8.4.2公式法（第2课时分组分解法分解因式）（教学课件）数学新教材沪科版七年级下册

8.4.2公式法 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 第8章 整式乘法与因式分解 第2课时 分组分解法分解因式 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.理解并掌握运用分组分解法分解因式的一般步骤 (重点) 2.能熟练运用分组分解法进行因式分解并解决问题(难点) 情景导入 例 把下列各式分解因式： 想一想，该如何将例题中的式子因式分解？ 【分析】在（1）式中，把第一、二项作为一组，可以用平方差公式分解因式，其中一个因式是（x+y）；把第三、四项作为另一组，在提取公因式 a 后，另一个因式也是（x+y）. 解 【分析】在（2）式中，把第前三项作为一组，它是一个完全平方式(a+b)2;把第四项-c2作为另一组，那么(a+b)2 -c2是平方差形式的多项式，可再次利用公式分解因式. 解 因式分解有时需先分组，分组后利用提取公因式或运用公式进行分解. 归纳小结 新知探究 你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？ 完全平方公式 x2 + 4x + 4 －1 4－1 平方差公式 你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？ 方法一 x2 + 4x + 3 = (x2 + 4x + 4)－1 = (x + 2)2－1 = (x + 2 + 1)(x + 2－1) = (x + 3)(x + 1) 你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？ 拆分成 3x + x x2 + 3x + x + 3 提取公因式 你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？ 方法二 x2 + 4x + 3 = x2 + 3x + x + 3 = x(x + 3) + (x + 3) = (x + 3)(x + 1) 还有其他方法吗？ 多项式乘法法则： (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab 由等式性质可得： x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) (1 + 3)x (1×3) 你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？ 你会把 x2 + 4x + 3 分解因式吗？ 方法三 x2 + 4x + 3 = x2 + (1 + 3)x + 1×3 = (x + 3)(x + 1) 例题讲解 例 把下列各式分解因式 . (1) ad+bd－ax－ay－bx－by； 解：原式=( ad － ax － ay) +( bd － bx － by) =a( d － x － y) +b( d － x － y) =( a+b)( d － x － y) . 解题秘方：分组一般应遵循分组后能运用公式法继续分解，或分组后可提公因式分解因式的原则，因而在分组时可进行适当尝试，直到找出解题思路为止 . 解：原式 =1－(4x2－4xy+y2) =1－(2x－y) 2 =(1+2x－y)(1－2x+y) . (2)4xy+1－4x2－y2. 课堂练习 1. 把下列各式分解因式： （1）4a2－b2 + 4a－2b； （2）x2－2xy + y2－1； 解（1）4a2－b2 + 4a－2b = (4a2－b2) + (4a－2b) = (2a + b)(2a－b) + 2(2a－b) = (2a－b)(2a + b + 2) 1. 把下列各式分解因式： （1）4a2－b2 + 4a－2b； （2）x2－2xy + y2－1； （2）x2－2xy + y2－1 = (x－y)2－12 = (x－y + 1)(x－y－1) （3）9x2 + 6x + 2y－y2 . 1. 把下列各式分解因式： 9x2 + 6x + 2y－y2 = (9x2 －y2) + (6x + 2y) = (3x + y)(3x－y) + 2(3x + y) = (3x + y)(3x－y + 2) （1）x2 － 6x + 8； （2）x2 + 3x －10 . 2. 把下列各式分解因式： 解（1）x2 － 6x + 8 = x2 － (2+4)x + 2×4 = (x－ 2)(x－ 4) （2）x2 + 3x －10 = x2 + [5 + (－2)]x + 5×(－2) （1）x2 － 6x + 8； （2）x2 + 3x －10 . 2. 把下列各式分解因式： = (x + 5)(x－2) 分层练习 基础题 1. [2024阳泉一模] 如图，小明在学习因式分解时，从不同角 度分别表示大矩形的面积，再根据面积相等将多项式 因式分解成 ，这种方法体 现的数学思想是( ) A A. 数形结合 B. 分类讨论 C. 公理化 D. 由一般到特殊 2. 因式分解 的值为( ) B A. B. C. D. 3. 已知有一个因式是 ，则把它分解因式后的结果 是( ) A A. B. C. D. 【点拨】 .含有因式 ，符合题意. 25 4. 若，为有理数，且 ，则 ( ) D A. 8 B. 4 C. D. 【点拨】因为，所以， ，所以 .所以 . 5. [2024阜阳期末] 多项式 因式分解的结果是( ) B A. B. C. D. 26 6. [2024六安月考] 因式分解，甲看错了 的值，分解的结 果是，乙看错了 的值，分解的结果为， 那么 分解因式正确的结果为( ) C A. B. C. D. 27 7.【阅读材料】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等， 但有的多项式不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式 .这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法. 仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组，把它的后 两项结合为一组，对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式， 提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解.具体过程如下： 28 (1)下列关于上述方法中“分组”目的的说法正确的是________. (填序号) ①分组后组内能出现公因式； ②分组后组内能运用公式； ③分组后组间能继续分解. 例： 分成两组 分别分解 .提取公因式完成分解 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫作分组分解法. 分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组， 分组要有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解. 29 8.一般的分组分解法有“”分法、“”分法、“ ” 分法及“ ”分法等.如： . 根据以上方法，对下列各式进行因式分解： 30 (1) ； 解： . (2) ； 解： . 31 (3) . 解： . 32 综合应用题 9. [2024安庆期末] 已知多项式 分解因式为 ，其中，，为整数，则 的取值有( ) B A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 无数个 【点拨】当时， ； 当时，；当 时， ；当时， .所 以 的取值有4个. 10. 已知，，是正整数， ，且， 则 ( ) B A. B. 1或11 C. D. 或 【点拨】 ， ， ， ， 因为，所以.又因为，， 是正整数， 所以或11，此时 或1. 34 11. 已知实数，，，满足 ，， 则 ( ) A A. 48 B. 36 C. 96 D. 无法计算 【点拨】因为 ，所以 .因为 ，所以 . 35 又因为，所以 . 所以 . 12.三角形的三边,,满足 ，判断 三角形 的形状. 【解】由 ，得 ， 所以，所以 . 所以或，即或 . 所以三角形 是等腰三角形. 37 13. 材料1：将一个形如 的二次三 项式因式分解时，如果能满足且 ，则可以 把因式分解成 . 例如： ； . 材料2：分解因式： . 38 解：将“”看成一个整体，令 ，则原式 ，再将“ ”还原，得原式 . 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，“整体思想”和“换元 思想”是数学解题中常见的两种思想方法.结合材料1和材料2， 完成下面的小题： （1）分解因式： ； 【解】令 ， 则原式 ， 所以原式 . （2）分解因式： . 令 ， 则原式 ， 所以原式 . 40 创新拓展题 14.材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解 的方法是分组分解法. 例如： . 请根据上述材料回答下列问题: （1）分解因式： ； 【解】 . （2）若，都是正整数且满足 ， 求 的值； 【解】由 ，得 ， ， . 因为，所以.又因为， 都是正整数，所 以易得，，解得， .所以 . 42 （3）若，为实数且满足 ， ，求 的最小值. 【解】由，得 ， 所以 . 因为，，所以.所以 的最小值为6. 43 习题 1. 把下列各式分解因式： （1）ax－ay + az； （2）6a2b－15ab2 + 30a2b2； 解（1）ax－ay + az = a(x－y + z) （2）6a2b－15ab2 + 30a2b2 = 3ab(2a－5b + 10ab) （3）10a(x－y)2 － 5b(y－x)； （3）10a(x－y)2 － 5b(y－x) = 10a(y－x)2 － 5b(y－x) = 5(y－x) [2a(y－x)－ b] = 5(y－x)(2ay－2ax－ b) 或 10a(x－y)2 － 5b(y－x) = 10a(x－y)2 + 5b(x－y) = 5(x－y) [2a(x－y) + b] = 5(x－y)(2ax－2ay + b) （4）x(a－x)(a－y) － y(x－a)(y－a) . （4）x(a－x)(a－y) － y(x－a)(y－a) = x(a－x)(a－y) － y(a－x)(a－y) = (a－x)(a－y)(x－ y) （4）x(a－x)(a－y) － y(x－a)(y－a) . 或 x(a－x)(a－y) － y(x－a)(y－a) = x(x－a)(y－a) － y(x－a)(y－a) = (x－a)(y－a)(x－ y) 2. 简便运算： （1）3.14×7.5 + 3.14×2.5； （2）4.298×3.256 － 3.256×3.298； 解（1）3.14×7.5 + 3.14×2.5 = 3.14×(7.5 + 2.5) = 31.4 2. 简便运算： （1）3.14×7.5 + 3.14×2.5； （2）4.298×3.256 － 3.256×3.298； （2）4.298×3.256 － 3.256×3.298 = 3.256×(4.298 － 3.298) = 3.256×1 = 3.256 （3）10042 － 9962； （4）652 + 2×35×65 + 352 . （3）10042 － 9962 = (1004 + 996)(1004 － 996) = 2000 × 8 = 16000 （3）10042 － 9962； （4）652 + 2×35×65 + 352 . （4）652 + 2×35×65 + 352 = (65 + 35)2 = 1002 = 10000 3. 把下列各式分解因式： （1）x2－6ax + 9a2； （2）4x2－100； 解（1）x2－6ax + 9a2 = x2－6ax + (3a)2 = (x－ 3a)2 （2）4x2－100 = (2x)2－102 = (2x + 10)(2x－10) = 4(x + 5)(x－5) 3. 把下列各式分解因式： （3）25m2－80m + 64； （4）0.49x2－144y2 . （3）25m2－80m + 64 = (5m)2－80m + 82 = (5m－8)2 （4）0.49x2－144y2 = (0.7x)2－(12y)2 = (0.7x + 12y) (0.7x－12y) 4. 把下列各式分解因式： （1）y4－y2； （2）3ax2－3ay2 ； 解 （1）y4－y2 = y2 · y2－y2 = y2(y2－1) = y2(y + 1)(y－1) （2）3ax2－3ay2 = 3a(x2－y2) = 3a(x + y) (x－y) （3）4x3－8x2 + 4x； （4）a2－2a(b + c) + (b + c)2 . 4. 把下列各式分解因式： （3）4x3－8x2 + 4x = 4x(x2－2x + 1) = 4x(x－ 1)2 （4）a2－2a(b + c) + (b + c)2 = a2－2a(b + c) + (b + c)2 = [a－(b + c)]2 = (a－b － c)2 5. 如图，某串联电路中电流 I（单位：A）、电阻 R1，R2，R3（单位：Ω）与电压 U（单位：V）有下列关系：U = IR1 + IR2 + IR3. 当 R1 = 21.3 Ω，R2 = 42.5 Ω，R3 = 16.2 Ω，I = 1.25 A 时，求 U. 解：U = IR1 + IR2 + IR3 = I(R1 + R2 + R3) = 1.25×(21.3 + 42.5 + 16.2) = 100（V） 6. 若 n 为整数，那么 n2－n 一定是偶数. 为什么？ n2－n = n(n－1) 若 n 为偶数，则 n－1 是奇数 n(n－1) 为偶数 若 n 为奇数，则 n－1 是偶数 n(n－1) 为偶数 分组法因式分解 公式 平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b) 步骤 一分：先分组； 二提：公因式； 三套：公式； 四查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2 课堂小结 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 感谢聆听 $$