达标演练29 直线与平面垂直(一)&达标演练30 直线与平面垂直(二)-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

达标演练二十九直线与平面垂直(一) [能力提升] [基础巩固] 9.在长方体ACDA是CD中,正方形ACD的道积为10.AC与平BC.C断段的角为 1.若三条直线0A.0B,0C两两宜.则直线(2A直干 7 ) 0*,期该长方体的体积为 A.it C. A.面_j B.平nOAC D C.羊直OBC D.nAC 10.(选)如图,已短六梳是已3甲D的面是正六边形,是A面AC.题下预结论正确的是 2.已知两不同的直线r和平面。,若 ,则”no”是1“物 高 ) () A.CD/面PAF A.充分不毫备性 B.必要不充分条件 B. DFI平PAF CC/PA C.充性 D既不分不是 .CFI平面PAD) 11.智图,△ABC是直角三角形.乙ACB一.PA平面ABC:此图形中有 3.若线。与平面。不垂声,平事。内与点线重直的直线 ) 7 个直三 B1答 D.不定 A.0益 C.无数条 角 4.在正方体ABCD-A.BCD.中,与AD垂直的平面是 ) A.平DD.C.C B平nADB c.平画A.B.CD D.面AD 5.(选)已短a,是两个不重合的平面,u.x是两条不同的直线,判下列说法正确的是 A.若mw%/{卿{ B若nIn:nr.期I _10t 如1f t C若1a{-阳.则L: D.若m上.{.概。1{ 6.将一本书打开后竖立在桌面上(如图).则书脊所在直线AB与亲面所在平面。的位置关系为 12.已短三辨PABC中.AC1BC.PC一2.点PAC.BC的距离均为.现么直线PC与平面 AfC断成的角为 #### 13.图,在四-ABCD中.PA1平ABCD.AlAD.AC1CD.乙A-60.HPA-AB -aC,E是PC的中益. 证:(1)CDIAE (2PD1平πA 第 第7庭围 第B图 7.如图,三校往ABCA.BC.的各校长均相等,且例接垂直干底面,点D是侧面BCC的中心, AD与平面AtC所成的角为. 8.图,在直三极社ABCABC.中.AB-AC.D为BC的中点.证.AD1平面BCCB 11.铅因.PA 短形AaCD所在的平离,.V分是AB.PC的中点 ())求证:MY平PAD. (2若PD与平ABCD所成的为。.。为多少座时,f1平面IPCD 57 5; 达标演练三十 直线与平面垂直(二) [力提升] [基础巩] 9.已知PA直干以AB为直轻的圆所在平面,C为因上异于A.的任一点,则下列关系不正确的 ) 1.已知洲n是两条不难合的宜线是一个平面a二a,n上o”是n上”的 1 C.ACIPB A.PA1n0 B.C)平nPAC A.克分不必要条件 B.必要不分件 D.PCIBC C.充条件 D.既不充分也不必要条抖 10.(多选)如图.正方体ABCDA.B.CD.中.M.N分累是BC.CD.的中点. 荆下列退法正确的是 ) 2.如图.二ADEF的边AF1平ABCD.且AF-2.CD-3.则CE )4 A.AV与CC.直 B.与AC古 C.AN与B行 D.ArV与A.平行 11.在正三ACABC.中.若AB-?AA1.点A到干A耳C的 离为 A B C D./1 02 3.已知平面。和两直续w.x.m.则加下列条件中的( 1.句以得结论/. B. A{ Bn/ C Dr 12.在正方体ABCD-A.BC.D 中.点P在删面BCC.B.及其边界上运动,并且总是提持AP 4.(多选)已知n.是面条不同的直线.n.3是两个不重合的面,给定下列因个命题.其中是真命是 BD.则动点P的轨逃是 是 13.,在三梳P-ABC中.平PAC1平ABC.PC1AC.iC1AC.AC- A.若□则] B=I二则,. PC-2.CB-4.M是PA的中点. C.若IwI则x/{ D.若CxC/.则{ (1)证,PA1平C: 5.如图.点A.C.点号.且BA.BC.那么直线1与直线AC的关是 ) (2)设点N是PB的中点,求三梳N-MBC的体帜 .曲 8平行 C D.本确定 6.线段AB在平面a的同侧,A.B到a的距离分列为3和5.则AB的中点到。的距离为 7.如图.乙BCA-90”.PC1平面ABC,则在△ABC,△PAC的选听在的直线中. 口1)与PC直的宜线有 14.在如图断示的四梳F-ABCD中,四边形ABCD是等暖样形,AB/CD (2)与AP直的直续有 乙ABC-50”,FCI平面ABCD,CBCD-CF-1.在BF上是否存在- 8.如图,EA和IC都看直于军面ABC,且EA-2DC.F是EB的中点,求迁;DF/平ABC. 使智BF 平毫CDN,若存在,出BV的长;若不存在:请说明现由 ; _所以四边形A,BCD1为平行四边形， 所以A1B∥CD1, 所以∠AD,C(或其补角)为A1B与AD1所成的角. 又A,B⊥AD1, 所以异面直线A,B与AD1所成的角为90°， 所以∠AD,C=90°. 由题意可知，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱， 由AB=CD,知EG=FG. 又底面ABCD是菱形，所以△ACD1为等腰直角三角形， 易知∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF (或它的补角)为AB与CD所成的角. 所以AD,-号AC.因为AB=2原，∠ABC=120,所以AC AB与CD所咸的角为30°， =2/3×sin60°×2=6， ∴∠EGF=30°或150°， 由EG=FG,知△EFG为等腹三角形， 所以AD,-号AC=3E, 当∠EGF=30°时，∠GEF=75°： 所以AA,=√AD-AD=√(32)-(23)2=√6. 当∠EGF=150°时，∠GEF=15. 教EF与AB所成的角为15°或75 14.解：(1)由题意，得V=π·OA2·AA1=4π·A4,=12π，解得 AA1=3. 11.8解析：如图，在正方体ABCD-A,B,C,D1中，△AD1B 是等边三角形，故B,D:,AB,与AD:所成的角是60°，同理 由OA=2,∠AOP=120°，得∠BAP=30°，BP=2,AP= △ACD,也是等边三角形，AC,CD1与AD1也成60°角，则 25, 在面对角线中，与AC,CD,B,D,,AB:分别平行的对角线 与AD1也成60°角. 六Sa-2X2X25=2W5, V生m=号Sw·AA,=号×25X3=2g, 1 (2)当点M为AP的中点时，异面直线OM与A,B所成的角 的杂整雀为子 证明如下： O,M分别为AB,AP的中点，∴，OM∥BP, 129 解析：如图，取AC的中点E,劣弧BD的中点F,AO的 ∴∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角（或其补角）. AA=3,AB=4,AA LAB,AB=5. 中点G,连接OF,OE, 又BPLA,P,.ioa∠A,BP-船-号 :当点M为AP的中点时，异面直线OM与A,B所成的角 的杂整维务号 达标演练二十九直线与平面垂直（一） 5)B 1.C2.B3.C4.D5.CD 易知，OE∥BC,AD∥OF,则异面直线AD与BC所成的角是 6.垂直解析：桌面所在平面为平面a,由题意知AB⊥BC,AB ∠EOF(或其补角). ⊥BE,且BCC平面a,BEC平面a,BC∩BE=B,所以AB⊥ 违接EG,GF,EF,易得EG⊥GF,不妨设OG=1,则OF=2, 平面a. OE=2,EG=√3， 7.30°解析：取BC的中点E,连接DE,AE(图略)，则DE⊥平 GF=0G2+0F2-2·0G·0F·cos6 5π 面ABC,故DE⊥AE,∠DAE即为AD与平面ABC所成的 =5+2√3， 角，设三被桂ABC-A,,BC,的拔长为1，则DE=号，AE 则EF2=EG2+GF2=8+23, 在△OEF中，co8∠EOF=OE+OF2-EF ，所以m∠DAE=号，所以∠DAE=30 3 2OE·OF 4 8.证明：因为三棱柱ABC-A,B,C,是直三棱柱，所以BB1⊥平 故异国直线AD与BC所成角的余使值为气 面ABC,因为ADC平面ABC,所以AD⊥BB1,因为AB= 13.解：如图，连接CD1,AC,在四棱柱ABCD-A,B1C,D1中， AC,D为BC的中点，所以AD⊥BC,又因为BC∩BB1=B, D BCC平面BCCB1,BB:C平面BCC,B1,所以AD⊥平 面BCC,B1, 9.B解析：如图，连接BC1,因为正方形ABCD的面积为16，所 以AB=BC=4. 因为AB⊥平面BB,C,C,所以∠AC,B为AC1与平面 BB,C1C所成的角， 所以∠AC1B=30°， 因为A1D1∥BC,A,D1=BC, 所以BC,=43,所以CC,=√BC-BC=4W瓦. ·24· 又AB⊥AD,PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD,所以AB⊥ 平面PAD. 又PDC平面PAD,所以AB⊥PD. 又AE∩AB=A,AE,ABC平面ABE,所以PD⊥平 面ABE 14.(1)证明：取PD的中点E,连接NE,AE,如图. 所以该长方体的体积V=16×4√2=64√2， lO.ABC解析：在正大边形ABCDEF中，易知CD∥AF,DF⊥ AF,CF∥AB,由线面平行的判定定理，可知CD∥平面 PAF,CF∥平面PAB,故A,C正确，因为PA⊥平面ABC, 所以PA⊥DF,又DF⊥AF,PA∩AF=A,PA,AFC平面 又：N是PC的中点， PAF,所以DF⊥平面PAF,放B正确.易知CF与AD不垂 直，故D错误. NE/DC且NE=2DC, 11.4解析：PA⊥平面ABC,.PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥ 又，DC∥AB且DC=AB, BC,AC⊥BC,且PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC, .BC⊥平面PAC,.BC⊥PC. AM=立AB: 综上知△ABC,△PAC,△PAB,△PBC都是直角三角形，共 有4个 :AM/CD且AM=CD, ,.NE∥AM且NE=AM, 12.解析：如图，作PD,PE分别垂直AC,BC于点D,E, ∴.四边形AMNE是平行四边形， PO⊥平面ABC,则∠PCO为直线PC与平面ABC所成 .MN∥AE. 的角， ,AEC平面PAD,MN中平面PAD, ∴MN∥平面PAD. (2)解：当a=45时，MN⊥平面PCD,证明如下 PA⊥平面ABCD, ∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角， ∠PDA=45,AP=AD, .AE⊥PD. D 又MN∥AE,.MN⊥PD. PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD, 连接CO,OD,OE,知CD⊥PD,CE⊥PE,CD⊥PO,PD∩ ∴PA⊥CD. PO=P,PO,PDC平面PDO 又：CD⊥AD,PA∩AD=A, ∴CD⊥平面PDO, PA,ADC平面PAD, 又ODC平面PDO,.CD⊥OD. ∴CD⊥平面PAD. 同理CE⊥OE, AE平面PAD,∴.CD⊥AE, PD=PE=3,PC=2,..CE=CD=1, ∴.CD⊥MN,又CD∩PD=D, CD,PDC平面PCD, 又∠CE0=∠CD0=,AC⊥BC, ∴MN⊥平面PCD. ·△CEO2△CDO,且∠AC0=∠BC0= 达标演练三十直线与平面垂直（二） 4 ∴OC=√2，义PC=2,∴.P0=V4-2=√2， 1.A2.D3.A4.BC5.C 6.4解析：如图，设AB的中点为M,分别过A,M,B向a作垂 sin∠Pco= 2∠PC0=年 4 线，垂足分别为A:,M,B1,则由线面垂直的性质可知，AA1∥ 13.证明：(1)因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以 MM1∥BB1,四边形AA,B,B为直角梯形，AA:=3,BB1=5, PA⊥CD MM1为其中位线，∴MM1=4. 又AC⊥CD,PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,所以CD⊥ 平面PAC. 又AEC平面PAC,所以CD⊥AE. (2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°，可得△ABC是等边三 角形，AC=PA. 因为E是PC的中点，所以AE⊥PC. 7.(1)AB,AC,BC(2)BC解析：(1)因为PC⊥平面ABC, 由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,PC,CDC平面PCD, AB,AC,BCC平面ABC,所以PC⊥AB,PC⊥AC,PC 所以AE⊥平面PCD. ⊥BC. 又PDC平面PCD,所以AE⊥PD. (2)∠BCA=90°，即BC⊥AC,又BC⊥PC,AC∩PC=C, 因为PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD, AC,PCC平面PAC,所以BC⊥平面PAC.又APC平面 所以PA⊥AB. PAC,所以PA⊥BC. ·25· 8.证明：如图，取AB的中点G,连接CG,FG, (2)解：由(1)知PA⊥平面MBC, :N是PB的中点，：N到平面MBC的更离是子PA= D 22-E 4 2 ,BC⊥AC,BC⊥PC,AC,PCC平面PAC,AC∩PC=C, .BC⊥平面PAC,∴.BC⊥MC, B :F是EB的中点FGL分AE, MC-PA- :EA⊥平面ABC,DC⊥平面ABC,∴EA∥DC V:m=号×5PA-日×名X4X后X号 EA-2DC.DCEADCFG. ∴.四边形CDFG是平行四边形，∴.DF∥CG, 14.解：不存在点N,使得BF⊥平面CDN.证明如下： 'CGC平面ABC,DF庄平面ABC, 假设存在N,使得BF⊥平面CDN, .DF∥平面ABC. 则由于CDC平面CDN,因此BF⊥CD, 9.C解析：PA⊥平面ABC,得PA⊥BC,A正确；因为BC⊥ 又FC⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以FC⊥CD, AC,PA,ACC平面PAC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面 FC∩BF=F,FC,BFC平面CBF,所以CD⊥平面CBF, PAC,所以BC⊥PC,B、D均正确. 又BCC平面CBF,所以CD⊥BC, 10.ABC解析：连接C,D(图略)，由于N是CD1的中点，所以 这与四边形ABCD是等腰梯形且∠ABC=60矛盾，假设不成立. 所以不存在点N,使得BF⊥平面CDN. N是CD的中点， 由于M是BC,的中点，所以MN∥BD,C选项正确. 达标演练三十一 平面与平面垂直（一） 根据正方体的性质可知CC1⊥平面ABCD, 1.C2.B3.BD4.D5.D 由于BDC平面ABCD,所以CC1⊥BD,所以CC⊥MN,A 6.2解析：如图，取AB的中点E,连接DE,CE.因为△ADB 远项正确， 是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时， 由于AC⊥BD,所以MN⊥AC,B选项正确. 因为平面ADB∩平面ABC=AB,且DE⊥AB,DEC平面 由于A,B1∥AB,AB与BD相交，所以MN与A:B1不平 ABD,所以DE⊥平面ABC,故DE⊥CE.由已知可得DE= 行，D选项错误. W5,EC=1,在Rt△DEC中，CD=DE+CE=2. 11.B解析：如图，在正三棱柱ABC D A1B,C1中，若AB=2,AA:=1, B 所以Sx=子×2X5=5, 由勾股定理可得A,B=A,C √/1+2=√5， 在等腰三角形A,BC中，底边BC上的高长为 7.45°解析：由题意，易知∠PCA是二面角P-BC-A的平面角. 在Rt△PAC中，PA=AC,所以∠PCA=45°. √5-（合×2=2 8.证明：(1)：四边形ABCD是菱形，且∠DAB=60°， ,△ABD是正三角形，又G为AD的中点，.BG⊥AD 所以等腰三角形A,BC的面积为2×2X2=2, 又平面PAD∩平面ABD=AD, 平面PAD⊥平面ABD,BGC平而ABD, 设点A到平面A,BC的距离为h, ∴BG⊥平面PAD. 1 V4x=V:装头版→行·A·2=专X1X原→ (2)由(1)可知BG⊥AD, 又△PAD为正三角形， 3 h=2' ',PG⊥AD,BG∩PG=G,BG,PGC平面PBG, ,AD⊥平面PBG, 12.线段B,C解析：如图，连接AC, D 又PBC平面PBG,AD⊥PB AB1,B,C,易得BC⊥BD1,AC 9.C解析：如图所示，连接AC交BD于点O,连接A,O,则 ⊥BD1,又B,C,ACC平面A ∠A,OA为二面角A,-BD-A的平面角， AB1C,B,C∩AC=C,故BD1⊥ D 平面BAC,平面BAC∩平面 BCC,B,=B,C,所以P为B,C上 任何一点时，均有AP⊥BD1. 13.(1)证明：：平面PAC⊥平面 ABC,BC⊥AC,平面PAC∩平面ABC=AC,BCC平 面ABC, .BC⊥平面PAC,,PAC平面PAC, 设A,A=a,则A0= 2a, ∴BC⊥PA,AC=PC,M是PA的中点， 所以tan∠A,OA=:=2. .CM⊥PA,,CM∩BC=C,CM,BCC平面MBC, √2 ∴PA⊥平面MBC. 26·