第6章 平面向量及其应用（知识清单）-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

第六章 平面向量及其应用 [知识结构] 零向量、单位问量 儿何表示 平而向量 向量的表示 字母表示 的概念 相等向量、共纹问量 坐怀表示 二角形法则 法、诚法 半行四边形然则 线性运算 运异补 数乘运算 共线向量定用 平面向量 的运算 问量的火吊 妆影向量 向问量的数量积 向量数量积的性质 这算律】 平而向量基木定琍 平面向量及其应 半面问常的止交分解枚坐标表示 平前向量 加、减运算的坐标表示 基本定型 数柔运算的坐标表示】 向量共线的充耍条件 及坐标表示 向量模的公式 〔距离公式) 教量积的华标表示 向量垂的条件 夹角公式 长度、夹角 半面儿何中的应用 平行、垂直 力、位移、速度的合成与分解 物理中的应州 力做功 a2=2+e2-2hccos A 平面向量 h2=a2+e2-2accos B 推论 的应用 =a2+h2-2abcos 已知二边求二角 余弦 已两边和它的火角，求第边和共他角 定理 正弦 sinA= sin B-in C=2R 常见变式 定理 已知购角和任意边，求其他边和角 已知两边及其中一边的对州，求其他边和州 应州举例 [知识梳理] 知识点1向量的有关概念 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模. 2.零向量：长度为0的向量，记作0. 3.单位向量：长度等于1个单位长度的向量 4.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向 量平行. 5.相等向量：长度相等且方向相同的向量. 6.相反向量：长度相等且方向相反的向量， [例1]如图，设O是正六边形ABCDEF的中心. (1)写出图中的共线向量； (2)分别写出图中与OA,OB,OC相等的向量. 解(I),已知O是正六边形ABCDEF的中心. ∴.OA,CB,DO,FE是共线向量； OB,DC,EO,AF是共线向量： O元，AB,ED,FO是共线向量. (2)由图可知OA=CB=DO: OB=DC=EO: OC=AB=ED=FO. ·2· 知识点2 (1)向量的线性运算 向量 定义 法则（或几何意义） 运算律 运算 atb 交换律：a十b=b 求两个向量和 a 十a; 加法 一们形法测 的运算 结合律：(a+b)+c =a+(b+c) 平行四边形法则 求a与b的相 a-b 减法 反向量一b的 a-b=a+(-b) 和的运算 几何意义 λa|=aal, 结合律： 当λ>0时，aa与a 入(a)=()a: 求实数入与 的方向相同： 第一分配律：（入十红） 数乘 向量a的积的 当入<0时，Aa与a a=Aa十a: 运算 的方向相反： 第二分配律：入(a+ 当入=0时，λa=0 b)=Aa+ab (2)向量共线定理：如果a=λb(入∈R),则a∥b,反之，如果ab且b≠0， 则一定存在唯一的实数入，使a=入b. 推论：平面内三点A、B、C三点共线台AC=入AB台存在实数入，以，使 OC=OA+:OB,其中入+u=1,0为平面内不在直线AB上的一点. [例2] 如图，已知任意两个非零向量a,®，试作0i=a+b,0店，y火 a+2b,OC=a+3b.猜想A,B,C三点之间的位置关系，并证明 你的猜想. ·3· 解如图，分别作向量OA,OB,OC,过点A,C作直线AC. 观察发现，不论向量a,b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A,B,C 三点共线 证明如下：：AB=OB-OA=(a+2b)-(a十b)=a十2b-a-b=b, AC=0C-0A=(a+3b)-(a+b)=a+3b-a-b=2b, ..AC=2AB, ∴AC与AB为共线向量， 又，AC∩AB=A,故A,B,C三点共线. 36 26 知识点3平面向量的数量积 1.向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB就是向 量a与b的夹角. (2)范围：设0是向量a与b的夹角，则0°≤0≤180 (3)共线与垂直：若0=0°，则a与b同向：若0=180°，则a与b反向；若0 =90°，则a与b垂直. 2.平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b,它们的夹角为0，则数量a|1bcos0 叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b,即a·b=a|bcos0,规定零 向量与任一向量的数量积为0，即0·a=0. (2)投影向量 ①定义 如图，设a,b是两个非零向量，AB=a,CD=b,我们考虑如下的变换：过 AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1,B,, ·4· 得到AB,,我们称上述变换为向量a向向量b投影，A,B,叫做向量a在 向量b上的投影向量. C A b B D 特别地，如图，在平面内任取一点O,作OM=a,ON=b,过点M作直线 ON的垂线，垂足为M,则OM,就是向量a在向量b上的投影向量. w 00 ②投影向量的求解公式 对于任意的0∈[0，π]，都有向量a在向量b上的投影向量为OM1= b acos0·e=|acos0· b 注：其中0为向量a与b的夹角，e为与b方向相同的单位向量. (3)向量数量积的性质 由向量数量积公式a·b=a|bcos0可得如下的性质. 设两个非零向量a与b,它们的夹角为0，e是与b方向相同的单位向量， 则有 ①a·e=e·a=acos0: ②a⊥b台a·b=0; ③当a与b同向时，a·b=a|b: 当a与b反向时，a·b=一ab: 特别地，a2=a·a=|a|2,则有a=√a2; ④由cos0≤1可得：la·b|≤a|Ib. (4)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义可得如下的运算律： 对于向量a,b,c和实数入，有 ·5· ①a·b=b·a(交换律)： ②(aa)·b=1(a·b)(数乘结合律)： ③(a十b)·c=a·c十b·c(分配律)： ④(a+b)2=a2+2a·b+b2(完全平方公式)： ⑤(a+b)·(a-b)=a2-b2(平方差公式). 注：等式(a·b)c=a(b·c)不成立，因为(a·b)c表示与c共线的向量， a(b·c)表示与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a·b)c= a(b·c)不一定成立. [例3]已知a=3,b=4,且a与b不共线.当k为何值时，向量a十kb 与a一kb相互垂直？ 解向量(a十kb)⊥(a一kb)的充要条件为 (a+kb)·(a-kb)=0台a-(kb)2=0曰a2-k2b2=0. .|a|=3,b=4,∴.a2=a2=32=9,b2=b2=42=16, 9 ∴.满足9一16k2=0,解得k=士 16 故当k=士子时，向量a十kb与a一6h相互垂直， 知识点4平面向量基本定理 (1)定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 内的任一向量a,有且只有一对实数入1，入2，使a=入1e1十入2e2, (2)基底：若e1,e2不共线，我们把(e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量 的一个基底 (3)对平面向量基本定理的理解 ①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.同 一非零向量在不同基底下的分解式是不同的. ②基底给定时，分解形式唯一，入1，入2是被a,e1,e2唯一确定的数值. ③e,e2是同一平面内所有向量的一组基底，则当a与e1共线时，入2=0； 当a与e2共线时，入1=0：当a=0时，入1=入2=0. ④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的 向量 ·6· [例4]如图，梯形ABCD的腰CD的中点为E,且BC=3AD,记AB=m, AD=n,则BE= () B A. 2m+2n 2m+2n C.-2m+ n 2m+3 A解析因为BC=3AD,又AB+BC+CD+DA=0,所以CD=-AB -BC-DA=-m-3n+n=-m-2n,又E为腰CD的中点，所以BE= C-+CD-3n-m-m. 知识点5平面向量的坐标运算 1.向量线性运算的坐标表示 (1)已知a=(x1y1),b=(x2y2),则a+b=(x1十x2y1十y2),a-b= (x1-x2y1-y2). 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. (2)若a=(x,y),则Aa=(x,Ay). 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 2.向量平行的坐标表示：已知a=(x1,y1),b=(x2y2),则向量a,b(b≠0) 共线的充要条件是x1y2一x2y1=0. 3.向量数量积的坐标表示 已知非零向量a=(x1y1),b=(x2y2),a与b的夹角为0. 结论 几何表示 坐标表示 模 a|=a·a a=√+y ·7· 续表 结论 儿何表示 坐标表示 cos 0= 夹角 a·b cos 0= abl rix:+yiy: √x+y·x+ a⊥b的 a·b=0 x1x2十y1y2=0 充要条件 |a·b x1x2十y1y2|≤ 与a·|b a·b|≤|a·b 的关系 /(xi+y)(x2+y) [例5]已知向量a=(4,3),b=(1,0),则a在b方向上的投影向量为 () A.(1,0) B.(3,0) C.(4,0) D.(5,0) C解析。在b方向上的能影向量为·合-子，4 2=41.0)= (4,0). 知识点6解三角形 1.余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边 与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式：a2=b2+c2-2 bccos A, b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+62-2abcos C. b2+c2-a" 变形：cosA= 2bc cos B=cta 2ca cos C=tb-c 2ab ·8… 利用余弦定理及其推论解三角形的类型 (1)已知三角形的三条边求三个角； (2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角. 2.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 6 sin A sin B sin C. 变形： (1)a :b:c=sin A:sin B sin C. (2)由等比性质和圆的性质可知， 6 sin A sin B sin C a+b+c sinA十sinB十sinC=2R.其中，R为△ABC外接圆的半径. (3)A<Ba<besin A<sin B. 利用正弦定理及其变形解三角形的类型 ①已知任意两角与一边，求其他两边和一角。 ②已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其 他的边和角). 3.三角形常用面积公式 1 (1)S=2a·h.(h。表示边a上的高). (2)s= 1 absin C-ucsin B=besin A. (3)S=2r(a+b+c),为三角形内切圆半径). 1 (4)S=√D(p-a)p-b)(p-c),即海伦公式，其中p=2(a+6+c)为 △ABC的半周长. ·9· [例6]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bc,C-号，66=-ab+ 6ccos A. (1)求b的值； (2)若c=√J19,求△ABC的面积. 解(1)因为6b=ab十6 ccos A, 由正弦定理得6sinB=bsin A+6 sin Ccos A,即6sin(A+C)=bsin A+ 6sin Ccos A, 可得6 sin Acos C+6 cos Asin C=bsin A+6 sin Ccos A, 整理得6 sin Acos C=bsin A, 因为A∈(0，π)，可得sinA≠0，所以b=6cosC, 又因为C=3,所以6=3： (2)由余弦定理，可得c2=b2+a2-2abc0s3 因为b=3,c=√19，代入得a2-3a-10=0,解得a=5或a=-2(舍)， 所以△ABC的面积S= π15√3 absin c-x3xsxsin 4 4.正弦定理、余弦定理实际应用问题 解三角形中的常用术语 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫 仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1） 视线 北 北 北偏东山标 线俯线 南、B ·东 图1 图2 图3 图4 (2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位 角为a(如图2). ·10·