重难点专题训练 三角形（专题训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（华东师大版2024）

重难点专题训练 三角形思维导图 专题训练01三角形的角平分线与高结合 1．如图，在中，，是的角平分线，是的高，若，则的度数为：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高的定义，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．设，结合已知和高线的定义可得的度数，进而得到的度数，再根据三角形的内角和定理列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设， 是的高， ， ， 是的角平分线， ， ， 解得，即的度数为， 故选：A． 2．如图，在中，平分．若，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握定义和定理是解题的关键． 先利用角平分线的定义求得，在利用直角三角形的两锐角互余求得，最后在中利用三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 3．如图，在中，是的高，是的平分线，是的平分线，相交于点． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线和高的定义，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）由三角形高的定义可得，即可得，由角平分线的定义得到，再根据角的和差关系即可求解； （）利用三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 专题训练02三角形的中线求面积 1．如图，在中，已知点，，分别是边，，上的中点，且 ，则的面积是（ ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形的中线的性质是解题关键．先根据三角形的中线可得，，从而可得，再根据三角形的中线可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的中点， ∴，， ∴， ∵是边上的中点， ∴， 故选：C． 2．如图，的面积是，点D，E，F，G分别是线段的中点，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形面积，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据每条中线将三角形分为面积相等的两部分，计算即可得到答案． 【详解】解：点D，E，F，G分别是线段的中点， ， ， ， ． 故答案为：. 3．（1）如图1，在中，若是边上的中线，则 ；如图2，在中，若 ，则 （2）如图3，若分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法． 连接，由，得， ， 同理，可得． 设 ，则 ， 设 ， 由题意，得 ， 可列方程组 ，解得 ． ∴ （3）如图4， ，若 ，求 ． 【答案】（1）；；（2）；；（3）6 【分析】本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，解二元一次方程组，熟练掌握这个结论是解题的关键． （1）根据等底等高的两个三角形面积相等知，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，即可求解； （2）根据题意，列出方程组，解出方程组，可得即可得到结果； （3）连接，，若 ，得到，，，设，则，，可列方程组，即可得到结果． 【详解】解：（1）如图，过点A作于点H， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，过点A作于点T， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）， 由得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，连接， ∵，， ∴，，， 设，则，， 可列方程为， 解得：， ∴． 专题训练03三角形三边关系的应用 1．若一个三角形三边长分别为3，7，a，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴a的值可以是5． 故选：D． 2．已知的边长两边长为2和4，第三边长为偶数，则第三边的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得，可得x的范围，然后再确定x的值即可． 【详解】解：设第三边长为x，由题意得： ， 解得：， ∵第三边长为偶数， ∴， ∴第三边的长为． 故答案为：． 3．已知在中，， (1)若，求x的取值范围； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握三边关系，绝对值的非负性； （1）根据两边之差小于第三边，两边之和大于第三边求解即可； （2）根据绝对值的非负性可得，即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：， ， ， ． 专题训练04多边形的内角和与外角和 1．一个正多边形的每一个外角都是，则它的内角和的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的内外角和问题，解题的关键是掌握外角和是，除以一个外角度数即为多边形的边数．根据多边形的内角和公式可求得该多边形的内角和． 【详解】解：∵多边形的每一个外角都是， ∴多边形的边数为：， ∴该多边形的内角和为：． 故选：C． 2．一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的，这个正多边形是 边形． 【答案】八 【分析】此题主要考查了多边形的内角与外角，解题关键是掌握多边形的内角与外角是邻补角的关系． 首先设外角为，则内角为，根据内角与外角是邻补角的关系可得，再解方程可得外角度数，然后再用除以外角度数可得边数． 【详解】解：设外角为，则内角为，由题意得： ， 解得：， ， ∴这个正多边形为八边形． 故答案为：八． 3．已知一个多边形的每个内角都是相邻外角的3倍． (1)求这个多边形的内角和； (2)求这个多边形的边数． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和的综合问题． （1）由题意可得出这个多边形的内角和度数是其外角和度数的3倍，根据多边形的外角和为即可得出这个多边形的内角和． （2）根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】（1）解：一个多边形的每个内角都是相邻外角的3倍， 这个多边形的内角和度数是其外角和度数的3倍， 多边形的外角和为， 这个多边形的内角和为； （2）解：设这个多边形的边数为， 由多边形内角和公式，得， 解得， 这个多边形的边数为8． 专题训练05多边形的截角问题 1．一个多边形切去一个角后共有5条对角线，原多边形不可能是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，解题时注意：一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．首先求得共有5条对角线的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1，即可确定原多边形的边数． 【详解】解：设共有5条对角线的多边形的边数是n，则， 解得：（负值已舍去）． ∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， ∴原多边形的边数为4或5或6． 原多边形不可能是七边形 故选：D． 2．把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形纸片的内角和为 ． 【答案】或或 【分析】由题意知，把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，可得七边形、六边形、五边形，由边形的内角和为，分别计算求解即可． 【详解】解：由题意知，把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，可得七边形、六边形、五边形， ∵边形的内角和为， ∴，，， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了多边形截去一个角的内角和．解题的关键在于确定六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形的种类． 3．（1）一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数． （2）小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°，求它的边数及少算的内角的度数． 【答案】（1）13或14或15；（2）边数为14，内角为 【分析】本题考查多边形的内角和与切割问题： （1）先根据多边形的内角和公式，求出现在多边形的边数，再分三种情况讨论即可； （2）根据多边形的内角和为的整数倍，用2024°除以的结果中的整数加1再加2即为边数，再求出多边形的内角和减去2024°，即可． 【详解】解：（1）设新的多边形的边数为，由题意，得：， ∴， ∵切去一角有如图所示的三种切法，切完后新多边形的边数可以比原多边形多一条边，相等，少一条边，三种情况，      故：原多边形的边数为13或14或15； （2）设多边形的边数为， ∵， ∴， ∴， ∴少算的内角的度数为， 故多边形的边数为14，少算的内角度数为． 专题训练06凹多边形的内、外角和 1．如图所示，已知，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，掌握三角形外角和的性质是解题的关键． 如图所示，连接，由三角形外角的性质可知：，然后由三角形内角和定理得出，再由四边形的内角和公式可求得答案． 【详解】解：如图，连接，    根据图象可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．五边形的边所在直线形成如图所示的形状，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查多边形内角与外角，解题的关键是掌握：四边形的内角和是以及三角形外角的定义及性质．据此解答即可． 【详解】解：如图，四边形的内角和是， 即， ∵，， ∴， 故答案为：． 3．根据下列各图求值： (1)如图1，求； (2)如图2，求； (3)如图3，求； (4)如图4，求． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查三角形的内角和、三角形外角的性质，多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键． （1）连接，利用三角形内角和定理即可解答； （2）根据三角形外角的性质表示出，再根据三角形外角和为即可解答； （3）根据三角形外角的性质表示出，再根据四边形外角和为即可解答； （4）连接，由三角形内角和定理得到，即可得到为五边形的内角和，利用多边形内角和公式即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴； （4）解：如图，连接， ∵，， ∴ ∴ ， ． 专题训练07平面镶嵌 1．某人用同种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购瓷砖形状可能是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正十边形 D．正十一边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、正五边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，不符合题意； B、正六边形的一个内角度数为，能整除，能进行平面镶嵌，符合题意； C、正十边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，不符合题意； D、正十一边形的一个内角度数为，不能整除，不能进行平面镶嵌，不符合题意； 故选B． 2．工人师傅选用三种规格的边长都是 的正多边形地砖铺地．他先用两块正六边形地砖和一块正方形地砖铺成如图所示的图形，若再用一块正多边形地砖无缝隙不重叠地铺在处，则选用的这块正多边形地砖的周长是 米． 【答案】12 【分析】本题考查正多边形的性质，掌握正多边形性质是解题的关键． 根据题意得到的大小，结合多边形内角和列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵一块正六边形和一块正方形地砖绕着点O进行的铺设， ， ∴这块正多边形地砖的边数是：， 解得：， 故答案为：12． 3．大到市民广场，小到家居装修，常常用形状各异的瓷砖来铺设． 正多边形是指各边相等、各角相等的多边形． 用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°． 共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺． 如右图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明． 解：设有x 个正五边形． 因为正五边形的每一个内角为， 若想用x 个围成，则，          解得 （不符合题意）． 所以正五边形不可以共顶点单一密铺． (1)问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺?请用上述方法说明． (2)问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，并说明理由． 共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺． (3)问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面.已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺.请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并说明理由． (4)问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出设计方案． 【答案】(1)能，6个正三角形可以共顶点单一密铺 (2)正方形（答案不唯一） (3)2个正三角形，2个正六边形；4个正三角形，1个正六边形（答案不唯一） (4)1个正三角形，2个正方形，1个正六边形（答案不唯一） 【分析】本题考查了多边形的内角和，解一元一次方程，二元一次方程，三元一次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设有x个正三角形，则，解得，因此6个正三角形可以共顶点单一密铺； （2）设有x个正方形，则，解得，因此4个正三角形可以共顶点单一密铺； （3）设有x个正三角形，y个正六边形，则，当时，，当时，，故2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形； （4）设有x个正三角形，y个正方形，z个正六边形，则，故当时符合题意，因此方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形． 【详解】（1）解：能，6个正三角形可以共顶点单一密铺， 设有x个正三角形， ∵正三角形的每个内角为， ∴， 解得：， ∴6个正三角形可以共顶点单一密铺； （2）解：4个正三角形可以共顶点单一密铺， 设有x个正方形， ∵正方形的每个内角为， ∴， 解得：， ∴4个正三角形可以共顶点单一密铺； （3）解：方案为：2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形 设有x个正三角形，y个正六边形， ∵正三角形的每个内角为，正六边形的每个内角为， 则， 当时，， 当时，， ∴方案：2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形； （4）解：方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形， 设有x个正三角形，y个正方形，z个正六边形， ∵正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，正六边形每个内角为， ∴， ∴当时符合题意， ∴方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形． 专题训练08三角形的折叠问题 1．发现问题 （1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，请你判断与有何数量关系，写出你的结论，并说明理由； 思考探索 （2）如图，平分，平分，把折叠，使点A与点重合，若，求的度数； 拓展应用 （3）如图3，在锐角中，于点，于点，，交于点，把折叠使点和点重合，试探索与的关系，并证明你的结论． ． 【答案】（1），见解析 （2） （3），见解析 【分析】本题主要考查三角形的折叠问题，熟知三角形的内角和定理的折叠的性质是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理，结合整体思想即可解决问题． （2）根据（1）中结论求出的度数，再根据三角形内角和定理得出的度数，最后用整体思想即可解决问题． （3）根据与及与的关系即可解决问题． 【详解】解：．理由如下： 由折叠可知， ，，． ， ，， ． ， ， ． 故与的关系是：． ，， ， ， ． 平分，平分， ，， ， ． ． 证明：，， ，． ， ， ， ， 即． 又， ， 即． 2．将的顶角A沿直线DE折叠（如图），点A的对应点为点，记为，为． (1)如图1，当点A的对应点落在内部时，试探求与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点A的对应点落在外部时，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，证明见解析 【分析】此题主要考查折叠的性质、三角形外角的性质，掌握折叠前后图形对应角度相等和三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和是解题的关键． （1）利用三角形两次外角定理得出结论； （2）由三角形外角定理，再由折叠可得即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由见解析： 如图1，连接，   是的外角， ． 同理，． ． 由折叠性质得． ． （2），证明如下： 如图2，连接，   是的外角， ． 同理，． ． 由折叠性质得． ， ． 3．（1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究与的关系； （2）如图2，若，作的平分线，与的外角平分线交于点N，求的度数； （3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时, 满足怎样的数量关系？并给出证明过程．    【答案】（1）；（2）；（3），理由见详解 【分析】（1）由折叠的性质可知，根据外角定理得到，，代入即可得到； （2）先根据（1）的结论求出得到，再由角平分线的定义得到，再根据三角形外角定理进行角的转化即可得到； （3）由折叠的性质可知，根据三角形内角和定理证明，根据角平分线的性质得到，，进而证明，代入即可得到． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1，与交于点M．    由折叠的性质可知， ∵为外角， ∴， ∵为外角， ∴， ∴； （2）由（1）得， ∵， ∴， ∴, ∵的平分线，与的外角平分线交于点N， ∴， ∵为的外角，为的外角， ∴； （3）解：，理由如下； 由折叠的性质可知， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质并进行角的转化是解题的关键． 专题训练09三角形的角平分线问题 1．如图，在中，是的角平分线，点在边上，且不与点，重合，与交于点． (1)若是上的高，且，求的度数； (2)若是的角平分线，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了三角形高的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理． （）由是的角平分线可得，由是上的高可得，再由三角形外角的性质可得，由此即可求解； （）根据角平分线定义得到，，再根据三角形内角和定理求出，，然后可得与的数量关系，再代入已知即可求解． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵是上的高， ∴， ∴； （2）解：∵、是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 2．直线，垂足为点O，点A、B分别在射线、上运动，点A、B均不与点O重合． (1)如图1，平分，平分，若，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交射线于点D．在A、B两点运动的过程中，的度数是否发生变化?若不变，试求的度数；若变化，请说明变化规律． (3)如图3，已知点E在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于的点F、G，在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请求出的度数． 【答案】(1) (2)的度数不变， (3)或 【分析】本题考查了垂直、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角性质等知识，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据垂直的定义可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的外角性质求解即可得； （3）先根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，然后分四种情况：①，②，③和④，求出的度数，根据三角形的外角性质求出，根据角平分线的定义可得的度数，由此即可得． 【详解】（1）解：∵直线， ∴，， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． （2）解：的度数不变，求解过程如下： ∵直线， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）解：∵直线， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ①当时，则，符合题意， ∴， ∴， ∴； ②当时，则， ∴，不符合题意，舍去； ③当时， ∵， ∴，不符合题意，舍去； ④当时， ∵， ∴，符合题意， ∴， ∴， ∴， 综上，的度数为或． 3．【感知】如图①，在中，，的平分线与的平分线相交于点P．求的度数． 数学小组发现，利用三角形的外角性质和角平分线的定义，可以求出的度数． 证明：∵平分， ∴设，则． ∵平分的外角， ∴设．则． 在和中，由三角形外角性质得： 请你补全余下的证明过程． 【探究】如图②，在四边形中，，是四边形的一个外角．平分， 平分，则 ． 【应用】如图③，在五边形中，设，是五边形的一个外角，平分， 平分，则 （用含有的代数式表示） 【答案】[感知]见解析 [探究] [应用] 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的性质，邻补角等知识．熟练掌握与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的性质，邻补角是解题的关键． [感知]在和中，由三角形外角性质得：，，由，可得，即，然后求解作答即可； [探究]如图②，延长交于点，同理感知，，由题意知，，，然后计算求解即可； [应用]如图③，延长交于点，记的交点为，   同理探究，，由角平分线可得，设，则，在四边形中，，可求①，在 中，由三角形内角和定理可求②，由得，，计算求解即可． 【详解】[感知]证明：∵平分， ∴设，则． ∵平分的外角， ∴设．则． 在和中，由三角形外角性质得：，， ∵， ∴，即， 解得，， ∴的度数为． [探究]解：如图②，延长交于点， 同理感知，， 由题意知，， ∴， ∴， 故答案为：； [应用]解：如图③，延长交于点，记的交点为， 同理探究，， ∵平分， 平分， ∴， 设， ∴， 在四边形中，， ∴，即①， 在中，由三角形内角和定理可得，， ∵， ∴，即②， 得，， 解得，， 故答案为：． 专题训练10三角形的新定义 1．【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”． (1)【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长； (2)【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”． 【答案】(1) (2)是“好运三角形” 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握“好运三角形”的定义，是解题的关键． （1）先根据三边关系求出的范围，再根据新定义，确定的长即可； （2）设为偶数，则，根据三角形的三边关系，列出不等式组求出的取值范围，根据的长为偶数，求出的长，进而求出的长，再根据新定义进行判断即可． 【详解】（1）解：， ，即， 为“好运三角形”， 为偶数， ； （2）设为偶数，则， 解得， 为偶数， ． ， 又， 是“好运三角形”． 2．新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的倍为大于1的正整数），则称为“倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”． (1)在中，若，，则为“　　倍角三角形”． (2)如图，在中，，，的角平分线相交于点，若为“4倍角三角形”，请求出的度数． 【答案】(1)5 (2)的度数为或 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据“倍角三角形”的定义判断； （2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出，“倍角三角形”的定义分情况讨论计算，得到答案． 【详解】（1）解：在中，，， 则， 最大，最小，且， 为“5倍角三角形”， 故答案为：5； （2）解：， ， 、的角平分线相交于点， ，， ， ， 为“4倍角三角形”， 或， 当时，， 当时，，则， 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查的是新定义、三角形内角和定理、角平分线的定义，正确理解“倍角三角形”的定义是解题的关键． 3．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的倍，我们称这两个角互为“友好角”，这个三角形叫作“友好三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友好角”，为“友好三角形”． (1)如图1，是“友好三角形”，，与互为“友好角”，且，于点．请说明、都是“友好三角形”； (2)是“友好三角形”，，求的度数； (3)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友好三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为或 (3)的度数为或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，直角三角形的性质，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）利用直角三角形的性质和三角形的内角和定理求出，，再利用“友好三角形”的定义解答即可； （2）根据“友好三角形”的定义分为和两种情况讨论，根据三角形的内角和定理求解即可； （3）根据题意推出，根据“友好三角形”的定义分为六种情况讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，⑥当时，根据三角形的内角和定理以及三角形的外角性质，即可求解． 【详解】（1）证明：是“友好三角形”， 与互为“友好角”，， ， ， ， ， ，， 于， ， 在中，， ， ， 与互为“友好角”，是“友好三角形”； 在中，， ， ， ， 与互为“友好角”，是“友好三角形”； 和都是“友好三角形”； （2）是“友好三角形”，， 与(或)互为“友好角”， 若，则， ， ， ， ， 若，则， ， ； 综上所述，的度数为或； （3）点在边上，不与点，重合， ， ， ， 是“友好三角形”， ①当时， ， ， ； ②当时，（不合题意舍去）， ③当时，， （不合题意舍去）； ④当时，，（不合题意舍去）； ⑤当时，，，符合题意， ； ⑥当时，， ， （不合题意舍去）； 综上所述，的度数为或． 专题训练11三角形的八字形 1．（1）如图（1），线段，交于点O，连接，这样的几何图形被称为“8字形”．观察图（1），直接写出之间的数量关系． （2）请你直接运用（1）中得出的数量关系解决问题．如图（2），求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查三角形的内角和定理： （1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角相等，即可得出结论； （2）连接，利用（1）中结论结合四边形的内角和为360度，进行计算即可． 【详解】解：（1）∵且， ∴． （2）解：如图，连接． ． 2．如图1，已知线段相较于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字形”． (1)直接写出的数量关系； (2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点M，N．，求的度数，并直接写出与之间存在的数量关系． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形”求解． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①根据角平分线的定义得到，，再根据“8字形”得到，两等式相减得到，即，即可求解；②证明，，则，，则，即可得到结论． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ∵， ∴； （2）解：①∵和的平分线和相交于点P， ∴， ∵①，②， 由，得：， 即， ∵， ∴； ②∵和的平分线和相交于点P， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ 3．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； （2）如图2，，、分别平分、， ①图2中共有______个“8字形”； ②若，，求的度数；（提醒：解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法） ③猜想图2中与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）说明见解析；（2）①6；②；③，理由见解析 【分析】（1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）①根据“8字形”的结构特点，根据交点写出“8字形”的三角形，然后确定即可； ②根据（1）的关系式求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解； ③根据“8字形”用、表示出，再用、表示出，然后根据角平分线的定义可得，然后整理即可得证． 【详解】解：（1）在中，， 在中，， （对顶角相等）， ， ； （2）如图， ①交点有点、各有1个，交点有4个， 所以，“8字形”图形共有6个； 故答案为：6； ②，， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ； ③根据“8字形”数量关系，，， 所以，，， 、分别是和的角平分线， ，， ， 整理得，． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． 专题训练12三角形种的平行问题 1．将一副三角板如图1所示摆放，直线． (1)如图2，现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，三角板不动，设旋转时间为t秒，当第一次旋转到时，t的值是多少？ (2)若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当第一次旋转到时，t的值是多少？ (3)若三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒（），若边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2) (3)所有满足条件的t的值为15或60 【分析】对于（1），设直线与分别交于P，Q，根据平行线的性质得到，再利用外角的性质求出，再除以速度可得时间； 对于（2），延长交于点P，根据平行线的性质得到，再表示出得到方程，解之即可； 对于（3），分，表示出相应角，利用平行线的性质，三角形内角和与外角的性质得到方程，解之即可得到t值． 【详解】（1）解：如图，， 设设直线与分别交于P，Q， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点P， ∵， ∴． ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当时， 设直线与分别交于P，Q， 此时， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴，即， 解得：； 如图，当时， 延长，分别与交于P，Q， 此时，， ∴. ∵， ∴，即. ∵， ∴， 解得：. 综上：所有满足条件的t的值为15或60． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，三角形内角和和外角的性质，解决本题的关键是找到相对应的情形，本题图形比较抽象，关键是准确画出图形，找到符合题意的情形，不要漏解． 2．（1）【问题解决】如图1，已知，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则之间有何数量关系?并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含α的式子表示）．    【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）过点P作，由平行线定理可得，根据平行线的性质可得，，即，即可求解； （2）如图，与相交于点N，根据平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理和平角的定义，利用等量代换可得，即可得证； （3）如图，与相交于点O，由对顶角相等和三角形内角和定理可得，，再由角平分线的定义可得由（2）可得，，进行等量代换即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴；    （2），理由如下： 如图，与相交于点N， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴；    （3）如图，与相交于点O， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 由（2）可得，， ∴， ∴．    【点睛】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理、对顶角相等、平行线性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 3．如图，两面镜子相交于点，当从固定点发出的水平光线经过镜子反射时，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，当两面镜子的夹角为锐角时，反射光线垂直镜面，光线与镜面平行（原题条件可以看成），求的度数； (3)改变两面镜子的夹角，保持反射光线垂直镜面，记与所夹锐角为与所夹锐角为，直线与直线所夹锐角等于； ①如图3，当为锐角时，求的度数； ②当为钝角时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)①，；② 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理， （1）首先得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）设，表示出，然后在中，根据两锐角互余得到，进而求解即可； （3）①设，根据题意得到①，②，联立求解即可； ②与①同理的方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 在中，； （2）解：设， ， ， ， ； ， ， 在中，， ， ． （3）解：①如图3，设，则， ， ， ， ， 即①， ， ， ， 又， 即②， 由①，②解得：， ，． ②与①同理可得，． 专题训练13无刻度尺作图 1．图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形顶点叫做格点．的顶点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图． (1)在图①中作边上的高． (2)在图②中作边上的高． (3)在图③中作边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了画三角形的高： （1）取格点D，连接，即为所求； （2）取格点E，连接，即为所求； （3）设与交于O，连接并延长交于F，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 2．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三角形的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图，按步骤完成下列问题： (1)在图中找一格点D，连接，使； (2)在图中找一格点E，连接，，使与互补，并计算四边形的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，6． 【分析】本题考查格点作图，无刻度直尺作图． （1）找到点关于的对称点，连接，即可； （2）取点下方第3个格点，连接，则，即可得到与互补，利用分割法求四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）如图所示，点即为所求； 由图可知：四边形的面积为． 3．如图，在边长为1个单位的正方形网格中．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：    (1)画出边上的中线； (2)画出边上的高线； (3)的面积为______； (4)在图中能使的格点P的个数有______个（点P异于点B）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 (4)7 【分析】（1）如图1，格点向右2个，然后向上3个单位，取中点，连接即可； （2）如图1，格点向右4个单位，取点，连接即可； （3）根据，计算求解即可； （4）如图1，根据平行线间的距离相等，作的平行线，确定点，进而可得结果． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求；    （2）解：如图1；点即为所求； （3）解：由题意知，， 故答案为：8； （4）解：如图1，共有7个格点， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了中线，高线，平行线间距离相等．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点专题训练 三角形思维导图 专题训练01三角形的角平分线与高结合 1．如图，在中，，是的角平分线，是的高，若，则的度数为：（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，平分．若，则的度数为 ． 3．如图，在中，是的高，是的平分线，是的平分线，相交于点． (1)求的度数； (2)求的度数． 专题训练02三角形的中线求面积 1．如图，在中，已知点，，分别是边，，上的中点，且 ，则的面积是（ ） A．3 B．2 C．1 D． 2．如图，的面积是，点D，E，F，G分别是线段的中点，则阴影部分的面积是 ． 3．（1）如图1，在中，若是边上的中线，则 ；如图2，在中，若 ，则 （2）如图3，若分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法． 连接，由，得， ， 同理，可得． 设 ，则 ， 设 ， 由题意，得 ， 可列方程组 ，解得 ． ∴ （3）如图4， ，若 ，求 ． 专题训练03三角形三边关系的应用 1．若一个三角形三边长分别为3，7，a，则a的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知的边长两边长为2和4，第三边长为偶数，则第三边的值为 ． 3．已知在中，， (1)若，求x的取值范围； (2)若，求x的值． 专题训练04多边形的内角和与外角和 1．一个正多边形的每一个外角都是，则它的内角和的度数是（   ） A． B． C． D． 2．一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的，这个正多边形是 边形． 3．已知一个多边形的每个内角都是相邻外角的3倍． (1)求这个多边形的内角和； (2)求这个多边形的边数． 专题训练05多边形的截角问题 1．一个多边形切去一个角后共有5条对角线，原多边形不可能是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 2．把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形纸片的内角和为 ． 3．（1）一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数． （2）小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°，求它的边数及少算的内角的度数． 专题训练06凹多边形的内、外角和 1．如图所示，已知，则（   ）    A． B． C． D． 2．五边形的边所在直线形成如图所示的形状，则 ． 3．根据下列各图求值： (1)如图1，求； (2)如图2，求； (3)如图3，求； (4)如图4，求． 专题训练07平面镶嵌 1．某人用同种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购瓷砖形状可能是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正十边形 D．正十一边形 2．工人师傅选用三种规格的边长都是 的正多边形地砖铺地．他先用两块正六边形地砖和一块正方形地砖铺成如图所示的图形，若再用一块正多边形地砖无缝隙不重叠地铺在处，则选用的这块正多边形地砖的周长是 米． 3．大到市民广场，小到家居装修，常常用形状各异的瓷砖来铺设． 正多边形是指各边相等、各角相等的多边形． 用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°． 共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺． 如右图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明． 解：设有x 个正五边形． 因为正五边形的每一个内角为， 若想用x 个围成，则，          解得 （不符合题意）． 所以正五边形不可以共顶点单一密铺． (1)问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺?请用上述方法说明． (2)问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，并说明理由． 共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺． (3)问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面.已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺.请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并说明理由． (4)问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出设计方案． 专题训练08三角形的折叠问题 1．发现问题 （1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，请你判断与有何数量关系，写出你的结论，并说明理由； 思考探索 （2）如图，平分，平分，把折叠，使点A与点重合，若，求的度数； 拓展应用 （3）如图3，在锐角中，于点，于点，，交于点，把折叠使点和点重合，试探索与的关系，并证明你的结论． ． 2．将的顶角A沿直线DE折叠（如图），点A的对应点为点，记为，为． (1)如图1，当点A的对应点落在内部时，试探求与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点A的对应点落在外部时，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明． 3．（1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究与的关系； （2）如图2，若，作的平分线，与的外角平分线交于点N，求的度数； （3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时, 满足怎样的数量关系？并给出证明过程．    专题训练09三角形的角平分线问题 1．如图，在中，是的角平分线，点在边上，且不与点，重合，与交于点． (1)若是上的高，且，求的度数； (2)若是的角平分线，，求的度数． 2．直线，垂足为点O，点A、B分别在射线、上运动，点A、B均不与点O重合． (1)如图1，平分，平分，若，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交射线于点D．在A、B两点运动的过程中，的度数是否发生变化?若不变，试求的度数；若变化，请说明变化规律． (3)如图3，已知点E在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于的点F、G，在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请求出的度数． 3．【感知】如图①，在中，，的平分线与的平分线相交于点P．求的度数． 数学小组发现，利用三角形的外角性质和角平分线的定义，可以求出的度数． 证明：∵平分， ∴设，则． ∵平分的外角， ∴设．则． 在和中，由三角形外角性质得： 请你补全余下的证明过程． 【探究】如图②，在四边形中，，是四边形的一个外角．平分， 平分，则 ． 【应用】如图③，在五边形中，设，是五边形的一个外角，平分， 平分，则 （用含有的代数式表示） 专题训练10三角形的新定义 1．【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”． (1)【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长； (2)【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”． 2．新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的倍为大于1的正整数），则称为“倍角三角形”．例如，在中，若，，则，因为最大，最小，且，所以为“3倍角三角形”． (1)在中，若，，则为“　　倍角三角形”． (2)如图，在中，，，的角平分线相交于点，若为“4倍角三角形”，请求出的度数． 3．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的倍，我们称这两个角互为“友好角”，这个三角形叫作“友好三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友好角”，为“友好三角形”． (1)如图1，是“友好三角形”，，与互为“友好角”，且，于点．请说明、都是“友好三角形”； (2)是“友好三角形”，，求的度数； (3)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友好三角形”，直接写出的度数． 专题训练11三角形的八字形 1．（1）如图（1），线段，交于点O，连接，这样的几何图形被称为“8字形”．观察图（1），直接写出之间的数量关系． （2）请你直接运用（1）中得出的数量关系解决问题．如图（2），求的度数． 2．如图1，已知线段相较于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字形”． (1)直接写出的数量关系； (2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点M，N．，求的度数，并直接写出与之间存在的数量关系． 3．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； （2）如图2，，、分别平分、， ①图2中共有______个“8字形”； ②若，，求的度数；（提醒：解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法） ③猜想图2中与的数量关系，并说明理由． 专题训练12三角形种的平行问题 1．将一副三角板如图1所示摆放，直线． (1)如图2，现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，三角板不动，设旋转时间为t秒，当第一次旋转到时，t的值是多少？ (2)若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当第一次旋转到时，t的值是多少？ (3)若三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒（），若边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 2．（1）【问题解决】如图1，已知，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则之间有何数量关系?并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含α的式子表示）．    3．如图，两面镜子相交于点，当从固定点发出的水平光线经过镜子反射时，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，当两面镜子的夹角为锐角时，反射光线垂直镜面，光线与镜面平行（原题条件可以看成），求的度数； (3)改变两面镜子的夹角，保持反射光线垂直镜面，记与所夹锐角为与所夹锐角为，直线与直线所夹锐角等于； ①如图3，当为锐角时，求的度数； ②当为钝角时，请直接写出的度数． 专题训练13无刻度尺作图 1．图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形顶点叫做格点．的顶点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图． (1)在图①中作边上的高． (2)在图②中作边上的高． (3)在图③中作边上的高． 2．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三角形的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图，按步骤完成下列问题： (1)在图中找一格点D，连接，使； (2)在图中找一格点E，连接，，使与互补，并计算四边形的面积． 3．如图，在边长为1个单位的正方形网格中．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：    (1)画出边上的中线； (2)画出边上的高线； (3)的面积为______； (4)在图中能使的格点P的个数有______个（点P异于点B）． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$