第十八章 平行四边形章末培优测试卷（必考点分类集训）-2024-2025学年八年级数学下册必考点分类集训系列（人教版）

第十八章 平行四边形章末测试卷 能力提升培优测 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：平行四边形（人教版）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）下列判断错误的是（　　） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．邻边相等的平行四边形是菱形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故不符合题意； B、四个内角都相等的四边形是矩形，故不符合题意； C、邻边相等的平行四边形是菱形，故不符合题意； D、两条对角线相等、垂直且平分的四边形是正方形，故符合题意； 故选：D． 2．（3分）如图，已知▱ABCD的周长为38，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，△DOE的周长为15，则BD的长为（　　） A．8 B．10 C．11 D．23 【分析】由平行四边形的性质及周长为38得到 AD+CD＝19，BD＝2OD，由点E是CD的中点得到OE是△ACD的中位线，，则，由△DOE的周长为15得到OD+OE+DE＝15，求出，即可得到BD长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，其周长为38，对角线AC、BD相交于点O， ∴BD＝2OD，AD＝BC，AB＝CD， ∴AD+CD38＝19， ∵点E是CD的中点， ∴OE是△ACD的中位线，， ∴， ∵△DOE的周长为15， ∴OD+OE+DE＝15， 即， ∴， ∴， ∴BD＝11， 所以BD的长为11， 故选：C． 3．（3分）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC，BD的长就可以判断，其数学依据是（　　） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定． 【解答】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意． 故选：C． 4．（3分）已知：在四边形ABCD中，AB＝6，CD＝10，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围（　　） A．2＜MN＜8 B．2＜MN≤8 C．4＜MN＜16 D．4＜MN≤16 【分析】当AB∥CD时，MN最短，利用中位线定理可得MN的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得MN的其他取值范围． 【解答】解：连接BD，过M作MG∥AB，连接NG． ∵M是边AD的中点，AB＝6，MG∥AB， ∴MG是△ABD的中位线，BG＝GD，MGAB6＝3． ∵N是BC的中点，BG＝GD，CD＝10， ∴NG是△BCD的中位线，NGCD10＝5， 在△MNG中，由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即5﹣3＜MN＜5+3， ∴2＜MN＜8， 当MN＝MG+NG，即MN＝8时，四边形ABCD是梯形， 故线段MN长的取值范围是2＜MN≤8． 故选：B． 5．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝20°，则∠CAD的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 【分析】由四边形ABCD是菱形，可得OB＝OD，AC⊥BD，又由DH⊥AB，∠DHO＝20°，可求得∠OHB的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得△OBH是等腰三角形，继而求得∠ABD的度数，然后求得∠CAD的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，AC⊥BD， ∵DH⊥AB， ∴OH＝OBBD， ∵∠DHO＝20°， ∴∠OHB＝90°﹣∠DHO＝70°， ∴∠ABD＝∠OHB＝70°， ∴∠CAD＝∠CAB＝90°﹣∠ABD＝20°． 故选：A． 6．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（　　） A．13或14 B．26或28 C．13 D．无法确定 【分析】设∠A的平分线交BC于点E，可证明AB＝EB，再分两种情况讨论，一是EB＝5，EC＝4，则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9；二是EB＝4，EC＝5时，则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，分别求出平行四边形ABCD的周长即可． 【解答】解：设∠A的平分线交BC于点E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠BEA＝∠DAE， ∵∠BAE＝∠DAE， ∴∠BEA＝∠BAE， ∴AB＝EB， 当EB＝5，EC＝4时，如图1， 则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9， ∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28； 当EB＝4，EC＝5时，如图2， 则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9， ∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26， ∴平行四边形ABCD的周长为26或28， 故选：B． 7．（3分）已知两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成一个四边形ABCD，对角线AC＝8，BD＝6，过点D作DH⊥AB于点H，则DH的长是（　　） A．2.4 B．4.8 C．5 D．9.6 【分析】过点D作DF⊥BC于F，设AC、BD交点为O．根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，推出四边形ABCD是菱形；根据勾股定理得到AB5，于是得到结论． 【解答】解：过点D作DF⊥BC于F，设AC、BD交点为O． ∵两条纸条宽度相同， ∴DH＝DF． ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵S▱ABCD＝AB•DH＝BC•DF， 又∵DH＝DF． ∴BC＝AB， ∴四边形ABCD是菱形； ∴OB＝ODBD＝3，OA＝OCAC＝4，AC⊥BD． ∴AB5， ∴AB•DHAC•BD， ∴DH， 答：DH的长是4.8； 故选：B． 8．（3分）如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD、正方形BEFG的边长分别为6、8，H为线段DF的中点，则BH的长为（　　） A．6 B．8 C．6或8 D．5 【分析】连接BD、BF，由正方形的性质可得：∠CBD＝∠FBG＝45°，∠DBF＝90°，再应用勾股定理求BD、BF和DF，最后应用“直角三角形斜边上中线等于斜边一半”可求得BH． 【解答】解：如图，连接BD、BF， ∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形， ∴AB＝AD＝6，BE＝EF＝8，∠A＝∠E＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠EBF＝∠FBG＝45°， ∴∠DBF＝90°， ∴BD6，BF8， 在Rt△BDF中， ∴DF10， ∵H为线段DF的中点， ∴BHDF＝5， 故选：D． 9．（3分）如图，∠MON＝90°，长方形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝4，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（　　） A． B． C． D．2 【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解． 【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD， ∵OD＜OE+DE， ∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大， 此时，∵AB＝4，BC＝1， ∴， ， ∴OD的最大值为：． 故选：B． 10．（3分）如图，在正方形ABCD中，以AB为边作等边三角形ABP，连接AC，PD，PC，则下列结论；①∠BCP＝75°；②△ADP≌△BCP；③△ADP和△ABC的面积比为1：2；④．其中结论正确的序号有（　　） A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得AB＝BP＝BC，∠ABC＝90°，∠ABP＝60°，由等腰三角形的性质可得∠BCP＝∠BPC＝75°，故①正确；利用SAS证明△DAP≌△CBP，可判断②，由三角形的面积公式可得S△ABCBC×ABAD×AB，S△ADPAD×PHADABAD×AB，可得△ADP和△ABC的面积比为1：2，故③正确；由直角三角形的性质可得CNPC，可得S△PDCDP×CNPC2，故④正确，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△ABP是等边三角形， ∴AB＝BP＝BC，∠ABC＝90°，∠ABP＝60°， ∴∠DAP＝∠CBP＝30°， ∴∠BCP＝∠BPC＝75°，故①正确； ∵AD＝BC，AP＝BP，∠DAP＝∠CBP＝30°， ∴△DAP≌△CBP（SAS），故②正确； 如图，∵△ABP是等边三角形，过点P作PG⊥AB于点G，PH⊥AD于点H， ∴AG＝GB， ∵∠BAD＝∠AGP＝90°， ∴四边形AGPH是矩形， ∴PH＝AG， ∵S△ABCBC×ABAD×AB，S△ADPAD×PHADABAD×AB， ∴△ADP和△ABC的面积比为1：2，故③正确； ∵∠PCD＝∠BCD﹣∠BCP＝15°，PC＝PD， ∴∠PCD＝∠PDC＝15°， ∴∠CPN＝30°， ∵CN⊥DP， ∴CNPC， ∴S△PDCDP×CNPC2，故④正确， 综上所述：①②③④． 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）▱ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠B＝　110°　 ． 【分析】由平行四边形的性质可得∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，再求出∠A＝70°，即可求出∠B的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A+∠C＝140°， ∴∠A＝70°， ∴∠B＝180°﹣70°＝110°， 故答案为：110°． 12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，BD＝8．过点A作AE⊥BC于点E，则AE的长　　 ． 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分结合勾股定理逆定理，得到AC⊥BD，进而得到四边形ABCD为菱形，等积法求出AE的长即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝5，AC＝6，BD＝8， ∴， ∵AB＝5， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴AC⊥BD， ∴四边形ABCD为菱形， ∴BC＝AB＝5， ∵AE⊥BC， ∴四边形ABCD的面积， 即：， ∴； 故答案为：． 13．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD＝56°，则∠EDB的度数为 　34　 度． 【分析】根据已知条件可以判断EA＝EB＝EC＝DE，根据三角形外角定理可得到：∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，同理∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝2∠DAE+2∠BAE＝2∠DAB＝116°． 【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点， ∴EA＝EB＝EC＝DE， ∴∠DAE＝∠EDA，∠BAE＝∠EBA， 在△AED中，∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE， 同理可得到：∠BEC＝2∠BAE，∠DEB＝∠DEC+∠BEC＝2∠DAE+2∠BAE＝2（∠DAE+∠BAE）＝2×56°＝112°， ∴∠EDB（180°﹣112°）＝34°． 故答案为：34． 14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），如果以A，B，C，O为顶点的四边形是平行四边形，那么满足条件的所有点C的坐标为　（﹣2，0）或（2，0）或（0，2）．　 ． 【分析】需要分类讨论：以AB为该平行四边形的边和对角线两种情况． 【解答】解：如图，①当AB为该平行四边形的边时，AB＝OC， ∵点A（1，1），B（﹣1，1），O（0，0） ∴点C坐标（﹣2，0）或（2，0） ②当AB为该平行四边形的对角线时，C（0，2）． 故答案为：（﹣2，0）或（2，0）或（0，2）． 15．（3分）如图，矩形ABCD中，CD＝3，BC＝5，点E为射线AD上的一个动点，△ABE与△FBE关于直线BE对称，当点E、F、C三点共线时，AE的长为 　1　 ． 【分析】根据题意分两种情况进行求解：当点E在AD上时，当点E在AD的延长线上时，△ABE与△FBE关于直线BE对称及点E、F、C三点共线可进行求解． 【解答】解：当点E在AD上时，由对称得BF＝AB＝3，∠BFE＝∠A＝90°，AE＝EF， 在Rt△BCF中，， 设AE＝EF＝x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝5，∠D＝90°， 在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2， ∴32+（5﹣x）2＝（4+x）2， 解得x＝1； 当点E在AD的延长线上时，且点E、F、C三点共线，如图所示： ∵AD∥BC，∠AEB＝∠FEB， ∴∠AEB＝∠EBC， ∴∠EBC＝∠FEB， ∴BC＝EC＝5， 在Rt△CDE中，， ∴AE＝AD+DE＝5+4＝9； 综上所述：AE＝1或9； 故答案为：1或9． 16．（3分）如图，点E是边长为8的正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与点B、D重合），连接AE，以AE为边向左侧作正方形AEFG，点P为AD的中点连接PG、DG，DG与BA的延长线交于点H，在点E运动过程中，线段PG的最小值是 　2　 ． 【分析】先证明△GAD≌△EAB，求出∠PDG＝45°，进而得出点G在线段DH上，当PG⊥DH时，PG最短，此时△PDG为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求出PG的长度，即可得出答案． 【解答】解：四边形ABCD、四边形AEFG均为正方形， ∴∠DAB＝∠GAE＝90°，AD＝AB，AG＝AE，∠ABD＝45°， ∴∠DAB﹣∠DAE＝∠GAE﹣∠DAE，即∠GAD＝∠EAB， 在△GAD和△EAB中， ， ∴△GAD≌△EAB（SAS）， ∴∠PDG＝∠ABD＝45°， ∴点G在线段DH上， ∴当PG⊥DH时，PG最短， ∵正方形ABCD的边长为8，点P为AD的中点， ∴DP＝4， ∵PG⊥DH，∠PDG＝45°， ∴△PDG为等腰直角三角形， ∴PGPD＝2， 故答案为：2． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）已知，如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF，分别连接AE，EC，CF，FA． 求证：四边形AECF是平行四边形． 【分析】想办法证明OA＝OC，OE＝OF即可解决问题． 【解答】证明：如图，连接AC交BD于O． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵DF＝BE， ∴DE＝BF， ∴OF＝OE， ∴四边形AECF是平行四边形． 18．（8分）如图，在△OAB中，∠1＝∠2．延长AO至点C，且AO＝CO，延长BO至点D，且BO＝DO，顺次连接BC，CD，DA得到四边形ABCD． （1）补全图形； （2）所得四边形ABCD为（从①矩形；②菱形；③正方形中选择，只填写序号即可），请说明理由． 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据矩形的判定即可得到四边形ABCD是矩形． 【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求． （2）结论：四边形ABCD是矩形． 理由：∵∠1＝∠2， ∴OA＝OB， ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝2OA，BD＝2OB，OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形） 19．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F． （1）在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件：　AC⊥BD（答案不唯一）．　 ，使得四边形AOBE是矩形，并说明理由； （2）若AC⊥BD，OE＝10，AC＝16，求▱ABCD的面积． 【分析】（1）添加：AC⊥BD（答案不唯一）．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）利用矩形的性质求出AB，再利用勾股定理求出OB，可得结论． 【解答】解：（1）添加：AC⊥BD（答案不唯一）． 理由：∵BE∥AC，AE∥BD， ∴四边形AOBE是平行四边形， ∵AC⊥DB， ∴∠AOB＝90°， ∴四边形AOBE是矩形； 故答案为： （2）由（1）可知，四边形AOBE是矩形， ∴AB＝OE＝10， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OCAC＝8， ∵AC⊥BD， ∴OD＝OB6， ∴BD＝12， ∴四边形ABCD的面积•AC•BD16×12＝96． 20．（8分）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：OE⊥DC． （2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积． 【分析】（1）由题意可证四边形ODEC是平行四边形，通过证明四边形ODEC是菱形，可得OE⊥DC； （2）由题意可得∠DAO＝30°，AC＝4，根据直角三角形的性质可得CD＝2，AD＝2，根据矩形的面积公式可求矩形ABCD的面积． 【解答】（1）证明： ∵DE∥AC，CE∥BD， ∴DE∥OC，CE∥OD， ∴四边形ODEC是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OD＝OC＝OA＝OB， ∴四边形ODEC是菱形， ∴OE⊥DC， （2）∵DE＝2，且四边形ODEC是菱形 ∴OD＝OC＝DE＝2＝OA， ∴AC＝4 ∵∠AOD＝120，AO＝DO ∴∠DAO＝30°，且∠ADC＝90° ∴CD＝2，ADCD＝2 ∴S矩形ABCD＝2×24 21．（8分）如图①，如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N． （1）求证：∠BME＝∠CNE； （2）如图②，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E、F分别是BC、AD中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状． 【分析】（1）取BD的中点H，连接FH、HE，利用三角形中位线定理和平行线性质完成即可； （2）如图，取BD的中点H，连接HE、HF，证明HF、HE分别是△ABD、△BCD的中位线，得到HF∥AB，HE∥CD，，进而证明HF＝HE，∠ONM＝∠OMN，即可证明△OMN是等腰三角形． 【解答】（1）证明：如图所示，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF， ∵E、F分别是AD、BC的中点， ∴HF、HE分别是△BCD、△ABD的中位线， ∴HF∥CN，HE∥BM，， ∵AB＝CD， ∴HF＝HE， ∴∠HEF＝∠HFE， ∵HF∥CN，HE∥BM， ∴∠HEF＝∠BME，∠HFE＝∠CNE， ∴∠BME＝∠CNE； （2）解：△OMN是等腰三角形； 证明：如图，取BD的中点H，连接HE、HF， ∵E、F分别是BC、AD的中点， ∴HF、HE分别是△ABD、△BCD的中位线， ∴HF∥AB，HE∥CD，， ∵AB＝CD， ∴HF＝HE， ∴∠HFE＝∠HEF， ∵HF∥AB，HE∥CD， ∴∠HFE＝∠ONM，∠HEF＝∠OMN， ∴∠ONM＝∠OMN， ∴OM＝ON， ∴△OMN是等腰三角形． 22．（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC上，AF与DE相交于点G，AF＝DE，求证：∠DGF＝90°． （1）请完成上题的证明过程； （2）如图2，在菱形ABCD中，点E在AB上，点F在射线BC上，AF与DE相交于点G，AF＝DE，求证：∠DGF＝∠B． 【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件证明Rt△DAE≌Rt△ABF，再通过证明∠ADE+∠DAF＝90°证明∠DGF＝90°； （2）作AH⊥BC于点H，EK⊥CD于点K，根据同一个菱形的高相等证明EK＝AH，再由AF＝DE证明Rt△EKD≌Rt△AHF得到∠EDC＝∠F，再推出∠DGF＝∠B． 【解答】（1）证明：如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝AB，∠DAE＝∠B＝90°， ∵AF＝DE， ∴Rt△DAE≌Rt△ABF（HL）， ∴∠ADE＝∠BAF， ∴∠ADE+∠DAF＝∠BAF+∠DAF＝∠DAB＝90°， ∴∠DGF＝∠ADE+∠DAF＝90°． （2）证明：如图2，作AH⊥BC于点H，EK⊥CD于点K，则∠EKD＝∠AHF＝90°， 设AF交CD于点R， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝DC， ∴S菱形ABCD＝EK•DC＝AH•BC， ∴EK＝AH， ∵AF＝DE， ∴Rt△EKD≌Rt△AHF（HL）， ∴∠EDC＝∠F， ∴∠DRF﹣∠EDC＝∠DRF﹣∠F， ∵∠DGF＝∠DRF﹣∠EDC，∠DCF＝∠DRF﹣∠F， ∴∠DGF＝∠DCF， ∵CD∥AB， ∴∠DCF＝∠B， ∴∠DGF＝∠B． 23．（10分）如图，在正方形ABCD中，点P在射线AC上，点E在射线BC上． （1）连接BP，如图1，求证：PD＝PB； （2）过点P作PE⊥PD交BC于点E，如图2，求证：BEAP； （3）点P在射线AC上，点E在射线BC上，若CD＝6，CP＝4，PE⊥PD，直接写出EC的长：EC＝　2或14　 ． 【分析】（1）利用“SAS”证明△BAP≌△DAP即可得证； （2）连接PB，作PF⊥AB于F，PG⊥BC于G，由（1）可得：PB＝PD，△BAP≌△DAP，由全等三角形的性质结合正方形的性质得出∠CBP＝∠CDP，证明四边形FBGP是矩形，△AFP是等腰直角三角形，得出FP＝BG，，证明出BP＝EP，由等腰三角形的性质得出BE＝2BG，即可得解； （3）分两种情况：当点P在线段AC上时，此时点E在线段BC上；当点P在射线AC上时，此时点E在射线BC上，作PF⊥AB交AB的延长线于F，PG⊥BC交BC的延长线于G，延长DC交PF于H；分别求解即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，点P在对角线AC上， ∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP＝45°， 在△BAP和△DAP中， ， ∴△BAP≌△DAP（SAS）， ∴PD＝PB； （2）证明：如图，连接PB，作PF⊥AB于F，PG⊥BC于G， ， 由（1）可得：PB＝PD，△BAP≌△DAP， ∴∠ABP＝∠ADP， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠BAC＝45°， ∴∠ABC﹣∠ABP＝∠ADC﹣∠ADP，即∠CBP＝∠CDP， ∵PF⊥AB，PG⊥BC， ∴∠PFA＝∠PFB＝∠FBG＝∠PGB＝∠PGC＝90°， ∴四边形FBGP是矩形，△AFP是等腰直角三角形， ∴FP＝BG，， ∴， ∵PD⊥PE， ∴∠DPE＝90°， ∵∠DPE+∠PEC+∠DCE+∠CDP＝360°， ∴∠PEC+∠CDP＝180°， ∵∠PEC+∠PEB＝180°， ∴∠CDP＝∠PEB， ∴∠PBE＝∠PEB， ∴BP＝EP， ∵PG⊥BC， ∴BE＝2BG， ∵， ∴； （3）解：EC的长为2或14；理由如下： 如图3，当点P在线段AC上时，此时点E在线段BC上， ∵四边形ABCD是正方形，CD＝6， ∴AD＝AC＝BC＝6， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴CE＝BC﹣BE＝6﹣4＝2； 如图4，当点P在射线AC上时，此时点E在射线BC上，作PF⊥AB交AB的延长线于F，PG⊥BC交BC的延长线于G，延长DC交PF于H， ， ∵四边形ABCD是正方形，CD＝6， ∴AD＝AC＝BC＝6，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠BCA＝45°， ∴， ∴， ∵PG⊥BC，PF⊥AB， ∴∠F＝∠FBG＝∠PGB＝∠HCG＝∠BAD＝∠ADH＝90°， ∴四边形BFPG是矩形，四边形AFHD是矩形，△AFP是等腰直角三角形， ∴FP∥BG，， ∴DH⊥FP， ∴∠CHP＝90°， ∴四边形CHPG是正方形， ∴， ∵PE⊥PD， ∴∠EPG+∠DPG＝∠HPD+∠DPG＝90°， ∴∠EPG＝∠HPD， ∵HP＝GP，∠DHP＝∠EGP＝90°， ∴△DHP≌△EGP（AAS）， ∴GE＝DH＝10， ∴CE＝CG+GE＝4+10＝14； 综上所述，CE＝2或14， 故答案为：2或14． 24．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝10cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2m/s的速度由C向B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点随之停止运动．设运动时间为t s． （1）PD＝ 　（6﹣t）　 cm，BQ＝ 　（10﹣2t）　 cm；（分别用含t的式子表示） （2）当点P，Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形为平行四边形时，求t的值； （3）在（2）的条件下，若∠C＝45°，（2）中的平行四边形为菱形时，直接写出DC的长：DC＝ 　4cm或（）cm或（）cm　 ． 【分析】（1）设运动时间为t秒，则AP＝t cm，CQ＝2t cm； （2）设t秒后四边形ABQP是平行四边形；分情况讨论，根据平行四边形的性质列出方程解方程即可求解； （3）根据（2）的三种不同情况根据菱形四边相等，分别画出图形利用等腰直角三角形性质和勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）∵点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动， ∴设运动时间为t秒，则AP＝t cm，CQ＝2t cm， ∵AD＝6cm，BC＝10cm， ∴PD＝（6﹣t）cm；BQ＝（10﹣2t）cm， 故答案为：（6﹣t）；（10﹣2t）； （2）①当DP＝CQ时，四边形PDQC是平行四边形， 依题意得：6﹣t＝2t， 解得t＝2； ②当PD＝BQ时，四边形DPBQ是平行四边形， 依题意得：6﹣t＝10﹣2t， 解得t＝4； ③当AP＝BQ时，四边形PABQ是平行四边形， 依题意得：t＝10﹣2t， 解得； ④当PA＝CQ时，t＝2t，t＝0这种情况不可能， 综上所述，t的值为2或或4； （3）DC的长为4cm或（）cm或（）cm；理由如下： ①当t＝2，四边形PDCQ是菱形时，如图1： 即DP＝CQ＝CD＝2t＝4cm； ②当t＝4，四边形PDQB是菱形时，即CQ＝2t＝8cm，PD＝BQ＝DQ＝2cm， ∴CQ＝8cm， 过点Q作QH⊥CD， ∵∠C＝45°， ∴∠C＝∠HQC＝45°， ∴QH＝CH，QHQC＝4QD＝2cm，故此时不存在CD使四边形PDQB是菱形； ③当四边形PABQ是菱形时，如图3， 依题意得：CQ＝2tcm，AP＝BQ＝PQcm，PDcm， 过点D作DK∥PQ，过点K作KH⊥CD垂足为H，当KH在△CKD内部时， ∵AD∥BC， ∴四边形PDKQ使平行四边形， ∴DK＝PQcm，QK＝PDcm， ∴KC＝CQ﹣QK4（cm）， ∵∠C＝45°，KH⊥CD， ∴∠CKH＝∠C＝45°， ∴KH＝HC， 在RT△KCH中，由勾股定理得：KH2+CH2＝KC2＝42， ∴KH＝HC＝2cm， 在RT△KDH中，由勾股定理得：HD（cm）， ∴CD＝CH+DH＝（2）cm； 当KH在△CKD外部时，如图4， 此时CD＝CH﹣DH＝（2）cm， 综上所述，CD长为4cm或（）cm或（）cm， 故答案为：4cm或（）cm或（）cm． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 平行四边形章末测试卷 能力提升培优测 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：平行四边形（人教版）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）下列判断错误的是（　　） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．邻边相等的平行四边形是菱形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 2．（3分）如图，已知▱ABCD的周长为38，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，△DOE的周长为15，则BD的长为（　　） A．8 B．10 C．11 D．23 3．（3分）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC，BD的长就可以判断，其数学依据是（　　） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 4．（3分）已知：在四边形ABCD中，AB＝6，CD＝10，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围（　　） A．2＜MN＜8 B．2＜MN≤8 C．4＜MN＜16 D．4＜MN≤16 5．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝20°，则∠CAD的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 6．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（　　） A．13或14 B．26或28 C．13 D．无法确定 7．（3分）已知两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成一个四边形ABCD，对角线AC＝8，BD＝6，过点D作DH⊥AB于点H，则DH的长是（　　） A．2.4 B．4.8 C．5 D．9.6 8．（3分）如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD、正方形BEFG的边长分别为6、8，H为线段DF的中点，则BH的长为（　　） A．6 B．8 C．6或8 D．5 9．（3分）如图，∠MON＝90°，长方形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝4，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（　　） A． B． C． D．2 10．（3分）如图，在正方形ABCD中，以AB为边作等边三角形ABP，连接AC，PD，PC，则下列结论；①∠BCP＝75°；②△ADP≌△BCP；③△ADP和△ABC的面积比为1：2；④．其中结论正确的序号有（　　） A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）▱ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠B＝　 　 ． 12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，BD＝8．过点A作AE⊥BC于点E，则AE的长　 　 ． 13．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD＝56°，则∠EDB的度数为 　 　 度． 14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），如果以A，B，C，O为顶点的四边形是平行四边形，那么满足条件的所有点C的坐标为　 　 ． 15．（3分）如图，矩形ABCD中，CD＝3，BC＝5，点E为射线AD上的一个动点，△ABE与△FBE关于直线BE对称，当点E、F、C三点共线时，AE的长为 　 　 ． 16．（3分）如图，点E是边长为8的正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与点B、D重合），连接AE，以AE为边向左侧作正方形AEFG，点P为AD的中点连接PG、DG，DG与BA的延长线交于点H，在点E运动过程中，线段PG的最小值是 　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）已知，如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF，分别连接AE，EC，CF，FA． 求证：四边形AECF是平行四边形． 18．（8分）如图，在△OAB中，∠1＝∠2．延长AO至点C，且AO＝CO，延长BO至点D，且BO＝DO，顺次连接BC，CD，DA得到四边形ABCD． （1）补全图形； （2）所得四边形ABCD为（从①矩形；②菱形；③正方形中选择，只填写序号即可），请说明理由． 19．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F． （1）在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件：　 　 ，使得四边形AOBE是矩形，并说明理由； （2）若AC⊥BD，OE＝10，AC＝16，求▱ABCD的面积． 20．（8分）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：OE⊥DC． （2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积． 21．（8分）如图①，如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N． （1）求证：∠BME＝∠CNE； （2）如图②，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E、F分别是BC、AD中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状． 22．（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC上，AF与DE相交于点G，AF＝DE，求证：∠DGF＝90°． （1）请完成上题的证明过程； （2）如图2，在菱形ABCD中，点E在AB上，点F在射线BC上，AF与DE相交于点G，AF＝DE，求证：∠DGF＝∠B． 23．（10分）如图，在正方形ABCD中，点P在射线AC上，点E在射线BC上． （1）连接BP，如图1，求证：PD＝PB； （2）过点P作PE⊥PD交BC于点E，如图2，求证：BEAP； （3）点P在射线AC上，点E在射线BC上，若CD＝6，CP＝4，PE⊥PD，直接写出EC的长：EC＝　 　 ． 24．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝10cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2m/s的速度由C向B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点随之停止运动．设运动时间为t s． （1）PD＝ 　 　 cm，BQ＝ 　 　 cm；（分别用含t的式子表示） （2）当点P，Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形为平行四边形时，求t的值； （3）在（2）的条件下，若∠C＝45°，（2）中的平行四边形为菱形时，直接写出DC的长：DC＝ 　 　 ． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$