第5章自我检测-【新课程能力培养】2024-2025学年八年级下册数学同步练习(北师大版）

一、 选择题 （每题 2 分， 共 16 分） 1. 下列各式： a-b 2 ， x+3 x ， 5+y π ， 3 姨 4 （ x 2 +1 ）， a 2 -b 2 a+b 中， 不是分式的共有 （ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 使分式 x x+2 有意义的 x 的取值范围是 （ ） A. x≠2 B. x≠-2 C. x>-2 D. x<2 3. 若分式 x 2 -1 x-1 的值为 0 ， 则 （ ） A. x=-1 B. x=1 C. x=±1 D. x≠1 4. 下列各分式中， 是最简分式的是 （ ） A. x-y y-x B. 2xy 3yz C. x 2 +y 2 x 2 -y 2 D. x 2 -4x+4 x 2 -4 5. 某种长途电话的收费方式如下： 接通电话的第一分钟收费 a 元， 之后的每一分钟 收费 b 元 . 如果某人打该长途电话被收费 8 元钱， 则此人打长途电话的时间是 （ ） A. 8-a b min B. 8 a+b min C. 8-a-b b min D. 8-a+b b min 6. 方程 3 x = 2 x-2 的解的情况是 （ ） A. x=2 B. x=6 C. x=-6 D. 无解 7. 若关于 x 的分式方程 m-1 x-1 =2 的解为正数， 则 m 的取值范围是 （ ） A. m>-1 B. m≠1 C. m>1 且 m≠-1 D. m>-1 且 m≠1 8. 赵强同学借了一本书， 共 280 页， 要在两周借期内读完， 当他读了一半时， 发现 平均每天要多读 21 页才能在借期内读完 . 他读了前一半时， 平均每天读多少页？ 如果设 读前一半时， 平均每天读 x 页， 则下列方程中， 正确的是 （ ） A. 140 x + 140 x-21 =14 B. 140 x + 140 x+21 =14 C. 10 x + 10 x+21 =1 D. 280 x + 280 x+21 =14 第五章自我检测 （时间： 60 分钟 总分： 100 分） 第五章自我检测 165 八年级下册 （北师大版）数学 二、 填空题 （每题 3 分， 共 18 分） 9. 当 x= 时， 分式 3 2x-1 无意义 . 10. 根据分式的性质填空： xy a = aby （ b≠0 ）； 6x （ y+z ） 3 （ y+z ） 2 = y+z . 11. 计算： z x 2 y · x 3 y z 2 = ； 2a a 2 -4 - 1 a-2 = . 12. 方程 3 x = 4 70-x 的解是 . 13. 如果 a=2b ， 则 a 2 -ab+b 2 a 2 +b 2 = . 14. 如果方程 a x-2 +3= 1-x 2-x 有增根， 那么 a 的值是 . 三、 解答题 （每题 10 分， 共 30 分） 15. 计算下列各题 . （ 1 ） 5ab 45ab+9a 2 ÷ 15a+75b a 2 +10ab+25b 2 . （ 2 ） x 2 +9x x 2 +3x + x 2 -9 x 2 +6x+9 . 16. 解下列方程 . （ 1 ） 5x-4 2x-4 + 1 2 = 2x+5 3x-6 . （ 2 ） 3x+2 x 2 -2 = 3 x-1 . 166 17. 先化简， 再求值 . （ 1 ） x 2 -2x x 2 -1 ÷ x-1- 2x-1 x+1 1 " ， 其中 x= 1 2 . （ 2 ） a 2 -4 a 2 -4a+4 - 2 a-2 1 " ÷ a 2 +2a a-2 ， 其中 a 取一个你喜欢的数 . 四、 列方程解应用题 （每题 10 分， 共 20 分） 18. 进入防汛期后， 某地对河堤进行了加固， 该地驻军在河堤加固的工程中出色地完 成了任务 . 这是记者与驻军工程指挥官的一段对话： 记者： “你们是用 9 天完成 4 800 m 长的大坝加固任务的 . ” 指挥官： “我们加固 600 m 后， 采用新的加固模式， 这样每天加固长度是原来的 2 倍 ． ” 通过这段对话， 请你求出该地驻军原来每天加固的米数 . 第五章自我检测 167 八年级下册 （北师大版）数学 19. 某超级市场销售一种计算器， 每个售价 48 元 . 后来， 计算器的进价降低了 4% ， 但售价未变， 从而使超市销售这种计算器的利润率又提高了 5%. 这种计算器原来每个进 价是多少元？ 利润 = 售价 - 进价， 利润率 = 利润 进价 ×100 0 " % 五、 探究题 （共 16 分） 20. 已知： 1- 1 2 = 1 1×2 ， 1 2 - 1 3 = 1 2×3 ， 1 3 - 1 4 = 1 3×4 ， 1 4 - 1 5 = 1 4×5 ， … （ 1 ） 观察上面式子的规律， 请你猜想第 n 个式子的一般形式 . （ 2 ） 请用文字表示 （ 1 ） 中你发现的规律 . （ 3 ） 计算： 1 2×3 + 1 3×4 + 1 4×5 + … ＋ 1 x （ x-1 ） . （ x 为正整数） 168 参 考 答 案 多项式： 1 2 x 2 +x－1 ， 1 2 x 2 －x. 做加法运算： 1 2 x 2 +x- ! " 1 + 1 2 x 2 - ! " x =x 2 －1= （ x+1 ）（ x－1 ） . 选择多项式： 1 2 x 2 +3x+1 ， 1 2 x 2 －x. 做加 法运算： 1 2 x 2 +3x+ ! " 1 + 1 2 x 2 - ! " x = （ x+1 ） 2 . 17. 解： 原式 = 1- 1 2 ! " 1+ 1 2 ! " 1- 1 3 ! " 1+ 1 3 ! " 1- 1 4 ! " 1+ 1 4 ! " ·…· 1- 1 2 024 ! " 1+ 1 2 024 ! " 1- 1 2 025 ! " 1+ 1 2 025 ! " = 1 2 × 3 2 × 2 3 × 4 3 × 3 4 × 5 4 × … × 2 023 2 024 × 2 025 2 024 × 2 024 2 025 × 2 026 2 025 = 1 013 2 025 . 18. 2 7 提示： 原式 = 2×4 （ 1+2 3 + … +n 3 ） 4×7 （ 1+2 3 + … +n 3 ） . 19. 解： x 2 +42x-3 159＝x 2 +2×21x+441-441-3 159＝x 2 +2×21x+441-3 600＝ （ x+21 ） 2 -60 2 ＝ （ x+81 ）（ x-39 ） . 20. 解： （ 1 ） ∵ 大正方形的边长为 a ， 小正方形的边长为 b ， ∴S 1 =a 2 -b 2 ， S 2 = 1 2 （ 2a+2b ）（ a-b ） = （ a+b ）（ a-b ） . （ 2 ） 根据题意得 a 2 -b 2 = （ a+b ）（ a-b ） . 第五章自我检测 1. C 2. B 3. A 4. C 5. D 6. B 7. D 8. B 9. 1 2 10. bxy 2 2x 11. x z 1 a+2 12. x=30 13. 3 5 14. 1 15. （ 1 ） b 27 （ 2 ） 2 16. 解： （ 1 ） x=2 是增根， 原方程无解 . （ 2 ） x=4. 17. 解： （ 1 ） 原式 ＝ 1 x-1 . 当 x= 1 2 时， 原式 =-2. （ 2 ） 原式 = 1 a+2 . 答案不唯一， a≠±2 且 a≠0 的任意实数 . 18. 解： 设原来每天加固 x m ， 则 600 x + 4 800-600 2x =9. 解得 x=300. 检验： 当 x=300 时， 2x≠0. ∴x=300 是原方程的解 . 19. 解： 设这种计算器原来每个的进价为 x 元， 根据题意， 得 48-x x ×100%+5%= 48- （ 1-4% ） x （ 1-4% ） x ×100%. 解得 x=40. 经检 验 x=40 是原方程的根 . 20. 解： （ 1 ） 1 n - 1 n+1 = 1 n （ n+1 ） （ n 为正整数） . （ 2 ） 两个连续递增的正整数的倒数差等于它们积的倒数 . （ 3 ） 原式 = 1 2 - 1 x = x-2 2x . 第六章自我检测 1. B 2. C 3. D 4. C 5. D 6. B 7. 1.5 cm 8. 20 9. 8 cm 10. 6 11. 1＜m＜11 12. 1 13. （ 1 ） = = （ 2 ） 无数 图略 . （ 3 ） 经过平行四边形对称中心的任意直线， 都可以把平行四边形分成面积相等 的两部分 14. 证明： ∵BE ， CE 分别是 ∠ABC ， ∠BCD 的平分线， ∴∠ABE=∠EBC ， ∠BCE=∠ECD. 又 ∵ 四边形 ABCD 是平行 四边形， ∴AD∥BC. ∴∠AEB=∠EBC ， ∠DEC=∠BCE. ∴∠ABE=∠AEB ， ∠DEC=∠ECD. ∴AB=AE ， CD=DE. 又 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ， AD=BC. ∴BC=AD=AE+DE=AB+CD=2AB. 15. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ， ∠A=∠C. ∵BL=DN ， ∴CL=AN. 又 ∵AK＝CM ， ∴△AKN≌△CML （ SAS ） . ∴KN=ML. 同理可证 △BKL≌△DMN ， ∴KL=MN. ∴ 四边形 KLMN 为平行四边形 . 16. 证明 ： （ 1 ） 如图 ， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AD=BC ， AD∥BC ， ∠3=∠4. ∵∠1=∠3+∠5 ， ∠2=∠4+∠6 ， ∠1=∠2 ， ∴∠5=∠6. ∴△ADE≌△CBF （ ASA ） . ∴AE=CF. （ 2 ） ∵∠1=∠2 ， ∴DE∥BF. 又由 （ 1 ） 知 △ADE≌△CBF ， ∴DE=BF. ∴ 四边形 EBFD 是平行四边形 . 17. 解： （ 1 ） 作出正确的图形 （如图所示）， ① 以点 E 为圆心， 分别 以 AE ， BE 长为半径画弧； ② 再以点 F 为圆心， 分别以 AF ， BF 为半径画 弧， 与前两弧分别相交于 A′ ， B′ 两点， 连接 A′B′ ， A′E ， B′F 即可 . （ 2 ） ∵ 四边形 ABFE 是平行四边形， ∴∠EFB=∠A=65°. ∵ 四边形 A′B′FE 是由 四边形 ABFE 翻折得到的， ∴∠B′FE=∠EFB=65°. ∴∠B′FC=180°-∠B′FE- ∠EFB=50°. 18. 解 ： ∵△ABC 是等腰三角形 ， ∴∠B=∠C ， AB=AC. ∵DE∥AB ， DF∥AC ， ∴ 四边形 AEDF 是平行四边形 . ∴ ∠B=∠EDC=∠C ， ∠C=∠FDB=∠B. ∴BF=DF ， DE=CE. ∴ 四边形 AEDF 的周长 =AF+FD+DE+AE=AF+BF+EC+AE=AB+AC. 又 ∵BC=12 ， BC 边上的高 AG=8 ， ∴BG=6. ∴AB=AC= 8 2 +6 2 姨 =10. ∴ 四边形 AEDF 的周长为 AB+AC=20 ， 即四边形 AEDF 的周长不因 D 的运动而变化 . 19. （ 1 ） 证明： 如图， 过点 F 作 FP∥BC 交 AB 于点 P ， ∴∠B=∠FPD. 又 ∵FH∥AB ， ∴ 四 边形 BHFP 是平行四边形 . ∴FP=BH. ∵∠ACB=90° ， CD⊥AB ， ∴∠ACD+∠DCB=90° ， ∠B+ ∠DCB=90° . ∴∠B=∠ACD. ∴∠FPD=∠ACD. ∵∠BAE=∠CAE ， AF=AF ， ∴△ACF≌△APF. ∴FP=CF. 又 ∵∠CEF=∠BAE+∠B ， ∠CFE=∠CAE+∠ACD ， ∴∠CEF=∠CFE. ∴CF=CE. ∴CE=BH. （ 2 ） 解： 由 （ 1 ） 知 CE=BH=CF=3 ， 由勾股定理得 BC=8 ， ∴EH=BC-2BH=2. 20. （ 1 ） 等腰三角形 . （ 2 ） △AGD 是直角三角形 . 证明： 如图， 连接 BD ， 取 BD 的 中点 H ， 连接 HF ， HE ， ∵F 是 AD 的中点 ， ∴HF∥AB ， HF= 1 2 AB. ∴∠1=∠3. 同理 ， HE∥CD ， HE= 1 2 CD ， ∴∠2=∠EFC. ∵AB=CD ， ∴HF=HE. ∴∠1=∠2. ∵∠EFC=60° ， ∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°. ∴△AGF 是等边三角形 . ∵AF=FD ， ∴GF=FD. ∴∠FGD=∠FDG= 30°. ∴∠AGD=90° ， 即 △AGD 是直角三角形 . 期 末 检 测 1. B 2. D 3. D 4. A 5. D 6. C 7. C 8. A 9. C 10. B 11. 135° 12. -12 13. 2 14. 每行驶 1 km 纯用电的费用 15. 2 41 姨 1 2 F A B D E C 3 4 5 6 第 16 题答图 第 17 题答图 F A B D E C ′ A B ′ 第 19 题答图 P H F A B D E C 第 20 题答图 H G F A B D E C 1 2 3 195