期中考试数学B卷压轴题模拟训练（一)-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学下册题型全攻略（北师大版）

期中考试数学B卷压轴题模拟训练（一) 一、填空题 1．若关于的不等式组有且只有个奇数解，且关于的方程解为整数．则符合条件的所有整数的和为 ． 2．已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 3．如图，在中，，，是上的一点，连接，将沿折叠，点落在点处，交于点，若，则 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，是边长为4的等边三角形，已知点，，点P是线段上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．在点P从点C运动到点D的过程中，线段扫过的面积为 ． 5．如图，已知是直角三角形，，现在将绕着点A逆时针旋转到，将绕着点A顺时针旋转到，连接，则点A到直线的距离为 ． 6．如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，当时，的长为 ． 7．如图，在边长为4的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为 ． 8．如图，点P是等边三角形内的一点，，，，则 ． 9．某商家在甲、乙、丙三处批发市场购进A，B，C三种商品，已知同种商品在不同批发市场的批发价均相同，6件B的总价与9件C的总价相同．已知在甲处购买30个A，20个B，20个C，在乙处购买A，B，C三种商品的数量分别为在甲处购买的数量的基础上增加，同时，在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．已知在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，则商家在丙处购买三种商品的数量和最少是 ． 10．如图，直线的函数表达式为．已知点，点P是线段上一动点（可与点B，D重合），直线（k为常数）经过点P，交于点C． （1）当时，点C的坐标为 ； （2）在点P移动的过程中，k的取值范围为 ． 11．若关于的不等式的整数解是1，2，3，4，则的取值范围为 ． 12．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）的值为 ； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，则k的取值范围为 ． 13．如图，在中，，点在线段上，连接，若，，，则长为 ． 14．如图，等边三角形的边长为1，顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，过点作于点，过点作，交于点；过点作于点，过点作，交于点；……，按此规律进行下去，点的横坐标是 ． 15．如图，在等边三角形中，，点E是线段上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则长的最小值为 ． 16．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，点是射线上一点，连接，．若，则 ． 17．如图，已知是边长为4的等边三角形，点D是边上一点，且．将沿折叠，点B的对应点为，连接并延长，与延长线交于点M，连接，则的长为 ． 二、解答题 18．已知关于的二元一次方程组． (1)若，求的值； (2)若均为非负数，求的取值范围； (3)已知，在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 19．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________（填序号） (2)关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围． 20．【模型建立】 （1）如图1，在和中，D是边上的一点，，连接．用等式直接写出线段的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在中，，E，F为边上的点，且．用等式直接写出线段的数量关系； 【模型迁移】 （3）如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使．若，，求的面积． 21．如图1，在中，，，D、E分别在边，上，，且，与相交于点F． (1)求证：为等边三角形； (2)若，，求的值； (3)如图2，点H在上， ，交于点G，求证：． 22．（1）①如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______． 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为______． 【变式运用】 （2）如图，在中，，，，求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请求出的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考试数学B卷压轴题模拟训练（一) 一、填空题 1．若关于的不等式组有且只有个奇数解，且关于的方程解为整数．则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解的情况求参数，一元一次方程的解，解不等式组得，由不等式组的解的情况得，即得，再由一元一次方程得，根据方程的解为整数可得或或，再把整数的值相加即可求解，根据不等式组确定出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∴， ∵不等式组有且只有个奇数解， ∴， 即， 解得， 由方程得，， ∵方程的解为整数， ∴或或， ∴符合条件的所有整数的和， 故答案为：． 2．已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，是解决问题的关键． 可知过原点，当过点时， ；当与平行时，，由函数图象知， ． 【详解】解：可知过原点， ∵中，时，， ∴当过点时，， 得； 当与平行时， 得． 由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：． 故答案为： ． 3．如图，在中，，，是上的一点，连接，将沿折叠，点落在点处，交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，由等腰三角形的性质得，进而由勾股定理得，由折叠的性质得，可得，设，在中，由勾股定理得，得到，再利用等腰三角形的性质和勾股定理可得，最后利用三角形面积即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵ ，， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，是边长为4的等边三角形，已知点，，点P是线段上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．在点P从点C运动到点D的过程中，线段扫过的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要涉及等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及图形面积的计算．解题的关键思路是通过等边三角形的性质构造全等三角形，找出线段扫过的图形，进而计算其面积． 具体来说，利用是等边三角形和的条件，证明和全等，从而将线段的运动转化为线段的运动，进而确定线段扫过的图形，再计算其面积． 【详解】解：是边长为4的等边三角形， ，． ， 又线段绕点逆时针旋转得到线段， ，． ， 即． 在和中， ， ． ，， ，， ，， ，即点Q的运动轨迹在射线上， 作射线，在射线上截取，连接， ， 即点P从点C运动到点D的过程中，点Q从图中的点Q运动到点，点Q的运动轨迹是下图中的线段， ，，此时， ， 线段扫过的图形的面积等于的面积． 作于， ， ， 线段扫过的面积， 故答案为：． 5．如图，已知是直角三角形，，现在将绕着点A逆时针旋转到，将绕着点A顺时针旋转到，连接，则点A到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转性质、点到直线的距离、全等三角形的判定和性质等知识点，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键． 如图，过点A作于点T，过点D作交的延长线于点H，过点C作于点J．利用全等三角形的性质求出，利用勾股定理求出，再利用面积法求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点T，过点D作交的延长线于点H，过点C作于点J． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转变换的性质可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 6．如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，当时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】进行分类讨论：当点在上方时，，易得点在上，，通过证明是等边三角形，即可求解；当点在下方时，延长交于点，此时，通过证明是等边三角形，即可求解；当时，先证明为等边三角形，得出为中点，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 当点在上方时，，如图， ，， 点在上，， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ， 是等边三角形， ； 当点在下方时，延长交于点，如图，此时， ，， ， 在中，， ， 是等边三角形， ； 当， 是等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， 为中点， ， 根据勾股定理可得：， 综上所述，的长为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 7．如图，在边长为4的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，延长到点，使得，连接，证明当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为，是等边三角形，，边长为4，则，，则，，由勾股定理得到，即可得到的最小值． 【详解】解：如图，连接，延长到点，使得，连接， ∵沿射线平移，得到， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵是等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为， ∵是等边三角形，，边长为4， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质、平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 8．如图，点P是等边三角形内的一点，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，将绕点旋转得到，过点作于点，可证是等边三角形，由勾股定理的逆定理可得，求得的长，利用三角形的面积公式求解即可，添加恰当的辅助线，构造特殊三角形是解决问题的关键． 【详解】解：将绕点旋转，根据等边三角形中，故可得到，过点作于点， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．某商家在甲、乙、丙三处批发市场购进A，B，C三种商品，已知同种商品在不同批发市场的批发价均相同，6件B的总价与9件C的总价相同．已知在甲处购买30个A，20个B，20个C，在乙处购买A，B，C三种商品的数量分别为在甲处购买的数量的基础上增加，同时，在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．已知在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，则商家在丙处购买三种商品的数量和最少是 ． 【答案】164 【分析】本题主要考查了不等式的应用，关键是根据题意正确列出不等式，难度大，需要超强的解题能力． 设A、B、C三种商品的单价分别为a元、b元、c元，在丙处购买A、B、C三种商品的数量分别为x个、y个、z个，根据在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多，列出方程并整理得，再根据6件B的总价与9件C的总价相同，得，进而得，再根据在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多．列出方程，把代入并整理得，根据在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150，得，，要商家在丙处购买三种商品的数量和最少，则首先满足选A商品的数量尽量多，再满足选B商品的数量尽量多，最后再决定选C商品的数量，结合，便可求得结果． 【详解】解：设A、B、C三种商品的单价分别为a元、b元、c元，在丙处购买A、B、C三种商品的数量分别为x个、y个、z个， ∵在乙处购买A，B，C三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多， ∴， 整理得， ∵6件B的总价与9件C的总价相同， ∴，即， ∴， ∵在丙处购买三种商品的总价比在甲处购买三种商品的总价多． ∴， 把代入上式并整理得， ∴， ∵在丙处购买每种商品的数量不低于50，但不超过150， ∴， 又∵，即， ∴要商家在丙处购买三种商品的数量和最少，则首先满足选A商品的数量尽量多，再满足选B商品的数量尽量多，最后再决定选C商品的数量， ∵， ∴， 解得， ∴x的最大值为， 则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴y的最大值为， 则， ∴， ∴商家在丙处购买三种商品的数量和最少为：， 故答案为：164． 10．如图，直线的函数表达式为．已知点，点P是线段上一动点（可与点B，D重合），直线（k为常数）经过点P，交于点C． （1）当时，点C的坐标为 ； （2）在点P移动的过程中，k的取值范围为 ． 【答案】 且或 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质． （1）当时，直线的函数表达式为，进而与直线l1的函数表达式联立成方程组，解方程组即可求解； （2）当直线过点时，将点B的坐标代入函数表达式得：，解得：；当直线过点时，同理可得：，进而求解． 【详解】解：（1）当时，直线的函数表达式为， 由， 解得：， ∴． 故答案为：； （2）令，则， ∴， ∵， 当时，，即直线必过点； 当直线过点时， 将点B的坐标代入函数表达式得：， 解得：； 当直线过点时， 同理可得：； ∵两条直线相交于点C，则， 综上，k的取值范围为：且或． 故答案为：且或． 11．若关于的不等式的整数解是1，2，3，4，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是不等式组的整数解问题，根据条件可得，可得，再结合正整数可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的不等式的整数解是1，2，3，4， ∴， ∴， ∴ 解得：； 故答案为： 12．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）的值为 ； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两条直线相交或平行的问题，涉及待定系数法求函数解析式，掌握数形结合法是解题的关键． 先将点分别代入函数解析式即可求出，则，此时两条直线的函数解析式分别为与，数形结合找出平行的临界状态即可求解． 【详解】解：（1）∵函数与的图象交于点， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：； （2）∵当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，如图： ∵直线与交于点， 由图可知当时，函数的值大于函数的值， ∴要满足题意，只需函数的值大于函数的值即可， ∵当直线平行于直线时，符合题意，此时 ∴满足题意，， 故答案为：． 13．如图，在中，，点在线段上，连接，若，，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，过点作交的延长线于点，在延长线上截取，证明得出，进而得出，则设，则，中，得出，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，在延长线上截取， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 延长至，使得 又∵ ∴， 在中， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴ ∴中， ∴ 在中， 故答案为：． 14．如图，等边三角形的边长为1，顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，过点作于点，过点作，交于点；过点作于点，过点作，交于点；……，按此规律进行下去，点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，等边三角形的性质，勾股定理，关键是能根据求出的数据得出规律，题目比较好，但是有一定的难度． 根据是等边三角形，得到，，由勾股定理得到，，根据等腰三角形的性质得到，根据中点坐标公式得到，推出是等边三角形，得到是的中点，求得，推出，即可求出点的横坐标． 【详解】解：是等边三角形， ，， 过点作于点， ∴， ∴， ，， ， ， ∴点为中点， ， ∵， ， 是等边三角形， ∴同理是的中点， ， 同理， ， ∴点的横坐标是， 故答案为：． 15．如图，在等边三角形中，，点E是线段上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则长的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，证明确定点P的运动轨迹，利用垂线段最短，结合等边三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质解答即可． 【详解】解：连接， ∵等边三角形中，， ∴，，， ∵线段绕点A顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P的运动轨迹是线段， ∴当时，取得最小值， 过点D作于点M， ∴当P与M重合时，取得最小值， ∴， ∴长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，垂线段最短，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 16．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，点是射线上一点，连接，．若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查作图——基本作图，角平分线的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 延长到，延长到；过点作于点，于点，于点，根据题和尺规作角平分线的方法可得平分，根据角平分线的性质可得，根据三角形的外角性质和三角形的内角和定理求出，，求得，推得，根据角平分线的性质可得，根据角平分线的判定推得平分，即可求解． 【详解】解：延长到，延长到；过点作于点，于点，于点，如图， 由作图可知平分， ， ，， ， 在中，， 在中，， ， ， ，， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 17．如图，已知是边长为4的等边三角形，点D是边上一点，且．将沿折叠，点B的对应点为，连接并延长，与延长线交于点M，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理；过点作于点，连接交于点，先根据折叠的得出，进而勾股定理求得，在中，得出，根据等面积法求得，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接交于点， ∵是等边三角形，将沿折叠，点的对应点为， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵折叠， ∴， ∴ ∵已知是边长为4的等边三角形，点是边上一点，且， ∴ 在中，，则 ∴， ∴ 在中， ∵折叠， ∴， ∵ ∴， 解得： 在中，，则 ∴ 即， ∴ 故答案为：． 二、解答题 18．已知关于的二元一次方程组． (1)若，求的值； (2)若均为非负数，求的取值范围； (3)已知，在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值，的最小值 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，整式的加减及一次函数的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先求出，得到，求解即可； （2）解方程组得到，得到，且，计算即可得到答案； （3）求出，根据一次函数的性质求得的最大值，的最小值． 【详解】（1）解：关于的二元一次方程组， 将①＋②，得， ， ， ； （2）解：解关于的二元一次方程组，得 均为非负数， ，且， 的取值范围为； （3）解：， ， ∵， 随着的增大而增大， ， 的最大值，的最小值． 19．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________（填序号） (2)关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【分析】此题考查了一元一次方程的解法和一元一次不等式组的解法，读懂题意，正确解一元一次方程和一元一次不等式组是解题的关键． （1）解方程和不等式组后，根据定义进行判断即可； （2）解方程和不等式组后，再解关于k的不等式组即可； （3）解方程和不等式组后，再解关于m的不等式组，由不等式组有3个整数解得到新的不等式组，解新不等式组后，取两个不等式组解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：①， 去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； ②， 去括号得，， 移项合并同类项得，； ③， 移项得，， 系数化为1得，； 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 和在的范围内，所以方程①和③是不等式组的“关联方程”． 故答案为：①③． （2）解： 解得， ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴， 解得； （3）解：， 去分母得， 移项合并同类项得，； ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴， 解得， ∵不等式组有3个整数解， ∴， 解得， ∴． 20．【模型建立】 （1）如图1，在和中，D是边上的一点，，连接．用等式直接写出线段的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在中，，E，F为边上的点，且．用等式直接写出线段的数量关系； 【模型迁移】 （3）如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使．若，，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）10或26． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由可知，再利用证明，得到，然后结合勾股定理即可得出结论； （2）把绕点A逆时针旋转得到，连接，利用证明，得到，再根据勾股定理即可得出结论； （3）延长到点，使，连接，易得是等腰直角三角形，利用证明，得到，因此得到是等腰直角三角形，进而可求出，故．如解图3，过点A作交于点E，利用证明，得到，由勾股定理得，所以，进而可得． 【详解】解：（1）．理由如下： 由题意，得与均为等腰直角三角形， ，由勾股定理得， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ．     （2）．理由如下： 如解图1，把绕点A逆时针旋转得到，连接，则，．    ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ．   （3）如解图2，延长到点，使，连接． ∵， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：， ， ， ， ， ．    如解图3，过点A作交于点E，则． ， ． ， ． 又， ， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的面积为10或26． 21．如图1，在中，，，D、E分别在边，上，，且，与相交于点F． (1)求证：为等边三角形； (2)若，，求的值； (3)如图2，点H在上， ，交于点G，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)19 (3)见解析 【分析】（1）在上截取，连接，证明，和，则，即可得结论； （2）过点A作于M，根据勾股定理计算高，可得和的长，即可解答； （3）延长至K，使，连接，，证明和，即可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，在上截取， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （2）解：如图2，过点A作于M， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． （3）证明：延长至K，使，连接，，如图3所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，等边三角形的性质和判定，平方差公式等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 22．（1）①如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______． 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为______． 【变式运用】 （2）如图，在中，，，，求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图，在中，，，，以为直角边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请求出的面积． 【答案】（1）①；；（2）8；（3）的面积是或，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）①证明，即可得解；②证明，得出，，即可得解； （2）作，交于点，证明，得出，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）分两种情况：当为直角边，时，作高线，过作于，当作直角边，时，作高线，过作于，分别求解即可得解． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；    ②∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，；    ∵，， ∴； （2）在中，，，， 如图，作，交于点， ∴， ∵，， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）的面积是或，理由如下： 当为直角边，时，如图，作高线，过作于， ∵，，， ∴，， 由（1）得：， ∴， ∴； 当作直角边，时，如图，作高线，过作于， ∵，，， ∴，， 由（1）得：， ∴， ∴； 综上所述：的面积是或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$