达标演练5 向量的数量积(一)&达标演练6 向量的数量积(二)-【百汇大课堂·高中学习测试卷】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

达标演练五 向量的数量积（一） A.FB-万=AE 民A万，AF=AF [基础巩固] C,AD套AB上的授影向款为A4 D.AC+AF-3A 1.已短向量办清足。-5，b一2，它门的央角为后，膜。十 收在△ABC中，下列命道正确的个数是 DA日-AC-BC:2A百++C-:①若(AB+AC)·(AB-C)=0,期△A以为第®三 A.10 且/16 C.v13 [.13 之在边长为6的菱形ABCD中，∠DA-,A-2M店，刚D.D成- 角形：①AC·AB0.则△ABC为经角三角形. A.1 我 c,3 DI A.15 C.30 D.20 山，设向壁ab携是a:6一牙且a一2，着为多a方向上的投影向量，并满足e一，期1 篇.（多域）对于向景每，，（弹实数1，下列合想中情谈的有 A,若。·b=,制日=0或b出0 积若1a=0,期入=0或0=0 12.已知丰零向量a,b清昆b=2wa,且8上(3a十)，属a与b约夹角为 C,若a=b',则a=b或a=-b D若a·春=8·e,则b=e 1&如围，在底角为45的等腰始形ABCD中，AB一3C,M,N分料为CD, 4.已每平自向址g.b请足每1=4，h-8且(2果一)·（十2知）一一4，喇向量0，b的类角8为 C的中点，投1山=AD=青 A智 a受 c (1D用a.b表示M,AN: (2)若a=3.求AM·AN. 5,若。h均为非零向量，联”。·h=a1·k“是“阳与6其线”的 A充分木必要茶件 B必要不充分条件 仁充分必要茶韩 D,低不充分又不必婴条得 丘.已相向量金}一6，e为单位向量，当向量a.e的夹角等于5时，属向0▣在向量方向上的投影向 量是 7,两向量的夹角分期是晚角与纯角的充要条作， (1)a与B的光角是锐角一细·b且日与6不共线 (2e与b的夹角是花角片阳·b:且：与B不其线 1L在平行四边形ABCD中.AB-4,AD-小，∠BAD-三·F是或双AD的中 %.已相屋=1.海-，(2a一35》·2a+b》=1 点，bE-a0ae-1,1 (11蒙每与b的夹角： (2若@在B方闻上的投影闻量为e,求e·{a+b)的值 山若A-行AE与BF交于点NAN-丽+d,求上广y的值： (2)求E·FE的最小数， [能力提升] D,(多逃（创龄随）密蜂的果房是令人忽叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的 六角柱找体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封网的衣角菱形的 成，由三个相同的菱形组成，境中被封菱的是白然成筹的绿蜜，如闭是一个 蜂果的正六边形开口ABCDEP,则下列说法正确的有 9 10 达标演练六向量的数量积（二） [能力提升] 基础巩固] 厂巴知两个非零向量@山的夷角为60，且。上(a-26.则g十= L设向量a,b满是a一b-1a·6一 2期a十261 A.9 &7 A.2 且 c.2 D. 心5 D.7 心，设平崔倒量日，b,「均为非零到量，谢下列合避中正磷的是 A,若a+b=a-b1,则a⊥& 2.已知a=1,b=2.且a⊥(e十b》:期日在b上的授影数量为 队若a4b一ab,则a当春共线 A.I B-1 C.若a·b=a+e,期b=e D- D.若a春·e)=e(8·b》,则ae 3.若向量a,b满足a=3,lb=1,a…b1-2,a·= 1L,已知三个不共线的学直向量abr两两所成的角相等，s一1.一2，c一3.划2a十b一- A.0 B 2.已知e,e:是平面内两个类角为20的单袋向量，若a一e,一2e,b一e,中e,且a与声的亮角为 c D 3 锐角，期实数·的取值范国是 4已知物量a,b鹅足a一b-5.且g十b-,则g-1- 品.已知e中是单位向整，且e一子若商量6情起Bt=b+e,=1,求 A.6 且8 C.36 D.6E ,(多速)设列量a:b满足a十b=g一h1=1.妈 Aa与&的实角为 且a+lsP=1 .{a+2h）·(2a+b)2 Da⊥b G已知非零到量a,b将足a=2b,且(a+)上b.测a与0的夹角为 7.已知4，B,C是单拉周0上的可点，且0A-OB+0元，期A店，AC- 8已知1a=1,lb=2.且20+b)·4a-3b)=-5 4,已知两个不共线的向量，b的夹角为.且a一3，b-, (1)求a与b的夹角9： 1》若a-2b与a十4春垂直，裳an9: 2求12a-b. 《2若一子，求。十b的最小值及对安的：的慎，井指出此时向慧。与：+书的位置关系 1213.证明：因为0+0B+0元+0币-40E=0i-0正)+(0B 整理得，MB+MC+(m-2)M=0, -OE)+(OC-OE)+(OD-OE)=EA+EB+EC+ED, 由已知可得，m一2=1.即m=3. 又因为四边形ABCD为平行四边形， 12.6 解析：示-心+子D正 则点E为AC,BD的中点，可得EA=-EC,EB=-ED, 所以OA+OB+OC+OD-4OE=EA+EB+EC+ED- =A币+DC+C (EA+EC)+(EB+ED)=0. -A市+成+应 即OA+OB+OC+OD=4OE. 14.解：由已知可得，P,P+P,P+PP…+PoaP: =市+号成-a动 P.MI-IP,P:o-P,MI=IMP,l. 号+ 因为P,P…P1是半径r=1的圆O内接正2024边形， M是围O上的动点， AF-xAB+yAD. 所以0≤MP:e4≤2r=2, “店+A市=号A店+吾市。 所以1P,P+P,P+PP…+PP-P,i∈[0， 2]. (-)-(各)ò， 达标演练四向量的数乘运算 又AB与AD不共线， 1.D2.AB3.D4.A5.C -0且y-0 1 故x=7y=6.3x+6y=6 8.(1)证明：：AB=a+b,BC=2a+8b.CD=3(a-b). 13.解：b与a十c共线.证明如下： ,a十b与c共线， :.BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b) .存在唯一的实数A,使得a十b=c.① =2a+8b+3a-3b=5(a+b) :b+e与a共线， =5AB. 存在唯一的实数以， AB,BD共线，且有公共点B, 使得b十c=a,② A,B,D三点共线. 由①-②得，a-c=dc-ua. (2)解：，ka十b与a十b反向共线， .(1+r)a=(1+a)c. ,.存在实数1(1<0)， 又：a与c不共线， 使ka十b=A(a十kb), .1+u=0,1十入=0， 即ka十b=Aa十Akb, a=-1,a=-1,.a+b=-e, 即a+b+c=0..a十e=-b. .(k-A)a=(k-1)b :a,b是不共线的两个非零向量， 故b与a十c共线. .k-λ=k-1=0, 14.解：因为 AB 是与AB同向的单位向量， AC 是与AC同 ÷货含货 ABI A=-1, 向的单位向量， ∴k=-1. AB 9.ABC 如图，设A= AM-AC IABI ACI 10.B解析：方法一由息意设CD=C+mAB. 则AQ=1(AN+AM),AM=AV, CD=CA+m(CB-CA), 以AM,AN为邻边作平行四边形AMEN, CD=(1-m)CA+mCB, 则AE=AM+AN,且平行四边形AMEN为菱形， 所以AE平分∠MAN, 所以AQ=AAE, m=A=号 又A为公共点，所以A,E,Q三点共线， 所以AQ是∠BAC的平分线. 方法二由A,B,D三点共线可知，号十A-1, B 以=号 11.3解析：方法-：MA+MB+MC=0, ∴.点M是△ABC的重心. ..AB+AC=3AM...m=3. 方法二在△ABC中， AB=MB-MA.AC=MC-MA. 若AB+AC=mAM成立，则 达标演练五向量的数量积（一） (MB-MA)+(MC-MA)=mAM成立， 1.C 2.C 3.ACD 4.C 5.A ·3· 6.32e解析：因为向登a,e的夹角等于15，a=6,e为单 位向量，所以向量a在向量e上的投影向量是|a|·cos45°， 18,解：1A=+Di=市+号D元=A+名A店=言· +b, e=3v2e. 7.><解析：(1)若向量a与b的夹角是锐角，则cos(a,b) AN=AB+B=A店+C=A店+号B所+Ai+D, >0,则a·b={abcos(a,b)>0,且向量a与b不共线. 反过来，若a·b>0,且向量a与b不共线，则cos(a,b)>0, -号丽+市-号0+0， 所以(a,b)为锐角， (2)由题意可得DC=1,过D作AB的垂线DE,垂足为E,如 所以a与b的夹角是锐角曰a·b>0,且a与b不共线： (2)若向量a与b的夹角是钝角，则cos(a,b〉<0，则a·b= 图，则由∠DAE=45DE=A正=2(A1-C)=1, 1 cos(a,b》<0,且向量a与b不共线. 反过来，若a·b<0,且向量a与b不共线，则cos(a,b》<0, 所以《a,b)为钝角， 所以a与b的夹角是钝角一a·b<0,且a与b不共线. 8.解：(1)：(2a-3b)·(2a十b)-13, ∴.4a2-4a·b-3b|=13, .b=√2，a·b=3XW2×cos45°=3， 即64-4a·b-27=13, ai.A-(ga+b)·(号a+)- a°+ a·b a·b=6∴cos(a.b〉=ab-2 a·b1 4 0°≤(a,b)≤180，.(a,b)=60, (2)c=lalcos(a,b)3b. 14.解：)当X=号时，D正=号D心.即E为DC的中点， 因为FN,B三点共线， ea+b)-号b.a+b)-号ab+号6-4+6=10 设FN=FB, 9.BCD解析：对于A,F店-FD-D-EA,A错误：对于B, 剥AN=A示+F=AF+FB=A示+(AB-A示) ∠FAD=60°，则AD.AF=AD1×AF×cos60°=AFP, =-AF+店=1号A+。 B正确：对于C心在A店上的教影向量为而·sr店 因为A,N,E三点共线， IABI 设AN=AE,则AN=AE=4(AD+D正)=：(AD+ AB,C正确：对于D,易得△ACE为等边三角形，设六边形 ABCDEF中点为O.CE中点为H(图客)，剥A0=号Ai )=市+号。 又AD、AB不共线， 号A心A时=号A正+AC),所以AC+A正=2AD,D正确。 (1-t I= 10.B解析：①A店-AC-C店，故①错误：②AB+BC+C 根据平面向量基本定理得 1 2解得 0,故②正确： u= ③(AB+AC)·(AB-AC)=AB-AC:=0,则1AB1= 所以A不N=号A店+号A心，又AN=A店十yAD. AC1,△ABC为等腰三角形，故③正确： ①若AC·AB>0,只能说明△ABC中，角A是锐角，不能说 x5 明其它角的情况，所以不能判断△ABC为锐角三角形，放④ 2 y=5 错误。 1.片解折：因为c方b在知方向上的投影向量，e=a, (2)因为B正=B+AD+D元=-A店+AD+AD元 所以c=后日=0又ab=营且a=2o1… (-1)AB+AD. 所以A=1b=ab_21:6·定1 F屁-FD+D=号A0+D-A店+2AD, la 46 4” 所以B证，F花=[a-1DA店+A向·(aA店+AD) 12. 解析：：非零向量a,b满足b=23al,且a⊥(3a十 =a-)A+2A市+（受-2）店，A b), 设a与b的夹角为0,0∈[0，r], =a-0x+2×6+(受A-2)×4x6x号 则a·(3a+b)=3a+a·b=3a+a·23a·cos0 =16(a-A)+18+18入-6=16x°+2以+12， =0,解得cos0=- 2 图方A[-1小，所以当=6市时，应，成取 5 .0=6 得最个售，里最小堂为兴 4 达标演练六向量的数量积（二） 所以2a+b-c2=4a2+b2+c2+4a·b-4a·c-2b·c, =4+4+9+4×1×2×c0s120°-4×1×3×c0s120°-2× 1.B 2.D 3.D 4.B 5.BCD 2×3×c0%120°=25， 号解析：设0与6的夫角为0.(a+b)b=ab十6：b 所以I2a+b-c=5. 1a|×bcos0+lb×1b1=21b1×1bcos0+1b1×1b|=0, 12.(-m,-2U(-2.号) 解析：因为a与b的夹角为锐角， cos0=-号又0e[0小放0-积 所以a·b=la·bcos(a,b〉>0. 1.-号解折：知图，因为0=0成+心，故0i=0亦+0 又国有e0:=1X1Xos120=-名 则a·b=(e1-2e)·(e1十ke:)=e+(k-2)e1·e +21Oi1·0C1·os∠B0C,解得cos∠B0C=-2,又 2he=1-号k-2)-2k>0. ∠B0C∈0,1.最∠BOC-行哉△0AB,△0AC均为边长 解得及<号 为1的正三角形，所以AB,AC-1X1Xc0s2=- 3 -2 当a∥b时，a=ab,即e1一2e:=入(e1+ke:)=Ae,+kae: 一2-6a·解得信=1 2=1 ”k=-2 综上所述：实数k的取值范图是(-©，-2U(-2,号)， 13.解：由厕意得：e|=e=1,设e1,e:的夹角为0∈[0，x], 从两e·e:los0=子解得：0=号：由于b:e=b·e 8.解：(1)：a=1,1b=2, =1,所以b|≠0且b·(e1-e,)=0,pb⊥(e1-ea),由于 由(2a+b)·(4a-3b)=-6得， le,=le:=1,故b与e1e:的夹角均为30°， 8a-2a·b-3b=-6,解得a·b=1. 设a,b的夹角为0， 所以b1·1e1cos30=1,即61-2y3 3 w0-8治-k2名 11 14.解：(1)：a-2b与a+4b垂直， ∴.(a-2b)·(a+4b)=0, :0<0≤∴0=3 ∴.a2+2a·b-8b°=0. 即a+2a·b-8b2=0. (2)2a-b1=√(2a-b) =√/4a+b-4a·b 1a=3.b1=1,∴.9+6cos0-8=0.cos0=-6 =√4X1+4-4XI =2. 6,.tan 0=sin 0 0e[0,]∴sin0=,. =-√35. 9.B解析：由已知可得a·(a-2b)=0,即a2-2a·b=|a2 -21a|1 blcos60°=0. (2)当0=吾时，ab=a1·b1os0=1X3x5=35】 2=2 所以lal=|b1. 所以a+2b-√aP+4ab1×g+41b=7a, 所以1a+b:=ra+2a…b+6=9r2+2x3y5+1= 2 9x+3v3x+1, a-b=√a-2alb1×2+b1P=al 当x=- 时，a+b的最小值为 33_3 所以告-0-元 18 此时a·(xa+b)=xa2+a·b=x|a|+a·b=9X 10,ABD解析：对于A,因为a十b1=a一bl, 所以a+2a·b+b2-a2-2a·b+b2,则a·b=0. (-）+a5-0… 即a⊥b,故A正确； a与xa十b垂直. 对于B,因为a·b=al1b|,且设向量夹角为0， 所以ablcos0=ab, 达标演练七平面向量基本定理 则|cos0=1,即0=0或π，即a与b共线，故B正确： 1.B2.D3.D4.A5.BC 对于C,因为a·b=a·c,所以a·(b一c)=0,则b=c或 a⊥(b-c),故C错误： 6号 解析：由已知得： 对于D,图为a(b·c)=c(a·b),当b·c=0时，a·b=0, 即ac, c市-C+Ad-c+号a-C+号C店-C 当b·c≠0时，由共线向量定理可得ae,故D正确. 11,5解析：由题知三个不共线的平面向量两两夹角相等，可得 ci+号成， 任意两向量的夹角是120°， 1 因为|a=1,1b|=2,c1=3, ·5·