专题03 图形与坐标（考题猜想，10大题型）八年级数学下学期新教材湘教版

专题03 图形与坐标（10大题型） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 · 题型二 求点到坐标轴的距离（高频） · 题型三 判断点所在的象限 · 题型四 已知点所在的象限求参数 · 题型五 点坐标规律探索 · 题型六 实际问题中用坐标表示位置 · 题型七 由平移的方式确定点的坐标（易错） · 题型八 已知图形的平移，求点的坐标（易错） · 题型九 平移综合题（难点） · 题型十 坐标与图形的变化——轴对称（重点） 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，已知，且点，点，则点的坐标为 ． 2．点P在坐标平面内位置如图所示，则点P的坐标为 ． 题型二 求点到坐标轴的距离 3．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）已知点在第二象限，且到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 5．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为 ． 6．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）已知点，则P点到x轴距离是 ． 题型三 判断点所在的象限 7．（23-24八年级下·湖南永州·期中）点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（23-24八年级下·湖南郴州·期中）下列是第三象限的点坐标的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）点所在象限为第 象限． 题型四 己知点所在的象限求参数 10．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，若点在x轴上．则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）点在第四象限内，则a的取值范围是 ． 12．（23-24七年级下·湖南湘西·期中）若点是y轴上的点，则点A的坐标为 ． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P在第二象限，求m的取值范围． 题型五 点坐标规律探索 14．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置，…，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2024次相遇地点的坐标为（     ） A． B． C． D． 16．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点在轴上，，，，，把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在图形“凹”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点按如图所示的方式运动，从点开始第一次跳动至点，第二次跳动至，第三次跳动至，第四次跳动至，…，则第次跳动到达的点的坐标为 ． 题型六 实际问题中用坐标表示位置 18．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图所示为做课间操时，小明、小德和小红三人的相对位置，如果用表示小明的位置，表示小德的位置，那么小红的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“炮”所在位置的坐标为，则“車”所在位置的坐标为（　　） A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·湖南永州·期中）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，如果在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”所在位置的坐标为，“马”所在位置的坐标为，那么“帅”所在位置的坐标为 ． 21．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）浏阳素有“将军故里，红色小城”的美誉，下图是市内三个知名的红色景点，现将其放在适当的平面直角坐标系中，使得寻淮洲故居的坐标为，革命烈士陵园的坐标为，则李志民故居的坐标为 ． 题型七 由平移的方式确定点的坐标 22．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，若将点A向左平移3个单位长度后刚好落在y轴上，则m的值为 ． 23．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）将点向右平移个单位长度到点，且点在轴上，那么点的坐标是 ． 24．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，若将点向左平移3个单位长度后刚好落在轴上，则的值为 ． 25．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）将点向上平移2个单位得到点，则点的坐标是 ． 题型八 己知图形的平移，求点的坐标 26．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，一个方格的边长代表1个单位长度，其中C点坐标为． (1)写出点A、B的坐标： ， ． (2)若三角形向左平移2个单位，恰好得到，试在该平面直角坐标系中画出． 27．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）如图所示的平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，． (1)如果将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形，画出三角形并写出的坐标和的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 28．（23-24七年级下·湖南湘西·期中）如图所示的平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标依次为． (1)求出三角形的面积； (2)将三角形先向下平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度得到三角形，请在图中画出三角形 (3)在三角形ABC内有一点，则它在三角形内的对应点，的坐标是 ． 29．（22-23八年级下·湖南永州·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．    (1)平移，使点平移到对应点，画出； (2)求的面积． 题型九 平移综合题 30．（22-23七年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶华益点”（其中为常数，且）．例如：点的“2阶华益点”为点，即点2的坐标为． (1)若点的坐标为，求它的“3阶华益点”的坐标； (2)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，点的“阶华益点”位于坐标轴上，求点的坐标． (3)已知、，在第一象限内是否存在横、纵坐标均为整数的点，它的“阶华益点（为正整数）”使得四边形的面积为6？如果存在，请求出的值和点坐标；如果不存在，请说明理由． 31．（22-23七年级下·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B坐标分别为、，且a，b满足：，现同时将点A，B分别向下平移4个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接．    (1)求C，D两点的坐标及四边形的面积； (2)点P是线段上的一个动点，连接，当点P在上移动时（不与B，D重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点M在y轴上，且点D在的外部，连接，若的面积与四边形的面积相等，求点M的坐标． 32．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）“2024全球领导者大会”于10月在上海黄浦区举行．大会围绕能源与双碳、绿色金融、可持续发展、科技与公益等前沿议题，推动全球合作、发展与共赢．我们规定，在平面直角坐标系中，对于点作如下“可持续发展”变换：若，则作它关于x轴的对称点；若，则作它关于y轴的对称点．点作第一次“可持续发展”变换得到点，再将点作第二次“可持续发展”变换得到点．若与重合，我们称点为“可持续发展点”；若与不重合，我们称点为“合作共赢点”． (1)将点作如上“可持续发展”变换，则点的坐标为_______，点的坐标为________，由此，点为“_______点”（填“可持续发展”或“合作共赢”）； (2)若点为第三象限中的一点，求证：必为“合作共赢点”，且； (3)若点为第三象限中的一点，且，，若t为实数，，当时，求出t的值和的坐标． 题型十 坐标与图形的变化——轴对称 33．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）圆周率是精确计算圆周长、圆面积、球体积的关键值．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若第一笔画上有一点，其坐标为，则经过第2025次变换后所得的点坐标是（   ） A． B． C． D． 34．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）已知点与点关于轴对称，则 ． 35．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于y轴对称的； (2)请直接写出点的坐标； (3)请求出的面积． $$专题03 图形与坐标（10大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 · 题型二 求点到坐标轴的距离（高频） · 题型三 判断点所在的象限 · 题型四 已知点所在的象限求参数 · 题型五 点坐标规律探索 · 题型六 实际问题中用坐标表示位置 · 题型七 由平移的方式确定点的坐标（易错） · 题型八 已知图形的平移，求点的坐标（易错） · 题型九 平移综合题（难点） · 题型十 坐标与图形的变化——轴对称（重点） 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，已知，且点，点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，坐标与图形的性质，先根据点、的坐标求出、的长度，然后根据全等三角形对应边相等的性质求出、的长度，再根据点在第二象限写出点的坐标即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵点在第二象限， ∴点的坐标是． 故答案为：． 2．点P在坐标平面内位置如图所示，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是坐标与图形，根据点的位置写出点的坐标即可． 【详解】解：根据点的位置可得：， 故答案为： 题型二 求点到坐标轴的距离 3．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）已知点在第二象限，且到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查象限及点的坐标的有关性质，熟知点的象限符号及点到坐标轴的距离定义是解答的关键．根据第二象限内点的特点及点到坐标轴的距离定义，即可判断点P坐标． 【详解】解：∵在第二象限内点的特征为， ∴只能从C，D中选， ∵到x轴的距离是，到y轴的距离是， ∴，， ∴点P的坐标为． 故选：D． 4．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴，故选项A错误； ∵点为“整点”， ， ∴整数a为，，0，1， ∴点P的个数为4个，故选项B错误； ∴“整点”P为，，，， ∵，，， ∴“超整点”P为，故选项C正确； ∵点为“超整点”， ∴点P坐标为， ∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误， 故选：C． 5．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，可得答案． 【详解】解：点到x轴的距离为， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）已知点，则P点到x轴距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，掌握到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值是解题的关键． 【详解】解：点到x轴的距离是， 故答案为：2． 题型三 判断点所在的象限 7．（23-24八年级下·湖南永州·期中）点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握平面直角坐标系中各象限点的坐标特点是解题的关键．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据点A的坐标特征可确定A点位置． 【详解】解：∵，， ∴点在第二象限， 故选：B． 8．（23-24八年级下·湖南郴州·期中）下列是第三象限的点坐标的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点所在的象限等知识，根据平面直角坐标系各象限的点的坐标特点逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 点在第二象限，不合题意； B. 点在第四象限，不合题意； C. 点在第一象限，不合题意； D. 点在第三象限，符合题意． 故选：D 9．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）点所在象限为第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了判断点所在的象限；根据点在四个象限内的坐标特点解答即可． 【详解】解：点的横坐标为正，纵坐标为负， 点所在象限为第四象限． 故答案为：四． 题型四 己知点所在的象限求参数 10．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，若点在x轴上．则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，根据点在x轴上，则，解出，再代入中，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵点在x轴上 ∴ ∴ 则 点A的坐标为 故选：C． 11．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）点在第四象限内，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以的取值范围是． 故答案为：． 12．（23-24七年级下·湖南湘西·期中）若点是y轴上的点，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标轴上的点的坐标特征，掌握y轴上的点的横坐标为0是解答本题的关键． 根据y轴上的点的横坐标为0可得关于a的方程，再解方程可得a的值，再代入即可解答． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴，解得：． 将代入可得． 故答案为． 13．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）已知点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P在第二象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． （1）根据点在x轴上，纵坐标为解题即可； （2）根据点在第二象限，即满足，解不等式组即可解题． 【详解】（1）∵点P在x轴上， ∴，   解得：， ∴若点P在x轴上，则m的值为； （2）∵点P在第二象限， ∴                                       解得：，      ∴当m满足时，点P在第二象限． 题型五 点坐标规律探索 14．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置，…，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点随滚动次数的变化规律．列举几次滚动后的点坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出第2023次滚动后顶点的坐标． 【详解】解：第1次滚动点的坐标为， 第2次滚动点的坐标为， 第3次滚动点的坐标为， 第4次滚动点的坐标为， 第5次滚动点的坐标为， …， 每滚动4次一个循环， ，，，， ， ， 即， 故选：B． 15．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2024次相遇地点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，O为正六边形的中心，可得，连接OB，作于点G，可得，，可得，，根据题意可得，P，Q第一次相遇地点的坐标在点，以此类推：第二次相遇地点在点，第三次相遇地点在点，…如此循环下去，即可求出第次相遇地点的坐标． 【详解】解： ，O为正六边形的中心， ， 连接，作于点G，    则，， ， ， 正六边形的边长为1， 正六边形的周长等于6， 又点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度， 第1次相遇需要的时间为：（秒）， 此时点P的路程为，点Q的路程为， 此时P，Q相遇地点的坐标在点， 以此类推：第二次相遇地点在点， 第三次相遇地点在点， …如此下去， ， 第2024次相遇地点在点E，E的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形的性质，勾股定理，平面直角坐标系中坐标的规律探究及等边三角形的性质，熟练掌握正六边形的性质找到坐标的运动规律是解题的关键． 16．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点在轴上，，，，，把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在图形“凹”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的运动规律，根据题意，求出“凹”图形一圈长度，进而得到，即从出发，经过，从而确定细线另一端所在位置的点在中点位置，数形结合即可得到坐标，熟记图形与坐标相关知识是解决问题的关键． 【详解】解：由题意，结合，，，， ，，， 图形“凹”的边长为， 综上所述，也就是说图形“凹”一圈是个单位长度， ，即从出发，经过，从而确定细线另一端所在位置的点在中点位置， 细线另一端所在位置的点的坐标为， 故选：A． 17．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点按如图所示的方式运动，从点开始第一次跳动至点，第二次跳动至，第三次跳动至，第四次跳动至，…，则第次跳动到达的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导规律是解题的关键． 由题意知，动点经过4次跳动为一个循环，即第次跳动到达，由，可知在第次循环时，的坐标和下标序号的关系与点相同，由题意知，，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，动点经过4次跳动为一个循环， ∴第次跳动到达， ∵， ∴在第次循环时，的坐标和下标序号的关系与点相同， 由题意知，， ∴， 故答案为：． 题型六 实际问题中用坐标表示位置 18．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图所示为做课间操时，小明、小德和小红三人的相对位置，如果用表示小明的位置，表示小德的位置，那么小红的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用坐标表示位置，解题的关键是找到坐标原点的位置以建立直角坐标系，除了观察小明位置以确定原点外，也可以观察小德的位置，建好后用另一个已知点坐标验证坐标系是否正确，再确定小红位置即可． 【详解】解：根据小明位置为，在图中建立平面直角坐标系，如图所示： 由图可知，小红位置可表示为. 故选：C． 19．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“炮”所在位置的坐标为，则“車”所在位置的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键在于根据已知条件确定原点．根据已知条件，确定平面直角坐标系原点，最后即可求出答案． 【详解】解：如图，“炮”所在位置的坐标为，建立坐标系如下： ∴“車”所在位置的坐标为， 故选：D． 20．（23-24八年级下·湖南永州·期中）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，如果在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”所在位置的坐标为，“马”所在位置的坐标为，那么“帅”所在位置的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键． 直接利用“马”位于点，“兵”所在位置的坐标为，得出原点的位置，进而得出答案． 【详解】解：如图所示：“马”位于点，“兵”所在位置的坐标为，“帅”所在位置的坐标为． 故答案为：． 21．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）浏阳素有“将军故里，红色小城”的美誉，下图是市内三个知名的红色景点，现将其放在适当的平面直角坐标系中，使得寻淮洲故居的坐标为，革命烈士陵园的坐标为，则李志民故居的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据寻淮洲故居和革命烈士陵园的坐标建立坐标系后即可得到答案． 【详解】解：根据题意可以建立如下坐标系， ∴李志民故居的坐标为， 故答案为： 题型七 由平移的方式确定点的坐标 22．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，若将点A向左平移3个单位长度后刚好落在y轴上，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查点坐标的平移以及轴点坐标的特征，掌握点坐标平移的性质以及y轴点坐标的特征是解题的关键．由平移得到变化后的坐标为，再结合横坐标为0，可得答案． 【详解】解：∵将点向左平移3个单位长度后，所得到的点的坐标为， 又∵平移后恰好落在y轴上， ∴， ∴． 故答案为：1． 23．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）将点向右平移个单位长度到点，且点在轴上，那么点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的平移及在y轴上点的特征，掌握点的平移规律及在y轴上点的特征是解题的关键．先根据平移方式表示出点Q的坐标，再根据y轴上点的特征解题即可． 【详解】解：由题意，得点Q的坐标为， ∵点Q恰好在y轴上 则， 解得， 故，， 点P的坐标为． 故答案为：． 24．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，若将点向左平移3个单位长度后刚好落在轴上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查点坐标的平移以及轴点坐标的特征，掌握点坐标平移的性质以及y轴点坐标的特征是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为，若将点向左平移3个单位长度后刚好落在轴上， ∴， 解得：， 故答案为：． 25．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）将点向上平移2个单位得到点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据平移规律求解即可． 【详解】解：将点向上平移2个单位得到点，则点的坐标是，即， 故答案为 题型八 己知图形的平移，求点的坐标 26．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，一个方格的边长代表1个单位长度，其中C点坐标为． (1)写出点A、B的坐标： ， ． (2)若三角形向左平移2个单位，恰好得到，试在该平面直角坐标系中画出． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查作图-平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （1）由图形可得点、的坐标； （2）将三个顶点分别向左平移2个单位长度得到其对应点，继而首尾连接即可； 【详解】（1）解：由图知，； （2）如图所示，即为所求． 27．（23-24七年级下·湖南郴州·期中）如图所示的平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，． (1)如果将三角形向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形，画出三角形并写出的坐标和的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)图形见解析；，； (2)11． 【分析】（1）先计算出平移坐标，再画图即可． （2）根据分割法计算面积计算即可． 本题考查了平移作图，四边形的面积计算，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】（1）根据，，，得到的三个顶点坐标分别为，画图如下： 则即为所求，且，． （2）根据题意，得四边形的面积是． 28．（23-24七年级下·湖南湘西·期中）如图所示的平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标依次为． (1)求出三角形的面积； (2)将三角形先向下平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度得到三角形，请在图中画出三角形 (3)在三角形ABC内有一点，则它在三角形内的对应点，的坐标是 ． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据方格纸及三角形的面积公式求解即可； （2）先根据平移方式确定点平移后的点，然后顺次连接即可解答； （3）根据图形上任何一点的平移方式与图形的平移方式相同即可解答． 【详解】（1）解：三角形的面积：． （2）解：如图：三角形即为所求． （3）解：∵三角形先向下平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度得到三角形， ∴在三角形ABC内有一点，则它在三角形内的对应点，的坐标是． 故答案为：． 29．（22-23八年级下·湖南永州·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．    (1)平移，使点平移到对应点，画出； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）先确定，，的坐标，由点与对应点的坐标变化，即可求出和的坐标，连接即可； （）利用图形面积和差即可求解． 【详解】（1）如图，点，，， ∵点， ∴横坐标，纵坐标， ∴，， 连接各点， ∴即为所求；    （2）利用面积和差：． 【点睛】此题考查了作图——平移变换，解题的关键是找出三角形关键点平移后的对应点． 题型九 平移综合题 30．（22-23七年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶华益点”（其中为常数，且）．例如：点的“2阶华益点”为点，即点2的坐标为． (1)若点的坐标为，求它的“3阶华益点”的坐标； (2)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，点的“阶华益点”位于坐标轴上，求点的坐标． (3)已知、，在第一象限内是否存在横、纵坐标均为整数的点，它的“阶华益点（为正整数）”使得四边形的面积为6？如果存在，请求出的值和点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的坐标为或 (3)存在，时，P的坐标为或，时，P的坐标为 【分析】（1）根据点是点的“阶华益点”求解即可； （2）根据点的“阶华益点”位于坐标轴上，构建方程求解； （3）的“阶华益点（为正整数）”的坐标为，根据四边形的面积为6，构建方程求解． 【详解】（1）解：由题可得：，， ∴点P的“3阶华益点”的坐标为． （2）解：∵点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到， ∴， ∴， ， ∴P1的“阶华益点”P2的坐标为， 又∵位于坐标轴上， ∴或， ∴或， ∴的坐标为或． （3）：设的“m阶华益点”的坐标为，过点作，分别交轴、轴于，，    ∵， ∴， 又∵， ∴根据三角形的等积变形原理得：， ∴斜边上的高为，斜边上的高为， 设等腰直角三角形的直角边为， ∴ ∴ 解之得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，，均为正整数， ∴①当，即时，， 则或， ∴， ②当，即时，， 则， ∴， 综上所述，时，P的坐标为或，时，P的坐标为． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 31．（22-23七年级下·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B坐标分别为、，且a，b满足：，现同时将点A，B分别向下平移4个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接．    (1)求C，D两点的坐标及四边形的面积； (2)点P是线段上的一个动点，连接，当点P在上移动时（不与B，D重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点M在y轴上，且点D在的外部，连接，若的面积与四边形的面积相等，求点M的坐标． 【答案】(1)；四边形的面积为20； (2)不变，，理由见解析； (3)． 【分析】（1）根据条件确定A，B坐标，根据平移得到C，D两点的坐标；由A，B，C，D坐标确定四边形底和高，即可求面积； （2）过点作的平行线，根据平行线的性质可得； （3）设M坐标为，根据，列出方程求出m的值，即可确定M点坐标． 【详解】（1）解： 将点A，B分别向下平移4个单位，向左平移1个单位 故答案为：，四边形的面积为20； （2）由（1）中、，可得； 如下图所示，过点作 ，不发生变化；    （3）如下图所示，过作交于点F，设点 即 解得：，； 故答案为：．      【点睛】本题考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系，平行线的性质及三角形、平行四边形的面积公式，关键是理解平移规律，作平行线将相关角进行转化． 32．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）“2024全球领导者大会”于10月在上海黄浦区举行．大会围绕能源与双碳、绿色金融、可持续发展、科技与公益等前沿议题，推动全球合作、发展与共赢．我们规定，在平面直角坐标系中，对于点作如下“可持续发展”变换：若，则作它关于x轴的对称点；若，则作它关于y轴的对称点．点作第一次“可持续发展”变换得到点，再将点作第二次“可持续发展”变换得到点．若与重合，我们称点为“可持续发展点”；若与不重合，我们称点为“合作共赢点”． (1)将点作如上“可持续发展”变换，则点的坐标为_______，点的坐标为________，由此，点为“_______点”（填“可持续发展”或“合作共赢”）； (2)若点为第三象限中的一点，求证：必为“合作共赢点”，且； (3)若点为第三象限中的一点，且，，若t为实数，，当时，求出t的值和的坐标． 【答案】(1)；；可持续发展 (2)证明见解析 (3)； 【分析】本题考查了坐标与图形变化，新定义问题和三角形的面积，深入理解“可持续发展”变换是解决问题的关键， （1）根据“可持续发展”变换的定义及“可持续发展点”的定义进行求解即可； （2）分为①当时，②当时，两种情况结合新定义求解即可； （3）先根据新定义求得，即的坐标为，再由，求得，即可求解． 【详解】（1）解：中，， 点作第一次“可持续发展”变换，即关于x轴的对称点， 中，， 点作第二次“可持续发展”变换，即关于x轴的对称点， 与重合， 为“可持续发展点”， 故答案为：；；可持续发展； （2）解：①当时，作点关于x轴的对称点， ∵， ∴， ∴作点关于y轴的对称点， ∴，且， ∴； ②当时，作点关于y轴的对称点； ∵， ∴， ∴作点关于x轴的对称点 ∴且， ∴， 综上所述，与不重合， ∴必为“合作共赢点”，且； （3）解：∵， ∴作点关于x轴的对称点， ∴， ∴， 又由（2）可知，， ∴， 求得， 即的坐标为， ∵， ∴， ∴． ∴，的坐标为． 题型十 坐标与图形的变化——轴对称 33．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）圆周率是精确计算圆周长、圆面积、球体积的关键值．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若第一笔画上有一点，其坐标为，则经过第2025次变换后所得的点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2025除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的圆周率所在的象限，然后解答即可． 【详解】解：∵点第一次关于轴对称后在第四象限， 点第二次关于轴对称后在第三象限， 点第三次关于轴对称后在第二象限， 点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置， ∴每四次对称为一个循环组依次循环， ∵， ∴经过第2025次变换后所得的点与第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为， 故选：C． 34．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）已知点与点关于轴对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握对称的特点是解题的关键． 根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出、的值，然后相加即可得解． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ，， ． 故答案为： 35．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于y轴对称的； (2)请直接写出点的坐标； (3)请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义与性质等知识点． （1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再顺次连接即可得； （2）根据图形分别写出各点坐标即可； （3）利用割补法求解可得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． 　　　 （2）解：； （3）解： ． $$