8.1 与三角形有关的边和角-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（华东师大版2024）

8.1 与三角形有关的边和角 课程标准 学习目标 ①认识三角形 ②三角形的内角和与外角和 ③三角形的三边关系 1. 掌握三角形的定义，了解三个重要线段； 2. 掌握内角和与外角和的计算，并且会根据三边关系求参数范围． 知识点01 认识三角形 一、三角形的定义和基本元素 三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形。这三条线段就是三角形的边，它们首尾相接形成的三个角是三角形的内角。三角形的顶点采用大写字母表示，整个三角形记为“△”。 二、三角形的分类 三角形可以按角或边进行分类。按角分类，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。按边分类，三角形可以分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形又可以进一步分为底边与腰不相等的等腰三角形和等边三角形。 三、三角形的重要线段 1.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 2.中线：连结三角形一个顶点和它对边的中点，所得的线段叫做该三角形这条边上的中线。中线用来求线段长或等分面积。 3.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。角平分线用来求角。 知识点02 三角形的内角和与外角和 三角形的内角和为180°。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。三角形的外角和为360°。 知识点03 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 题型01 三角形的内、外角 【典例1】如图，已知，点D是边延长线上一点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，关键是由平行线的性质推出； 由三角形内角和定理求出，由平行线的性质推出，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ； 故选：B 【变式1】如图，下列角中是的外角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的外角定义．三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，由此即可得到答案． 【详解】解：图形中是的外角的是． 故选：B． 【变式2】如图，在中，，D是延长线上一点．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．根据三角形的外角性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，在中，于，于，，，，则 ；若，则 【答案】 【分析】题目主要考查三角形等面积法及三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键 根据题意直接利用三角形等面积法求解即可得出，再由四边形内角和定理及对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵，，，，， ∴， 即， 解得： ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：；． 【变式4】阅读下列材料，回答问题 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如图两种方法． 小明同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于 证明过程如下：已知：如图3，．求证： 证明：如图3，过点A作 _________（_________________） 同理 （______________） (1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全小明同学证明过程中所缺的内容； (2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；等量代换 (2)见解析 【分析】此题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握平行线的性质，正确地作出辅助线，把三角形的三个内角转化一个平角是解决问题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等得，，再根据平角定义得，然后根据等量代换可得出三角形内角和等于； （2）过点作，延长到，根据平行线的性质得，，再根据平角的定义得，进而可得出三角形内角和等于． 【详解】（1）证明：已知：如图3，． 求证：． 证明：如图3，过点A作， ， （两直线平行，内错角相等）， 同理， ， （等量代换）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；等量代换． （2）证明：如图，过点作，延长到， ∴，， ∵， ∴． 题型02 三角形的分类 【典例1】类比“三角形”特殊化后得到研究对象等腰三角形，把“等腰三角形”特殊化可以得到研究对象（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题考查三角形的分类，熟练掌握三角形按边分为：等腰三角形和没有边相等的一般三角形，等腰三角形分为：等边三角形和底与腰不等的等腰三角形是解题的关键． 根据三角形按边分类解答即可． 【详解】解：∵三角形按边分为：等腰三角形和没有边相等的一般三角形，等腰三角形分为：等边三角形和底与腰不等的等腰三角形． ∴把“等腰三角形”特殊化可以得到研究对象“等边三角形”． 故选：C． 【变式1】如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定三角形的形状 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的分类，掌握各类三角形的定义是解题的关键． 根据钝角三角形的定义作答即可． 【详解】解：由三角形中有1个已知角为钝角，则这个三角形是钝角三角形． 故选：C． 【变式2】等腰三角形一个底角等于顶角的4倍，顶角是 度，按角分，它是 三角形． 【答案】 20 锐角 【分析】本题主要考查了三角形的分类．设顶角度数为，则，即可解得，故三个内角度数为20，80，80，即可得它是锐角三角形． 【详解】解：设顶角度数为，则， 解得， 故三个内角度数为20，80，80， 它是锐角三角形． 故答案为：20，锐角． 【变式3】在中，若，则的形状是 三角形（填钝角、直角和锐角）． 【答案】锐角 【分析】根据三角形的内角和，以及三角形的三个角之间的比例，计算出最大角的度数，并且判断出三角形的类型即可． 【详解】∵三角形内角和为，， ∴， 即为锐角， 故答案为锐角． 【点睛】本题考查三角形的内角和，三角形的分类，能够根据三个角之间的比例计算出每个角的度数是解决本题的关键． 【变式4】把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类标准是解题的关键：主要有两种分类标准，一是按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形． （1）由三角形的分类（按边分类）即可直接得出答案； （2）由三角形的分类（按角分类）即可直接得出答案． 【详解】（1）解：按边分类，由图可知： 三边均不相等的是不等边三角形， 两条边相等的是等腰三角形， 三条边相等的是等边三角形， 故答案为：，，； （2）解：按角分类，由图可知： 都是锐角的是锐角三角形， 有直角的是直角三角形， 有钝角的是钝角三角形， 故答案为：，，． 题型03 三角形的高 【典例1】如图所示，中边上的高线画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了画高线， 过点C作，交的延长线于点H，点C和点H之间的线段即为所求作． 【详解】解：如图所示，过点C作，交的延长线于点H，则即为所求作的高线． 故选：B． 【变式1】如图，，分别是的高、中线、角平分线，则下列线段中，最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，高、中线、角平分线的定义，熟练掌握连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短是解题的关键．利用垂线段最短即可解决． 【详解】解：因为，，分别是的高、中线、角平分线， ∴是点到直线的垂线段， 利用连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短， 可得最短， 故选：A． 【变式2】已知中，，，过点A作的高，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查锐角三角形和钝角三角形高的画法，尤其注意钝角三角形在钝角的两条边用虚线作延长线，过顶点作垂直高线，根据已知三角形内角度数，结合正确画出三角形高是本题的解题关键．根据题意画出，分别讨论三角形为锐角和钝角三角形时的角，根据，可得答案． 【详解】解：∵中，，， 如图1，当是锐角三角形时， ； 如图2，当是钝角三角形时， ， 故答案为：或． 【变式3】如图，，的面积为，，则点到直线的距离为 cm． 【答案】6 【分析】本题考查了与三角形的高有关的计算、点到直线的距离．作于，先求出，再结合点到直线的距离的意义即可得解． 【详解】解：如图，作于，   的面积等于，， ，即， ， ， 点到直线的距离为， 故答案为：6． 【变式4】如图，在△中，为边上的高，点为边上的中点，连接．若，△的面积为20，求的长． 【答案】 【分析】本题考查与三角形高有关的计算，先利用三角形的面积求出，然后利用线段中点的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：，△的面积为20， ， ， ， 点为边上的中点， ． 题型04 三角形的中线 【典例1】如图，，分别是的高线和中线．若的面积为，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的中线性质，掌握三角形的中线性质是解题关键． 根据三角形的中线平分三角形的面积求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：是的中线， ， ，， ． 故选：C． 【变式1】如图，为的中线，若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．利用中线的性质即可求解． 【详解】解：为的中线， ， 的面积为， 的面积为， 故选：B． 【变式2】已知是的边上的中线，若的周长比的周长大6，则与的差是 . 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依据三角形中线的定义，即可得到，再根据的周长比的周长大6，即可得出与的差为6． 【详解】解：是的边上的中线， ， 的周长比的周长大6， ， 即， 故答案为：6． 【变式3】如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为 ； （2）设的面积为m，的面积为n，则 ． 【答案】 4 / 【分析】本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，解方程，熟练掌握中线的意义是解题的关键． （1）设边上的高为h，根据题意，得，，结合得，代入计算即可． （2）根据是边上的中线，的面积等于16，得到，结合的面积为m，的面积为n，得到即，连接，根据，得到，根据是边上的中线，，继而得到，得到，代入解答即可． 【详解】（1）解：设边上的高为h，根据题意，得， ， ∵， ∴， 故答案为：4． （2）解：根据是边上的中线，的面积等于16，得到， 又的面积为m，的面积为n，得到即， 如图，连接，根据， 得到， 又是边上的中线，， 故， 解得， 故． 故答案为：． 【变式4】如图，在中，是边上的中线，于点，若的面积是10，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的中线、高线等知识点，掌握三角形的中线平分三角形成为解题的关键． 由三角形中线的性质可得，再根据三角形面积公式列方程求出即可． 【详解】解：为的中线， ， ， 解得：． 题型05 三角形的角平分线 【典例1】如图，在中，，则的一条角平分线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线的定义，根据已知可得，即可得出角平分线为，即可求解． 【详解】解：因为 所以，即 所以的一条角平分线为 故选：B． 【变式1】三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的（　　） A．内部 B．外部 C．一边上 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形角平分线，作出图形，根据三角形角平分线的性质即可解答． 【详解】解：如图， 三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的内部． 故选：A 【变式2】如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 【答案】 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，熟练掌握三角形角平分线的定义是解题的关键． 根据三角形角平分线的定义即可直接得出答案． 【详解】解：是的角平分线，则平分，，且点在边上， 故答案为：，，． 【变式3】如图，是的角平分线，是边上的中线（填“”“”或“”）． （1） ； （2） ． 【答案】 【解析】略 【变式4】完成下面的证明． 如图，在中，平分，平分，，． 求证：． 证明：平分，平分（已知）， ，（______________）． 又（已知）， ________（等量代换）． 又（已知）， ________，（______________）． ．（等量代换）． 【答案】角平分线的定义；；；两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，由角平分线的定义得出，结合已知得出，由平行线的性质得出，即可得证． 【详解】证明：平分，平分（已知）， ，（角平分线的定义）． 又（已知）， （等量代换）． 又（已知）， ，（两直线平行，同位角相等）． ．（等量代换）， 故答案为：角平分线的定义；；；两直线平行，同位角相等． 题型06 直角三角形的两个锐角互余 【典例1】在下列条件中，不能确定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考据三角形的内角和定理和直角三角形的两锐角互余，解题的关键是掌握三角形内角和为．根据三角形内角和等于，即可得到或的度数，进而得出结论． 【详解】若，则， 能确定是直角三角形，故A不符合题意； 若，则， ∴，能确定是直角三角形，故B不符合题意； 若，则， 能确定是直角三角形，故C不符合题意； 若， ∴， 由三角形内角和定理， 可得，解得， ∴是不是直角三角形，故D不符合题意． 故选：D． 【变式1】如图，，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识，结合图形分析是解题的关键． 根据平行线的性质得到，由直角三角形两锐角互余得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D ． 【变式2】如图所示，选择适当的方向击打白球，可以使白球反弹后将黑球撞入袋中，此时，并且，如果黑球与洞口连线和台球桌面边缘夹角，那么应等于 度，才能保证黑球能直接入袋，此时的与的关系是 ． 【答案】 60 互余 【分析】根据和可以得出，再根据即可得出的度数．再结合，得与的关系是互余．本题考查了直角三角形的两个锐角互余，角度的计算，根据题意正确得出角度之间的关系是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵， ∴． ∵ ∴， 此时的与的关系是互余． 故答案为：60，互余． 【变式3】若一个直角三角形两个锐角的度数比为，则较大锐角的角平分线与其对边所形成的夹角（锐角）的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，掌握直角三角形的性质，三角形的外角的性质是解题的关键． 根据题意如图所示，，平分，则，根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：一个直角三角形两个锐角的度数比为， ∴，， 如图所示，，平分，则， ∴， 故答案为： ． 【变式4】把一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角板中角度的计算，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 利用三角形内角和定理及，可求出，的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出度数． 【详解】解：，，， ，， ， ， ， 在中，， 的度数为 ． 题型07 三角形的稳定性 【典例1】下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：由题意得，A、B、C三个选项中的图形都运用了三角形的稳定性，D选项中的图形具有伸缩功能，不运用三角形的稳定性， 故选：D． 【变式1】如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（   ） A．两点之间线段最短； B．长方形的四个角都是直角； C．两点确定一条直线； D．三角形具有稳定性； 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是三角形稳定性的实际应用，解题关键是熟练掌握三角形的稳定性． 根据三角形的稳定性即可得出答案． 【详解】解：用木条固定长方形门框后出现， 三角形具有稳定性， 门框不变形． 故选：． 【变式2】如图是国庆黄金周期间珍珍去河北某景点看到的户外秋千椅子，其侧面制作成三角形形状，这是利用了三角形的 ． 【答案】稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据题意可直接得到答案． 【详解】解：户外秋千椅子的侧面制作成三角形形状，利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 【变式3】如图，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，其中的数学原理是三角形的 ． 【答案】稳定性 【分析】此题考查了三角形稳定性的特性．根据三角形的稳定性进行解答即可． 【详解】解：为了安全，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，这是利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 【变式4】[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 【答案】(1)2，3， (2)9 (3)21 【分析】（1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【详解】（1）解：如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … 故答案为：2，3，； （2）解：（根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：9； （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，注意利用图形总结规律是解题的关键． 题型08 三角形的三边关系 【典例1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．4，4，10 B．6，8，10 C．5，6，11 D．3，4，8 【答案】B 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为4，4，10的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为6，8，10的三条线段能组成三角形，符合题意； C、∵， ∴长为5，6，11的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、∵， ∴长为3，4，8的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：B． 【变式1】已知三角形两边长分别是3和5，若第三边长是偶数，则最短是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，设三角形的第三边长为，根据三角形任意两边之和大于第三边，两边只差小于第三边得出，结合题意即可得解． 【详解】解：设三角形的第三边长为， ∵三角形两边长分别是3和5， ∴，即， ∵第三边长是偶数， ∴最短是， 故选：B． 【变式2】若一个三角形三边长分别为2，m和8，则m的取值范围 ． 【答案】 【分析】设第三边长为m，根据题意，得即，解答即可． 本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键． 【详解】解：设第三边长为m，根据题意，得即， 故答案为：． 【变式3】一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为和，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 直接利用三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由三角形三边关系定理得：，即． 故答案为：． 【变式4】在中，，． (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为13，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为21 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得，根据是偶数得； （2）根据是的中线得，根据的周长为13和即可求解． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知：， 即， 是偶数， ； （2）解：的周长为13， ， ， ， 是的中线， ， ， ， 的周长． 题型09 三角形的三种角平分线模型 【典例1】如图，的角平分线、相交于F，，，且于G，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的角平分线，灵活运用角平分线的定义及三角形的内角和定理是解题的关键． 根据平行线的性质，结合角平分线的定义计算可判定①；根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义可判定②；根据已知条件无法推知③；由角平分线的定义结合周角的定义可判定④． 【详解】解：∵， ， 平分， ， ，故①正确； ， ， ，且于， ， ， 平分， ， ，故②正确； 无法证明平分，故③错误； ，， ， ， ，故④正确； 所以其中正确的结论为①②④，共3个． 故选：C． 【变式1】如图，在四边形中，和的平分线相交于点F，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和，先运用四边形内角和得出，因为角平分线的定义得，，则，最后运用三角形内角和进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：    在四边形中，， ∴， ∵和的平分线相交于点F， ∴，， ∴， ∴， 在中，则， 故选：B． 【变式2】如图，在中，，的平分线相交于点I．若，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．先利用角平分线的定义求出和的度数，再运用的内角和是，求解的度数． 【详解】解：∵，的平分线相交于点I，，， ∴，， ∴． 故答案为： 【变式3】如图，、的平分线交于点，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，熟记性质并作辅助线然后整理出、、三者之间的关系式是解题的关键． 延长交于，根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，整理可得，即可得解． 【详解】如图，延长交于点，设与交于点． 、的平分线交于点， ，． ，， ① ，， ② ①－②，得， ． ，， ． 【变式4】【基础探究】 (1)如图1，，点是上的点，点是和之间的一点，连接、．若，，请你求出的度数； (2)如图2，，的平分线与的平分线交于点，当时，则的度数为 ； (3)如图3，，点、点分别是、上的点，点和点是和之间的点，连接、、、．若，，、分别平分、，则的度数为 ； (4)【问题迁移】 如图4，在中，，、分别平分、．则 ； 【拓展深化】 如图，在中，、是、上的点，设，． (5)如图5，、分别平分、．用含、的式子表示的度数为 ． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，灵活利用三角形的内角和定理，三角形的外角定理进行角度的计算是解决问题的关键． （1）过点作，证，则，，由此得，再根据，可得的度数； （2）设，，根据角平分线的定义得，，再根据，由（1）可知，则，然后根据三角形的内角和定理可得出的度数； （3）设，，根据角平分线的定义得，，，，根据，由（1）可知，，据此得，，由此解出可得的度数； （4）先由三角形内角和定理得，再根据角平分线的定义得，则，据此可得与的数量关系； （5）延长与的延长线交于点，则，再根据三角形外角定理得，根据（4）可知，据此可得的度数． 【详解】（1）解：过点作，如图1所示： ， ， ，， ，即， ，， ， 故答案为：； （2）解：设，，如图2所示： 的平分线与 的平分线交于点， ，， ，由（1）可知：，， ， ， 由三角形的内角和定理得：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：设，，如图3所示： 、分别平分、， ，，，， ， 由（1）可知：，， ，， ，， 解得：，， ， 故答案为：； （4）解：， ， 、分别平分、， ，， ， ∵， ， ， ， 故答案为：； （5）解：如图，延长与的延长线交于点，如图5所示： ， ， ，， ， 、分别平分、，由（4）可知：， ． 故答案为：． 1．要组成一个三角形，三条线段的长度可取（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】此题考查的是构成三角形的条件，掌握三角形的三边关系是解决此题的关键．根据三角形的三边关系逐一判断即可． 【详解】解：A．因为，所以长度为1，2，3的线段不能构成三角形，故不符合题意； B． 因为 ，所以长度为2，3，5的线段不能构成三角形，故不符合题意；     C． 因为 ，所以长度为3，4，5的线段能构成三角形，故符合题意；     D． 因为 ，所以长度为3，5，10的线段不能构成三角形，故不符合题意． 故选C． 2．如图，将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的外角性质，根据三角板的度数以及三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，，， ∴， 故选：D． 3．某工程队准备开挖一条隧道，为了缩短工期，必须在山的两侧同时开挖，为了确保两侧开挖的隧道在同一条直线上，测量人员在如图的同一高度定出了两个开挖点P和Q，然后在左边定出开挖的方向线，为了准确定出右边开挖的方向线，测量人员取一个可以同时看到点A，P，Q的点O，测得，，那么应等于（   ）度才能确保与在同一条直线上． A．52 B．100 C．28 D．任意度数 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理的应用，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．要确保与在同一条直线上，即在同一条直线上，则点需在的边上，利用三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：要确保与在同一条直线上，即在同一条直线上，则点需在的边上， ∴， ∵，， ∴， 即应等于52度才能确保与在同一条直线上． 故选：A． 4．在中，，，长度可以是 ．（写出一个满足条件的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出的范围，即可求解． 【详解】解：在中，，， ，即， 长度可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 5．如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若，则的度数为 ． 【答案】/85度 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，两直线平行同位角相等，三角形内角和定理， 根据题意可知，再根据三角形内角和定理求出，然后根据平行线的性质得，可得答案． 【详解】如图所示， 根据题意可知， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 6．如图，在中，，是直角三角形，，，且边与重合，将绕点以每秒顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时，． 【答案】5或35/35或5 【分析】本题考查平行线的性质，能根据题意画出示意图及熟知平行线的性质是解题的关键．分两种情况画出示意图，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：当在上方时，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴； 当在下方时，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，第5或35秒时，边与边平行． 故答案为：5或35． 7．如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即），这样做的数学道理是什么？ 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性在生活中的具体应用，根据三角形的稳定性进行解答即可． 【详解】解：木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即），这样做的数学道理是三角形的稳定性． 8．如图，在中，B是边上一点，，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】根据，结合，，得到，继而得到，根据，得到，结合 解答即可． 本题考查了三角形外角性质，三角形内角和定理，角的和，熟练掌握三角形外角，三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．【阅读理解】 在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． 【数学运用】 （1）如图1，是“友爱三角形”，，且与互为“友爱角”．求、的度数． 【拓展探索】 （2）如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，则________________． 【答案】（1），；（2）或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）利用“友爱三角形”的定义及结合解答即可； （2）利用“友爱三角形”的定义解答即可；利用分类讨论的方法，根据“友爱三角形”的定义解答即可． 【详解】解：（1）是“友爱三角形”，，且与互为“友爱角”， ， ，解得， ； （2）是“友爱三角形”，D是边上一点（不与点A，B重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 10．已知，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点，满足． (1)如图1，当点在的左侧时，若，，则＝________； (2)如图，当点在的右侧时，猜想，，满足的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点P在左侧，且，和的角平分线，交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；以此类推，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，理解题意，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解决问题的关键． （1）过点作，证，则，，从而得，再根据，可得的度数； （2）过点作，证，则，，从而得，由此可得，，满足的数量关系； （3）由（2）可知，由得，由角平分线定义得，由（1）得，再由角平分线定义得，则，同理：，…，以此类推：； 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ， ， ，， ， 即， ，， ， 故答案为：； （2）解：，，满足的数量关系是：，理由如下： 过点作，如图所示： ， ， ，， ， ， ． （3）解：由（2）可知：， ， ， ，分别平分， ， 由（1）可知：， ，分别平分，， ， ， 同理：， …， 以此类推：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1 与三角形有关的边和角 课程标准 学习目标 ①认识三角形 ②三角形的内角和与外角和 ③三角形的三边关系 1. 掌握三角形的定义，了解三个重要线段； 2. 掌握内角和与外角和的计算，并且会根据三边关系求参数范围． 知识点01 认识三角形 一、三角形的定义和基本元素 三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形。这三条线段就是三角形的边，它们首尾相接形成的三个角是三角形的内角。三角形的顶点采用大写字母表示，整个三角形记为“△”。 二、三角形的分类 三角形可以按角或边进行分类。按角分类，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。按边分类，三角形可以分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形又可以进一步分为底边与腰不相等的等腰三角形和等边三角形。 三、三角形的重要线段 1.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 2.中线：连结三角形一个顶点和它对边的中点，所得的线段叫做该三角形这条边上的中线。中线用来求线段长或等分面积。 3.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。角平分线用来求角。 知识点02 三角形的内角和与外角和 三角形的内角和为180°。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。三角形的外角和为360°。 知识点03 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 题型01 三角形的内、外角 【典例1】如图，已知，点D是边延长线上一点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，下列角中是的外角的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，D是延长线上一点．若，则的度数是 ． 【变式3】如图，在中，于，于，，，，则 ；若，则 【变式4】阅读下列材料，回答问题 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如图两种方法． 小明同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于 证明过程如下：已知：如图3，．求证： 证明：如图3，过点A作 _________（_________________） 同理 （______________） (1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全小明同学证明过程中所缺的内容； (2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成． 题型02 三角形的分类 【典例1】类比“三角形”特殊化后得到研究对象等腰三角形，把“等腰三角形”特殊化可以得到研究对象（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．正方形 【变式1】如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定三角形的形状 【变式2】等腰三角形一个底角等于顶角的4倍，顶角是 度，按角分，它是 三角形． 【变式3】在中，若，则的形状是 三角形（填钝角、直角和锐角）． 【变式4】把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．    (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 题型03 三角形的高 【典例1】如图所示，中边上的高线画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，分别是的高、中线、角平分线，则下列线段中，最短的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知中，，，过点A作的高，则 ． 【变式3】如图，，的面积为，，则点到直线的距离为 cm． 【变式4】如图，在△中，为边上的高，点为边上的中点，连接．若，△的面积为20，求的长． 题型04 三角形的中线 【典例1】如图，，分别是的高线和中线．若的面积为，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．9 【变式1】如图，为的中线，若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知是的边上的中线，若的周长比的周长大6，则与的差是 . 【变式3】如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为 ； （2）设的面积为m，的面积为n，则 ． 【变式4】如图，在中，是边上的中线，于点，若的面积是10，求的长． 题型05 三角形的角平分线 【典例1】如图，在中，，则的一条角平分线为（   ） A． B． C． D． 【变式1】三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的（　　） A．内部 B．外部 C．一边上 D．不确定 【变式2】如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 【变式3】如图，是的角平分线，是边上的中线（填“”“”或“”）． （1） ； （2） ． 【变式4】完成下面的证明． 如图，在中，平分，平分，，． 求证：． 证明：平分，平分（已知）， ，（______________）． 又（已知）， ________（等量代换）． 又（已知）， ________，（______________）． ．（等量代换）． 题型06 直角三角形的两个锐角互余 【典例1】在下列条件中，不能确定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，选择适当的方向击打白球，可以使白球反弹后将黑球撞入袋中，此时，并且，如果黑球与洞口连线和台球桌面边缘夹角，那么应等于 度，才能保证黑球能直接入袋，此时的与的关系是 ． 【变式3】若一个直角三角形两个锐角的度数比为，则较大锐角的角平分线与其对边所形成的夹角（锐角）的度数为 ． 【变式4】把一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，，求的度数． 题型07 三角形的稳定性 【典例1】下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（   ） A．两点之间线段最短； B．长方形的四个角都是直角； C．两点确定一条直线； D．三角形具有稳定性； 【变式2】如图是国庆黄金周期间珍珍去河北某景点看到的户外秋千椅子，其侧面制作成三角形形状，这是利用了三角形的 ． 【变式3】如图，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，其中的数学原理是三角形的 ． 【变式4】[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 题型08 三角形的三边关系 【典例1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．4，4，10 B．6，8，10 C．5，6，11 D．3，4，8 【变式1】已知三角形两边长分别是3和5，若第三边长是偶数，则最短是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】若一个三角形三边长分别为2，m和8，则m的取值范围 ． 【变式3】一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为和，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为，则x的取值范围是 ． 【变式4】在中，，． (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为13，求的周长． 题型09 三角形的三种角平分线模型 【典例1】如图，的角平分线、相交于F，，，且于G，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】如图，在四边形中，和的平分线相交于点F，且，则（   ）    A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，的平分线相交于点I．若，，则的度数是 ． 【变式3】如图，、的平分线交于点，若，，则的度数为 ． 【变式4】【基础探究】 (1)如图1，，点是上的点，点是和之间的一点，连接、．若，，请你求出的度数； (2)如图2，，的平分线与的平分线交于点，当时，则的度数为 ； (3)如图3，，点、点分别是、上的点，点和点是和之间的点，连接、、、．若，，、分别平分、，则的度数为 ； (4)【问题迁移】 如图4，在中，，、分别平分、．则 ； 【拓展深化】 如图，在中，、是、上的点，设，． (5)如图5，、分别平分、．用含、的式子表示的度数为 ． 1．要组成一个三角形，三条线段的长度可取（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 3．某工程队准备开挖一条隧道，为了缩短工期，必须在山的两侧同时开挖，为了确保两侧开挖的隧道在同一条直线上，测量人员在如图的同一高度定出了两个开挖点P和Q，然后在左边定出开挖的方向线，为了准确定出右边开挖的方向线，测量人员取一个可以同时看到点A，P，Q的点O，测得，，那么应等于（   ）度才能确保与在同一条直线上． A．52 B．100 C．28 D．任意度数 4．在中，，，长度可以是 ．（写出一个满足条件的答案即可） 5．如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若，则的度数为 ． 6．如图，在中，，是直角三角形，，，且边与重合，将绕点以每秒顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时，． 7．如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即），这样做的数学道理是什么？ 8．如图，在中，B是边上一点，，，，求和的度数． 9．【阅读理解】 在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． 【数学运用】 （1）如图1，是“友爱三角形”，，且与互为“友爱角”．求、的度数． 【拓展探索】 （2）如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，则________________． 10．已知，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点，满足． (1)如图1，当点在的左侧时，若，，则＝________； (2)如图，当点在的右侧时，猜想，，满足的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点P在左侧，且，和的角平分线，交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；以此类推，请直接写出的度数． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$