专题03 一元二次方程及其解法 (考题猜想，12大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（鲁教版）

专题03 一元二次方程（12大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 一元二次方程的定义（易错） · 题型二 一元二次方程的解 · 题型三 根据一元二次方程的解求参数或代数式的值（高频） · 题型四 选用合适的方法解一元二次方程（易错） · 题型五 利用换元法解一元二次方程（难点） · 题型六 利用根的判别式证明一元二次方程根的情况（重点） · 题型七 已知方程两根满足的条件求参数值（难点） · 题型八 利用根的判别式解决几何问题（压轴） · 题型九 利用根与系数的关系求代数式的值（高频） · 题型十 根的判别式和根与系数的关系综合（重点） · 题型十一 利用配方法求最值（难点） · 题型十二 一元二次方程与新定义问题（难点） 题型一 一元二次方程的定义（易错） 1．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程，其中满足，求这个一元二次方程． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 题型二 一元二次方程的解 3．（23-24八年级下·山东淄博·期中）观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·江苏镇江·期中）根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（    ） A．解的整数部分是，十分位是 B．解的整数部分是，十分位是 C．解的整数部分是，十分位是 D．解的整数部分是，十分位是 5．（24-25九年级上·广东佛山·期末）请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是 ． 6．（24-25九年级上·四川眉山·期末）关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（   ） A．1 B． C．0 D．2 题型三 根据一元二次方程的解求参数或代数式的值（高频） 7．（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ． 8．（24-25九年级下·山东临沂·阶段练习）若是方程的解，则代数式的值为 ． 9．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）已知一元二次方程有一个根为零，求的值． 10．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若m是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 11．（24-25九年级上·北京密云·期中）已知m是方程的根，求代数式的值． 题型四 选用合适的方法解一元二次方程（易错） 12．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)（配方法）． 13．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 14．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）解方程： (1) ； (2) ； (3) ； (4)． 题型五 利用换元法解一元二次方程（难点） 15．（23-24八年级下·山东威海·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体．设，则原方程可化为，解得，．即，，所以原方程的解为，．请类比这种方法解方程：，则 ． 16．（22-23八年级下·山东烟台·期末）阅读下列材料： 解方程：． 分析：我们可以用“换元法”解方程． 解：设，则， 原方程可化为：， 请你将剩下的解题过程补充完整，并求出的值．    17．（23-24八年级下·山东济南·期末）阅读理解 【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解． ①因式分解法求解特殊的三次方程： 将变形为， ． ． ． ． 或． 原方程有三个根：，，． ②换元法求解特殊的四次方程： 设，那么，于是原方程可变为，解得，， 当，时，； 当，时，； 原方程有四个根：，，，． 【应用新知】 （1）仿照以上方法，按照要求解方程： ①（因式分解法）； ②（换元法）； 【拓展延伸】 （2）已知：，且，请综合运用以上方法，通过“降次”求的值． 题型六 利用根的判别式证明一元二次方程根的情况（重点） 18．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程总有实数根． 19．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形． 20．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知，关于x的一元二次方程．试判定该方程的根的情况． 题型七 已知方程两根满足的条件求参数值（难点） 21．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根是和，且，求m的值． 22．（23-24八年级下·山东烟台·期末）关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 23．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 24．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根，满足，求的值． 题型八 利用根的判别式解决几何问题（压轴） 25．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)当，且a、b、c为连续自然数时，写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 26．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知：平行四边形的两边的长是关于的方程的两个实数根． (1)试说明：无论取何值方程总有两个实数根； (2)当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 27．（23-24八年级下·山东淄博·期末）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)已知等腰三角形的底边，若恰好是另外两条腰的长，求这个三角形的周长． (3)阅读材料：若三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶—海伦公式可得：的面积，其中． 解答问题：请在（2）的条件下，根据“阅读材料”中的信息解答下列问题：    ①求等腰三角形的面积； ②如图，若和的角平分线交于点I，请求出的面积． 28．（2024·四川南充·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此一元二次方程总有实数根； (2)已知两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长，若的周长为偶数，求m的值． 题型九 利用根与系数的关系求代数式的值（高频） 29．（23-24八年级下·山东济宁·期末）已知是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)若，求及的值． 30．（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知，是方程的两个根，求： (1)的值； (2) 31．（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足且，求的值． 32．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）一元二次方程（）有两根，，则，，则__________，__________． 请运用上面你发现的结论，解答问题： 已知，是方程的两根，不解方程求下列式子的值： （1）； （2）； （3）． 题型十 根的判别式和根与系数的关系综合（重点） 33．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程两个实数根的差为2，求的值． 34．（24-25九年级上·山东德州·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)求，（用含的式子表示）； (2)已知，求的值． 35．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根为，求代数式的值． 题型十一 利用配方法求最值（难点） 36．（23-24八年级下·山东济南·期末）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题：    (1)填空：（______）______； (2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． (3)如图3，一个地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边加建宽的门（用其他材料）．设，矩形的面积为．当为何值时，矩形场地的面积最大?最大值为多少平方米? 37．（23-24八年级下·山东济宁·期末）学习的本质是提高自学能力．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，小睿发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． 解决问题： （1）求代数式的最小值． （2）求代数式的最值． 探究问题： 关于x的一元二次方程与 称为“同族二次方程”． 例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，根据你的观察，探究下面的问题：代数式的最值是多少？ 38．（23-24八年级下·山东淄博·期中）小李大学毕业后积极自主创业，在网上创办了一个微店，销售一款节能灯，该灯成本是40元/盏．通过调研发现，若按50元/盏销售，一个月可售500盏；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10盏． (1)写出月销售量m（盏）与销售单价x（元/盏）之间的函数关系式； (2)若想让节能灯的月销售利润达到8000元，且尽快减少库存，则节能灯销售单价应定为多少元？ (3)在数学问题解决中，借助“配方”的方法可以求某些代数式的最大值，例如： ． ∵， ∴， ∴当时，的最大值为， 即代数式的最大值为，此时． 请利用题中的条件，结合上述代数式的“配方”的方法，求出这种节能灯的销售单价定为多少元时，月销售利润能获得最大值？最大利润是多少元？ 题型十二 一元二次方程与新定义问题（难点） 39．（23-24八年级下·山东济南·期末）请阅读以下材料： ①若是关于x的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数a、b、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）． ②定义：已知关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请解决下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，则m的取值范围为 ．（此小问直接填空，不写过程） 40．（23-24八年级下·山东淄博·期末）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 41．（23-24八年级下·山东济南·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为 ，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究． 定义： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)请你判断：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (3)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ $$专题03 一元二次方程（12大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 一元二次方程的定义（易错） · 题型二 一元二次方程的解 · 题型三 根据一元二次方程的解求参数或代数式的值（高频） · 题型四 选用合适的方法解一元二次方程（易错） · 题型五 利用换元法解一元二次方程（难点） · 题型六 利用根的判别式证明一元二次方程根的情况（重点） · 题型七 已知方程两根满足的条件求参数值（难点） · 题型八 利用根的判别式解决几何问题（压轴） · 题型九 利用根与系数的关系求代数式的值（高频） · 题型十 根的判别式和根与系数的关系综合（重点） · 题型十一 利用配方法求最值（难点） · 题型十二 一元二次方程与新定义问题（难点） 题型一 一元二次方程的定义（易错） 1．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程，其中满足，求这个一元二次方程． 【答案】或 【分析】本题考查了一次二次方程的定义和非负数的性质，几个非负数的和为0时，那么这几个非负数分别等于0．根据非负数的性质列式求出a，b，c的值，然后代入方程即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这个一元二次方程为或。 2．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 题型二 一元二次方程的解 3．（23-24八年级下·山东淄博·期中）观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的估算，解题的关键是根据表格数据找出位于哪两个数之间即可． 【详解】解：由表格可知， 当时，与时， ∴时，， 故选C． 4．（22-23九年级上·江苏镇江·期中）根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（    ） A．解的整数部分是，十分位是 B．解的整数部分是，十分位是 C．解的整数部分是，十分位是 D．解的整数部分是，十分位是 【答案】B 【分析】通过观察表格可得时，，即可求解． 【详解】解：由表格可知， 当时，， 当时，， ∴时，， ∴解的整数部分是，十分位是． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键． 5．（24-25九年级上·广东佛山·期末）请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根，根据一元二次方程有一个正根和一个负根解答即可，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有一个正根和一个负根， ∴这个方程可以是， 即， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·四川眉山·期末）关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据方程的解的定义进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴方程必有一根为； 故选B． 题型三 根据一元二次方程的解求参数或代数式的值（高频） 7．（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的定义，把代入方程得，即得，再根据即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级下·山东临沂·阶段练习）若是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解与代数式求值，根据一元二次方程的解的定义得到是解此题的关键，注意采用整体代入的思想进行计算． 根据一元二次方程的解的定义得到，再把表示为，然后整体代入计算即可得到答案． 【详解】解： 是方程的解， ， ， ∴． 故答案为：2024． 9．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）已知一元二次方程有一个根为零，求的值． 【答案】的值为． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由一元二次方程有一个根为零，得到，然后求解，再利用一元二次方程的定义确定的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程有一个根为零， ， 解得：，， ∵方程为一元二次方程， ∴ ；即， ∴不符合题意，舍去， ∴的值为． 10．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若m是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的应用，运用适当的变形，渗透整体代入的思想解决问题． 把代入方程得，从而得到，再由，整体代入计算即可． 【详解】解：将代入，得， ∴， ∴ ． 11．（24-25九年级上·北京密云·期中）已知m是方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再把所求代数式变形，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的根， ， ． 题型四 选用合适的方法解一元二次方程（易错） 12．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）解方程： (1)； (2)； (3)（配方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用因式分解法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）把常数移到右边，再利用配方法解答即可； 【详解】（1）解：（）∵， ∴， ∴或 ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，． 13．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）变形后，利用因式分解法求解； （3）利用因式分解法求解； （4）移项后，利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， 则，，， ∴， ∴， 解得：，； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （3）， ∴， ∴或， 解得：，； （4）， ∴， ∴， 即， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的不同解法．一般有直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，要针对题目选用适当的方法求解． 14．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）解方程： (1) ； (2) ； (3) ； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握因式分解法和求根公式法解一元二次方程，是解决问题的关键． （1）移项后化为，提公因式，分解因式解答； （2）求出，运用求根公式解答即可； （3）运用平方差公式分解因式解答； （4）把分解为，分解因式即可解答． 【详解】（1）∵， ∴． ∴． ∴． ∴方程的解为：． （2）∵， ∴． ∴． ∴方程的解为：． （3）∵， ∴． ∴． ∴，． ∴方程的解为：． （4）∵， ∴． ∴． ∴方程的解为：． 题型五 利用换元法解一元二次方程（难点） 15．（23-24八年级下·山东威海·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体．设，则原方程可化为，解得，．即，，所以原方程的解为，．请类比这种方法解方程：，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．先设，则方程即可变形为，解方程即可求得y，然后根据取舍根即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， 解得，． ∵， ∴， 故答案为：． 16．（22-23八年级下·山东烟台·期末）阅读下列材料： 解方程：． 分析：我们可以用“换元法”解方程． 解：设，则， 原方程可化为：， 请你将剩下的解题过程补充完整，并求出的值．    【答案】， 【分析】利用换元法思想设，将方程化为即可解答． 【详解】解：∵， 设，则， 原方程可化为：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了利用换元法解方程，熟练运用换元思想是解题的关键． 17．（23-24八年级下·山东济南·期末）阅读理解 【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解． ①因式分解法求解特殊的三次方程： 将变形为， ． ． ． ． 或． 原方程有三个根：，，． ②换元法求解特殊的四次方程： 设，那么，于是原方程可变为，解得，， 当，时，； 当，时，； 原方程有四个根：，，，． 【应用新知】 （1）仿照以上方法，按照要求解方程： ①（因式分解法）； ②（换元法）； 【拓展延伸】 （2）已知：，且，请综合运用以上方法，通过“降次”求的值． 【答案】（1）①，，；②，；（2） 【分析】本题考查了解高次方程，理解题意，正确进行计算是解此题的关键． （1）①仿照题中所给方法，利用因式分解法解方程即可；②仿照题中所给方法，利用换元法解方程即可； （2）根据题意对所给代数式进行“降次”，再用整体思想即可解决问题． 【详解】（1）①将变形为， ∴， ∴， ∴， . 或. 解方程得. 解方程得，， ∴原方程的根为：，，； ②， 设，则，方程变形为， ∴， 解得：， 当，时，无实根，舍去， 当，时，解得或； ∴原方程有两个根：，； （2）解：方程的解为：， 由于， ∴， ， ，， ， 当时， 原式 ． 题型六 利用根的判别式证明一元二次方程根的情况（重点） 18．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程总有实数根． 【答案】见详解 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根；本题考查了一元二次方程根的判别式：根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确记忆根的判别式是解题的关键． 【详解】证明： ， ∴， 无论取何值，方程总有两个实数根． 19．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了根的判别式，韦达定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意直接列出根的判别式，即可证明； （2）根据韦达定理用表示出，，再利用勾股定理，变式得到，代入即可得到的方程，解之即可得到答案． 【详解】（1）证明：，， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根 （2）解：和是的两个根 ， 是以为斜边的直角三角形 ，即 解得：，（，不合题意，舍去） 的值为3 20．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知，关于x的一元二次方程．试判定该方程的根的情况． 【答案】原方程总有两个不相等实根 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据结合当时一元二次方程有两个实数根，当时一元二次方程有一个实数根，当时一元二次方程没有实数根，进行作答即可． 【详解】证明： 不论k取何实数，总有 ∴ ∴原方程总有两个不相等实根． 题型七 已知方程两根满足的条件求参数值（难点） 21．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根是和，且，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要一元二次方程根与系数的关系即根的判别式．熟记一元二次方程的两个根分别为，那么，是解题关键．再根据根的判别式确定m的范围，由一元二次方程根与系数的关系可知，，再根据，，求解方程，即可． 【详解】解：，即， ， 可取任何数都满足关于x的一元二次方程有两个实数根， 根据题意得：，， ， ，即， ， ． 22．（23-24八年级下·山东烟台·期末）关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式： （1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系即可得出，，结合m的取值范围即可得出，，再由即可得出，即可得出m的值． 【详解】（1）解：这里，． ∵方程有两个实数根， ∴． ∴． （2）解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∴，同号． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， 即． ∴． 解得：． 所以，m的值为． 23．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 24．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根，满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式． （1）先把方程化为一般式得到，根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，，则，利用（1）的的范围去绝对值后解方程得到的值，然后根据（1）中的范围确定k的值． 解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两个实数根，则，．也考查了一元一次不等式及一元二次方程的解法． 【详解】（1）解：， 整理得：， ∵该方程有两个实数根，， ∴， 解得：， ∴实数的取值范围是； （2）∵，是方程的两实数根， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴可化简为：， ∴， 解得：（不合题意，舍去），， ∴的值为． 题型八 利用根的判别式解决几何问题（压轴） 25．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)当，且a、b、c为连续自然数时，写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1 【分析】本题考查勾股定理，根的判别式，一元二次方程的解： （1）根据，a、b、c为连续自然数得到，，，写出勾系一元二次方程即可； （2）利用根的判别式即可得证； （3）把代入方程得到，根据四边形的周长，求出，的值，根据勾股定理得到的值，利用完全平方公式求出的值即可． 【详解】（1）解：当，，时，， 能够组成一个勾系一元二次方程：； （2）根据题意得， ∵， ∴． 即， ∴“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）当时，有，即， ∵四边形的周长，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 26．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知：平行四边形的两边的长是关于的方程的两个实数根． (1)试说明：无论取何值方程总有两个实数根； (2)当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质和根的判别式等知识，得出的值是解题关键． （1）利用根的判别式求出的符号进而得出答案； （2）利用菱形的性质以及一元二次方程的解法得出答案． 【详解】（1）证明：方程， ， 无论取何值方程总有两个实数根； （2）解：四边形是菱形， ， ， ， 方程为， ， 即菱形的边长为2． 27．（23-24八年级下·山东淄博·期末）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)已知等腰三角形的底边，若恰好是另外两条腰的长，求这个三角形的周长． (3)阅读材料：若三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶—海伦公式可得：的面积，其中． 解答问题：请在（2）的条件下，根据“阅读材料”中的信息解答下列问题：    ①求等腰三角形的面积； ②如图，若和的角平分线交于点I，请求出的面积． 【答案】(1) (2)10 (3)①；② 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质、角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． （1）根据题意可知一元二次方程根的判别式大于或等于0列出不等式求解即可； （2）根据恰好是等腰的腰长，令，解一元二次方程求得，然后运用三角形的周长公式即可解答； （3）①由(2)知：的三边长为，代入公式求得面积；②根据角平分线的性质以及的面积看求得，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：． （2）解：由题意知：恰好是等腰的腰长， ∴， ∵是关于的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得：， ∴， 解得， ∵， ∴的周长为：． （3）解：①由(2)知：的三边长为， ∴， ∴． ②过I分别作，    ∵和的角平分线交于点I， ∴， ∴ ， 解得， ∴． 28．（2024·四川南充·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此一元二次方程总有实数根； (2)已知两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长，若的周长为偶数，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由根的判别式进行求解即可； （2）由根与系数的关系可得：，则的周长为，设，可求，由此时的周长为7，不是偶数，不符合题意，舍去；设，则：，由三角形三边关系得，，，即，，可得，根据的周长为是偶数，求解作答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴此一元二次方程总有实数根； （2）解：由题意得：， ∴的周长为， 设，则， 解得，， 此时的周长为，不是偶数，不符合题意，舍去； 设，则：， 由三角形三边关系得，，，即，， 解得：， ∵周长m为偶数， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，三角形三边关系的应用等知识．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，三角形三边关系的应用是解题的关键． 题型九 利用根与系数的关系求代数式的值（高频） 29．（23-24八年级下·山东济宁·期末）已知是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)若，求及的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，再把化为，再代入计算即可； （2）由方程的解的含义可得，再根据一元二次方程根与系数的关系可得答案； 【详解】（1）解：∵是一元二次方程的两个实数根，， ∴ ∴， ； （2）解：把代入； ∴， 解得：； ∴方程为：， ∵， ∴； 30．（22-23八年级下·山东淄博·期中）已知，是方程的两个根，求： (1)的值； (2) 【答案】(1)10 (2)8 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，代入代数式即可求解． 【详解】（1）∵、是方程的两个根， ∴， ∴ ∴． （2）． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．解题的关键是对代数式进行适当的变形，使已知两根之和与两根之积可以整体代入求值． 31．（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)的值为或． 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； （2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； （3）解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 32．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）一元二次方程（）有两根，，则，，则__________，__________． 请运用上面你发现的结论，解答问题： 已知，是方程的两根，不解方程求下列式子的值： （1）； （2）； （3）． 【答案】题干：，；（1）3；（2）；（3）1 【分析】题干：根据所给的，的值进行求解即可；先根据题干得到的结论得出，： （1）根据完全平方公式的变形进行求解即可； （2）把原式变形为进行求解即可； （3）根据多项式乘以多项式的计算法则将原式变形为，然后代值计算即可． 【详解】解：题干：∵，， ∴， ； 故答案为：，； ∵，是方程的两根， ∴，， （1）∴； （2）∴ ； （3）∴ ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，解题的关键在于熟知对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 题型十 根的判别式和根与系数的关系综合（重点） 33．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程两个实数根的差为2，求的值． 【答案】(1)证明见详解； (2)2或． 【分析】（1）先求一元二次方程的根的判别式，然后再证明即可； （2）不妨设方程的两实数根为且，则，再利用一元二次方程的根与系数的关系可得，进而变形即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程的根的判别式 ， 不论取任何实数，都有即成立； 当时，方程有两个不相等的实数根， 当时，方程有两个相等的实数根； 故该方程总有两个实数根； （2）解：不妨设方程的两实数根为且， 则， ， 又 ， ， 或， 故的值为2或． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式以及直接开平方求解一元二次方程等知识，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系的应用是解答此题的关键． 34．（24-25九年级上·山东德州·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)求，（用含的式子表示）； (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，将变形为，代入计算即可，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，把方程变形为，代入得，可得或，再根据根的判别式进行取舍即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 35．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根为，求代数式的值． 【答案】(1)见解析 (2)0 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，再整理代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴方程总有实数根； （2）解：由根与系数的关系可得，，， ∴ ． 题型十一 利用配方法求最值（难点） 36．（23-24八年级下·山东济南·期末）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题：    (1)填空：（______）______； (2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． (3)如图3，一个地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边加建宽的门（用其他材料）．设，矩形的面积为．当为何值时，矩形场地的面积最大?最大值为多少平方米? 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)当为时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米 【分析】本题主要考查配方法的运用，几何图形的面积的计算，乘法公式与几何图形面积的综合运用，理解题意，掌握乘法公式与几何图形的综合知识的运用是解题的关键． （1）根据材料提示，运用配方法即可求解； （2）结合矩形和正方形面积公式，利用整式的乘法分别算出、，再运用的结果的正负来判断大小，即可解题； （3）根据题意得到，利用矩形面积公式表示出，再结合题干求解方法即可解题． 【详解】（1）解：由题知，， 故答案为：，． （2）解：由题知，， ， ， ， ． （3）解： ， 由题知，， 矩形的面积；      ， ， ， 当为时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米． 37．（23-24八年级下·山东济宁·期末）学习的本质是提高自学能力．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，小睿发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． 解决问题： （1）求代数式的最小值． （2）求代数式的最值． 探究问题： 关于x的一元二次方程与 称为“同族二次方程”． 例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，根据你的观察，探究下面的问题：代数式的最值是多少？ 【答案】解决问题：（1）1；（2）5；探究问题：代数式的最小值是2024． 【分析】本题考查配方法的应用，解二元一次方程组，以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键． 解决问题：（1）将变形为即可解决； （2）将变形为即可； 探究问题：根据“同族二次方程”的定义可得方程即为方程，再把展开得到，解方程组得到，据此仿照题意求出对应的最值即可． 【详解】解：解决问题：（1） ， 的最小值是1； （2）， 的最大值是5． 探究问题：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴方程即为方程， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的最小值是2024． 38．（23-24八年级下·山东淄博·期中）小李大学毕业后积极自主创业，在网上创办了一个微店，销售一款节能灯，该灯成本是40元/盏．通过调研发现，若按50元/盏销售，一个月可售500盏；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10盏． (1)写出月销售量m（盏）与销售单价x（元/盏）之间的函数关系式； (2)若想让节能灯的月销售利润达到8000元，且尽快减少库存，则节能灯销售单价应定为多少元？ (3)在数学问题解决中，借助“配方”的方法可以求某些代数式的最大值，例如： ． ∵， ∴， ∴当时，的最大值为， 即代数式的最大值为，此时． 请利用题中的条件，结合上述代数式的“配方”的方法，求出这种节能灯的销售单价定为多少元时，月销售利润能获得最大值？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)60元 (3)销售单价定为70元时，月销售能获得最大利润9000元 【分析】本题考查一元二次方程和配方法的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据销售单价每涨1元，月销售量就减少10盏，列式即可； （2）根据节能灯的月销售利润达到8000元，列出方程解答即可； （3）写出月销售利润关系式：，仿照题目中的配方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得：， 解得：或（舍）， ∴节能灯销售单价应定为60元． （3）解：月销售利润： ， ∴， ∴ ∴当时，的最大值为9000． ∴销售单价定为70元时，月销售能获得最大利润9000元． 题型十二 一元二次方程与新定义问题（难点） 39．（23-24八年级下·山东济南·期末）请阅读以下材料： ①若是关于x的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数a、b、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）． ②定义：已知关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请解决下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，则m的取值范围为 ．（此小问直接填空，不写过程） 【答案】(1)是，理由见解析 (2)2 (3)或 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）解该一元二次方程，得出，再根据“限根方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求出，．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可； （3）解该一元二次方程，得出或．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，可求出m的取值范围．最后分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴． ∵，， ∴此方程为“限根方程”； （2）解：∵方程的两个根分比为， ∴， ． ∵， ∴， 解得：，． 分类讨论：①当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程不是“限根方程”， ∴不符合题意． 综上可知k的值为2； （3）解：， ， ∴或， ∴或． ∵此方程为“限根方程”， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴，即， ∴且． 分类讨论：①当时， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时， ∴， ∵， ∴， 解得：． 综上所述，m的取值范围为或． 40．（23-24八年级下·山东淄博·期末）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②；③ 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程． （1）解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标； （2）①根据判别式即可判断方程的根的情况；②解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标；③将变形，可得过定点，根据题意方程的两个根为，根据根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴该方程的衍生点M的坐标为 （2）①∵方程为， ∴ ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ② ∴， ∴该方程的衍生点M的坐标为； ③解∶直线，过定点， ∴两个根为， ∴， ∴． 41．（23-24八年级下·山东济南·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为 ，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． 小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究． 定义： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． 方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”． (1)请你判断：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值； (3)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？ 【答案】(1)倍根方程 (2)c的值是8 (3)方程的两个根是，或， 【分析】（1）求出方程的解，再判断是否为倍根方程； （2）设方程的两个根为，，由倍根方程”的定义可知，利用根与系数的关系即可求得的值； （3）设一元二次方程，的两个实数根分别为、，由题意可知，或，，即可得到方程的根是2、4或、． 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”或“方根方程”的意义，理解“倍根方程”或“方根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】（1）解：解方程得： ，， ， 方程是倍根方程； 故答案为：“倍根方程”； （2）解：程的两个根为，， 一元二次方程是“倍根方程”， ， ，， ，， ， ； （3）解：元二次方程，的两个实数根分别为、， 这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”， ，， ， 解得或（舍去）， ， 或，， ， 解得或（舍去）， ， 这个方程的根是2、4或、． $$