精品解析：黑龙江省绥化市明水县第二中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

明水县第二中学2024-2025学年度第一学期九年级数学学科期中测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既可以看作是轴对称图形也可以看作是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 实数根的个数与实数的取值有关 3. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（　　） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 4. 电影《第二十条》讲述了检察官在面对一个分歧巨大的案件时，用自己的方式追求公平和正义的故事．一上映就获得全国人民的关注，据猫眼票房统计，公映第一天票房约1.95亿元，三天后累计票房收入约4.68亿元，把这两天的平均增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 5. 由二次函数，可知下列说法正确的是（ ） A. 其最小值为1 B. 其图像的对称轴为直线 C. 当时，随的增大而增大 D. 其图像与轴的交点为 6. 如图，在中，，将绕点旋转到的位置，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 7. 如图，在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A B. C. D. 8. 已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两人沿相同的路线由A地向B地匀速前进，A、B两地间的路程为，他们前进的路程为，甲出发后的时间为，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示，根据图象信息，下列说法正确的是（ ） A. 甲的速度是 B. 乙出发小时两人相遇 C. 乙到达终点时甲距离终点还有 D. 乙比甲晚到B地 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每题3分，共36分） 11. 如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件：______，使四边形成为菱形． 12. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是______． 13. 某小组同学，新年时每人互送贺年片一张，已知全组共送贺年片72张，则这个小组共有______人． 14. 若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第______象限． 15. 把抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到的抛物线解析式是________． 16. 在直角坐标系中，若点，点关于原点中心对称，则_______． 17. 已知函数的图象与坐标轴只有两个交点，则_________． 18. 如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴是直线，当时，自变量的取值范围是 ________． 19. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点A顺时针旋转后得到，则点的坐标是 __________． 20. 已知函数在时有最大值5，则______． 21. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因是当公路上行驶的汽车遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车还会滑行一段距离才能停下来．经测试，在急刹车时，汽车刹车距离与滑行时间的满足函数关系式为：．则急刹车时汽车最远要滑行________m才能停下． 22. 在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ___________． 三、解答题（共6小题，共54分） 23. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 24. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)． （1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2； （3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB． 25. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程两个实数根分别为，，且，求的值． 26. 2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨0.5元，每天销量减少5个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）求出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定位多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ 27. 如图1，在中，于点，，是上的一点，且，连接，． （1）如图1试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； （2）如图2，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； （3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②你能求出与的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 28. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴交于点B． （1）若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴找一点M，使的值最小，求点M的坐标； （3）设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标，直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 明水县第二中学2024-2025学年度第一学期九年级数学学科期中测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既可以看作是轴对称图形也可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答，即将一个图形沿某直线折叠直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形，将一个图形绕某点旋转能够与本身重合，这样的图形是中心对称图形． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 实数根的个数与实数的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判别式与一元二次方程根的情况，求出，判断符号即可得到答案，熟记一元二次方程根的情况与判别式符号关系是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程为， ， 于的一元二次方程的根的情况是没有实数根， 故选：A． 3. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（　　） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义，正确将原式变形为是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 故选：A． 4. 电影《第二十条》讲述了检察官在面对一个分歧巨大的案件时，用自己的方式追求公平和正义的故事．一上映就获得全国人民的关注，据猫眼票房统计，公映第一天票房约1.95亿元，三天后累计票房收入约4.68亿元，把这两天的平均增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出方程，找准等量关系、正确列出方程是解题的关键． 把这两天的平均增长率记作x，根据三天后累计票房收入约4.68亿元，列出关于x的方程即可解答． 【详解】解：把这两天的平均增长率记作x， 根据题意得：． 故选D． 5. 由二次函数，可知下列说法正确的是（ ） A. 其最小值为1 B. 其图像的对称轴为直线 C. 当时，随的增大而增大 D. 其图像与轴的交点为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为．通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解． 【详解】解：二次函数， ，函数图象开口向下，函数图象的对称轴为，函数图象的顶点坐标是，函数有最大值为1，当时，随的增大而增大，当时，，其图象与轴的交点为，故选项不符合题意，符合题意． 故选：C 6. 如图，在中，，将绕点旋转到位置，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质和平行线的性质，能灵活运用旋转的性质进行推理是解此题的关键． 根据旋转的性质求出，，求出，，根据平行线的性质得出，求出即可． 【详解】解：，， ， 将在平面内绕点旋转到的位置， ，， ， ， ， 即旋转角的度数是， 故选：C． 7. 如图，在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象，根据每一选项中、的符号是否相符，逐一判断．熟记一次函数、二次函数的图象的性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，则，由直线可知，，，故本选项错误； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； C、由抛物线可知，，由直线可知，故本选项错误； D、由抛物线可知，，，则，由直线可知，，，故本选项正确； 故选：D． 8. 已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，开口方向由的正负决定，增减性由开口方向和对称轴共同决定，据此及可求解． 【详解】解：由题意得：二次函数图象的开口向下，对称轴为直线, ∵当时，随的增大而减小， ∴ 故选：C 9. 甲、乙两人沿相同的路线由A地向B地匀速前进，A、B两地间的路程为，他们前进的路程为，甲出发后的时间为，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示，根据图象信息，下列说法正确的是（ ） A. 甲的速度是 B. 乙出发小时两人相遇 C. 乙到达终点时甲距离终点还有 D. 乙比甲晚到B地 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象．根据图象确定出、两地间的距离以及甲、乙两人所用的时间，然后根据速度路程时间求出两人的速度；设乙出发小时后与甲相遇，根据相遇时甲乙两人的路程相同列出方程求解即可；根据图象即可判断甲比乙晚到地的时间． 【详解】解：由图可知，、两地间的距离为，从地到，甲用的时间为4小时，乙用的时间为小时， 所以，甲的速度是，故A选项不符合题意； 乙的速度是， 设乙出发小时后与甲相遇， 则， 解得，故B选项不符合题意； ， 则乙到达终点时甲距离终点还有，故C选项符合题意； 由图可知，甲4小时到达地，乙2小时到达地，所以，甲比乙晚到，故D选项不符合题意； 故选：C． 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤a的取值范围为．其中正确结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴的交点、对称轴可判断①；由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断②，对称轴为直线，即可判断③；由抛物线与轴有两个交点，且对称轴为直线，即可判断④．由抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）．判断⑤；本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于． 【详解】解：∵二次函数的部分图象如图所示， ∴开口向下， ∵图象过点，对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与y轴交点在和之间（不与重合）． ∴ ∴ 故①错误； ∵ ∴ 故③正确； ∵如图： 则图象过点，抛物线开口向下 把代入 ∴ ∴ 故②错误； ∵则图象过点，对称轴为直线 ∴抛物线与轴的另一个交点为 ∵抛物线开口向下 ∴当时， 故④正确的； 把代入， 得 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故⑤正确的 故选：B． 二、填空题（每题3分，共36分） 11. 如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件：______，使四边形成为菱形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，先证明四边形是平行四边形，根据，可得四边形成为菱形． 【详解】解：添加条件 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 添加条件 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 添加条件 ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 添加条件 在与中， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 故答案为：（或或等）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 12. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的二次项系数不为0，结合方程有实数根，，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴且； 故答案为：且． 13. 某小组同学，新年时每人互送贺年片一张，已知全组共送贺年片72张，则这个小组共有______人． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设这个小组有x人，根据题意可知每人需要送出张贺年片，再根据全组共送贺年片72张列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个小组有x人，则每人需送出张贺年片， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：9． 14. 若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质以及一次函数的图像，由二次函数的定义得出即可得到答案． 【详解】解：由于是关于的二次函数， 且， ， 故一次函数的解析式为， 故一次函数过一、二、三象限， 故答案为：四． 15. 把抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到的抛物线解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】函数向左平移3个单位，得：； 再向下平移2个单位，得：； 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了函数图象平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 16. 在直角坐标系中，若点，点关于原点中心对称，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题的关键． 直接利用关于原点对称点的性质，得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵坐标系中点，点关于原点中心对称， ∴，， 则． 故答案为：1． 17. 已知函数的图象与坐标轴只有两个交点，则_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了函数与坐标轴的交点问题，分类讨论和两种情况即可求解． 【详解】解：①当时，，该一次函数与坐标轴有两个交点，满足题意； ②当时，为二次函数， 若图象经过原点，则，解得：， 此时，， 图象与轴还有一个交点，满足题意； 或函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 解得： 综上所述：或或 18. 如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴是直线，当时，自变量的取值范围是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与x轴的另一个交点，进而得出答案． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴是直线， ∴图象与x轴的另一个交点为， ∴当函数值时，自变量x的取值范围是． 故答案为：． 19. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点A顺时针旋转后得到，则点的坐标是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化—旋转，利用一次函数图象上点的坐标特征及旋转的性质，找出点的坐标是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，利用旋转的性质可得出，的长，再结合图中点的位置，即可得出点的坐标． 【详解】解：当时，， ∴点B的坐标为， ∴． 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴． 由旋转可知：，， ∴点的坐标为，即． 故答案为：． 20. 已知函数在时有最大值5，则______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先证明，再求出抛物线对称轴为直线，进而分当时，当时，两种情况利用最大值为5结合二次函数的性质求解即可． 【详解】解：当时，原函数，不符合题意， ∴， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 当时，则当，且当时，函数有最大值， ∴， ∴； 当时，则离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或． 21. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因是当公路上行驶的汽车遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车还会滑行一段距离才能停下来．经测试，在急刹车时，汽车刹车距离与滑行时间的满足函数关系式为：．则急刹车时汽车最远要滑行________m才能停下． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据二次函数的性质，求出二次函数的最值即可． 【详解】解：， ∴当时，汽车滑行的距离最远为； 故答案为：15． 22. 在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化--旋转问题，解题的关键是推出点的横坐标、纵坐标规律．首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，即可求出的坐标． 【详解】解：是边长为的等边三角形， 的坐标为，的坐标为， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， …， ，，，，…， 的横坐标是，当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是， 故答案为 三、解答题（共6小题，共54分） 23. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法方程即可； （3）移项后，利用因式分解法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴， ∴； 【小问2详解】 ， ∴， ∴； 【小问3详解】 ， ∴或， ∴； 【小问4详解】 ∴或， ∴． 24. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)． （1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2； （3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析 【解析】 【分析】（1）作出点A，点B，点C这三个点向左平移5个单位长度后的点A1，点B1，点C1，再顺次连接即可； （2）作出点A，点B，点C这三个点关于原点对称的点A2，点B2，点C2，再顺次连接即可； （3）根据两点之间，线段最短的性质和轴对称的性质即可找到点P的位置，再连接PA和PB即可． 【详解】解：（1）点向左平移5个单位长度后为点，点向左平移5个单位长度后为点，点向左平移5个单位长度后为点，作图如下： （2）点关于原点对称的点A2的坐标为，点关于原点对称的点B2的坐标为，点关于原点对称的点C2的坐标为，作图如（1）中所示． （3）作图如（1）中所示，先作出点关于x轴的对称点，再连接，与x轴的交点即为点P，再连接PA和PB即可得． 【点睛】本题考查图形的平移变化，轴对称变化，中心对称变化，熟练掌握这些知识点是解题关键． 25. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值． 【小问1详解】 ， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 26. 2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨0.5元，每天销量减少5个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）求出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定位多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元 【解析】 【分析】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式； （1）根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润=销售量(售价-进价)，列出平均每天的销售利润(元)与销售价(元/箱)之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； 【小问1详解】 解：根据题意得：； 【小问2详解】 根据题意得： ∵， ∴时，随增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为2640元， ∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元． 27. 如图1，在中，于点，，是上的一点，且，连接，． （1）如图1试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； （2）如图2，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； （3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②你能求出与的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 【答案】（1），见解析 （2）不发生变化，见解析 （3）①，见解析；②能，60° 【解析】 【分析】（1）延长交于点，证明，得到，，推出，即可； （2）证明，得到，，进一步推出，即可； （3）①证明即可；②证明，得到，，根据，进行求解即可． 【小问1详解】 解： ，， 理由如下：延长交于点． ， ． 在 和 中， ， ，． ， ． ， ， ， ． 【小问2详解】 不发生变化． 理由如下： ， ， ． 在 和 中， ， ，． ， ． ， ， ， ． 【小问3详解】 ① ，理由如下： ， ， ． 在 和 中， ， ． ②能． 与 所成的夹角的度数为 ． 理由如下： 和 是等边三角形， ，，， ， ， ． 在 和 中， ， ，． ， 即 与 所成的夹角的度数为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关性质，证明三角形全等，是解题的关键． 28. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴交于点B． （1）若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴找一点M，使的值最小，求点M的坐标； （3）设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）P的坐标为：，，， 【解析】 【分析】（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a，b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线的解析式；把B、C两点的坐标代入直线，解方程组求出m和n的值即可得到直线的解析式； （2）当点M在直线上时，根据抛物线的对称性， ，值最小．把代入直线得到y的值，即可求出点M坐标； （3）设，根据，，得到，，，分点B为直角顶点，点C为直角顶点，点P为直角顶点，三种情况讨论求出t值，即可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ， ∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，则, 解得，，或（舍去）， ∴， ∵直线经过B，C两点， ∴， 解得，， ∴直线解析式为：； 【小问2详解】 解：∵点A与点B关于对称轴对称， ∴当点M在直线上时，，值最小， 把代入直线解析式， 得，， ∴点M的坐标为：； 【小问3详解】 解：设， ∵，， ∴， ， ， ①若点B为直角顶点，， ∴， 解之得，； ②若点C直角顶点，， ∴， 解之得，； ③若点P为直角顶点，， ∴， 解之得，，． 综上所述，P的坐标为：，，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数和一次函数的图象与性质，轴对称线段和最小，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$