） A. 甲、乙两家商店营业额的极差相同 B. 甲、乙两家商店营业额的中位数相同 C. 从营业额超过3000元的天数所占比例来看，甲商店较高 D. 甲商店营业额的方差小于乙商店营业额的方差 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由极差的定义，即最大值减最小值即可判断；对于B，由中位数的定义判断即可（从小到大排列数据）；对于C，直接由茎叶图即可判断；对于D，由方差公式运算即可判断. 【详解】A选项：甲商店营业额的极差为10，乙商店营业额的极差为8，故A错误； B选项：甲商店营业额的中位数为32，乙商店营业额的中位数为30，故B错误； C选项：甲商店营业额超过3000元的天数为3，乙商店营业额超过3000元的天数为2，故从营业额超过3000元的天数所占比例来看，甲商店较高，故C正确； D选项：甲商店营业额的平均值为，乙商店营业额的平均值为， 故甲商店营业额的方差， 乙商店营业额的方差，则，故甲商店营业额的方差大于乙商店营业额的方差，故D错误. 故选：C. 15. 已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（ ） ①；②；③函数有最小值. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】通过赋值法判断①②，举反例判断③. 【详解】由任意，都有， 令，可得，因为，解得，故①正确； 令，，可得， 整理得，又，得，故②正确； 对于③举反例，如， 满足条件（1），又，， 则，满足条件（2）， 而没有最小值，故③错误. 所以正确的有2个. 故选：C. 16. 已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（ ） ①在坐标平面内存在点，使得恒成立； ②三角形面积的最小值为. A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，注意到， 则可想到当时满足题意；对于②，设， 则，后由可得，利用三角函数知识可得，据此可判断命题正误. 【详解】 ，则当时，，， ， 即当时，恒成立，则①是真命题； 设， 则， 又， 则. 因， 则， 则，令， 则， 即， 则 ，其中， ，则， 因，则 ， 则， 则，故②是真命题. 故选：A. 【点睛】关键点睛：对于命题①，关键为注意到； 对于命题②，难点在于确定的范围，为此首先将看作整体，随后将从相关等式中分离出来，最后利用三角函数的值域确定范围. 三､解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求的值； （2）若，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性求解即可； （2）计算表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以； 【小问2详解】 ， 令，问题等价于求的值域， 函数图象开口向上，对称轴为直线， ， 函数的值域为． 18. 如图，在四棱锥中，平面，. （1）证明：平面平面； （2）若，求点到平面的距离. 【答案】（1）因为平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，从而可证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以， 在中，，则， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则，所以， 所以点到平面的距离为. 19. 为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 （1）完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； （2）是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 （3）从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望. 【答案】（1） 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 6 20 不是每天都整理数学错题人数 5 15 20 合计 19 21 40 0.35； （2）有； （3） 0 1 2 3 期望为. 【解析】 【分析】（1）完善列联表，求出经验概率. （2）求出的观测值，与临界值比对得解. （3）求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 完善列联表，如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 6 20 不是每天都整理数学错题人数 5 15 20 合计 19 21 40 每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为. 【小问2详解】 由（1）得， 所以有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”. 【小问3详解】 不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5， 的所有可能值为0，1，2，3， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望. 20. 已知椭圆，左右焦点分别为，上下顶点分别为，左右顶点分别为，是上异于椭圆顶点的两点. （1）求的周长； （2）若点在第一象限且满足的面积比的面积大，求点的横坐标的取值范围； （3）记点在直线上的投影为，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点为坐标原点三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）是定圆 【解析】 【分析】（1）求出，结合椭圆的定义即可得解； （2）设，由，可得，再根据点在椭圆上即可得解； （3）设直线的方程为，直线的方程为，分布于椭圆方程联立，利用韦达定理求出两点的坐标，进而可求出的方程，进而可得出答案. 【小问1详解】 由椭圆， 得，所以， 所以的周长为； 【小问2详解】 设， 由，得， 所以，即， 又因为，所以， 解得， 即点的横坐标的取值范围为； 【小问3详解】 ， 设直线的方程为，直线的方程为， 联立，消得， 则，所以，所以， 故， 联立，消得， 则，所以，所以， 故， 当，即时， ， 则直线的方程为， 即，过定点， 当，即时， 此时，直线过定点， 设，因为， 所以过点为坐标原点三点的圆即为过点为坐标原点三点的圆， 因为过原点，点，点， 所以过点为坐标原点三点的圆是定圆. 21. 若函数和同时满足下列条件：①对任意，都有成立；②存在，使得，则称函数为的“函数”，其中称为“点”. （1）已知图像为一条直线的函数是的“函数”，请求出所有的“点”； （2）设函数为的“函数”，其“点”组成集合；函数为的“函数”，其“点”组成集合.试证明：“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； （3）记（为自然对数的底数），，若为的“函数”，且“点”，求实数的最大值. 【答案】（1）； （2）为的“函数”，其“点”组成集合，故， 设，函数为的“函数”，其“点”组成集合，故， 设，显然对任意，成立，①成立， 充分性，若，不妨设，此时，②成立，故②成立， 所以函数为的‘函数’，充分性成立； 必要性，若函数为的‘函数’，则存在，使得， 由于对任意，成立，故， 故，所以，充分性成立； 故“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； （3） 【解析】 【分析】（1）取，，满足要求； （2）先得到任意，成立，①成立，再证明出充分性和必要性，得到结论； （3）求导得到的单调性和最值，分，和三种情况，得到实数的最大值. 【小问1详解】 取，， 此时，， 故函数是的“函数”，“点”为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 定义域为R， ，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且当时，恒成立， 又，取，， 满足且， 为的“函数”，此时， 当时，取， 故当为在处的切线方程时，才满足要求， ，故切线方程为， 令得， 由于，设，， 所以在上恒成立， 故在上单调递增， 所以， 当时，结合图象，可知单调递减且下凸， 对任意的，无法做到恒成立， 综上，实数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期质量监控 高三数学试卷 （满分：150分，完卷时间：120分钟） 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知集合，则__________. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则__________. 3. 已知向量，若，则实数__________. 4. 若为第二象限角，且，则______. 5. 在展开式中的系数为80，则实数的值为__________. 6. 若直线是曲线在处的切线，则的斜率为__________. 7. 已知圆锥底面半径为1，高为，则过圆锥母线的截面面积的最大值为__________. 8. 已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则__________. 9. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为__________． 10. 已知函数的图象是折线段，且，则函数的图象与轴围成的图形面积为__________. 11. 如图，现对某景区一长，宽的矩形空地进行建设.规划在边上分别取点修建人行步道（不考虑宽度），且满足点关于步道的对称点在边上.在内种植花卉，在内搭建娱乐设施，其余区域规划为露营区，则人行步道的最短距离为__________.（结果精确到） 12. 设均是正整数，且，则的值为_______. 二､选择题（本题共有4题，满分18分，13､14每题4分，15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知，则下列结论不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 某人统计了甲、乙两家零售商店在周一到周五的营业额（单位：百元）情况，得到了如下的茎叶图（其中茎表示十位数，叶表示个位数），关于这5天的营业额情况，下列结论正确的是（ ） A. 甲、乙两家商店营业额的极差相同 B. 甲、乙两家商店营业额的中位数相同 C. 从营业额超过3000元的天数所占比例来看，甲商店较高 D. 甲商店营业额的方差小于乙商店营业额的方差 15. 已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（ ） ①；②；③函数有最小值. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（ ） ①在坐标平面内存在点，使得恒成立； ②三角形面积的最小值为. A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是假命题 三､解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求的值； （2）若，求函数的值域. 18. 如图，在四棱锥中，平面，. （1）证明：平面平面； （2）若，求点到平面的距离. 19. 为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 （1）完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； （2）是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 （3）从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望. 20. 已知椭圆，左右焦点分别为，上下顶点分别为，左右顶点分别为，是上异于椭圆顶点的两点. （1）求的周长； （2）若点在第一象限且满足的面积比的面积大，求点的横坐标的取值范围； （3）记点在直线上的投影为，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点为坐标原点三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 21. 若函数和同时满足下列条件：①对任意，都有成立；②存在，使得，则称函数为的“函数”，其中称为“点”. （1）已知图像为一条直线的函数是的“函数”，请求出所有的“点”； （2）设函数为的“函数”，其“点”组成集合；函数为的“函数”，其“点”组成集合.试证明：“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； （3）记（为自然对数的底数），，若为的“函数”，且“点”，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $