专题14 一次函数与平行四边形存在性问题全攻略-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题14 一次函数与平行四边形存在性问题全攻略 【例题精讲】 例1．（单动点）综合与探究 如图，已知直线与直线相交于点C，直线分别与x轴于点A，B． 2 (1)求的面积． (2)点是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线于点M，N．当时，求m的值． (3)过点B作x轴的垂线，交直线于点D，过点D作x轴的平行线，交直线于点E，是否存在一点F，使以F，E，D，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)36 (2)4或 (3)存在， 或或 【分析】本题主要考查一次函数，方程组，三角形的面积以及平行四边形的性质： （1）分别令直线的解析式中，求出x的值，从而得出点A、B的坐标，联立直线的解析式成方程组，解方程组即可求出交点C的坐标，利用三角形的面积公式即可求出的面积． （2）分两种情况分别用含有m的代数式表示出根据列出方程,求出m的值即可； （3）分别求出点的坐标，分为对角线, 为对角线，为对角线，分别讨论求解即可, 【详解】（1）解：令直线中，则， 解得，， ∴； 令直线中，则， 解得，， ∴, ∴． 联立直线的解析式成方程组，， 解得， ∴交点C的坐标为 ∴． （2）①当时，， ∴ ∴， ∵ ∴， 解得，； 当时， ∴ ∴ ∵ ∴， 解得，； 综上所述，m的值为4或； （3）解：∵，且轴，点D在上， ∴， ∴, 同理可得：， 又， 设 ①当为对角线，的交点重合，即对角线的交点， ∴的中点坐标为即，则有： 解得， 所以，点坐标为； ②当为对角线时， ∴的中点坐标为即，则有： 解得， 所以，点坐标为； ③当为对角线时， ∴的中点坐标为即，则有： 解得， 所以，点坐标为； 综上所述，存在这样的点坐标为或或 例2．（双动点）如图，在平面直角坐标中，点A的坐标为（4，0），直线AB⊥x轴，直线yx+3经过点B，与y轴交于点C． （1）填空：点B的坐标为　 　； （2）直线l经过点C，与直线AB交于点D，E是直线AB上一点，且∠ECD＝∠OCD，CE＝5，求直线l的解析式； （3）在（2）的条件下，点P在直线l上运动，点Q在直线OE上运动，若以P、Q、B、C为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）（4，2）；（2）或y=-2x+3；（3）P（2，2）或P（-2，4）或P（5，）或P（-1，5）或（1，1）或P（2，-1） 【分析】（1）根据点A的坐标结合AB⊥x轴可得出直线AB的解析式，进而可得出点B的横坐标，再结合一次函数图象上点的坐标特征即可得出点B的坐标； （2）令直线AD与x轴的交点为点M，根据平行线的性质可得出∠MDA=∠DCO，结合∠ECD=∠OCD即可得出CE=DE，设点E的坐标为（4，m），则点D的坐标为（4，m-5），根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，结合CE=5利用两点间的距离公式即可得出关于m的方程，解方程即可得出m的值，将其代入点D的坐标中可得出点D的坐标，再根据点C、D的坐标利用待定系数法即可求出直线l的解析式． （3）分点E的坐标为（4，6）和（4，0）两种情况，再分别CB为对角线、CQ为对角线、CP为对角线进行讨论； 【详解】解：（1）∵点A的坐标为（4，0），直线AB⊥x轴， ∴直线AB的解析式为x=4． 当x=4时，， ∴点B的坐标为（4，2）． （2）令直线AD与x轴的交点为点M，如图所示． ∵AB⊥x轴，CO⊥x轴， ∴AB//CO， ∴∠MDA=∠DCO． ∵∠MDA=∠CDE，∠OCD=∠ECD， ∴∠CDE=∠DCE， ∴DE=CE=5． 对于yx+3，当x=0时，y=3， ∴点C的坐标为（0，3）． 设点E的坐标为（4，m），则点D的坐标为（4，m-5）， ∵ ∴m1=6，m2=0， ∴点D的坐标为（4，1）或（4，-5）． 设直线l的解析式为y=kx+3， ∴1=4k+3或-5=4k+3， 解得：或k=-2， ∴直线l的解析式为：或y=-2x+3． （3）由（2）可知，点E的坐标为（4，6）或（4，0） 当点E的坐标为（4，6）时，B的坐标为（4，2），点C的坐标为（0，3） ∴OE的解析式为， 设P（a，），Q（b，）， ①当CB为对角线时，则CB与PQ互相平分， ∴；解得， ∴P（2，2）， ②当CQ为对角线时，则CQ与PB互相平分， ∴；解得， ∴P（-2，4）， ③当CP为对角线时，则CP与QB互相平分， ∴；解得， ∴P（5，）， 当点E的坐标为（4，0）时，B的坐标为（4，2），点C的坐标为（0，3） 设P（a，），Q（b，0）， ①当CB为对角线时，则CB与PQ互相平分， ∴；解得， ∴P（-1，5）， ②当CQ为对角线时，则CQ与PB互相平分， ∴；解得， ∴P（1，1）， ③当CP为对角线时，则CP与QB互相平分， ∴；解得， ∴P（2，-1）， 综上所述，P（2，2）或P（-2，4）或P（5，）或P（-1，5）或（1，1）或P（2，-1） 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，解题的关键注意分类讨论的数学思想． 例3．（运动时间）直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于与直线交于，过作轴于． (1)点坐标为 ；点坐标为 ． (2)求直线的函数解析式． (3)是线段上一动点，点从原点开始，每秒一个单位长度的速度向运动（与、不重合），过作轴的垂线，分别与直线、交于、，设的长为，点运动的时间为，求出与之间的函数关系式（写出自变量的取值范围） (4)在（）的条件下，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形（直接写出结果） 【答案】(1) ，； (2)； (3)； (4)的值为或． 【分析】()分别把代入，代入即可求解； ()利用待定系散法可求得直线的函数解析式； ()用可分别表示出的坐标，则可表示出与之间的关系式； ()由条件可知，利用平行四边形的性质可知，由()的关系式可得到关于的方程，解方程即可求得的值； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，平行四边形的性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 解得， 点， 过作轴于， 把代入中可得， ， 故答案为：，； （2）解：∵直线与轴相交于， 可设直线解析式为， 把点坐标代入中可得，， 解得， 直线的函数解析式为； （3）解：由题意可知， 把代入中可得， ， 把代入，可得， ， ∴， 点在线段上，且， ， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上可得，； （4）解：由题意可知，， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ， ， 解得或， 即当的值为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 变式1． 如图， 直线 分别与轴、轴交于、两点，与直线 交于点． (1)求直线和直线的解析式； (2)点是射线上一动点， 其横坐标为，过点作轴， 交直线于点， 若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求值； 【答案】(1)直线的解析式为，直线的解析式为 (2) 或 【分析】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质． （1）利用待定系数法确定函数关系式即可求解； （2）根据点的横坐标为，得，根据轴，得，求出，得出，再分当与当分别进行求解即可. 【详解】（1）解∶ 将点代入 中， 得∶， 解得∶， 直线为， 将点代入中， 得∶， 解得：， 直线为； （2）横坐标为， 则， 轴， 点在直线上， ， 直线 与轴交于点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ①当时，， 解得：， ②当时，， 解得：， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形时， 或 ． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线都经过轴上的点，分别交轴于，两点，已知，直线的解析式为．    (1)求直线的解析式； (2)在线段上存在一点，点到直线的距离为，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用三角形面积分割，，从而转化为方程，然后解方程即可求解； （3）利用平行四边形的性质①当为对角线时，，②当为对角线时， ，③当为对角线时，即可求解． 【详解】（1）∵直线交轴于点， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， （2）∵直线交轴于点， ∴当时，，即点， ∴， ∴， 设， ∵，点到直线的距离为， 即：， 解得：，， ∴点， （3）由(1)(2)可知：，，， 如图，设， ①当为对角线时，，， 解得：，， ∴点，    ①当为对角线时，，，解得：，，∴点， ②当为对角线时， ，， 解得：，，∴点， ③当为对角线时，，，解得：，，∴点， 综上可知： 【点睛】此题考查了一次函数的应用和平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数和平行四边形性质的应用． 变式3．如图①，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，直线，交轴于点，点位于点右侧的轴上，且，点在轴正半轴上，且，直线交于点．      (1)点的横坐标为______，当点在原点左侧时，______；（均用含的代数式表示） (2)当为等腰三角形时，求的值； (3)如图②，点是点关于直线的对称点，连接，，若四边形为平行四边形，求的值（直接写出答案） 【答案】(1)，； (2)1或或； (3)8 【分析】（1）利用点在轴上，其纵坐标为零，可表示出A点横坐标．先分别表示出A，两点的坐标，再用可得出的长度． （2）用分别表示出点A，，的坐标，再根据点在原点左侧和右侧两种情况以及等腰三角形进行分类讨论． （3）根据点和点关于直线对称，且四边形是平行四边形，可得出四边形是菱形，进而解决问题． 【详解】（1）将代入得，． 即点的横坐标为：所以． 同理可得，所以． 又点在A点右侧，且，所以． 所以． 故BE． 故答案为：；． （2）由（1）知：，． 当点在原点左侧时， 因为，且， 所以，即 当时，点就在垂直平分线上，显然不成立． 当时，则点需在点的上方，故，得，故此情况不存在． 当时，即． 又在中，且． 所以． 解得舍去，． 当点在原点右侧时， ，则． 故E 当时，点就在垂直平分线上，显然不成立． 当时，则点需在点的上方，故，得． 又在中，，且． 所以． 解得，舍去． 当时，即． 又在中，． ． 所以． 解得． 综上所述的值为：或或． （3）因为点和点关于直线对称，所以． 又四边形是平行四边形，所以四边形是菱形． 所以，则． 又，， 所以． 又，， 所以即平分． 又，，则点在轴上． 又由对称性可知， 所以则． 且． 在中， ， 解得舍去，． 所以的值为． 【点睛】本题是一道一次函数的综合题，同时考查了菱形的性质与判断、轴对称的性质以及勾股定理，解题的关键是数形结合思想的运用． 【课后训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于两点，同C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，点D恰好落在直线AB上，过点D作轴于点E． (1)求直线AB的函数表达式； (2)求证：； (3)点D的坐标为__________，的面积为_______； (4)在平面内是否存在点Q，使以B、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由﹒ 【答案】(1) (2)见解析 (3)，，； (4)或，或 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）根据可证明； （3）设，则，代入直线的解析式可求出的值，则求出点坐标，由三角形面积公式可得出答案； （4）分两种情形：当为平行四边形的边时，当为平行四边形的对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：设直线解析式为，把，代入上式得： ， 解得， 故直线的解析式为； （2）证明：， ，， ， 在与中， ， ； （3）解：， ， 设， 又， ， 点在直线上， 把代入上式得， ， 解得， ，， ，，， 的面积； 故答案为：，，； （4）解：，，，，， 存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边时，可得，，． 当为对角线时，可得． 综上所述，满足条件的点的坐标为或，或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征、三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 2．如图，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上， ，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作，交轴于点，交轴于点. （1）如图1，若为等腰直角三角形，求直线的函数解析式； （2）如图2，过点作交轴于点，若四边形是平行四边形，求直线的解析式. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)先求得点P点坐标（1，2），再代入解析式y=kx+b,即可得出答案. （2）作PM⊥AD于M,根据平行四边形性质求得点E和点P的坐标，再代入y=mx+n的解析式，即可得出答案. 【详解】解：（1）矩形,，， A（3，0）B(3,2) C(0,2) ∠B=90°，CO=AB=2 为等腰直角三角形 P（1，2） 设直线的函数解析式为，过点A,点P 解k=-1,b=3 故直线的函数解析式为 （2）作PM⊥AD于M BC∥OA ∠CPD=∠PDA=∠APB PD=PA,PM⊥AD DM=AM 四边形PAEF是平行四边形 PD=DE ∠PMD=∠DOE,∠ODE=∠PDM 三角形PMD和三角形ODE全等 OD=DM=MA OE=2,OM=2 E(0,2),P(2,2) 设直线PE的解析式为y=mx+n 解得m=2，n=-2 故直线PE的解析式为. 【点睛】本题考查函数解析式，解题关键在于求出点的坐标 3．如图，已知直线:与轴，轴的交点分别为点，，直线交于点． （1）求点的坐标及直线的解析式． （2）将沿边翻折，得到，过点作直线垂直轴于点，是轴上点，是直线上任意一点，，两点关于轴对称，当最大时，求点的坐标；并求的最小值． （3）若M是直线上一点，且，在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是否存在点，使得以，，，，四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 备用图 【答案】（1）（6，0），；（2）（3，），；（3）存在，（6，）或（0，）或（0，） 【分析】（1）首先求出已知直线与坐标轴的交点A和C的坐标，因为直线AC和BC垂直，所以 ，求得，即可求得点的坐标及直线的解析式； （2）当最大时，点在直线上，即可求出P点坐标，作，因为，所以，则F点在QH上时，的最小值，即可求得； （3）由    Q点坐标求得M点坐标，然后分类讨论以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，即可求得． 【详解】（1）由题意（，0），（0，）， ∵直线:，， ∴线的解析式为， 令，解得， ∴（6，0）. 故答案为：（6，0），. （2）∵关于边翻折，得到， ∴可得（3，）， 当最大时，点在直线上， 此时（3，）， ∵，关于轴对称， ∴（3，） 在中，∵， ∴， 如图，作于，交y轴于. 则， 根据重线段最短可知，的最小值为线段的长， 在中， ∵，， ∴ ∴的最小值为. 故答案为：（3，），. （3）由（2）可知：（0，）， ∵， ∴（3，）或（3，）， 当（3，）时，如图， 以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形， 可得满足条件的点坐标为（6，）或（0，）或（0，）， 当为（3，）时，同法可得满足条件的点坐标为（6，）或（0，）或（0，）． 【点睛】本题考查一次函数与几何结合的综合习题，掌握一次函数图像与性质和平行四边形的性质是解题的关键． 4．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，交轴于点，过点作垂直于轴的直线交于点，点在直线上且在直线的上方．      (1)求直线的解析式； (2)用含的代数式表示的面积； (3)当时，以、为边作平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把与坐标代入中求出与的值，确定出直线解析式即可； （2）由与的坐标表示出的长，三角形面积三角形面积三角形面积，表示即可； （3）根据平行四边形的对角线互相平分，由A、、三点坐标求出坐标即可． 【详解】（1）直线与轴交于点，交轴于点， 解得 直线的解析式为． （2）过点作垂直于轴的直线交于点 点横坐标为且在直线上 将代入直线解析式，得 点在直线上且在直线的上方 ． （3），，，且、为边作平行四边形， ，， 则． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，以及平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 5．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点，点到轴的距离为，直线交轴于点，． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，点为线段上一点，将沿折叠后，点恰好落在边上，求点坐标； (3)如图3，将绕点逆时针方向旋转，得到，使点与点对应，点与点对应，将沿着直线平移，点为直线上的动点，是否存在以、、、为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)点M的坐标为或或 【分析】（1）由题意求得点的坐标，由直角三角形的性质可求得点 的坐标，由待定系数法即可求得直线的解析式； （2）由直线的表达式可求得点的坐标，则由勾股定理逆定理可判定，易得，由折叠的性质及即可求得点的坐标； （3）先求点的坐标，得点所在直线解析式，设点、点的坐标，利用平行四边形的对角线互相平分性质、中点坐标公式及分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，点的纵坐标为，点在直线 上， 把代入得，， 解得， ∴，， ∵轴，，， ∴， ， 由勾股定理得, ∴， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴直线 的函数表达式为； （2）解：直线 的表达式为: ， 当 时，，则点 ， ， ，， ， ， ， 沿 折叠后,点 恰好落在 边上， ， ， ； 令 ，则 ， 根据 得：， 解得：， 故点 的坐标为 ； （3）解：由旋转性质知，，则， ∴关于轴对称，且与关于轴对称， ∴； ∵沿着直线平移， ∴点在平行于直线的直线（记为）上运动； 设解析式为，把点坐标代入得：， 得：， 即：； 当点在上运动时，设其坐标为；设； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得：， ∴， 则； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得：， ∴， 则； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得：， ∴， 则； 综上，点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，平行四边形的性质，平移、旋转及轴对称三大变换的性质，等腰三角形的判定，含30度直角三角形性质，勾股定理及逆定理等知识，涉及的知识点较多，综合性强，分类讨论． 6．在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且与直线交于点． (1)分别求出，，三点的坐标； (2)若是射线上的点，且的面积为12，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）把，分别代入直线，即可求出对应和的值，即得到、的坐标，解直线和直线的方程组即可求出坐标； （2）设，代入面积公式即可求出，即得到的坐标，设直线的函数表达式是，把，代入即可求出直线的函数表达式； （3）存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质分情况写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：直线，当时，，当 时，， ，， 联立方程组，解得， ， 综上所述，，，； （2）解：设， 的面积为12， ，解得：， ， 设直线的函数表达式是，把，代入得， 解得， ，即直线的函数表达式是； （3）解：存在点，分以下三种情况： ①以为对角线时， ，， 点即为点向上平移6个单位， ； ②以为对角线时， ，， 点即为点向下平移6个单位， ； ③以为对角线时， ，，，四边形是平行四边形， 的中点坐标为的中点坐标， ； 综上所述，符合条件的点坐标有或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，解二元一次方程组，平行四边形的性质，三角形的面积等知识点，解此题的关键是熟练地运用知识进行计算． 7．材料：在平面直角坐标系中，点，点G为线段的中点，则点G的坐标为 已知：如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与过点A的一次函数的图象交于点，点O为线段的中点． (1)求直线的函数表达式； (2)在直线上有一动点P，过P作轴，交于Q，若，求点Q的坐标； (3)若一次函数的图象为，且不能围成三角形，直接写出k的值； (4)在平面内有一点M，其纵坐标为5，直线上有一点N，若以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的N的坐标 【答案】(1) (2)或 (3)或或 (4)或或 【分析】（1）先求出的坐标，中点坐标公式求出点坐标，待定系数法求出直线的解析式； （2）根据，列出方程进行求解即可； （3）分过点或或，三种情况进行讨论求解即可； （4）分为对角线，为对角线和为对角线三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴，， ∵点O为线段的中点， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴直线的解析式为：． （2）设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （3）∵一次函数的图象为，且不能围成三角形， 则：交于一点或或， 当交于一点时，过点， ∴， ∴； 当时，则：， 当时，则：； 综上：或或； （4）当以为对角线时，则：， ∴， 当时，，解得：， ∴； 当以为对角线时，则：， ∴， 当时，，解得：， ∴； 当以为对角线时，则：， ∴， 当时，，解得：， ∴； 综上：或或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移，平行四边形的性质，掌握中点坐标公式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 8．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线相交于点D，其中，，． (1)求直线l的函数表达式； (2)如图2，点M为y轴上一动点，连接，求的最小值和此时点M的坐标； (3)如图3，在（2）问的条件下，将直线l沿射线的方向平移，使得平移后的直线经过点M．若点E为直线上一动点，F为平移后新直线上一动点，使以点O、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形，写出所有符合条件的点E的横坐标，并写出求解点E的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）先作点关于y轴的对称点，然后连接与y轴的交点即为，求解即可； （3）求出解析式，设点坐标为，设点坐标为，利用中点坐标公式求出点坐标即可． 【详解】（1）解：，， 根据图象可知，， 将，代入， 得， 解得， 直线函数表达式：． （2）解：作点关于y轴的对称点，连接，与y轴的交点即为， 此时，点的坐标为，的最小值为长， 所以，， 设的解析式为，把点，点坐标代入得， 解得， 直线函数表达式：， 当时，， 所以，点M的坐标为； （3）解：设直线的解析式为：， 代入，， 得， 解得， 直线的解析式：， 直线l沿射线的方向平移，使得平移后的直线经过点M，则平移后的解析式为； 设点坐标为，设点坐标为， 因为，点O的坐标为，点D的坐标为， 当为对角线时，， 解得，， 点E的横坐标为； 当为对角线时，， 解得，， 点E的横坐标为； 当为对角线时，， 解得，， 点E的横坐标为； 综上，点点E的横坐标为或或 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，灵活运用一次函数的性质，求线段和的最小值的方法，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键，难度较大． 9．如图①，平面直角坐标系中，为原点，点A坐标为，轴，点在轴上，一次函数的图象经过点、．    (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)如图②，直线经过点，且与直线交于点，与关于直线对称，连接并延长，交射线于点，当时，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点在直线上运动，点在直线上运动，以、、、为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)可以形成平行四边形，点P的坐标为，或． 【分析】（1）设点C的坐标为，代入中，得，即求出点C的坐标；设点B的坐标为，同法求得，得出点B坐标； （2）如图，过点D作轴于点，由轴及轴对称可推出，从而，运用勾股定理求得长度，进一步求得，于是得点M的坐标，运用待定系数求得直线l的解析式； （3）可以形成平行四边形．可求点，待定系数法确定直线的解析式为，设点， ，分情况讨论：①当，为对角线时,②当，为对角线时,③，为对角线时,由平行四边形对角线互相平分、四个顶点坐标建立方程组求解． 【详解】（1）解：如图，设点C的坐标为， 代入中，解得， ∴ 设点B的坐标为，代入中，得解得， ∴ （2）解：如图，过点D作轴于点， 在中， ∴    ∵轴 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点 设直线l的解析式为，则 解得 ∴直线l的解析式为． （3）解：可以形成平行四边形． 如图， ∴点 设直线的解析式为，则，解得 ∴直线的解析式为 设点， ，分情况讨论： ①当，为对角线时,由平行四边形对角线互相平分,得 ,解得， ∴点．    ②当，为对角线时,由平行四边形对角线互相平分,得 ,解得,   ∴．    ③，为对角线时,由平行四边形对角线互相平分,得 解得, ∴．      综上，点P的坐标为，或． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，勾股定理，平行线的性质，轴对称性质，平行四边形的性质；根据平行四边形的性质得到等量关系从而构建方程组是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 一次函数与平行四边形存在性问题全攻略 【例题精讲】 例1．（单动点）综合与探究 如图，已知直线与直线相交于点C，直线分别与x轴于点A，B． 2 (1)求的面积． (2)点是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线于点M，N．当时，求m的值． (3)过点B作x轴的垂线，交直线于点D，过点D作x轴的平行线，交直线于点E，是否存在一点F，使以F，E，D，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（双动点）如图，在平面直角坐标中，点A的坐标为（4，0），直线AB⊥x轴，直线yx+3经过点B，与y轴交于点C． （1）填空：点B的坐标为　 　； （2）直线l经过点C，与直线AB交于点D，E是直线AB上一点，且∠ECD＝∠OCD，CE＝5，求直线l的解析式； （3）在（2）的条件下，点P在直线l上运动，点Q在直线OE上运动，若以P、Q、B、C为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标． 例3．（运动时间）直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于与直线交于，过作轴于． (1)点坐标为 ；点坐标为 ． (2)求直线的函数解析式． (3)是线段上一动点，点从原点开始，每秒一个单位长度的速度向运动（与、不重合），过作轴的垂线，分别与直线、交于、，设的长为，点运动的时间为，求出与之间的函数关系式（写出自变量的取值范围） (4)在（）的条件下，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形（直接写出结果） 变式1． 如图， 直线 分别与轴、轴交于、两点，与直线 交于点． (1)求直线和直线的解析式； (2)点是射线上一动点， 其横坐标为，过点作轴， 交直线于点， 若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求值； 变式2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线都经过轴上的点，分别交轴于，两点，已知，直线的解析式为．    (1)求直线的解析式； (2)在线段上存在一点，点到直线的距离为，求点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 变式3．如图①，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，直线，交轴于点，点位于点右侧的轴上，且，点在轴正半轴上，且，直线交于点．      (1)点的横坐标为______，当点在原点左侧时，______；（均用含的代数式表示） (2)当为等腰三角形时，求的值； (3)如图②，点是点关于直线的对称点，连接，，若四边形为平行四边形，求的值（直接写出答案） 【课后训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴相交于两点，同C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，点D恰好落在直线AB上，过点D作轴于点E． (1)求直线AB的函数表达式； (2)求证：； (3)点D的坐标为__________，的面积为_______； (4)在平面内是否存在点Q，使以B、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由﹒ 2．如图，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上， ，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作，交轴于点，交轴于点. （1）如图1，若为等腰直角三角形，求直线的函数解析式； （2）如图2，过点作交轴于点，若四边形是平行四边形，求直线的解析式. 3．如图，已知直线:与轴，轴的交点分别为点，，直线交于点． （1）求点的坐标及直线的解析式． （2）将沿边翻折，得到，过点作直线垂直轴于点，是轴上点，是直线上任意一点，，两点关于轴对称，当最大时，求点的坐标；并求的最小值． （3）若M是直线上一点，且，在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是否存在点，使得以，，，，四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 备用图 4．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，交轴于点，过点作垂直于轴的直线交于点，点在直线上且在直线的上方．      (1)求直线的解析式； (2)用含的代数式表示的面积； (3)当时，以、为边作平行四边形，直接写出点的坐标． 5．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点，点到轴的距离为，直线交轴于点，． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，点为线段上一点，将沿折叠后，点恰好落在边上，求点坐标； (3)如图3，将绕点逆时针方向旋转，得到，使点与点对应，点与点对应，将沿着直线平移，点为直线上的动点，是否存在以、、、为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且与直线交于点． (1)分别求出，，三点的坐标； (2)若是射线上的点，且的面积为12，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．材料：在平面直角坐标系中，点，点G为线段的中点，则点G的坐标为 已知：如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与过点A的一次函数的图象交于点，点O为线段的中点． (1)求直线的函数表达式； (2)在直线上有一动点P，过P作轴，交于Q，若，求点Q的坐标； (3)若一次函数的图象为，且不能围成三角形，直接写出k的值； (4)在平面内有一点M，其纵坐标为5，直线上有一点N，若以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的N的坐标 8．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线相交于点D，其中，，． (1)求直线l的函数表达式； (2)如图2，点M为y轴上一动点，连接，求的最小值和此时点M的坐标； (3)如图3，在（2）问的条件下，将直线l沿射线的方向平移，使得平移后的直线经过点M．若点E为直线上一动点，F为平移后新直线上一动点，使以点O、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形，写出所有符合条件的点E的横坐标，并写出求解点E的横坐标的其中一种情况的过程． 9．如图①，平面直角坐标系中，为原点，点A坐标为，轴，点在轴上，一次函数的图象经过点、．    (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)如图②，直线经过点，且与直线交于点，与关于直线对称，连接并延长，交射线于点，当时，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点在直线上运动，点在直线上运动，以、、、为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$