信息必刷卷04（辽宁专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（辽宁专用） 考情速递 中考·重点模块： 代数：函数（二次函数、一次函数）与方程（含参数问题）仍是核心，可能结合图像分析或实际场景（如利润、运动问题）。几何：圆与三角形综合题（如切线证明、相似/全等构造）、动态几何（折叠、旋转）是高频考点。统计与概率：可能加入数据解读（如折线图、扇形图）与概率的实际应用（如游戏公平性分析）。创新题型：开放探究题（如多结论判断、方案设计）或跨学科题（如物理中的函数关系）。 命题·大预测： 可能出现“阅读理解题”（题干提供新概念或公式，要求学生现学现用）。增加“尺规作图”与“几何直观”类题目，呼应新课标对操作能力的要求。 备考提示：确保选择、填空题前15题零失误，重点训练计算准确度（如分式方程检验、符号处理）。几何辅助线：总结常见模型（如“手拉手”“一线三等角”）。函数综合：练习动态问题（如动点产生的面积变化），掌握“分类讨论”思想。实际应用：关注社会热点（如环保、低碳）相关的数学建模题。 新定义大题应对技巧：反复阅读题干定义，转化为常规二次函数问题（如消元法、参数替换）。警惕“新定义题型”，避免因陌生术语慌乱，此类题通常“高起点、低要求”。避免过度依赖“套路化”解题，近年命题更注重思维灵活性（如一题多解）。 本套试卷·解读： 二次函数大题：预测二次函数新定义题型，考察二次函数的对称轴的变化，及顶点坐标，分析最值的情况，以及方程与函数的关系，及不等式与图像的结合。 几何综合大题：预测手拉手全等及相似的基本模型考察，及构造辅助线能力，以及动态几何找轨迹问题。 填空压轴题：预测分类讨论几何图像的动态变化，及基本做辅助线的技巧，通过相似或勾股定理来求值。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的相反数是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 2．将一副三角尺如图摆放，点 D在 上，延长交的延长线于点F，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 3．若关于的一元二次方程 有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 4．某汽车销售公司2013年盈利1500万元，2015年盈利2160万元，且从2013年到2015年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ） A．1500(1+x) +1500(1+x)2 =2160 B．1500x+1500x2=2160 C．1500x2=2160 D．1500(1+x)2=2160 5．如图，将绕点旋转到的位置，点在边上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．从，1中，任取两个不同的数作为一次函数的系数k，b，则一次函数的图象交x轴于负半轴的概率是（   ） A． B． C． D． 7．如图，四边形为的内接四边形，点在的延长线上，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，则等于（　　） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，点是边的中点，将沿折叠后得到，且点在矩形内部.将延长交边于点.若，则是（    ） A． B． C． D． 10．如图1，在菱形中，E为的中点，点F沿从点A向点C运动，连接，设，，图2是点F运动时y随x变化的关系图象，则y的最小值是（    ） A． B． C． D．2 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若式子有意义，则实数m的取值范围是 ． 12．如图，是等腰三角形，是底边上的一点，半圆与交于，两点，与相切于点，若＝，则的长为 ． 13．如图，菱形中，，面积为60，对角线与相交于点O，过点A作，垂足为E，连接，则 ． 14．如图，点A，C在反比例函数的图象上，且，则k的值为 ． 15．如图，在中，，，，点为边的中点，点为边上任意一点，若将沿折叠得，若点在的中位线上，则的长度为 ．    三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．(1)计算： (2)解不等式组： (3)先化简，再求值：，其中． 17．某校为了解八年级全体学生生物实验操作的情况，随机抽取了30名学生的生物实验操作考核成绩，并将数据进行整理，分析如下（说明：考核成绩均取整数，A级：10分，B级：9分，C级：8分，D级：7分及以下）： 收集整理数据，并绘制统计表（如下）： 10，8，10，9，5，10；9，9，10，8， 9，10，9，9，8，9，8，10，6，9， 8，10，9，6，9，10，9，10，8，10 成绩等级 A B C D 人数/人 10 3 根据表中信息，解答下列问题： (1)统计表中，__________，__________． (2)求这30名学生生物实验操作考核的平均成绩． (3)若成绩不低于9分为优秀，该校八年级参加生物实验操作考核成绩达到优秀的有420名，试估计该校有多少名学生参加生物实验操作考核？ 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3． （1）求证：△EGC∽△GFH； （2）求AD的长； （3）求HF的值． 19．麦积山位于甘肃省天水市麦积区，是小陇山中的一座孤峰，因山形酷似麦垛而得名．麦积山石窟始建于年，存有221座洞窟、10632身泥塑石雕、1300余平方米壁画，以其精美的泥塑艺术闻名世界，被誉为东方雕塑艺术陈列馆．某学习小组把测量本城市麦积山（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量麦积山最高点离地面的高度 示意图 说明 如图2，麦积山的最高点B到地面的高度为，在测点C用仪器测得点B的仰角为，前进一段距离到达测点E，再用该仪器测得点B的仰角为，且点A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内，点A，C，E在同一条直线上． 测量数据 的度数 的度数 的长度 仪器的高度 24米 米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出麦积山最高点离地面的高度（结果保留一位小数）．（参考数据：，，，，，） 20．某服装店购进一批秋衣，价格为每件元．物价部门规定其销售单价不高于每件元，经市场调研发现：日销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数，且当 时，；时，．在销售过程中，每天还要支付其他费用元． (1)求出y与x的函数关系式，若每件售价不低于元，请直接写出自变量x的取值范围； (2)求该服装店销售这批秋衣的日获利W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (3)当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大日获利是多少元？ 21．如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 22．【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着A逆时针方向旋转，连接和． ①如图2，找出图中的另外一组相似三角形 ； ②若则 ； 【迁移应用】在和中，，点D为线段上的一个动点，连接． ①如图3，写出比的值及的度数，并说明理由； ②如图4，点P为中点，在点D从B点运动到C点的过程中，请直接写出点P经过的路径长； 【创新应用】如图5：，是直角三角形，，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． 23．如图，抛物线，M为抛物线的顶点，点P是直线上一动点，且点P的横坐标为m． (1)求点M的坐标（用含m的式子表示）； (2)连接，当线段与抛物线L只有一个交点时，求m的取值范围； (3)将抛物线上横、纵坐标互为相反数的点定义为这个抛物线上的“互反点”．若点． ①求抛物线L的解析式，并判断抛物线上是否有“互反点”，若有，求出“互反点”的坐标．若没有，请说明理由； ②若点为x轴上的动点，过Q作直线轴，将抛物线的图象记为，将沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出n的取值范围． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（辽宁专用） 考情速递 中考·重点模块： 代数：函数（二次函数、一次函数）与方程（含参数问题）仍是核心，可能结合图像分析或实际场景（如利润、运动问题）。几何：圆与三角形综合题（如切线证明、相似/全等构造）、动态几何（折叠、旋转）是高频考点。统计与概率：可能加入数据解读（如折线图、扇形图）与概率的实际应用（如游戏公平性分析）。创新题型：开放探究题（如多结论判断、方案设计）或跨学科题（如物理中的函数关系）。 命题·大预测： 可能出现“阅读理解题”（题干提供新概念或公式，要求学生现学现用）。增加“尺规作图”与“几何直观”类题目，呼应新课标对操作能力的要求。 备考提示：确保选择、填空题前15题零失误，重点训练计算准确度（如分式方程检验、符号处理）。几何辅助线：总结常见模型（如“手拉手”“一线三等角”）。函数综合：练习动态问题（如动点产生的面积变化），掌握“分类讨论”思想。实际应用：关注社会热点（如环保、低碳）相关的数学建模题。 新定义大题应对技巧：反复阅读题干定义，转化为常规二次函数问题（如消元法、参数替换）。警惕“新定义题型”，避免因陌生术语慌乱，此类题通常“高起点、低要求”。避免过度依赖“套路化”解题，近年命题更注重思维灵活性（如一题多解）。 本套试卷·解读： 二次函数大题：预测二次函数新定义题型，考察二次函数的对称轴的变化，及顶点坐标，分析最值的情况，以及方程与函数的关系，及不等式与图像的结合。 几何综合大题：预测手拉手全等及相似的基本模型考察，及构造辅助线能力，以及动态几何找轨迹问题。 填空压轴题：预测分类讨论几何图像的动态变化，及基本做辅助线的技巧，通过相似或勾股定理来求值。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的相反数是（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2 【答案】A 【分析】首先化简，然后根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：∵＝4， ∴的相反数是﹣4， 故选A． 【点睛】本题考查相反数的定义，两个相反数符号相反，绝对值相同，比较简单． 2．将一副三角尺如图摆放，点 D在 上，延长交的延长线于点F，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中的角度计算，直角三角形的性质等知识，根据直角三角形互余及平角的定义即可求解． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 3．若关于的一元二次方程 有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意得且，解之即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故选：． 4．某汽车销售公司2013年盈利1500万元，2015年盈利2160万元，且从2013年到2015年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ） A．1500(1+x) +1500(1+x)2 =2160 B．1500x+1500x2=2160 C．1500x2=2160 D．1500(1+x)2=2160 【答案】D 【分析】根据等量关系：2013年盈利×（1+增长率）2=2015年的盈利即可列出方程． 【详解】解： ∵2014年的盈利为1500×（1+x），2015年的盈利为1500×（1+x）×（1+x）=1500×（1+x）2， ∴列的方程为1500×（1+x）2=2160， 故选D． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解决增长率问题，根据题意找出等量关系根据等量关系：2013年盈利×（1+增长率）2=2015年的盈利是解题的关键． 5．如图，将绕点旋转到的位置，点在边上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握旋转的不变性是解题的关键． 由旋转得，，则，根据平行线得到，即可得到，再由平行线的性质即可求解． 【详解】解：由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6．从，1中，任取两个不同的数作为一次函数的系数k，b，则一次函数的图象交x轴于负半轴的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列表法或树状图求概率，熟练掌握列表法或树状图求概率是解题的关键．根据列表法或树状图求出概率即可． 【详解】解：画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中时一次函数的图象交x轴于负半轴共有种等可能的结果数， 故． 故选A． 7．如图，四边形为的内接四边形，点在的延长线上，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质． 先根据圆周角定理得，再根据圆内接四边形的性质得，由此即可得出答案． 【详解】解：连接， ， ， 四边形为的内接四边形， ， 又， ． 故选：． 8．如图，在中，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质．先求出，在上取点，使得，得到，利用三角形外角的性质得到，证明是等腰直角三角形，设，求出，则，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：在上取点，使得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9．如图，在矩形中，点是边的中点，将沿折叠后得到，且点在矩形内部.将延长交边于点.若，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接EG，由中点的定义、矩形的性质、翻折变换的性质得EF=EC，∠AFE=∠C=90°，从而Rt△EFG≌Rt△ECG（HL），得CG=FG，设CG=x，将AD、AB用含x的式子表示出来，再求比值即可． 【详解】解：如图所示，连接EG， ∵点EE是边CD的中点， ∴DE=CE， ∵将△ADE沿AE折叠后得到△AFE， ∴DE =EF,AF=AD,∠AFE=∠D=90°， ∴CE=FE， 在Rt△EFG与Rt△ECG中， ∵EF=EC，EG=EG， ∴Rt△EFG≌Rt△ECG（HL）， ∴CG=FG， 设CG=FG=x，则由得BG=8x， ∴BC=CG+BG=9x，AF=AD=BC=9x，AG=AF+FG=10x, 在Rt△ABG中，由勾股定理得， ∴． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟记性质并正确作出辅助线是解题的关键． 10．如图1，在菱形中，E为的中点，点F沿从点A向点C运动，连接，设，，图2是点F运动时y随x变化的关系图象，则y的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用函数图象可得：当点与点A重合时；求出，当点与点C重合时；求出，当三点共线时，由最小值，最小值为的长，连接，得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由函数图象得：当点与点A重合时；如图， 此时，， E为的中点， ， ， ， ， 当点与点C重合时；如图，过点作，垂足为，设与交于点H， 此时，， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 在中，，即， 解得：， ， ， 如图，当三点共线时，由最小值，最小值为的长，连接， ，E为的中点， ， ， y的最小值是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．若式子有意义，则实数m的取值范围是 ． 【答案】m≥﹣2且m≠1 【分析】根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件解题即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：． ∴m≥﹣2且m≠1． 故答案是：m≥﹣2且m≠1． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，其中涉及不等式的解法，是基础考点难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12．如图，是等腰三角形，是底边上的一点，半圆与交于，两点，与相切于点，若＝，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，根据等腰三角形的性质得出，设,则，根据圆周角定理得出，根据切线的性质得出，求得，进而根据已知条件得出，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， 设, ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 又 ∴ 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握是解题的关键． 13．如图，菱形中，，面积为60，对角线与相交于点O，过点A作，垂足为E，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解直角三角形．根据菱形的面积公式结合的长度即可得出、、的长度，再利用勾股定理求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则，据此根据正切的定义即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴。 故答案为：． 14．如图，点A，C在反比例函数的图象上，且，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】过作，过C作，连接，得到，根据的几何意义和，得到，再根据，求出的面积即可得解． 【详解】解：过作，过C作，分别交于点，连接， 则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点A，C在反比例函数的图象上， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，则， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查已知图形的面积求值，熟练掌握的几何意义，构造与有关的几何图形是解题的关键． 15．如图，在中，，，，点为边的中点，点为边上任意一点，若将沿折叠得，若点在的中位线上，则的长度为 ．    【答案】或 【分析】分三种情况讨论：当在边的中位线上时；当在边的中位线上时；当在边的中位线上时；分别画图求解即可求． 【详解】解：如图，设边中点为，当在上时，    由折叠可知，，， ，，， ，，， ，， ， 在中，， ， ， ； 如图，设边的中点为，连接，    当点落在上时， ，，， ，， 由折叠可知，，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 如图，设、中点分别为、，连接、，    当点落在上时 由折叠可知，，，， ，， ，，，， 在中，，不合题意，舍去； 故答案为：或． 【点睛】本题考查翻折变换折叠问题，熟练掌握直角三角形的性质，折叠的性质，能够分类讨论并画出适合的图形是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．(1)计算： (2)解不等式组： (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）分别计算特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂，二次根式以及零指数幂，然后进行加减计算即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可； （3）先通分，因式分解，然后进行除法运算得到化简结果，最后代值求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 解不等式① 去分母得： 去括号得： 移项合并得： 系数化为1得： 解不等式② 去括号得： 移项合并得： 系数化为1得： ∴原不等式组的解集为． （3）解：原式 ∴当时，原式． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值，负整数指数幂，二次根式以及零指数幂，解一元一次不等式组，分式的化简求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 17．某校为了解八年级全体学生生物实验操作的情况，随机抽取了30名学生的生物实验操作考核成绩，并将数据进行整理，分析如下（说明：考核成绩均取整数，A级：10分，B级：9分，C级：8分，D级：7分及以下）： 收集整理数据，并绘制统计表（如下）： 10，8，10，9，5，10；9，9，10，8， 9，10，9，9，8，9，8，10，6，9， 8，10，9，6，9，10，9，10，8，10 成绩等级 A B C D 人数/人 10 3 根据表中信息，解答下列问题： (1)统计表中，__________，__________． (2)求这30名学生生物实验操作考核的平均成绩． (3)若成绩不低于9分为优秀，该校八年级参加生物实验操作考核成绩达到优秀的有420名，试估计该校有多少名学生参加生物实验操作考核？ 【答案】(1)11，6 (2) (3)该校有600名学生参加生物实验操作考核． 【分析】本题考查数据的收集和统计，求平均数以及利用样本估计总体．熟练掌握相关计算方法，正确的计算，是解题的关键． （1）根据收集的数据进行求解即可； （2）利用平均数的计算方法进行求解即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：由收集的数据可知：，； 故答案为：11，6； （2）解：这30名学生的平均成绩为：（分） （3）解：设该校有名学生参加生物实验操作，由题意，得：， 解得：； 答：该校有600名学生参加生物实验操作考核． 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3． （1）求证：△EGC∽△GFH； （2）求AD的长； （3）求HF的值． 【答案】（1）见解析；（2）AD＝12；（3）HF＝6． 【分析】（1）根据折叠性质得到∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，结合矩形的性质证明△EGC∽△GFH； （2）由等高三角形的面积比等于边的比得到GH：AH＝2：3，再根据折叠性质得到AG＝AB＝GH+AH＝20，继而解题； （3）在Rt△ADG中，理由勾股定理解得DG的长，再结合折叠的性质解题． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠D＝∠C＝90°， 由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°， ∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°， ∴∠EGC＝∠GFH， ∴△EGC∽△GFH； （2）解：∵S△GFH：S△AFH＝2：3，且△GFH和△AFH等高， ∴GH：AH＝2：3， ∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处， ∴AG＝AB＝GH+AH＝20， ∴GH＝8，AH＝12， ∴AD＝AH＝12； （3）解：在Rt△ADG中，DG＝， 由折叠的对称性质可设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x， ∵HG2+HF2＝FG2， ∴82+x2＝（16﹣x）2， 解得x＝6， ∴HF＝6． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定、等高三角形面积比、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 19．麦积山位于甘肃省天水市麦积区，是小陇山中的一座孤峰，因山形酷似麦垛而得名．麦积山石窟始建于年，存有221座洞窟、10632身泥塑石雕、1300余平方米壁画，以其精美的泥塑艺术闻名世界，被誉为东方雕塑艺术陈列馆．某学习小组把测量本城市麦积山（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量麦积山最高点离地面的高度 示意图 说明 如图2，麦积山的最高点B到地面的高度为，在测点C用仪器测得点B的仰角为，前进一段距离到达测点E，再用该仪器测得点B的仰角为，且点A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内，点A，C，E在同一条直线上． 测量数据 的度数 的度数 的长度 仪器的高度 24米 米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出麦积山最高点离地面的高度（结果保留一位小数）．（参考数据：，，，，，） 【答案】麦积山最高点离地面的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线，掌握解直角三角形的方法和步骤是解题的关键．延长，交于点G，设米，则，，根据米，列出方程求解即可． 【详解】解：延长，交于点G， ∵， ∴四边形、四边形为矩形， ∴米，米，， 设米， ∵，， ∴，， ∵米， ∴， 解得：， ∴米， ∴米， 答：麦积山最高点离地面的高度为米． 20．某服装店购进一批秋衣，价格为每件元．物价部门规定其销售单价不高于每件元，经市场调研发现：日销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数，且当 时，；时，．在销售过程中，每天还要支付其他费用元． (1)求出y与x的函数关系式，若每件售价不低于元，请直接写出自变量x的取值范围； (2)求该服装店销售这批秋衣的日获利W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (3)当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大日获利是多少元？ 【答案】(1)（） (2) (3)当销售单价为元时，该服装店日获利最大，最大值为元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数在实际问题中的应用，掌握函数的相关性质是解题关键． （1）设，由“当 时，；时，”即可求解； （2）根据利润=（售价-进价）×销量-其他费用，即可求解； （3）根据二次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：设，根据题意得： ，             解得：，，         ∴y与x的函数关系式为； ∵每件售价不低于元，物价部门规定其销售单价不高于每件元，           ∴自变量x的取值范围为： （2）解：由题意得：         （3）解： ∵， ∴时，W随x的增大而增大，         ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴当销售单价为元时，该服装店日获利最大，最大值为元． 21．如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质和判定，扇形面积的计算以及等腰三角形的性质． （1）根据切线的性质以及全等三角形的判定和性质得出，再根据切线的判定方法进行判断即可； （2）根据平角的定义以及等腰三角形的性质求出，再根据直角三角形的边角关系求出、、，再根据进行计算即可． 【详解】（1）证明：是的切线，理由： 连接， 与相切于点， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ，， ， ， ， ∴， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ，， ． 22．【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着A逆时针方向旋转，连接和． ①如图2，找出图中的另外一组相似三角形 ； ②若则 ； 【迁移应用】在和中，，点D为线段上的一个动点，连接． ①如图3，写出比的值及的度数，并说明理由； ②如图4，点P为中点，在点D从B点运动到C点的过程中，请直接写出点P经过的路径长； 【创新应用】如图5：，是直角三角形，，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． 【答案】[问题背景]①；②3；[迁移应用]①，证明见解析；②；[创新应用] ． 【分析】[问题背景]①结论：．利用两边成比例夹角相等，证明两三角形相似；②利用相似三角形的性质求解； [迁移应用]①先由含角的直角三角形的性质得，则，再证，得，再结合利用两边成比例夹角相等，证明两三角形相似得，②当点与B重合时，点与C重合，的中点，记为； 当点与C重合时，点是的延长线与的延长线的交点，记为，则点的运动轨迹为，是的中位线，同理证明，则，即，，，即点经过的路径长为； [创新应用]如图5中，过点A作于点K，过点C作于点J，连接．通过计算证明，求出，可得结论． 【详解】解：[问题背景]①如图2中， ， ， ， ， ， ∴， ． 故答案为：； ②， ， ∵ ， ． 故答案为：3； [迁移应用] ①如图3中， ∵， ∴，． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：，； ②同（1）得：当点与B重合时，点与C重合，的中点，记为； 当点与C重合时，点是的延长线与的延长线的交点，记为，如图所示： 则点的运动轨迹为，是的中位线， ， ∵， ， ， 即， ， ， 即点经过的路径长为． [创新应用]如图5中，过点作于点，过点作于点，连接． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 23．如图，抛物线，M为抛物线的顶点，点P是直线上一动点，且点P的横坐标为m． (1)求点M的坐标（用含m的式子表示）； (2)连接，当线段与抛物线L只有一个交点时，求m的取值范围； (3)将抛物线上横、纵坐标互为相反数的点定义为这个抛物线上的“互反点”．若点． ①求抛物线L的解析式，并判断抛物线上是否有“互反点”，若有，求出“互反点”的坐标．若没有，请说明理由； ②若点为x轴上的动点，过Q作直线轴，将抛物线的图象记为，将沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）配方得，得顶点； （2）求出，根据，线段与抛物线L只有一个交点，得到，设，画出其图象，由图象得出； （3）①代入，求得，得到，与联立解得，得“互反点”的坐标为；②根据与关于直线对称，得：，由，解得或，得时，与直线有交点，由，，得，得时，与直线有交点，时，与直线无交点，得到当或时，，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”． 【详解】（1）∵ ， ∴； （2）∵点P在直线上，点P的横坐标为m， ∴， ∵，线段与抛物线L只有一个交点， ∴，， 设，画出图象， 由图象看出，不等式的解集为：； （3）①把代入， 得， 解得，， ∴， ∵“互反点”在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴“互反点”的坐标为； ②∵：，且与关于直线：对称， ∴：， 联立， 得， 解得或， ∴时，与直线有交点， 联立 ， 得， 即， ∴， 当，时，与直线有交点， 当时，与直线无交点， ∴当时，，两部分组成的图象与直线恰有2个交点； 当时，，两部分组成的图象与直线恰有2个交点． 故，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，或． 【点睛】本题主要考查了新定义——“互反点”．熟练掌握新定义，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，二次函数翻折，函数与方程、方程组的关系，根判别式判断一元二次方程根的情况，用二次函数图象解一元二次不等式，是解决问题的关键． 试卷第2页，共31页 试卷第1页，共31页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷（辽宁专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案直接填写在横线上 11． 12． 13． 14． 15． 三、解答题:本大题有8个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（9分） 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 解不等式① 去分母得： 去括号得： 移项合并得： 系数化为1得： 解不等式② 去括号得： 移项合并得： 系数化为1得： ∴原不等式组的解集为． （3）解：原式 ∴当时，原式． 17．（8分） 【答案】(1)11，6 (2) (3)该校有600名学生参加生物实验操作考核． 【详解】（1）解：由收集的数据可知：，； 故答案为：11，6； （2）解：这30名学生的平均成绩为：（分） （3）解：设该校有名学生参加生物实验操作，由题意，得：， 解得：； 答：该校有600名学生参加生物实验操作考核． 18．（9分） 【答案】（1）见解析；（2）AD＝12；（3）HF＝6． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠D＝∠C＝90°， 由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°， ∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°， ∴∠EGC＝∠GFH， ∴△EGC∽△GFH； （2）解：∵S△GFH：S△AFH＝2：3，且△GFH和△AFH等高， ∴GH：AH＝2：3， ∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处， ∴AG＝AB＝GH+AH＝20， ∴GH＝8，AH＝12， ∴AD＝AH＝12； （3）解：在Rt△ADG中，DG＝， 由折叠的对称性质可设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x， ∵HG2+HF2＝FG2， ∴82+x2＝（16﹣x）2， 解得x＝6， ∴HF＝6． 19．（8分） 【答案】麦积山最高点离地面的高度为米 【详解】解：延长，交于点G， ∵， ∴四边形、四边形为矩形， ∴米，米，， 设米， ∵，， ∴，， ∵米， ∴， 解得：， ∴米， ∴米， 答：麦积山最高点离地面的高度为米． 20．（8分） 【答案】(1)（） (2) (3)当销售单价为元时，该服装店日获利最大，最大值为元 【详解】（1）解：设，根据题意得： ，             解得：，，         ∴y与x的函数关系式为； ∵每件售价不低于元，物价部门规定其销售单价不高于每件元，           ∴自变量x的取值范围为： （2）解：由题意得：         （3）解： ∵， ∴时，W随x的增大而增大，         ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴当销售单价为元时，该服装店日获利最大，最大值为元． 21．（9分） 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2) 【详解】（1）证明：是的切线，理由： 连接， 与相切于点， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ，， ， ， ， ∴， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ，， ． 22．（12分） 【答案】[问题背景]①；②3；[迁移应用]①，证明见解析；②；[创新应用] ． 【详解】解：[问题背景]①如图2中， ， ， ， ， ， ∴， ． 故答案为：； ②， ， ∵ ， ． 故答案为：3； [迁移应用] ①如图3中， ∵， ∴，． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：，； ②同（1）得：当点与B重合时，点与C重合，的中点，记为； 当点与C重合时，点是的延长线与的延长线的交点，记为，如图所示： 则点的运动轨迹为，是的中位线， ， ∵， ， ， 即， ， ， 即点经过的路径长为． [创新应用]如图5中，过点作于点，过点作于点，连接． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 23．（12分） 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）∵ ， ∴； （2）∵点P在直线上，点P的横坐标为m， ∴， ∵，线段与抛物线L只有一个交点， ∴，， 设，画出图象， 由图象看出，不等式的解集为：； （3）①把代入， 得， 解得，， ∴， ∵“互反点”在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴“互反点”的坐标为； ②∵：，且与关于直线：对称， ∴：， 联立， 得， 解得或， ∴时，与直线有交点， 联立 ， 得， 即， ∴， 当，时，与直线有交点， 当时，与直线无交点， ∴当时，，两部分组成的图象与直线恰有2个交点； 当时，，两部分组成的图象与直线恰有2个交点． 故，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，或． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$