热点必刷题03 二次函数综合解答题压轴（一）50题（5类题型50题）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（辽宁专用）

热点必刷题03 二次函数综合解答题压轴50题 二次函数中的新定义及创新探究问题 2 二次函数中的公共点求参问题 53 二次函数的最值求参问题 75 二次函数中的动点图象问题 99 二次函数与实际生活情境应用问题 141 二次函数中的新定义及创新探究问题 1．（2024·辽宁·中考真题）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． (1)求函数的“升幂函数”的函数表达式； (2)如图1，点在函数的图象上，点“关于的升幂点”在点上方，当时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数”的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)①或；②；③或 【分析】（1）根据“升幂函数”的定义，可得，即可求解， （2）设，根据“升幂点”的定义得到，由，在点上方，得到，即可求解， （3）①由，，点与点重合，得到，即可求解，②由，得到对称轴为，、关于对称轴对称，结合，则，得到，进而得到，，由点在点的上方，得到点在点的上方，，解得：， ，当，，，当， ，，即可求解，③根据②中结论得到，，，将，，代入，得到，，，结合图像可得，当时，直线与函数的图象有3个交点，当时，直线与函数的图象有2个交点，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，结合，可得，当时，，解得：，由，得到，解得：，即可求解， 【点睛】本题考查了，求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数综合，根据系数关系，解题的关键是：熟练掌握二次函数的性质，将题目所给条件进行转化． 【详解】（1）解：根据题意得：， 故答案为：， （2）解：设点，则， ∵，在点上方， ∴， 解得：， ∴； （3）解：①根据题意得：，则， ∵点与点重合， ∴，解得：或， ②根据题意得：， ∴对称轴为，、关于对称轴对称， ∵，则， ∴，解得：， ∴，， ∵点在点的上方， ∴，解得：， ∴， 当，点在点右侧时，，， 当，点在点左侧时，，， ∴， ③∵， ∴，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， 当时，直线与函数的图象有3个交点， 当时，直线与函数的图象有2个交点， 直线与函数交于、两点，，即：， ∴，，， 直线与函数交于、两点，，即：， ∴，，， ∵， ∴，整理得：， 当时， ，解得：或（舍）， ∴， ∴，解得：， ∴， 或． 2．（2024·辽宁·二模）在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为n（n为正整数），点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．若点在正方形OABC的边上，且x，y均为整数，定义点M为正方形OABC的“LS点”．若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“LS点”，定义该函数为正方形OABC的“LS函数”． 例如：如图1，当时，某函数的图象经过点和，则该函数是正方形OABC的“LS函数”． (1)当时，若一次函数是正方形OABC的“LS函数”，则一次函数的表达式是______（写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数的图象经过点，与边AB相交于点E，判断该函数是否是正方形OABC的“LS函数”，并说明理由； (3)当时，二次函数的图象经过点B，若该函数是正方形OABC的“LS函数”，求a的取值范围； (4)在（3）的条件下，点是二次函数图象上两点，若点P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，求a的值． 【答案】(1)（或） (2)是，理由见解析 (3)或 (4)或 【分析】（1）当时，，，，写出一个一次函数，其图象过，即可； （2）求出，点的坐标为，可知函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”，故函数    是正方形的“函数”； （3）当时，把点代入二次函数  可得，故，该函数图象的顶点坐标为，可知点在函数    的图象上，①当时，抛物线顶点在轴上方，即可得，；②当时，函数  图象经过点，，一定是正方形的“函数”；从而可得的取值范围为或； （4）当时，抛物线开口向上，点，之间的图象的最高点是点，最低点是顶点，可得，当时，抛物线开口向下，①当，点，之间的图象的最高点是顶点，最低点是点，知，②当，即时，点，之间的图象的最高点是点，最低点是点，有，分别解方程并检验可得答案． 本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“函数”的定义． 【详解】（1）解：如图： 当时，，，， 当一次函数图象过，时，其解析式为，此时直线与正方形只有两个交点， 一次函数是正方形的“函数”； 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：该函数是正方形的“函数”；理由如下： 把点代入中得：， 解得， ， 把代入得， 点的坐标为， 函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”， 函数    是正方形的“函数”； （3）解：当时，点的坐标为，点的坐标为， 把点代入二次函数    中得：， ， ， 该函数图象的顶点坐标为， 在中，令得， 点在函数    的图象上， 函数    是正方形的“函数”，其图象经过点，， ①当时，抛物线顶点在轴上方， ， 解得， ； ②当时，函数  图象经过点，，则函数  一定是正方形的“函数”； 综上所述，的取值范围为或； （4）解：由（3）知，该函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为， 当时，有，，抛物线开口向上， 点，之间的图象的最高点是点，最低点是顶点， ， 整理得：， 解得：，  （舍去）； 当时，抛物线开口向下， ①当，即时，有，， 点，之间的图象的最高点是顶点，最低点是点， ， 整理得  ，此方程无实数根，的值不存在； ②当，即时，有， 点，之间的图象的最高点是点，最低点是点， ， 整理得， 解得； 综上所述，的值是或． 3．（2025·辽宁·一模）定义：在平面直角坐标系中，若点，的坐标满足（m是常数，且），则称点A，B是一对“m阶差值点”． (1)在点，，中，能与点构成一对“3阶差值点”的是________． (2)若点A，是一对“2阶差值点”，且点A在函数的图像上，求点A的坐标； (3)如图，抛物线交y轴于点C，点M在抛物线的对称轴上，点M的纵坐标为t，且． ①若点M与点C是一对“阶差值点”，求t的值； ②点Q为平面内一点，点P为抛物线上的动点，若四边形为正方形，则正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是一对“1阶差值点”？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． (4)点A，B是一对“m阶差值点”，且直线过点，当直线AB上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于1的点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)点A的坐标是或； (3)①；②存在，a的值是1或； (4)或． 【分析】（1）根据“m阶差值点”的定义，逐一分析判断即可； （2）根据题意，可设，根据“2阶差值点”的定义可得关于的方程，整理并求解，即可获得答案； （3）①首先确定点坐标，点坐标，结合“阶差值点”的定义，即可获得答案； ②根据题意，可知点C，M或点P，Q可以是一对“1阶差值点”，当点C，M是一对“1阶差值点”时，首先确定点坐标，过点P，M分别作y轴的垂线，垂足为，证明，结合全等三角形的性质可确定点坐标，进而确定的值；同理当点在点C上方时，求解a 的值，即可获得答案； （4）首先根据题意确定直线的解析式为，结合直线上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于1的点，易知直线经过由组成的正方形区域（含边界），然后分和两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于点，， ∵， ∴点，不是一对“3阶差值点”； 对于点，， ∵， ∴点，是一对“3阶差值点”； 对于点，， ∵， ∴点 不是一对“3阶差值点”． 故答案为：； （2）根据题意，可设， ∵点，是一对“2阶差值点”， ∴，整理可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴点A的坐标为或； （3）①∵抛物线的对称轴为， ∴， 将代入，可得， ∴点， ∵点M，C是一对阶差值点， ∴，解得， ②存在， 根据题意，可知点C，M或点P，Q可以是一对“1阶差值点”， 当点C，M是一对“1阶差值点”时，如下图， 则有，解得， ∴， 过点P，M分别作y轴的垂线，垂足为，如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ 将点代入， 得； 同理当点在点C上方时，如下图， 可得， 将点代入， 得 ． 综上所述，a 的值是1或； （4）若点，是一对“m阶差值点”， 则有， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得， 又，可得， ∴， 又∵直线过点， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于1的点， 即直线经过由组成的正方形区域（含边界），如图， 当时， 令，则有， 此时，解得，即m的取值范围为； 当时， 令，则有， 此时，解得，即m的取值范围为． 综上所述，m的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了新定义“m阶差值点”、一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的应用等知识，综合性强，难度较大，综合运用相关知识是解题关键． 4．（2025·辽宁阜新·一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点．他们把这个点A：定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： (1)点的“和”点是______； (2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； (3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为． ①当时，求n的取值范围． ②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点组成一条新的抛物线，设为，所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）根据题目中给出的信息解答即可； （2）先将点M的坐标代入抛物线的解析式，求出，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的“和抛物线”即可； （3）先根据点，求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、c的关系式，然后把b、c的关系式代入抛物线的关系式，得出，写出其“和抛物线”的关系式为：，并求出化为顶点式，得出，将n看作c的函数，求出当时，n的取值范围即可；根据题意确定原函数的顶点坐标，得出相应的二次函数解析式，确定顶点坐标即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意可知，点的“和”点是， ∴点的“和”点的纵坐标为，即． 故答案为：． （2）将点代入抛物线得：， 解得：， 即抛物线的解析式为， ∴抛物线的“和抛物线”为， 即． （3）根据题意可知，点是点的“和”点， ∴，解得：，即， 将点代入抛物线得：，则， ∴抛物线为， ∴抛物线的“和抛物线”为：， 即 ∵其顶点坐标为， ∴， 将n看作c的函数， ∵， 时，n有最大值，且最大值为1， 当时，，n有最小值，且最小值为， ∴n的取值范围是； 由得：原抛物线为， ∴， 将变形为代入得出， ∵所有的顶点组成一条新的抛物线，设为， ∴， ∴顶点坐标为：； 同理：∵所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为， ∴， ∴顶点坐标为：； ∴距离为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 5．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，是关于自变量的函数．给定一个实数，构造一个新函数，当时，，当时，，即，将变换后的函数称为原函数的“界变构函数”．例如：当时，一次函数的“1界变构函数”为． (1)求一次函数的“3界变构函数”． (2)点在反比例函数的“0界变构函数”上，求的值． (3)已知关于的二次函数，点在该二次函数的“界变构函数”上． ①求的值； ②当时，该二次函数的“界变构函数”的取值范围是，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或3 (3)①2；② 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，理解新定义，通过数形结合求解． （1）根据“界变构函数”的定义解答即可； （2）根据“界变构函数”的定义，可得反比例函数的“0界变构函数”为，再分类解答，即可求解； （3）①根据“界变构函数”的定义，可得函数称为原函数的“界变构函数”，再把点代入解答即可； ②由①可得函数称为原函数的“界变构函数”，然后画出函数图象，结合函数图象可得当时，该二次函数的“界变构函数”的取值范围是，把代入得：，把代入得：，，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 即一次函数的“3界变构函数”为； （2）解：根据题意得：反比例函数的“0界变构函数”为， ∵点在反比例函数的“0界变构函数”上， 当时，， 此时； 当时，， 此时； 综上所述，的值为或3； （3）解：①根据题意得：二次函数的二次函数的“界变构函数”为， ∵点在该二次函数的“界变构函数”上， ∴或， 解得：或， ∵， ∴； ②由①得：二次函数的二次函数的“界变构函数”为，即， 画出函数图象，如下图， 对于， 当时，， 解得：， ∴当时，该二次函数的“界变构函数”的取值范围是， 把代入得：， 把代入得：，， ∵当时，该二次函数的“界变构函数”的取值范围是， ∴当k在之间时，才能满足题意， ∴根据函数图象可知：． 6．（2025·辽宁沈阳·一模）定义：函数图象上到一个定点的距离相等的不同的点称为此函数图象上的这个定点的“共圆点”，即函数图象上的某个定点的“共圆点”都在以这个定点为圆心的同一个圆上． (1)如图1．在平面直角坐标系中，函数与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，请判断点是否为直线上的点的“共圆点”？并说明理由： (2)如图2，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，请直接写出点的坐标； (3)抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点为点，点在抛物线的对称轴上，且在点的上方，点在对称轴右侧的抛物线上，轴，点与点是抛物线上的点的“共圆点”， ①求点的坐标； ②将抛物线平移，使其顶点落在原点，这时点落在点的位置，点在轴上，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1)点是直线上的点的“共圆点”，理由见解析 (2)或或 (3)①；② 【分析】（1）先求解，，再计算，，即可判断； （2）先求解反比例函数为：，如图，结合，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，根据反比例函数的轴对称与中心对称的性质可得答案； （3）①如图，求解，设，则，由点与点是抛物线上的点的“共圆点”，可得，再建立方程求解即可； ②求解平移后的抛物线为：，平移后的对应点，如图，关于轴的对称点，连接，可得，当三点共线时，，此时周长最短；再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图， 当时，，当时，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴点为直线上的点的“共圆点”； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为：， 如图，， ∵点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”， ∴根据反比例函数的轴对称与中心对称的性质可得： 或或， 综上：的坐标为：或或 （3）解：①如图， ∵抛物线为， ∴对称轴为直线，此时， ∴， 设，则， ∵点与点是抛物线上的点的“共圆点”， ∴， ∴， 解得：，（舍去），， ∴； ②∵，将抛物线平移，使其顶点落在原点， ∴平移后的抛物线为：， ∴平移后的对应点， 如图，∵关于轴的对称点，连接， ∴， 当三点共线时，， 此时周长最短； 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，一次函数，反比例函数，二次函数的图象与性质，平移的性质，勾股定理的应用，圆的定义，理解题意是解本题的关键． 7．（2024·辽宁抚顺·二模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 例如：函数上的点，到两个坐标轴的距离相等，我们就称点，是函数图象的完美点． （1）若点是一次函数第四象限图象的完美点，求的值； （2）求二次函数图象的完美点； 【定义应用】 （3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式； 【定义应用】 （4）若二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2），，，； （3）； （4）或或． 【分析】（1）把点代入一次函数解析式，分别求出到坐标轴的距离，再根据完美点的定义进行判定即可求解； （2）联立方程组或即可求解； （3）根据完美点可得二次函数与有且只有一个交点，得到，把完美点代入二次函数解析式得，由此联立方程组求解即可； （4）根据题意，分类讨论： 第一种情况，设这个完美点是二次函数与的交点； 第二种情况，设这个完美点是二次函数与直线的交点；联立方程组即可求解． 【详解】（1）解点是一次函数第四象限图象的完美点， ， 解得：， 点的坐标为， 代入， 可得，； （2）解：完美点是函数图象上到两坐标轴的距离相等的点， 即完美点在直线或直线上， 或 解得：，或，， 二次函数图象的完美点分别是：，，，； （3）解：二次函数的图象上有且只有一个完美点， 在直线上， 有且只有一个完美点， ， 把点代入， 得， 解得：，， ； （4）或或； 解二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点， 即完美点在直线或直线上， 或 当时， 即， 整理得，有实数根， ， ， ， ， 当时，， 将代入， 解得，， 当时，， 将代入， 解得，（舍去），， ， 或； 当时， 即， 整理得，有实数根， ， ， ， ， 当时，， 将代入， 解得，， 当时，， 将代入， 解得，（舍去），， ， ， 综上所述，或或； 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查定义新运算，一次函数图象的性质，二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，二元一次方程组的计算，理解题目中完美点的含义及计算，掌握一次函数，二次函数图象的性质是解题的关键． 8．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“平衡函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的平衡点”，点在函数的“平衡函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“平衡函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的平衡点”，点在函数的“平衡函数”的图象上． (1)求函数的“平衡函数”的函数表达式； (2)如图，点在函数的图象上，点“关于的平衡点”在点的下方，当时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的平衡点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在轴的右侧，且点与点不重合时，设三角形的面积为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有个时，从左到右依次记为，当为的中点时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)①；②；③ 【分析】（）根据“平衡函数”的定义解答即可； （）设点，则点，根据题意可得，解方程即可求解； （）①由题意得点的坐标为，点的坐标为，即得，解方程即可求解；②分和两种情况根据三角形的面积公式解答即可求解；③画出函数图象，求出点的横坐标，再根据中点坐标公式列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即； （2）解：设点，则点， ∵，点在点的下方， ∴， 整理得，， 解得，， ∴点的坐标为或； （3）解：①由题意得点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵点与点重合， ∴， 解得； ②当，即时，点在点的上方， ∴， ∴； 当，即时，点在点的下方， ∴， ∴； 综上，； ③如图，把代入得，， 解得，， 即点的横坐标为，点的横坐标为， 把代入得，， 解得，， ∴点的横坐标为， ∵点为的中点， ∴， 整理得，， 解得． 【点睛】本题考查了新定义函数，求二次函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数与一次函数的交点问题，中点坐标公式，理解函数的新定义是解题的关键． 9．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）面对新冠疫情，中国举全国之力采取了很多强有力的措施，将疫情及时控制，其中对感染者和接触者进行隔离治疗和观察有效地控制住病毒的传播，数学中为对两个图形进行隔离，在平面直角坐标系中，对“隔离直线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线l：满足且，则称直线l：是图形与的“隔离直线”． 例如：如图1，直线l：是函数的图象与正方形的一条“隔离直线”． (1)在直线中，是图1函数的图象与正方形的“隔离直线”的为 ； (2)如图2，第一象限的等腰直角三角形的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是，与的“隔离直线”有且只有一条，求出此“隔离直线”的表达式； (3)正方形的一边在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点是此正方形的中心，若存在直线是函数的图象与正方形的“隔离直线”，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】此题重点考查定义新函数的有关内容，用到反比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）根据定义，结合图象，可判断出与双曲线及正方形最多有一个公共点的直线为； （2）先作出以原点为圆心且经过的顶点的圆，再过点作的切线，求出该直线的解析式即可； （3）先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出的取值范围． 【详解】（1）解：如图， 从图可知：与双曲线和正方形没有公共点， 不在双曲线及正方形之间， 根据“隔离直线”定义可知，直线是双曲线与正方形的“隔离直线”， 故答案为：． （2）解：如图1，连接，以为圆心，长为半径作，作轴于点，过点作的切线，则． ， ， 直线是与的“隔离直线”． ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则，解得， ∴与的“隔离直线”是； （3）由得， ∵直线与抛物线有唯一公共点， ∴， ∴，解得， ∴此时的“隔离直线”为， 当正方形在直线上方时，如图： ∵点是此正方形的中心， ∴顶点， ∵顶点不能在直线下方，得，解得； 当正方形在直线下方时，如图： 对于抛物线，当时，；当时， 设经过点和点的直线为， 则 解得 ∴直线恰好经过点和点； 对于直线，当时，， 由不能在直线上方，得，解得， 综上所述，或． 10．（2025·辽宁大连·一模）定义：在平面直角坐标系中有两个函数的图象，如果在这两个图象上分别取点，（为自变量取值范围内的任意数），都有点和点关于点成中心对称（这三个点可以重合），那么称这两个函数互为“中心对称函数”．例如：和互为“中心对称函数”． (1)如果点和点关于点成中心对称，那么三个数，，满足的等量关系是 ； (2)已知函数：① 和；②和；③和，其中互为“中心对称函数”的是_____ （填序号）； (3)已知函数的“中心对称函数”的图象与反比例函数 的图象在第一象限有两个交点，，且的面积为4． ①求的值； ②反比例函数的“中心对称函数”的图象在第一象限内是否存在最低点，若存在，直接写出反比例函数的“中心对称函数“的函数表达式和该函数图象在第一象限内最低点坐标；若不存在，请简要说明理由； (4)已知三个不同的点，，都在二次函数（，，为常数，且）的“中心对称函数”的图象上，且满足．如果恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)②③ (3)①；② (4) 【分析】（1）根据中心对称的性质，得点为点和点连线的中点，即可得到； （2）由（1）得当时，函数和互为“中心对称函数”，分别将①，②，③组内的两函数相加，若结果为，则互为“中心对称函数”，由此即可得出答案； （3）先求出函数的“中心对称函数”是，由，为函数与反比例函数的图象在第一象限的两个交点，可设，，再利用割补法求三角形面积得，进而得，再将的代数式代入点坐标，根据反比例函数的值相等，得，求解即可得点的坐标，进而得的值，然后求出的“中心对称函数”为，根据不等式公式可得当时，，当时，在第一象限内的值最小，求解即可得该函数在第一象限内最低点坐标； （4）由“中心对称函数”的定义得的“中心对称函数”为，根据，都在的图象上，可得，，再根据，将，的代数式代入不等式，得，结合，将不等式化简变形得，再根据点，的纵坐标相等，得抛物线的对称轴为，即，即可得到的取值范围为，然后令，化为顶点式为，根据二次函数的增减性即可得的取值范围． 【详解】（1）解：点和点关于点成中心对称， ， 故答案为：． （2）解：①令，， ， 和不互为“中心对称函数”， ②令， ， 和互为“中心对称函数”， ③令和， ， 和互为“中心对称函数”， 故答案为：②③． （3）解：函数的“中心对称函数”是， 如图，令函数与轴，轴的交点分别为，， 令，则，故， 令，则，得，故， 点，为函数与反比例函数的图象在第一象限的两个交点， 设，， ，的面积为4， ， ， ， ， 解得，， ， ， ， 的“中心对称函数”为， 当时，， ，即时，的值最小， 的函数图象在第一象限内最低点坐标为． （4）解：的“中心对称函数”为， ，都在的图象上， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点，的纵坐标相等， 抛物线的对称轴为，即， ， ， ， 令， 当时，随的增大而减小， 时，，即， 恒成立， ． 【点睛】本题综合考查了中心对称的性质，二次函数的图象与性质，反比例函数与一次函数交点问题，不等式的求解，解题关键是读懂题意，理解“中心对称函数”的定义，利用中心对称的性质找到的等量关系，利用割补法求三角形面积，确定反比例函数图象与直线的交点坐标，及待定系数法求函数解析式，掌握不等式的性质，利用二次函数的对称性求对称轴及利用二次函数的增减性求最值． 11．（2024·辽宁·模拟预测）若，，那么我们把点B叫做点A的“倍增点”．例：，它的“倍增点”是．经过A，B两点的直线叫做点A的“倍增线”． (1)若点A在函数的图象上，点B是点A的“倍增点”，且点B也在函数的图象上，则点A的“倍增线”是 (2)若点在直线上，点A的“倍增线”为． ①若随x的增大而减小，求点A的“倍增线”与直线的交点C的纵坐标的取值范围； ②当时，抛物线经过A，B两点，且当时，，求m的取值范围． 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）设，则点，由反比例函数点的特点解出a的值，然后得出A，B两点的坐标，然后设点A的“倍增线”是，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可． （2）①先求解，结合随x的增大而减小，可得，解得：，求解交点纵坐标，再进一步可得答案； ②求解，当抛物线与的左交点为时，可得， 当抛物线与的右交点为时，可得，从而可得答案； 【详解】（1）解：设，则点， ∵点B在函数的图象上， ∴， 解得：， ∴或 则点或， 设点A的“倍增线”是， 根据题意有：或， 解得：或， ∴或． （2）①∵，，点A的“倍增线”为． ∴， 解得：， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵随x的增大而减小， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴对称轴为直线， ∴当时，的最大值为； ∴； ②∵抛物线经过A，B两点， ∴， 解得：， ∴， 如图， 当抛物线与的左交点为时， ∴， 解得：，（不符合题意的根舍去） 如图，当时，， 当抛物线与的右交点为时， ∴， 解得：，（不符合题意的根舍去） 综上：当时，，则； 【点睛】本题考查的是函数新定义问题，难度很大，涉及一次函数，二次函数，函数交点，求解函数解析式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 12．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形四个顶点的坐标分别为，， 其中．我们把正方形的边上及其内部的点称为“n阶方点”． (1)请写出双曲线  上一个“4阶方点”的坐标 ； (2)若直线上有且只有一个“2阶方点”，求k的值； (3)抛物线  上有且只有2个“3阶方点”，求符合题意的抛物线的解析式； (4)若（3）中所得抛物线均取x轴上及x轴上方的所有点组成一个新函数的图象，记为图象W，点  在图象W上，记P，Q之间图象（包括点P，点Q）上最高点与最低点纵坐标差为  求m的值． 【答案】(1) (2)的值为或 (3)时，；时， (4)的值为或 【分析】（1）根据“n阶方点”的定义解答即可； （2）找到直线恒过的定点，根据“n阶方点”的定义找到符合题意的点，建立方程即可求解； （3）分两种情况分别求解； （4）先画出图象W，再分类讨论：m满足，，，时分别求解，得出符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意，正方形四个顶点的坐标分别为，，， 正方形的边上及其内部的“4阶方点”可以是（答案不唯一）； （2）解：， 当时，． 直线恒过点， 直线上有且只有一个“2阶方点”， 直线过点或过点 当过时，，； 当过时，，． 综上，k的值为或3； （3）解：抛物线上有且只有2个“3阶方点”， 若，抛物线过两B、C点，对称轴为y轴； 若，抛物线过两A、D点，对称轴为y轴； ， ，． ． 当时，代入，，， ； 当时，代入，，， ． （4） 解：令，，点P不在的图像上， 将代入中，， ， 令，， 图象与x轴交点为， 当时，图象最高点为Q，最低点为P， ，解得：，（舍）； 当时，最高点为P，最低点为Q， ，解得：，（舍）； 当时，最高点为P，最低点为图象与x轴交点，， ，，，都不符合； 当时，最高点为Q，最低点为图象与x轴交点，， ，，都不符合， 综上所述，m的值为或． 【点睛】本题考查了正方形，坐标与图形，一次函数的图像与性质、反比例函数与几何综合、二次函数的图像与性质等，理解新定义结合图形分类讨论是解题的关键． 二次函数中的公共点求参问题 13．（2024·辽宁·一模）若函数y经过矩形一条对角线上的两个端点，则称函数y为这个矩形的“对角函数”． (1)如图，在矩形中，轴，，． ①若点A的坐标为，一次函数是矩形的“对角函数”，则一次函数的解析式为________． ②若反比例函数是矩形的“对角函数”，且经过B，D两点，求点A的坐标． (2)若二次函数是矩形的“对角函数”，且经过A，C两点，已知点，，轴． ①当与矩形有且只有两个交点时，求m的取值范围； ②已知是上一点，当时，的最大值和最小值的差是3，求m的值． 【答案】(1)①或；②或 (2)①或；②m的值为或 【分析】（1）①分两种情况：一次函数经过A、C两点时；一次函数经过B、D两点时；分别利用待定系数法即可求解； ②设，则可得点B的坐标，由点B在图象上，可求得t的值，进而求得点A的坐标； （2）①由待定系数法求出抛物线的解析式，并求出其顶点坐标，由题意得两个不等式组：或，解不等式组即可； ②分四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：点A的坐标为，轴，，， ； 当一次函数经过A、C两点时， ，解得：， ； 同理，当一次函数经过B、D两点时，； 故答案为：或； ②设， 轴，，， 点B的坐标， 点B在图象上， ， 解得：； 当时，，此时； 当时，，此时； 点A的坐标为或； （2）解：①，，轴， ； 经过A，C两点， ，解得：， ； ， 顶点坐标为； ∵抛物线与矩形有且仅有两个交点， 或， 解得：或； ②由（2）①知，， 当时，；当时，； 下面分四种情况考虑： （一）当，即时， 当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数在处取得最大值，在处取得最小值； 由题意得：，解得：（不合题意，舍去）； （二）当，即，且时， 当时，函数值随自变量的增大而增大，此时函数在处取得最小值，在处取得最大值； 由题意得：，解得：（不合题意，舍去）； （三）当，即时， 当时，函数值在顶点取得最小值， 若，即时， 函数在处取得最大值； 则， 解得（舍去）； （四）若，即时， 函数在处取得最大值； 则， 解得（舍去）； 综上，m的值为或． 【点睛】本题是三种函数的综合，考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，矩形的性质，待定系数法求函数解析式等知识，涉及分类讨论思想的运用． 14．（2025·辽宁·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于点，直线与抛物线交于，两点． (1)求的值和点坐标； (2)点是直线上方抛物线上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，过点作轴的平行线，交于点，当是线段的三等分点时，求点坐标； (3)如图2，是轴上一点，其坐标为，动点从出发，沿轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设的运动时间为（），连接，过作于点，以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为，点在运动过程中，线段的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段与抛物线有公共点时的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或； (3) 【分析】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、轴对称变换，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题． （1）求出点的坐标，可得直线的解析式，构建方程组确定点坐标即可； （2）设，则，，推出、，由是线段的三等分点，推出构建方程求解即可； （3）首先证明，得到直线的解析式，设直线交抛物线于，利用方程组求出点的坐标，求出两种特殊情形的值即可判断． 【详解】（1）∵，， 把，代入抛物线， 得：， 解得， ∴；    令即， 解得， ∴， 把代入， 得，得到，     ∴直线的解析式为， ∴， 解得 或， ∴； （2）设，则，， ∴，，    ∵是线段的三等分点， ∴或， ∴或，   解得或或，   ∵， ∴或，    ∴或； （3）如图，∵，， 设直线的解析式为，代入、坐标得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵与关于对称，， ∴， ∵，设直线的解析式为，代入，得到， ∴直线的解析式为， 设直线交抛物线于E， 由， 解得或， ∴， 当点与D重合时，， ∴， ∵直线的解析式为，， 可设的解析式为，把代入得到， ∴直线的解析式为， 令，得到， ∴， ∴， ∴， 当点与重合时，直线经过点， ∵， ∴同理求得的解析式为， 令，可得， ∴，此时， 观察图象可知，满足条件的的值为． 15．（2024·辽宁阜新·二模）在一次数学社团活动中，小晨同学所在的小组把两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图象与x轴交点也相同的二次函数，命名为“和合对称二次函数”，对应图象命名为“和合对称抛物线”，并把两个函数图象上横坐标相同的对应点称之为“和合点”，针对该构想，小展同学用二次函数作为其中一个函数（标记该函数图象交轴于原点及点）做了有关研究，请你帮他解答． 【特例感知】（1）当时，如图，抛物线上的点关于与之对应的“和合对称抛物线”图像的“和合点”分别为，．如下表： … … … …    ①补全表格； ②画图：在图中描出表中对应的“和合点”，再用平滑的曲线依次连接各点，得到“和合对称抛物线”图象． 【初步探讨】（2）①当时，若抛物线的顶点为点，点对应的“和合点”为点，则由点、四点所围成的四边形的面积为______； ②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现与二次函数对应的“和合对称抛物线”图象中，存在一条抛物线，其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数，请求出抛物线的解析式． 【进阶探究】（3）若抛物线及与它对应的“和合对称抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值． 【答案】（1）①；②见详解；（2）①；②抛物线；（3）为或． 【分析】（1）①用和合对称二次函数图像与轴交点相同即可求解； ②用圆滑的曲线，按描点画图的要求作图即可； （2）①当时，抛物线，可求其与轴交点和顶点坐标，设抛物线，两个二次项系数之和为，对称轴相同，联立方程组，求解，确定抛物线，求其顶点坐标，则； ②设抛物线，求两个函数与轴的交点，利用横坐标相等，可得，从而确定抛物线，求其顶点坐标，利用其横、纵坐标互为相反数，求解，即可确定抛物线； （3）由题可设抛物线，将两个抛物线化成顶点式，表示其顶点坐标，当直线过抛物线顶点时，才有可能满足有且仅有个交点，列式可得 或，验证时，不满足条件． 【详解】解：（1）①∵和合对称二次函数图像与轴交点相同， ∴坐标与坐标相同，同为； ②描点画图即可，如下图    （2）①当时，抛物线， 与轴交点为， ， ∴顶点坐标为， 设抛物线， 则， 解得， ∴抛物线， 当时，， ∴坐标为， ∴； ②抛物线， 与轴交点为点为， 则设抛物线， 与轴交点为点为， ∴， 抛物线， ∴， ∴顶点为， ∵其横、纵坐标互为相反数， ， ∴抛物线； （3）抛物线， ∴其顶点为， 则抛物线， ∴其顶点为， 当直线过抛物线顶点时，才有可能满足有且仅有个交点， ∴， 解得， 当时，两个抛物线与只有一个交点，不满足条件， ∴为或． 【点睛】本题是新定义的“和合对称二次函数”，主要考查二次函数的图象和性质、描点作图、四边形面积、多次用到待定系数法求函数，读题理解“和合对称二次函数”等概念是解题关键． 16．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P坐标为，当时，点Q坐标为；当时，点Q坐标为，则称点Q为点P的a级变换点（a为常数）． 例如：点是点的0级变换点，点是点的1级变换点． (1)点的1级变换点在反比例函数的图像上，k值为__________； (2)点的1级变换点在直线上，求b值； (3)点M在函数的图像上，点N是点M的2级变换点． ①设点，求n与m的函数关系式； ②点，，线段AB与①中的函数图像只有一个交点，请直接写出c的取值范围． 【答案】(1)2 (2)7 (3)①②或 【分析】（1）根据定义可知点的1级变换点是，再代入函数关系式可得答案； （2）分两种情况讨论：当时，确定1级变化点，代入关系式求出答案；当时，求出1级变换点，代入关系式，求出答案； （3）①分两种情况：当时，将点代入关系式即可；当时，将点代入关系式可得答案； ②先画出图象，观察图象可得取值范围． 【详解】（1）解：点的1级变换点是， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：2； （2）解：当时，即， 点的1级变换点是， ∵点在直线上， ∴， 解得； 当时，即， 点的1级变换点是， ∵点在直线上， ∴， 解得，不符合题意舍去． 所以b的值是7； （3）①当时，即， 则点在函数的图象上， ∴， 即； 当时，即， 则点在函数的图象上， ∴， 即． ∴n与m的函数关系式为； ②如图所示，， 当时，； ， 当时，； 当时，线段与图象只有一个交点； ， 当时，； ， 当时，． 当时，线段与图象只有一个交点． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数图象上的点，一次函数图象上的点，求二次函数关系式，二次函数的图象和性质，理解新定义是解题的关键． 17．（2024·辽宁本溪·二模）定义： 在平面直角坐标系中，图象上任意一点的纵坐标与横坐标的差即的值称为点的“坐标差”；例如：点的“坐标差”为，而图象上所有点的“坐标差”中的最大值称为该图象的“特征值”． 理解： （1）求二次函数的图象的“特征值”； 运用： （2）若二次函数的“特征值”为，点与点分别是此二次函数的图象与轴，轴的交点，且点与点的“坐标差”相等，求此二次函数解析式； 拓展： （3）如图，矩形，点的坐标为，点在轴上，点在轴上，二次函数的图象的顶点在“坐标差”为的函数图象上． 当二次函数的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式； 当二次函数的图象与矩形的边有四个交点时，请直接写出的取值范围． 参考公式：． 【答案】（1） （2） （3）或； 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，矩形的性质等知识点，数形结合并分类求解是解题的关键． （1）写出的解析式，它是一个二次函数，将其改写为顶点式，即可求出其最大值，于是可得原二次函数的图象的“特征值”； （2）由题意可得点的坐标，根据点和点的“坐标差”相等，可得出点的坐标，将点、的坐标代入抛物线表达式可得，则；写出的解析式，它是一个二次函数，将其改写为顶点式，因其最大值等于，于是可得关于的一元二次方程，解得，即可得出，于是可得出原二次函数的解析式； （3）由“坐标差”为可得一次函数解析式为，又因二次函数的图象的顶点在该一次函数上，因此可将该二次函数解析式写为，此时分两种情况；第一种情况：当抛物线顶点为点时，抛物线与矩形有三个交点，把代入，求出，即可求出此种情况下的二次函数解析式；第二种情况：当抛物线经过点时，抛物线与矩形有三个交点，把代入，求出，即可求出此种情况下的二次函数解析式；当时，，当时，，据此即可求解． 【详解】解：（1）， 的“特征值”为； （2）由题意得：点的坐标为， 点和点的“坐标差”相等， 点的坐标为， 将点、的坐标代入抛物线表达式得：， 则， 的“特征值”为， 则， 解得：， ， 此二次函数解析式为； （3）“坐标差”为的一次函数， ， ， 二次函数的图象的顶点在该一次函数上， 设为：， 直线与交于点， 第一种情况：当抛物线顶点为点时，抛物线与矩形有三个交点， 把代入， 解得：，（不合题意，舍去）， ， 此二次函数解析式为； 第二种情况：当抛物线经过点时，抛物线与矩形有三个交点， 把代入， 解得：，（不合题意，舍去）， ， 此二次函数解析式为； 当二次函数的图象与矩形的边只有三个交点时，此二次函数的解析式为或； 当时，，当时，， ， 当时，二次函数的图象与矩形的边有四个交点． 18．（2024·辽宁营口·一模）定义：点是平面直角坐标系内一点，将函数的图像位于直线左侧部分，以直线为对称轴翻折，得到新的函数的图像，我们称函数是函数的相关函数，函数的图像记作，函数的图像未翻折的部分记作，图像和合起来记作图像．    例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为． (1)如图，函数的解析式为，当时，求它的相关函数的解析式． (2)函数的解析式为，当时，图像上某点的纵坐标为，求该点的横坐标． (3)已知函数的解析式为，点、的坐标分别为、，图像与线段只有一个公共点时，结合函数图像，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)，或 【分析】（1）运用“相关函数”的定义结合待定系数法解答即可； （2）先写出图像的解析式，再分别将代入，解得值，即可得出该点的横坐标； （3）先根据“相关函数”的定义得出图像的解析式，再运用二次函数图像和性质分类讨论：当经过点时，当经过点时，当经过点时，当经过点时，综合得出结论即可． 【详解】（1）解：根据题意，将函数的解析式为的图像沿直线翻折， 设所得函数的解析式为， 在的图像上取两点，， 可得到这两点关于直线的对称点和， 把和分别代入， 可得，解得， ∴函数的解析式为； （2）根据题意，可得图像的解析式为， 当时，可有，， 解得，， ∴该点的横坐标为或； （3）根据题意，得图像的解析式为， 当经过点或当时，， 解得； 当经过点或当时，， 解得：或5； 当经过点时，， 解得：； 当经过点时，， 解得：； 如下图，    随着的增大，图像的左端点先落在上（两个交点），的端点落在上（一个交点），图像经过点（两个交点），图像的左端点再次落在上（一个交点），图像的端点落在上（无交点），图像经过点（一个交点）， ∴的取值范围为，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了新定义在函数中的应用、抛物线的图像与线段的交点个数问题、二次函数的图像与性质、求一次函数解析式、反比例函数的图像与性质等知识，解题的关键是读懂定义并熟练掌握二次函数的图像与性质，并运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 二次函数的最值求参问题 19．（2025·辽宁抚顺·三模）已知，，如果点的坐标满足，，就称点C是点A，B的“巧合点”，例如：，，当满足，时，则点是点A，B的“巧合点”． (1)已知点，，点C是点A，B的“巧合点”，求C的坐标． (2)如果点，点的“巧合点”是，求点E和点F的坐标． (3)已知点是直线上的一动点，点是抛物线上一动点，点是点M，N的“巧合点”，请求出Q中y关于x的函数表达式（表达式中含有a），并根据表达式判断，该函数图象是否有最低点，如果有，请写出最低点坐标；如果没有，请说明理由． (4)在（3）y关于x的函数中，当自变量时y的最大值与最小值的差为16，求a的值． 【答案】(1) (2)， (3)有最低点，坐标为 (4)或 【分析】（1）根据“巧合点”的定义判断即可； （2）根据题意列出方程组，再求解即可； （3）先求得，，再由是M，N的“巧合点”，可得，，从而得出，，再求解即可； （4）分为当时，当时，当时，当时，进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：点，，点C是点A，B的“巧合点”， ，， ∴； （2）解：由题意得，， 解得， ∴，； （3）解：∵是直线上的一动点， 点是抛物线上一动点 ∴，， ∵是M，N的“巧合点”， ∴，， ∴，， ∴， ∴此函数为y关于x的二次函数，开口向上，有最低点， 坐标为； （4）解：当，即时，，y随x的增大而增大， ∴时y有最小值，最小值为， 时y有最大值，最大值为， 最大值与最小值的差为16时， 解得， 当，即时， y最小值为， 时y有最大值，最大值为， 最大值与最小值的差为16时， 解得或都不在范围内，均舍去； 当，即时， y最小值为， 时y有最大值，最大值为， 最大值与最小值的差为16时， ， 解得或（舍去）； 当，即时，在，区间y随x的增大而减小， ∴时y有最大值，最大值为， 时y有最小值，最小值为， 最大值与最小值的差为16时， 解得（舍去） 综上所述，或 【点睛】本题是函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，二次函数与不等式的关系，二次函数与新定义结合问题，正确理解“巧合点”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 20．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）【概念感知】 在平面直角坐标系中，关于点和函数图象，给出如下定义：过点作轴的垂线交函数图象于点，点与点的纵坐标之差称为点到函数图象的有向量． 【概念理解】 (1)如图1，点在直线上，函数图像对应的解析式为． 若点的横坐标是，则点到函数图像的有向量等于______； 若点到函数图像的有向量等于，求点的坐标； 【概念应用】 (2)如图，函数图像对应的解析式为；函数图像对应的解析式为，点的坐标为，其中，若点到函数图像的有向量与点到函数图像有向量之和等于，且的最大值为，求的值． 【答案】(1)  或 (2)或 【分析】（1）根据“有向量”的定义计算即可求解； 设，过点作轴的垂线交函数图像于点，则，然后根据“有向量”的定义计算即可求解； （2）由题意得：点到函数图像的有向量为，点到函数图像的有向量为，因为点到函数图像的有向量与点到函数图像有向量之和等于，所以得到，化简得，分两种情况讨论：当时，即时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；即可解答． 【详解】（1）解：将点的横坐标代入，得， 将点的横坐标代入，得， 点到函数图像的有向量等于， 故答案为：； 点在直线上， 可设，过点作轴的垂线交函数图像于点，则， 点到函数图象的有向量等于， ， 解得或， 或； （2）解：由题意得：点到函数图像的有向量为，点到函数图像的有向量为， 点到函数图像的有向量与点到函数图像有向量之和等于， ， ， ， 当时，即时，随的增大而减小， 当时，的最大值等于， ， 解得或， （舍去）， ； 当时，随的增大而增大， 当时，的最大值等于， ， 解得或， （舍去）， ， 综上所述或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图像上点的坐标特征、二次函数的图像和性质、解一元一次方程、解一元二次方程等知识点，根据题意理解“有向量”的定义以及掌握以上知识点是解答本题的关键． 21．（2024·辽宁·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在两个不同的点关于直线（n为任意实数）对称，则称该函数为“函数”． (1)下列函数：．其中是“函数”的是 ．（填序号） (2)若关于x的函数是“函数”，且图象与直线相交于A，B两点（点A在点B的左侧），函数图象的顶点为点P，当时，求h，k的值． (3)若关于x的函数是“函数”，且过点，当时，函数的最大值与最小值的差为2，求t的值． 【答案】(1)③ (2)0；1 (3)或 【分析】（1）根据新定义判断即可． （2）根据对称轴，杰哈抛物线的顶点坐标，等边三角形的性质，确定点，代入解析式解答即可． （3）根据函数是“函数”，且过点，得到对称轴是中线，且，确定函数解析式为，结合时，分类解答即可． 【详解】（1）解：根据新定义，判断是“函数”， 故答案为：． （2）解：解：如图，设直线与轴交于点． ∵函数是“函数”， ∴其图象关于直线对称． ∴． ∴该函数的解析式为， ∴． ∵函数的图象与直线相交于两点， ∴设． ∵该函数图象关于直线对称， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵点到的距离为， ∴，即． ∴ ∴． ∴， 解得（舍去）． ∴． （3）解：∵函数是“函数”，且过点， ∴对称轴是中线，且， 解得， ∴函数解析式为， ∴当时，． 当时，． ∵抛物线开口向下， ∴距离对称轴越远的点的函数值越小，且当时，函数取得最大值，最大值为5， ∵， ∴当时即，在对称轴的右边， ∴，， 根据题意，得， 解得； 当，时，，在对称轴的两边， ∴，， 根据题意，得， 解得都舍去； 当时，在对称轴的左侧， ∴，， 根据题意，得， 解得； 综上所述，或函数的最大值与最小值的差为2． 22．（2025·辽宁沈阳·零模）【定义】若二次函数的顶点在直线上，则此二次函数叫做直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． (1)若二次函数是直线的开心函数，求k的值； (2)若二次函数是直线的开心函数． ①求用含m的代数式表示； ②若当时，y的最小值为，求n的值． 【答案】(1) (2)①；②或3 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数表达式，新定义等，分类求解是解题的关键． （1）由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入，即可求解； （2）①由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入得：，即可求解； ②当时，则抛物线在时，取得最小值，即，则舍去或3，即；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 将代入得：， ∴； （2）①∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 将代入得：， ∴； ②由①知，抛物线的表达式为：，顶点坐标为：， 当时，， 当时，同理可得：， 当，即：时，则抛物线在时，取得最小值， 即，则舍去或3，即； 当，即：时，则抛物线在顶点，取得最小值， 即，则； 当，即：时，时，函数取得最小值， 即，无解， 综上，或 23．（2025·辽宁丹东·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的纵横值”中的最大值称为函数的“最优值” 【举例】已知点在函数的图象上，则点的“纵横值”为．函数的图象上所有点的“纵横值”可以表示为． 当时，的最大值为，故函数的“最优值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)求函数的“最优值”； (3)已知二次函数． ①求证：无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值； ②当时，此二次函数的“最优值”为4，求出的值； ③若此函数的顶点记为点，它的“最优值”所在点记为点，点与点到直线的距离相等，直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)函数的“最优值”为3； (3)①见解析；②的值为或；③的值为或． 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质． （1）根据题干中的“纵横值”的值定义和“最优值”的定义计算即可； （2）根据“最优值”的定义计算即可； （3）①根据“最优值”的定义可知，求得，推出无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值，定值为5； ②可知当时，有最大值5，所以可得不在之内，所以或，分两种情况求的值； ③先求得和，由点与点到直线的距离相等，得到点与点关于直线对称或，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：点的“纵横值”为， 故答案为：3； （2）解：函数的“纵横值”为， 时，的最大值为， 函数的“最优值”为3； （3）解：①∵ ， ∵， ∴， ∴， ∴无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值，定值为5； ②∵， ∴当时，有最大值5， 当时，， 解得：或（舍）； 当时，， 解得（舍）或； 综上，的值为或； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵点与点到直线的距离相等， ∴点与点关于直线对称或， 当点与点关于直线对称时，，即， 解得； 当时，，解得； 综上，的值为或． 24．（2024·辽宁大连·模拟预测）定义，在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点T是点A，B的“伴A融合点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A，B的“伴A融合点”． (1)已知点，，点T是点A，B的“伴A融合点”，则点T的坐标为___________； (2)已知点，，，请说明其中一个点是另两个点的伴哪个点的“融合点”？ (3)已知点是直线上在第一象限内的一动点，是抛物线上一动点，点是点Q，P的“伴Q融合点”，试求出T中y关于x的函数表达式（表达式中含a），并判断所有点中是否存在最高点？若存在，求出最高点的坐标；若不存在，说明理由； (4)，为（3）中y关于x的函数表达式所对应的图像上两点，若点M，N之间的图象（包括点M，N）的最高点与最低点纵坐标的差为，求a的值． 【答案】(1) (2)点D是点C，E的“伴E融合点”，见详解 (3)存在，的最高点的坐标为 (4)a的值为1或 【分析】本题主要考查新定义下的实数运算和函数的结合， 根据新定义进行实数运算即可求得答案； 根据新定义进行实数运算即可求得答案； 由题意得， ，则点，点．即可得，则，根据二次函数的性质得抛物线开口向下，当，y有最大值1，即可得的最高点的坐标为； 由得抛物线的开口向下，对称轴为直线，最高点为．①当时，即时，结合二次函数的性质得最高点为N，最低点为M，可得，化简得，解得满足条件的a即可；②若，即时，若，解得．当时，最高点为，最低点为，则不满足题意；③若，则最高点为，最低点为，得，解得a即可． 【详解】（1）解：根据给定定义得，，， ； 故答案为：； （2）解：，， ，， 又， 点D是点C，E的“伴E融合点”； （3）解：存在 是直线上在第一象限内的一动点， ，， ， ∵点是抛物线上一动点， ， ． 点是点Q，P的“伴Q融合点”， ，， ， ， 则 ， ， ， ， 抛物线开口向下，当，y有最大值1． 的最高点的坐标为； （4）解：，，． 抛物线的开口向下，对称轴为直线，最高点为． ①当时，，即时， 点M、N在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而增大， ， 点M、N之间的图象的最高点为N，最低点为M． ， 化简得，，， ， ， （舍），， ； ②若，即时，若，则， ． 当时，最高点为，最低点为． ．解得，．都不符合题意，舍去； ③若，则最高点为，最低点为． ，． ，（舍）． ． 综上，a的值为1或． 25．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)若将点向下平移6个单位，向左平移m个单位后恰好落在抛物线上，求m的值； (3)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】(1)； (2)m的值为； (3)． 【分析】（1）先根据对称轴求得b，然后将点代入求得c的值即可； （2）先求出点平移后的坐标，然后代入函数解析求得m的值； （3）根据二次函数的开口方向，对称轴分、、三种情况求函数的最值，再根据该二次函数的最大值与最小值的差为求n的范围即可． 【详解】（1）解：已知二次函数为常数的图象经过点，对称轴为直线， ， ， 将点A的坐标代入得： ， ， 该二次函数的表达式为； （2）解：根据题意，点平移后的点的坐标为， 点平移后恰好落在抛物线上， ， 解得：舍去或， 即m的值为； （3）解：抛物线开口向下且对称轴为直线， 当时，分三种情况求最值： ①当时， 当时，， 当时，函数取得最小值， 此时最大值与最小值的差为符合题意， ②当时， 时，函数取得最小值， ， 不合题意，舍去； ③当时， 时，， 时，函数取得最小值， 该二次函数的最大值与最小值的差为， ， 解得，不合题意，舍去， 综上所述，n的取值范围为当 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、坐标与图形变化平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 26．（2025·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点，……都是和谐点． (1)判断函数的图象上________（填“是”或“否”）存在和谐点： (2)若二次函数的图象上有且只有一个和谐点． ①求a、c的值； ②若时，函数的最小值为，最大值为3，求实数m的取值范围． 【答案】(1)否 (2)①，；② 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等等，正确理解题意是解题的关键． （1）假设存在和谐点，则可得到，由于方程无解，则假设不成立，即不存在和谐点； （2）①先把代入二次函数解析式推出，再根据只有一个和谐点得到方程只有一个实数根，由此得到，据此求出a的值进而求出c的值即可； ②根据①可得解析式为，则二次函数的对称轴为直线，由对称性求出当时，，再由当时，函数的最小值为，最大值为3，即可得到． 【详解】（1）解： 若函数的图象上存在和谐点，则，即，此时方程无实数解， ∴：函数的图象上不存在和谐点， 故答案为：否； （2）解：①把代入中得， ∴， ∵二次函数的图象上有且只有一个和谐点， ∴二次函数与直线只有一个交点，即方程只有一个实数根， ∴方程只有一个实数根， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴； ②由①函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线，其顶点坐标为，则最大值为3， 在时，随的增大而增大，当时，， 根据对称轴可知，当时，， ∵当时，函数的最小值为，最大值为3， 根据函数图象可知，当时，函数的最小值为－1，最大值为3， ∴． 二次函数中的动点图象问题 27．（2024·辽宁·一模）如图，正方形的顶点，的坐标分别为，，顶点、在第一象限．点从点出发，沿正方形按方向运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为，的面积（平方单位）． (1)正方形的边长为_________； (2)当点由点运动到点时，过点作轴交轴于点，已知随着点在上运动时，的面积与时间之间的函数图象为抛物线的一部分（如图所示）， 求：点，两点的运动速度为_________； 关于的函数关系式为________； (3)当点由点运动到点时，经探究发现的面积是关于时间的二次函数，其中与部分对应取值如下表： 求：的值及关于的函数关系式． (4)在（）的条件下若存在个时刻，对应的的形状是以为腰的等腰三角形，点沿正方形按方向运动时直接写出当时，的面积的值． 【答案】(1) (2)单位秒； (3)， (4) 【分析】()由的坐标分别为，根据勾股定理计算即可得出答案； ()由图可知，当时，，此时点从点移动到点，即点从点移动到点用了，结合进行计算即可；由题意得，，，则，计算出， 则，再由计算即可求解； ()先求出点的坐标，从而得出的值，再利用待定系数法求二次函数解析式即可； ()分两种情况：当时，当时，利用等腰三角形的性质、勾股定理等知识，建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵的坐标分别为， ∴， ∴正方形的边长为， 故答案为：； （2）由图可知，当时，，此时点从点移动到点， ∴点从点移动到点用了， 由()得，， ∵， ∴两点的速度为单位秒， 故答案为：单位秒； 如图， 由题意得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：由题意可得，时，点运动到点处， ， ∴， 过点作轴于，过点作轴交于点，如图， 则， ∴， ∴，四边形为矩形， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的坐标分别为， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴点坐标， ∴， 设关于的函数关系式为， ∴， 解得， ∴； （4）解：由题意得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，作于，如图， 则，四边形是矩形， ∴， ∴， 解得， 当时，， ∴， 解得， 综上可得， ，， ∵， ∴， 当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、勾股定理、正方形的性质，待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的定义及性质、坐标与图形、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 28．（2025·辽宁铁岭·一模）【发现问题】 数学小组在活动中，研究了一道有关相似三角形的问题． 例：如图1，在中，点D是线段AC上一点，连接BD，若． 求证：． 证明：， ，，． 小强同学经过分析，思考后，将这个三角形放在平面直角坐标系中发现了一些规律． 【提出问题】 如图2，点恰好与点重合，边在轴上，若点的纵坐标始终为，，那么随着的变化，点A的位置发生变化；小强同学通过描点、观察，提出猜想：按此方式描出的若干个点A都在某二次函数图象上． 【分析、解决问题】 （1）当时，若，所对应的点的坐标为______． （2）当时，请帮助小睿同学证明他的猜想． 【深度思考】 （3）点的坐标为，当时，的最大值为，最小值为，且，求此时t的值．（规定：当点A与点B重合时，依然满足） 【答案】（1）点A的坐标为或；（2）按此方式描出的若干个点都在二次函数的图象上，证明见解析；（3）的值为或5 【分析】题目主要考查相似三角形的性质，坐标与图形，二次函数的应用等，理解题意，熟练掌握二次函数的性质进行分类讨论是解题关键． （1）设点A坐标为，根据题意得出当A在点B右侧时，得到，利用发现问题中的结论代入即可得出结果；当A在点B左侧时，得到，利用发现问题中的结论代入即可得出结果； （2）设点A坐标为，则点，，，根据即可列出函数解析式； （3）根据题意得出，，，根据得到 ，得出对称轴为直线，然后分情况分析：①当时；②当时；③当时；④当时；分别求解即可． 【详解】解：（1）设点A坐标为， 当A在点B右侧时，，则， ∵，， ∴，即， ∴； 当A在点B左侧时，，则， ∵，， ∴，即， ∴， ∴点A的坐标为或． 故答案为：或 （2）设点， 则点，，， 依题意可知：， 由【发现问题】可知：， ， ， 按此方式描出的若干个点A都在二次函数的图象上． （3）点， 则点，，， 依题意可知：， 有【发现问题】可知：， ， ， ，则，抛物线开口向上，对称轴为直线． ①当时，，， ， ， 解得：； ②当时，，， ， ， 解得：（不符合，舍去），（不符合，舍去）； ③当时，，， ， ， 解得：（不符合，舍去），（不符合，舍去）； ④当时，，， ， ， 解得：； 综合①②③④可知，的值为或5． 29．（2025·辽宁辽阳·二模）综合与实践． 【问题提出】某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，．动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作等边．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，探究S与t的关系． 【初步感知】（1）如图1，在点P由点C运动到点B的过程中， ①当时，_______； ②S关于t的函数解析式为（并写出自变量的取值范围）． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． 【延伸探究】（3）若存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等，解决下列问题： ①_______； ②当时，求等边的面积． 【答案】（1）①；②；（2），9；（3）①，② 【分析】（1）①先求出，，再利用勾股定理求出，最后根据等边三角形的面积公式求解即可；②仿照①先求出，进而求出，再利用面积公式列关系式即可； （2）根据图象设二次函数为：，代入，即可得到函数关系式，再进一步求解即可； （3）①如图，存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等，可得，结合以及对称性可得答案；②由的对称轴为直线：；可得，结合，，求解，进一步可得答案. 【详解】解：（1）∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动， ∴当时，点P在上，且， ∵，， ∴， 如图，过作于，为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴； ②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵此时最大面积为：， ∴， 解得：（舍去）， ∴； （2）由图象可得：二次函数的顶点坐标为：， 设二次函数为：，代入， ∴， 解得：， ∴二次函数为：；即； 当时，， 解得：，（舍去）， ∴； （3）①如图，存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等， ∴， ∵， ∴； ②∵的对称轴为直线：； ∴， ∵，， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是动态几何的函数图象，等边三角形的性质，锐角三角函数的应用，二次函数的性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解图象的含义是解本题的关键. 30．（2024·辽宁大连·二模）如图1，中，，是边上的一个动点（不与点，重合），交于点，交于点．设的长为，四边形的面积为． 【初步感知】 （1）经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图像，其顶点坐标是，请根据图像信息，求关于的函数表达式． 【延伸探究】 （2）①当四边形的面积为时，求的长度； ②当四边形的面积最大时，求的面积． （3）如图3，当四边形是菱形时，求的长度． 【答案】（1） （2）①1或3；② （3） 【分析】（1）由图象得顶点为，设二次函数的表达式为，将代入即可求解； （2）①由四边形的面积为代入解析式，即可求解；②由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，过点作于点，过点作于点，由图象可知，当四边形的面积最大时，，四边形的面积是3，由即可求解； （3）法一：由（2）可知，当四边形的面积最大时，，，由正弦三角函数得，可求，由相似三角形的判定方法得 ，由相似三角形的性质得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解； 法二：当四边形由正弦三角函数得， 由得， 联立，即可求解． 【详解】解：（1）二次函数的顶点坐标是， 设二次函数的表达式为， 当时，， ， ， 二次函数的表达式为． （2）①四边形的面积为， ， ，， 的长度为1或3． ②二次函数的表达式为， 当时， 或， ， ，， 四边形是平行四边形． 如图，过点作于点，过点作于点， ． 由图象可知，当四边形的面积最大时，，四边形的面积是3， 即， ， ， ． （3）法一：由（2）可知，当四边形的面积最大时， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． 当四边形是菱形时，． ， ， ， ， ， ， ， ． 法二：当四边形是菱形时，． 在中，， ， ， 即， 由（1）知， 联立， 解得（舍去）或， ． 【点睛】本题考查了待定系数法，菱形的性质，相似三角形的判定及性质，三角函数等，理解面积与二次函数之间的关系，掌握判定方法及性质是解题的关键． 31．（2024·辽宁辽阳·三模）【发现问题】如图1，在一根长的铁丝上任取一点C弯折后，再连接形成(如图2)．当点C在不同位置及取不同的大小时，的面积也不同． 【[提出问题】的面积是否存在最大值？ 【分析问题】由于点C的位置及的大小都是不确定的，故可借助函数关系式来探究．设，．对于，可以先确定几个特定的便于计算的角度进行尝试，然后再推广到一般的情形． 【解决问题】 (1)如图2，当时，试求y与x的函数关系式，并判断此时的面积是否存在最大值？如果存在，点C在什么位置？ (2)当时，记为，当时，记为，若存在一个的值，使得，请求出的长； (3)的面积是否存在最大值？如果存在，最大值是多少，此时的多大，点C在什么位置？如果不存在，请说明理由， 【答案】(1)，y有最大值，此时的面积存在最大值，点C是的中点 (2)的长为或 (3)当时，y有最大值是2，此时，点C是的中点 【分析】（1）先构建图形，求解，再利用面积公式建立函数关系式即可； （2）当时，利用面积公式可得．-当时，如图，过作于，则，可得，再利用面积公式可得，利用，再建立方程求解即可； （3）分两种情况结合（1）（2）得出函数关系式，再结合函数性质可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于点D， 设，． 在中，，， ∴． ∴ ∴ ∴y有最大值，此时的面积存在最大值， 当，即，， ∴点C是的中点； （2）解：当时，．- 当时，如图，过作于， ∴， ∴， ∴， ∵， 根据题意得：， 解得：，， ∴的长为或； （3）解：的面积存在最大值， 由（1）（2）可得： 当为锐角或直角三角形时， ， 当为钝角三角形时， ∴当时，y有最大值是2，此时，点C是的中点． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，二次函数的应用，二次函数的性质，熟练的利用数形结合的方法与二次函数的性质解决问题是关键． 32．（2024·辽宁辽阳·一模）【问题提出】 如图1，在矩形中，点在上，且，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在折线段上运动，连接，当时停止运动，过点作，交矩形的边于点，连接．设动点的运动路程为，线段与矩形的边围成的三角形的面积为． 【初步感知】 如图2，动点由点向点运动的过程中，经探究发现是关于的二次函数，如图2所示，抛物线顶点的坐标为，与轴的交点的坐标为，与轴的交点为点． （1）求矩形的边和的长； 【深入探究】 （2）点由点向终点运动的过程中，求关于的函数表达式； 【拓展延伸】 （3）是否存在3个路程，，，当时，3个路程对应的面积均相等． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，理由见解析 【分析】（1）根据当时，可求出；过点作于点，证明得，当时求出，进而可求出，用待定系数法求出，然后求出抛物线与轴的交点为点的坐标为，由此可知，当点与点重合时，点与点重合，由勾股定理求出，然后由由可求出； （2）过点作于点，由求出，然后根据即可求解； （3）先求出，结合可得，由面积相等得，整理得，根据根的判别式即可求解． 【详解】解：（1）抛物线与轴的交点的坐标为， 即当时，， 当时，点与点重合，此时线段与矩形的边围成的三角形为，如图1， ， ， ． 如图2，过点作于点， ∵，， ∴． ∵， ∴， ，当时，即， ， ． ， 设抛物线为， 抛物线顶点的坐标为， 抛物线为， 抛物线与轴的交点的坐标为， ，， ． 当时，解得：，， 抛物线与轴的交点为点的坐标为， 由此可知，当点与点重合时，点与点重合（如图3）， 在中，， 由得，即， ； （2）如图4，过点作于点， 同理可证， ∴，即， ， ． ； （3）由知，抛物线的对称轴为直线， ， 当时，则， ， 整理，得：， ， 所以存在当时，3个路程对应的面积均相等． 【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根的判别式，勾股定理等知识，求出函数解析式是解答本题的关键． 33．（2024·辽宁锦州·三模）综合与实践 问题提出    如图1，在中，，，点D在上，，点P沿折线运动（运动到点C停止），以为边作正方形．设点P运动的线路长为x，正方形的面积为y． 初步感悟 （1）当点P在上运动时，若，则 ①______，y关于x的函数关系式为______； ②连接，则长为______． （2）当点P在上运动时，求y关于x的函数解析式． 延伸探究 （3）如图2，将点P的运动过程中y与x的函数关系绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，解决如下问题： ①当点P的运动到使时，图像上对应点的坐标为______； ②当将正方形分成面积相等的两部分时，与正方形交于点G、H两点，请直接写出此时的长，以及自变量和函数的值． 【答案】（1）①4，，②；（2）；（3）①，②,自变量为4，函数值为10． 【分析】（1）①先画出图形，然后根据已知条件列出函数解析式，再求出即可解答；②如图：延长交于G，先证明四边形是矩形，进而求得，，然后运用勾股定理即可解答； （2）先画出图形，然后根据勾股定理和正方形的面积即可列出函数关系式； （3）①先说明可得，进而确定横坐标x的取值；再运用勾股定理求得，即确定横坐标，从而完成解答；②过正方形的中心，如图：连接，其于交于点O，即O为的中点，如图：构造正方形，即，再证明、,进而确定自变量和函数值；如图：过G作，通过正切函数和等腰三角形可得、，设，则，再根据列方程求得x，然后再运用勾股定理即可解答． 【详解】解：（1）①如图：当点P在上运动时，，正方形的面积为，即y关于x的函数关系式为， ∵， ∴， ∴，即， 当时， 故答案为4，； ②如图：延长交于G，    ∵正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）如图：当点P在上运动时，，， ∴， ∵正方形的面积为， ∴．    （3）①如图：∵,， ∴， ∵, ∴, ∴， ∴,即， ∴图像上对应点的坐标为． 故答案为：． ②∵将正方形分成面积相等的两部分， ∴过正方形的中心， 如图：连接，其与交于点O，即O为的中点，再构造正方形，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，, ∴，即自变量为4，函数值为10，， 如图：过G作， ∴，即， ∵，     ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴    ∴，自变量为4，函数值为10． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、求函数解析式、勾股定理、正切函数等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 34．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）问题提出： 如图，在中，，，，为射线上的动点，以为一边作矩形，其中点，分别在射线，射线上，设长为，矩形面积为（均可以等于0）． 问题探究： （1）如图1，当点从点运动到点时， ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②求关于的函数解析式，并通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象： 0 1 2 3 4 0 1.5 2 表中的值为___________，的值为___________； （2）当点运动到线段的延长线上时， ①直接用含的代数式表示的长：___________； ②求关于的函数解析式； 问题解决： （3）若从上至下存在三个不同位置的点，，，对应的矩形面积均相等，当时，求矩形的面积． 【答案】（1）①；②，，，图见解析；（2）①；②；（3）矩形的面积为 【分析】本题为四边形综合题，涉及到二次函数的图象和性质、函数表达式得求解、函数作图，正确确定函数表达式是解题的关键． （1）①由，即可求解；②由题意得：，即可求解，通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象即可求解； （2）①由，即可求解；②由，即可求解； （3）由函数的对称性得：，当时，即，由题意得，和时，函数值相等，即可求解． 【详解】解：（1）①由题意得， 则， 则； ②由题意得：， 当时，， 当时，， 通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象如下： 故答案为：1.5，0； （2）①当点运动到线段的延长线上时， 同理可得：， ②则； （3）若从上至下存在三个不同位置的点，，，对应的矩形面积均相等， 如下图：由函数的对称性得：， 当时，即， 设， 则， 由题意得，和时，函数值相等， 故， 整理得：， 解得：， 则， 即矩形的面积． 35．（2024·辽宁沈阳·零模）问题提出： 如图，四边形是矩形，，E为射线上的动点，连接，过E作（点F在的左侧），且，过D作交射线于点G，连接，设长为x，四边形的面积为y（x，y均可等于0）． 初步感知： （1）如图1，当点E由点D运动到点A时，经探究发现y是关于x的二次函数，l为其对称轴，请根据图象信息求y关于x的函数解析式及线段的长； （2）当点E在线段的延长线上运动时，求y关于x的函数解析式； 延伸探究： （3）若存在三个不同位置的点E（从右向左依次用表示），对应的四边形面积均相等． ①试确定的数量关系，并说明理由； ②当时，求四边形的面积．    【答案】（1），2；（2）；（3）①，理由见解析；② 【分析】 （1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可，的长度就是抛物线与x轴交点之间的距离； （2）利用相似三角形的判定与性质，确定四边形的形状，然后根据其面积公式求出解析式即可； （3）画出y关于x的图象，①根据其对称性求解即可，②由①可求出与的关系，然后根据其面积相等代入求解即可． 【详解】 解:（1）设抛物线的解析式为：， 将原点代入解析式得：， ∴， ∴抛物线解析式为：， 令，解得：， ∴； （2）当E在延长线上时，此时，如图：    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）①画出y关于x的图形，如图：    ∴存在三个不同位置的点E时，， ∴和的长度在抛物线上， ∴； ②∵， ∴， ∴， 令，则有： ， 整理得：， 解得：或（小于1，舍去） ∴， 当时，代入中，得， 即四边形的面积为． 【点睛】 本题是二次函数的综合，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，采用数形结合的思想来求解是本题解题的关键． 36．（2024·辽宁沈阳·零模）中，，，， 点 P从点C出发，沿射线方向运动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q以相同的速度从点 B 出发，沿射线方向运动．设运动时间为x （且）秒， 的面积为S． (1)当时， 如图①， 求S与x的函数关系式； (2)当时， 如图②， 求S的最大值； (3)若在运动过程中，存在两个时刻，，对应的点P和点Q分别记为 ，和，对应的和的面积分别记为和，且当时，，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数及一元二次方程在几何动点中的应用，弄清动点的运动过程是解题的关键． （1）由已知条件得，，由三角形面积公式得即可求解； （2）由已知条件得，，由三角形面积公式得即可求解； （3）由已知条件得，，可求，由可求，由三角形面积公式得，，由得一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， ， ， 故S与x的函数关系式为； （2）解：由题意得 ， ， ， ， 当时，； （3）解：如图， 由题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，(舍去)， 故的值为． 二次函数与实际生活情境应用问题 37．（2025·辽宁抚顺·二模）利用素材解决问题： 《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽度（如图1），称为跨度，桥面最高点到的距离，称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度，拱高． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 ①如图2，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径．（点为圆心，，交于点，交于点D．） ②设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图3所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式． 任务二 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，，通过计算，我们确定：设计成圆弧型拱桥，货船可以顺利通过．如果设计成抛物线型，货船能否顺利通过？请写出结论并说明理由． 【答案】任务一：①圆弧所在圆的半径为；②抛物线的解析式为； 任务二：货船不能顺利通过抛物线型拱桥，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理的应用，掌握建模的数学思想是解题关键． 任务一：①，设的半径为，利用垂径定理，可得，然后在中利用勾股定理求出即可；②设抛物线的解析式为，代入 点和点即可求出抛物线式； 任务二：在抛物线型拱桥中，把代入，利用求出的值即可判断． 【详解】解：任务一：①设计成圆弧形，设的半径为， ，交于点，交于点 ， 在中， ， 解得：． 答：圆弧所在圆的半径为. ②设计成抛物线型 设抛物线的解析式为， 抛物线经过点和点 解得 抛物线的解析式为. 任务二：货船不能顺利通过抛物线型拱桥．在抛物线型拱桥中 当时，， 货船不能顺利通过抛物线型拱桥. 38．（2025·辽宁沈阳·一模）［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标； 【探究二】研究心形叶片的宽度： （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度； 【探究三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度． 【答案】（1），顶点的坐标为；（2）；（3） 【分析】（1）把原点代入解析式，求得值，将抛物线化成顶点式即可确定顶点坐标； （2）先求出点的坐标为，再求出的解析式为：．然后求出点的坐标为，最后求出结果即可； （3）作抛物线的对称轴于点，则，设点的横坐标为，得出，根据点在抛物线上，列出方程，得出点的坐标为，最后求出即可． 【详解】解：（1）抛物线经过原点， ． 解得：． 抛物线的解析式为：． 顶点的坐标为； （2）取，， 解得：，， 点的坐标为， 心形叶片的对称轴是直线，点，是叶片上的一对对称点， 设的解析式为：． 经过点， ． 解得：． 的解析式为：． ， 解得： 点的坐标为． ． ． （3）作抛物线的对称轴于点，则， 直线与水平线的夹角为， ． 设点的横坐标为， 抛物线的对称轴为直线， ． 顶点的坐标为， 点的纵坐标为． 点在抛物线上， ． 解得：． 点的坐标为． ． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，抛物线与坐标轴的交点，对称思想，两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 39．（2025·辽宁辽阳·二模）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【答案】(1)， (2)自行车车棚的长为，宽为 (3)自行车车棚面积最大可达到，计算见解析 【分析】本题主要考查了用代数式表示式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，理解题意、找到等量关系、列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据已知条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可解答； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽．另外，一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过8米； （3）根据（1）得到的函数解析式，然后再根据函数解析式求得车棚的最大值即可解答． 【详解】（1）解：∵车棚宽度为， ∴， ∴． 由，解得：． ∴S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：自行车车棚的长为57m，宽为5m． （3）解：自行车车棚面积最大可达到，计算如下： ， ，， 当时，有最大值为：， 自行车车棚面积最大可达到． 40．（2025·辽宁抚顺·二模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），王同学站在原点，将乒乓球从1.5米的高度P处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离王同学1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)王同学抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明； (3)若乒乓球投入箱子后立即向右上方弹起，沿与原抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时乒乓球的最大高度达到原最大高度的一半，请判断乒乓球是否弹出箱子，并说明理由． 【答案】(1) (2)能，见解析 (3)乒乓球不能弹出箱子，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中坐标问题，然后利用坐标数值关系反推实际问题． （1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）只要判断出乒乓球在运行中，高于，并落在之间即可； （3）依题意，设乒乓球弹出后的抛物线解析式为，利用待定系数法求得值，并求得当时，的值，即可判断． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为，即 （2）解：能，理由如下： 当时，， 当时，， 解得（舍去），， ∴乒乓球在运行中，高于，并落在的中点处， ∴王同学抛出的乒乓球能投入箱子； （3）解：乒乓球不能弹出箱子．理由如下： 依题意，设乒乓球弹出后的抛物线解析式为， ∵抛物线的图象经过点， ∴， 解得（舍去），， ∴弹出后抛物线解析式为， 当时，， ∴乒乓球不能弹出箱子． 41．（2025·辽宁丹东·一模）为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛.如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分，第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系．      (1)直接写出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式：______； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点处，并说明理由； (3)若消防员从点前进到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，求请直接写出的值．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据函数顶点坐标且过，可设抛物线解析式为，再待定系数法求解析式即可求解； （2）利用平移求出消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令，即可求解； （3）利用平移求出消防员到点处时水流所在抛物线的解析式，再结合水流未达到最高点且恰好到达点，即可求解． 【详解】（1）依题意顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 将点代入得，， 解得：， ∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； 故答案为：； （2）不能，理由如下， 依题意，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移2个单位得到 ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式， 令，解得：， 即消防员第二次灭火时水流所在抛物线不过 ∴水流不能到达点处， （3）依题意，消防员从点前进到点（水流从点射出）处，可以看成把第一次抛物线向左平移个单位得到 ∴消防员到点处时水流所在抛物线的解析式 ， ∵水流未达到最高点且恰好到达点处， ∴过点，且对称轴 ∴ 将点代入得， 解得或， ∴ 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 42．（2024·辽宁锦州·二模）某机器工程师为长虹食品加工厂设计自动化清洗池，其部分平面设计图如图1，为输送带，清洗池近似于抛物线型，为清洗池的池盖，点F处有进水口向清洗池注水，清洗池的最低点C处设有排水口，P为输送带上固定的支点，设备的支架，垂直于地面，支架垂直于（点C与点G重合，点A，M，H在同一直线上）．如图2，当DF张开最大角度时点F恰好在点B的正上方，以所在的直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知，，所对应的函数表达式为． (1)求排水口C的坐标及抛物线型清洗池所对应的函数表达式； (2)安装清洗池的固定支架与需要的材料是每延长米2400元，求安装固定支架的最低成本； (3)如图3，清洗池可绕点B（点B处安装轴承与轴杆）逆时针旋转到某个位置（张开最大角度不变），排水口C到直线的距离等于的长时，点D恰好落在的延长线上，此时进水口F到清洗池口的距离是多少米？（结果保留精确值） 【答案】(1)点C坐标为， (2)7100元 (3)m 【分析】（1）先求解与坐标轴的交点坐标，结合，，可得C的坐标，再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）设N点坐标为（），则点P坐标为．可得，．再建立函数关系式结合二次函数的性质可得答案； （3）如图，由题意得，，分别过点G，D作，垂直于y轴于点E，Q，证明，可得．设，则，则点D坐标为．求解，可得点D坐标为．求解．．如图，过点F作于点K，再利用等面积法可得答案． 【详解】（1）解：∵， 当时，，当时，， ∴点A坐标为，点B坐标为， ∵，， ∴点C坐标为， 设抛物线表达式为，将点B坐标代入，得． ∴． ∴抛物线表达式为． （2）设N点坐标为（）， 则点P坐标为． ∴，． ∴． ∵，∴当时，最小，最小值为． ∴安装固定支架的最低成本为：（元）． （3）解：如图，由题意得，， 分别过点G，D作，垂直于y轴于点E，Q， 则，，． ∵，， ∴， ∴，即． ∴． 设，则，则点D坐标为． 将点代入， 得，（不符合题意的舍去） ∴点D坐标为． ∵， ∴． ∴． 根据勾股定理得，． 如图，过点F作于点K， 又∵， ∴，即进水口F到清洗池口的距离是． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 43．（2024·辽宁沈阳·三模）根据以下素材，探索完成任务． 如何调整蔬菜大棚的结构？ 素材1 我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，相关数据如图2所示，其中，．    素材2 已知大棚有200根长为的支架和200根长为的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．    问题解决 任务1 确定大棚形状 在图2中以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 尝试改造方案 当米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造． 任务3 拟定最优方案 只考虑经费情况下，求出的最大值． 【答案】（1）；（2）能；（3）时，的值最大，为1.6米 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，利用二次函数的性质求对称轴，方案选择问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意得到函数的对称轴为5，再利用待定系数法得到函数的解析式； （2）根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论； （3）根据已知条件表示出、的坐标得到的不等式，进而得到的最大值． 【详解】（1）如图，以O为原点，建立如图所示的坐标系， ，， 设抛物线解析式为， ，， 抛物线的对称轴为直线， ，将代入解析式得，， （2）如图，建立与（1）相同的坐标系， ， 为， 改造后对称轴不变，设改造后抛物线解析式为， 将代入解析式得， ， 为， ∴为， ， ∴为， ∴ 共需改造经费， 能完成改造． （3）如图，设改造后抛物线解析式为， 则为，为， 由题意可列不等式，，解得， ， 时，的值最大，为1.6米． 44．（2024·辽宁葫芦岛·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里表示起跳点到地面的距离，，以为坐标原点，以地面的水平线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，某运动员在处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到轴的距离与水平方向移动的距离满足．在着陆坡上设置点作为基准点，点与相距，高度（与距离）为，着陆点在点或超过点视为成绩达标．    (1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的这次试跳落地点能否达标，说明理由； (2)研究发现，运动员的运动轨迹与清出速度的大小有关，下表是某运动员7次试跳的与的对应数据： 150 170 190 210 230 250 270 ①猜想关于的函数类型，求函数解析式，并任选一对对应值验证； ②当滑出速度为多少时，运动员的成绩刚好能达标？ 【答案】(1)此次试跳达标，理由见解析； (2)①成反比例函数关系，，验证见解析；②当滑出速度为时，运动员的成绩恰好能达标． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键． （1）根据题意可得抛物线经过点，对称轴为，从而得到抛物线的解析式为，令，求出，比较即可求解； （2）①设，将代入得，．将代入验证：当时，成立，即可求解； ②将和分别代入，得，． 由得，即可求解． 【详解】（1）此次试跳达标 理由如下： 由题意得：抛物线经过点，对称轴为， 可得， 解析式为， 令，则， ， 此运动员落地达标； （2）①由表格数据可知，与的乘积相等，所以与成反比例函数关系． 设， 将代入得， 解得， ． 将代入验证：当时，成立， 能相当精确地反映与的关系，即为所求的函数表达式． ②由题意可知，当运动员刚好达标即是抛物线刚好经过基准点， 将和分别代入， 得，． 由得， 又 ． 答：当滑出速度为时，运动员的成绩恰好能达标． 45．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）【发现问题】小星同学学习了并联电路的相关知识后，掌握了并联电路中总电阻与各支路电阻的关系：（为正整数）．在探究由两个电阻组成的并联电路时（电路图如图1），小星同学发现了一个有趣的问题：当电阻与电阻的和为定值时，并联电路的总电阻（）与其中任意一个电阻（或）存在函数关系． 【实验探究】 小星同学找来了若干个电阻进行实验，且每次连接到电路中的两个电阻的和恒为，即，实验数据记录如下： 1 2 3 4 5 … 9 8 7 6 5 … … （1）请在图2中描出上表中与各对数值所对应的点，并用光滑的曲线连接： 【提出猜想】 观察（1）中的图象，小星同学提出了大胆的猜想：在由两个电阻组成的并联电路中，当电阻与电阻的和为定值时，并联电路的总电阻（）与其中任意一个电阻（与）满足二次函数关系． 【验证猜想】 为了验证上述猜想，小星同学进行了下列推导： 当并联电路中有两个电阻时，根据公式： ，得，通分整理，得． 求倒数，得． 设，则． 代入，得．整理，得． （2）请帮小星同学补全推导过程： ①_____________；②____________；③____________；④____________；⑤_____________． 【实际应用】 （3）小星同学获知，某电取暖器的电路中有两个并联的、阻值可连续调节的电阻，且无论如何调节，这两个电阻的和恒为（，）．已知电路中总电阻越大，电取暖器的电功率越低，当工作中的电取暖器达到最低电功率时，分别求各支路电阻与总电阻的值． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；③；④；⑤；（3）当工作中的电取暖器达到最低电功率时，各支路电阻均为，总电阻为． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）先描点，再连线画出对应的函数图象即可； （2）根据题意以及所给推导过程求解即可； （3）根据（2）所求得到，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）∵， ∴， ∴． ∴． 设，则． 代入，得， ∴． 故答案为：①；②；③；④；⑤； （3）由（2）的推导，知当时，， 由题知，， ∴， ∵电路中总电阻越大，电取暖器的电功率越低， ∴当工作中的电取暖器达到最低电功率时，电路中总电阻最大， ∴当时，取得最大值，即，此时， 综上所述，当工作中的电取暖器达到最低电功率时，各支路电阻均为，总电阻为． 46．（2024·辽宁大连·一模）【发现问题】 某公园在一个扇形草坪的圆心O处垂直于草坪的地上竖一根柱子，在A处安装一个自动喷水装置，喷头向外喷水，爱思考的小腾发现喷出的水流呈现出抛物线形状． 【提出问题】 喷出的水距地面的高度与喷出的水与池中心的水平距㐫之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小腾测出连喷头在内柱高，喷出的水流在与O点的水平距离处达到最高点B，点B距离地面．于是小腾以所在直线为y轴，垂直于的地平线为x轴，点O为坐标原点建立如图1所示的平面直角坐标系，根据测量结果得到点A、点B的坐标，从而得到y与x的函数关系式． 【解决问题】 （1）如图1，在建立的平面直角坐标系中，点A的坐标为，水流的最高点B的坐标为，求抛物线水流对应的函数关系式． （2）当喷头绕立柱旋转时，这个草坪刚好被水覆盖，求扇形草坪的面积．（结果用含的式子表示） （3）现要在扇形内的一块三角形区域地块中建造一个矩形花坛，如图2的设计方案是使G，H分别在，上，在上，设，当x为多少米时，矩形花坛的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】（1）；（2）；（3），． 【分析】本题考查了扇形面积计算、二次函数的实际应用、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，关键是掌握扇形面积公式． （1）设抛物线顶点式，代入、两点，可得； （2）令，求得，即为草坪半径，用扇形面积公式可得； （3）已知，借助辅助线和相似三角形对应边成比例，表示出，求得矩形花坛的面积表示，可得当为多少米时，矩形花坛的面积最大，最大面积是多少平方米． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为， 水流的最高点的坐标为， ， 代入点坐标，得， 解得：， ； （2）令，则，解得或（舍去）， 扇形草坪的面积． （3）解：由矩形可得，，，， ， 过作，交于点， ，， ， ， ，， 同理可得，， ，， ∽， ， 同理可得，， ，， ， ， ，， 矩形花坛的面积， 时，矩形花坛的面积最大为平方米． 47．（2024·辽宁鞍山·二模）【发现问题】 一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分． 【提出问题】 碗体（碗体的厚度忽略不计）上一点到碗底内部所在平面的距离与这一点到碗的中轴线（面碗的上、下两个底面圆的圆心所在直线）m的距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径cm，碗底直径cm，面碗的边沿上一点B到桌面EF的距离cm，碗足高cm．小丽又进一步建立以所在直线为x轴，以直线m为y轴的平面直角坐标系（如图3），从而求出y与x的关系式． 【解决问题】 (1)请你帮助小丽求出y与x的关系式； (2)小丽向空面碗中倒入一些水，当水面宽度为时，求此时面碗中水的深度； (3)小丽将（2）中面碗中的水倾倒至如图4所示，水面刚好与重合，直接写出此时面碗中水的最大深度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的实际问题，解直角三角形，掌握待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，一元二次方程和二次函数的关系是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把自变量代入求出函数值即可解题； （3）先求出直线的解析式，然后分和两种情况，分别利用解直角三角形解题即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵点B的坐标为，点D的坐标为， ∴代入得：，解得， ∴； （2）解：当时，， ∴此时面碗中水的深度为； （3）解：设的解析式为，把点和代入得： ，解得， ∴， 当时，如图，过点D作于点G，设与y轴交于点H， ∴则点的坐标为， ∴， ∴，， ∴面碗中水的最大深度； 当时，作与抛物线有且只有一个交点且平行于的直线交y轴于点N，过H作交平行线于点P， 则设的解析式为， 则有唯一解，即， ∴，解得， ∴点N的坐标为， ∴， 又∵， ∴， ∴这时最大深度为； 综上所述，时面碗中水的最大深度为． 48．（2024·辽宁抚顺·三模）综合与应用 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． (1)在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x（m） 0 1 1.5 竖直高度y（m） 10 10 6.25 根据上述数据，求出y关于x的关系式； (2)在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长； (3)信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为，从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作． 问题解决： ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是______． 【答案】(1)y关于x的关系式为 (2)动员甲从起点A到入水点的水平距离的长为2米 (3)①运动员甲不能成功完成此动作；② 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的应用，解题关键是理清题目条件，熟练运用二次函数的性质． （1）设二次函数的关系为，代入，，，算出、b、c的值，即可得到函数表达式； （2）把代入（1）中所得的二次函数解析式，即可求出结果； （3）①把二次函数解析式整理为顶点式，得到k与a的关系式，把代入，计算t的值，再与1.6比较即可得到结果； ②求得的顶点为，得，把代入，得到与a的关系式，由，列不等式即可求出t的取值范围． 【详解】（1）解：由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系， 设二次函数的关系为，代入，，， 得， 解得， y关于x的关系式为； （2）解：把代入， 得， 解得，（不合题意，舍去）， 运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长为2米； （3）解：①运动员甲不能成功完成此动作，理由如下： 由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系为， 整理得， 得运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度k为，即， 把代入， 得， 解得，（不合题意，舍去）， ， 运动员甲不能成功完成此动作； ②由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度与水平距离的关系为， 得顶点为， 得， 得， 把代入， 得， 由运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，得， 则，即， 解得． 故答案为：． 49．（2024·辽宁铁岭·二模）【发现问题】 小明和小强做弹球游戏，如图，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜． 【提出问题】 小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？ 【分析问题】 小强以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，取单位长度为，建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为，小强通过这些数据，经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜． 【解决问题】 (1)求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； (2)求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离； (3)小强将木板立在距斜坡底端多远的范围内，才能确保自己获胜？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，二次函数的图形及性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数以及二次函数的图形及性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可得解； （2）令得，解方程即可得解； （3）利用待定系数法先求得第二次弹起的抛物线，再求出时对应自变量的值即可求解． 【详解】（1）解：乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线顶点为，过点， 设． 代入，， 解得， ， （2）解：令，则 解得，（舍） ，乒乓球第一次落地点距斜坡底端的距离为． （3）解：乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同，且最大高度为， 设． 代入， ． 解得，（舍） ． 当时，， 解得， 木板到斜坡底端的距离为的长度，当时，小强确保获胜． 50．（2024·辽宁阜新·一模）民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面． 经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图1所示（单位：），如果把锅纵断面的抛物线的记为，把锅盖纵断面所在的圆记作．    (1)直接写出抛物线解析式和弧所在的半径； (2)锅中原有水的最大深度为（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高，求此时的水面宽度； (3)如果将底面直径，高度为的圆柱形器皿若干个叠加起来组成一个新的圆柱形器皿（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形器皿多少个？（直接写出答案） 【答案】(1)抛物线为：；的半径 (2) (3)6 【分析】本题考查了二次函数的应用以及垂径定理，需要求出抛物线的解析式和的半径，采用数形结合的思想解题． （1）根据已知抛物线顶点为，且过，，根据已知抛物线顶点为，且过，，代入求出的值即可；借助图形由垂径定理求出弧所在的半径即可； （2）根据题意把代入（1）中抛物线的解析式，求出即可； （3）先在抛物线中求出时，的值，即的值，再借助图形在中，求出距轴的距离，即的值，再用，求出其整数值即可． 【详解】（1）解：根据已知抛物线顶点为，且过，， 设抛物线解析式为：， 将代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为， 如图，圆心为，连接、，   ， 设，则， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得：， ， 解得：， 的半径为； （2）解：锅中原有水的最大深度为，又重新加入一定量的水，水位升高， 水面距离锅沿的竖直高度为， 当时，， 解得：， 水面宽度为； （3）解：对于抛物线，如图所示：   ， 当时，， ； 对于，如图所示：   ， 当时，， ， ， ， ， ， ， 为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形器皿6个． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点必刷题03 二次函数综合解答题压轴50题 二次函数中的新定义及创新探究问题 2 二次函数中的公共点求参问题 10 二次函数的最值求参问题 15 二次函数中的动点图象问题 20 二次函数与实际生活情境应用问题 28 二次函数中的新定义及创新探究问题 1．（2024·辽宁·中考真题）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． (1)求函数的“升幂函数”的函数表达式； (2)如图1，点在函数的图象上，点“关于的升幂点”在点上方，当时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数”的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值． 2．（2024·辽宁·二模）在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为n（n为正整数），点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．若点在正方形OABC的边上，且x，y均为整数，定义点M为正方形OABC的“LS点”．若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“LS点”，定义该函数为正方形OABC的“LS函数”． 例如：如图1，当时，某函数的图象经过点和，则该函数是正方形OABC的“LS函数”． (1)当时，若一次函数是正方形OABC的“LS函数”，则一次函数的表达式是______（写出一个即可）； (2)如图2，当时，函数的图象经过点，与边AB相交于点E，判断该函数是否是正方形OABC的“LS函数”，并说明理由； (3)当时，二次函数的图象经过点B，若该函数是正方形OABC的“LS函数”，求a的取值范围； (4)在（3）的条件下，点是二次函数图象上两点，若点P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，求a的值． 3．（2025·辽宁·一模）定义：在平面直角坐标系中，若点，的坐标满足（m是常数，且），则称点A，B是一对“m阶差值点”． (1)在点，，中，能与点构成一对“3阶差值点”的是________． (2)若点A，是一对“2阶差值点”，且点A在函数的图像上，求点A的坐标； (3)如图，抛物线交y轴于点C，点M在抛物线的对称轴上，点M的纵坐标为t，且． ①若点M与点C是一对“阶差值点”，求t的值； ②点Q为平面内一点，点P为抛物线上的动点，若四边形为正方形，则正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是一对“1阶差值点”？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． (4)点A，B是一对“m阶差值点”，且直线过点，当直线AB上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于1的点，请直接写出m的取值范围． 4．（2025·辽宁阜新·一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点．他们把这个点A：定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： (1)点的“和”点是______； (2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； (3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为． ①当时，求n的取值范围． ②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点组成一条新的抛物线，设为，所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离． 5．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，是关于自变量的函数．给定一个实数，构造一个新函数，当时，，当时，，即，将变换后的函数称为原函数的“界变构函数”．例如：当时，一次函数的“1界变构函数”为． (1)求一次函数的“3界变构函数”． (2)点在反比例函数的“0界变构函数”上，求的值． (3)已知关于的二次函数，点在该二次函数的“界变构函数”上． ①求的值； ②当时，该二次函数的“界变构函数”的取值范围是，求的取值范围． 6．（2025·辽宁沈阳·一模）定义：函数图象上到一个定点的距离相等的不同的点称为此函数图象上的这个定点的“共圆点”，即函数图象上的某个定点的“共圆点”都在以这个定点为圆心的同一个圆上． (1)如图1．在平面直角坐标系中，函数与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，请判断点是否为直线上的点的“共圆点”？并说明理由： (2)如图2，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点与点是此反比例函数图象上的坐标原点的“共圆点”，请直接写出点的坐标； (3)抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点为点，点在抛物线的对称轴上，且在点的上方，点在对称轴右侧的抛物线上，轴，点与点是抛物线上的点的“共圆点”， ①求点的坐标； ②将抛物线平移，使其顶点落在原点，这时点落在点的位置，点在轴上，当的周长最小时，求点的坐标． 7．（2024·辽宁抚顺·二模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 例如：函数上的点，到两个坐标轴的距离相等，我们就称点，是函数图象的完美点． （1）若点是一次函数第四象限图象的完美点，求的值； （2）求二次函数图象的完美点； 【定义应用】 （3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式； 【定义应用】 （4）若二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点，请直接写出的值． 8．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“平衡函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的平衡点”，点在函数的“平衡函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“平衡函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的平衡点”，点在函数的“平衡函数”的图象上． (1)求函数的“平衡函数”的函数表达式； (2)如图，点在函数的图象上，点“关于的平衡点”在点的下方，当时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的平衡点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在轴的右侧，且点与点不重合时，设三角形的面积为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有个时，从左到右依次记为，当为的中点时，请直接写出的值． 9．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）面对新冠疫情，中国举全国之力采取了很多强有力的措施，将疫情及时控制，其中对感染者和接触者进行隔离治疗和观察有效地控制住病毒的传播，数学中为对两个图形进行隔离，在平面直角坐标系中，对“隔离直线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线l：满足且，则称直线l：是图形与的“隔离直线”． 例如：如图1，直线l：是函数的图象与正方形的一条“隔离直线”． (1)在直线中，是图1函数的图象与正方形的“隔离直线”的为 ； (2)如图2，第一象限的等腰直角三角形的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是，与的“隔离直线”有且只有一条，求出此“隔离直线”的表达式； (3)正方形的一边在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点是此正方形的中心，若存在直线是函数的图象与正方形的“隔离直线”，求t的取值范围． 10．（2025·辽宁大连·一模）定义：在平面直角坐标系中有两个函数的图象，如果在这两个图象上分别取点，（为自变量取值范围内的任意数），都有点和点关于点成中心对称（这三个点可以重合），那么称这两个函数互为“中心对称函数”．例如：和互为“中心对称函数”． (1)如果点和点关于点成中心对称，那么三个数，，满足的等量关系是 ； (2)已知函数：① 和；②和；③和，其中互为“中心对称函数”的是_____ （填序号）； (3)已知函数的“中心对称函数”的图象与反比例函数 的图象在第一象限有两个交点，，且的面积为4． ①求的值； ②反比例函数的“中心对称函数”的图象在第一象限内是否存在最低点，若存在，直接写出反比例函数的“中心对称函数“的函数表达式和该函数图象在第一象限内最低点坐标；若不存在，请简要说明理由； (4)已知三个不同的点，，都在二次函数（，，为常数，且）的“中心对称函数”的图象上，且满足．如果恒成立，求的取值范围． 11．（2024·辽宁·模拟预测）若，，那么我们把点B叫做点A的“倍增点”．例：，它的“倍增点”是．经过A，B两点的直线叫做点A的“倍增线”． (1)若点A在函数的图象上，点B是点A的“倍增点”，且点B也在函数的图象上，则点A的“倍增线”是 (2)若点在直线上，点A的“倍增线”为． ①若随x的增大而减小，求点A的“倍增线”与直线的交点C的纵坐标的取值范围； ②当时，抛物线经过A，B两点，且当时，，求m的取值范围． 12．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形四个顶点的坐标分别为，， 其中．我们把正方形的边上及其内部的点称为“n阶方点”． (1)请写出双曲线  上一个“4阶方点”的坐标 ； (2)若直线上有且只有一个“2阶方点”，求k的值； (3)抛物线  上有且只有2个“3阶方点”，求符合题意的抛物线的解析式； (4)若（3）中所得抛物线均取x轴上及x轴上方的所有点组成一个新函数的图象，记为图象W，点  在图象W上，记P，Q之间图象（包括点P，点Q）上最高点与最低点纵坐标差为  求m的值． 二次函数中的公共点求参问题 13．（2024·辽宁·一模）若函数y经过矩形一条对角线上的两个端点，则称函数y为这个矩形的“对角函数”． (1)如图，在矩形中，轴，，． ①若点A的坐标为，一次函数是矩形的“对角函数”，则一次函数的解析式为________． ②若反比例函数是矩形的“对角函数”，且经过B，D两点，求点A的坐标． (2)若二次函数是矩形的“对角函数”，且经过A，C两点，已知点，，轴． ①当与矩形有且只有两个交点时，求m的取值范围； ②已知是上一点，当时，的最大值和最小值的差是3，求m的值． 14．（2025·辽宁·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于点，直线与抛物线交于，两点． (1)求的值和点坐标； (2)点是直线上方抛物线上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，过点作轴的平行线，交于点，当是线段的三等分点时，求点坐标； (3)如图2，是轴上一点，其坐标为，动点从出发，沿轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设的运动时间为（），连接，过作于点，以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为，点在运动过程中，线段的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段与抛物线有公共点时的取值范围． 15．（2024·辽宁阜新·二模）在一次数学社团活动中，小晨同学所在的小组把两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图象与x轴交点也相同的二次函数，命名为“和合对称二次函数”，对应图象命名为“和合对称抛物线”，并把两个函数图象上横坐标相同的对应点称之为“和合点”，针对该构想，小展同学用二次函数作为其中一个函数（标记该函数图象交轴于原点及点）做了有关研究，请你帮他解答． 【特例感知】（1）当时，如图，抛物线上的点关于与之对应的“和合对称抛物线”图像的“和合点”分别为，．如下表： … … … …    ①补全表格； ②画图：在图中描出表中对应的“和合点”，再用平滑的曲线依次连接各点，得到“和合对称抛物线”图象． 【初步探讨】（2）①当时，若抛物线的顶点为点，点对应的“和合点”为点，则由点、四点所围成的四边形的面积为______； ②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现与二次函数对应的“和合对称抛物线”图象中，存在一条抛物线，其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数，请求出抛物线的解析式． 【进阶探究】（3）若抛物线及与它对应的“和合对称抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值． 16．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P坐标为，当时，点Q坐标为；当时，点Q坐标为，则称点Q为点P的a级变换点（a为常数）． 例如：点是点的0级变换点，点是点的1级变换点． (1)点的1级变换点在反比例函数的图像上，k值为__________； (2)点的1级变换点在直线上，求b值； (3)点M在函数的图像上，点N是点M的2级变换点． ①设点，求n与m的函数关系式； ②点，，线段AB与①中的函数图像只有一个交点，请直接写出c的取值范围． 17．（2024·辽宁本溪·二模）定义： 在平面直角坐标系中，图象上任意一点的纵坐标与横坐标的差即的值称为点的“坐标差”；例如：点的“坐标差”为，而图象上所有点的“坐标差”中的最大值称为该图象的“特征值”． 理解： （1）求二次函数的图象的“特征值”； 运用： （2）若二次函数的“特征值”为，点与点分别是此二次函数的图象与轴，轴的交点，且点与点的“坐标差”相等，求此二次函数解析式； 拓展： （3）如图，矩形，点的坐标为，点在轴上，点在轴上，二次函数的图象的顶点在“坐标差”为的函数图象上． 当二次函数的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式； 当二次函数的图象与矩形的边有四个交点时，请直接写出的取值范围． 参考公式：． 18．（2024·辽宁营口·一模）定义：点是平面直角坐标系内一点，将函数的图像位于直线左侧部分，以直线为对称轴翻折，得到新的函数的图像，我们称函数是函数的相关函数，函数的图像记作，函数的图像未翻折的部分记作，图像和合起来记作图像．    例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为． (1)如图，函数的解析式为，当时，求它的相关函数的解析式． (2)函数的解析式为，当时，图像上某点的纵坐标为，求该点的横坐标． (3)已知函数的解析式为，点、的坐标分别为、，图像与线段只有一个公共点时，结合函数图像，直接写出的取值范围． 二次函数的最值求参问题 19．（2025·辽宁抚顺·三模）已知，，如果点的坐标满足，，就称点C是点A，B的“巧合点”，例如：，，当满足，时，则点是点A，B的“巧合点”． (1)已知点，，点C是点A，B的“巧合点”，求C的坐标． (2)如果点，点的“巧合点”是，求点E和点F的坐标． (3)已知点是直线上的一动点，点是抛物线上一动点，点是点M，N的“巧合点”，请求出Q中y关于x的函数表达式（表达式中含有a），并根据表达式判断，该函数图象是否有最低点，如果有，请写出最低点坐标；如果没有，请说明理由． (4)在（3）y关于x的函数中，当自变量时y的最大值与最小值的差为16，求a的值． 20．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）【概念感知】 在平面直角坐标系中，关于点和函数图象，给出如下定义：过点作轴的垂线交函数图象于点，点与点的纵坐标之差称为点到函数图象的有向量． 【概念理解】 (1)如图1，点在直线上，函数图像对应的解析式为． 若点的横坐标是，则点到函数图像的有向量等于______； 若点到函数图像的有向量等于，求点的坐标； 【概念应用】 (2)如图，函数图像对应的解析式为；函数图像对应的解析式为，点的坐标为，其中，若点到函数图像的有向量与点到函数图像有向量之和等于，且的最大值为，求的值． 21．（2024·辽宁·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在两个不同的点关于直线（n为任意实数）对称，则称该函数为“函数”． (1)下列函数：．其中是“函数”的是 ．（填序号） (2)若关于x的函数是“函数”，且图象与直线相交于A，B两点（点A在点B的左侧），函数图象的顶点为点P，当时，求h，k的值． (3)若关于x的函数是“函数”，且过点，当时，函数的最大值与最小值的差为2，求t的值． 22．（2025·辽宁沈阳·零模）【定义】若二次函数的顶点在直线上，则此二次函数叫做直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． (1)若二次函数是直线的开心函数，求k的值； (2)若二次函数是直线的开心函数． ①求用含m的代数式表示； ②若当时，y的最小值为，求n的值． 23．（2025·辽宁丹东·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的纵横值”中的最大值称为函数的“最优值” 【举例】已知点在函数的图象上，则点的“纵横值”为．函数的图象上所有点的“纵横值”可以表示为． 当时，的最大值为，故函数的“最优值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)求函数的“最优值”； (3)已知二次函数． ①求证：无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值； ②当时，此二次函数的“最优值”为4，求出的值； ③若此函数的顶点记为点，它的“最优值”所在点记为点，点与点到直线的距离相等，直接写出的值． 24．（2024·辽宁大连·模拟预测）定义，在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点T是点A，B的“伴A融合点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A，B的“伴A融合点”． (1)已知点，，点T是点A，B的“伴A融合点”，则点T的坐标为___________； (2)已知点，，，请说明其中一个点是另两个点的伴哪个点的“融合点”？ (3)已知点是直线上在第一象限内的一动点，是抛物线上一动点，点是点Q，P的“伴Q融合点”，试求出T中y关于x的函数表达式（表达式中含a），并判断所有点中是否存在最高点？若存在，求出最高点的坐标；若不存在，说明理由； (4)，为（3）中y关于x的函数表达式所对应的图像上两点，若点M，N之间的图象（包括点M，N）的最高点与最低点纵坐标的差为，求a的值． 25．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知二次函数（为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的表达式； (2)若将点向下平移6个单位，向左平移m个单位后恰好落在抛物线上，求m的值； (3)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 26．（2025·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点，例如：点，……都是和谐点． (1)判断函数的图象上________（填“是”或“否”）存在和谐点： (2)若二次函数的图象上有且只有一个和谐点． ①求a、c的值； ②若时，函数的最小值为，最大值为3，求实数m的取值范围． 二次函数中的动点图象问题 27．（2024·辽宁·一模）如图，正方形的顶点，的坐标分别为，，顶点、在第一象限．点从点出发，沿正方形按方向运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为，的面积（平方单位）． (1)正方形的边长为_________； (2)当点由点运动到点时，过点作轴交轴于点，已知随着点在上运动时，的面积与时间之间的函数图象为抛物线的一部分（如图所示）， 求：点，两点的运动速度为_________； 关于的函数关系式为________； (3)当点由点运动到点时，经探究发现的面积是关于时间的二次函数，其中与部分对应取值如下表： 求：的值及关于的函数关系式． (4)在（）的条件下若存在个时刻，对应的的形状是以为腰的等腰三角形，点沿正方形按方向运动时直接写出当时，的面积的值． 28．（2025·辽宁铁岭·一模）【发现问题】 数学小组在活动中，研究了一道有关相似三角形的问题． 例：如图1，在中，点D是线段AC上一点，连接BD，若． 求证：． 证明：， ，，． 小强同学经过分析，思考后，将这个三角形放在平面直角坐标系中发现了一些规律． 【提出问题】 如图2，点恰好与点重合，边在轴上，若点的纵坐标始终为，，那么随着的变化，点A的位置发生变化；小强同学通过描点、观察，提出猜想：按此方式描出的若干个点A都在某二次函数图象上． 【分析、解决问题】 （1）当时，若，所对应的点的坐标为______． （2）当时，请帮助小睿同学证明他的猜想． 【深度思考】 （3）点的坐标为，当时，的最大值为，最小值为，且，求此时t的值．（规定：当点A与点B重合时，依然满足） 29．（2025·辽宁辽阳·二模）综合与实践． 【问题提出】某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，．动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作等边．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，探究S与t的关系． 【初步感知】（1）如图1，在点P由点C运动到点B的过程中， ①当时，_______； ②S关于t的函数解析式为（并写出自变量的取值范围）． （2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长． 【延伸探究】（3）若存在3个时刻，，对应的三角形的面积均相等，解决下列问题： ①_______； ②当时，求等边的面积． 30．（2024·辽宁大连·二模）如图1，中，，是边上的一个动点（不与点，重合），交于点，交于点．设的长为，四边形的面积为． 【初步感知】 （1）经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图像，其顶点坐标是，请根据图像信息，求关于的函数表达式． 【延伸探究】 （2）①当四边形的面积为时，求的长度； ②当四边形的面积最大时，求的面积． （3）如图3，当四边形是菱形时，求的长度． 31．（2024·辽宁辽阳·三模）【发现问题】如图1，在一根长的铁丝上任取一点C弯折后，再连接形成(如图2)．当点C在不同位置及取不同的大小时，的面积也不同． 【[提出问题】的面积是否存在最大值？ 【分析问题】由于点C的位置及的大小都是不确定的，故可借助函数关系式来探究．设，．对于，可以先确定几个特定的便于计算的角度进行尝试，然后再推广到一般的情形． 【解决问题】 (1)如图2，当时，试求y与x的函数关系式，并判断此时的面积是否存在最大值？如果存在，点C在什么位置？ (2)当时，记为，当时，记为，若存在一个的值，使得，请求出的长； (3)的面积是否存在最大值？如果存在，最大值是多少，此时的多大，点C在什么位置？如果不存在，请说明理由， 32．（2024·辽宁辽阳·一模）【问题提出】 如图1，在矩形中，点在上，且，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在折线段上运动，连接，当时停止运动，过点作，交矩形的边于点，连接．设动点的运动路程为，线段与矩形的边围成的三角形的面积为． 【初步感知】 如图2，动点由点向点运动的过程中，经探究发现是关于的二次函数，如图2所示，抛物线顶点的坐标为，与轴的交点的坐标为，与轴的交点为点． （1）求矩形的边和的长； 【深入探究】 （2）点由点向终点运动的过程中，求关于的函数表达式； 【拓展延伸】 （3）是否存在3个路程，，，当时，3个路程对应的面积均相等． 33．（2024·辽宁锦州·三模）综合与实践 问题提出    如图1，在中，，，点D在上，，点P沿折线运动（运动到点C停止），以为边作正方形．设点P运动的线路长为x，正方形的面积为y． 初步感悟 （1）当点P在上运动时，若，则 ①______，y关于x的函数关系式为______； ②连接，则长为______． （2）当点P在上运动时，求y关于x的函数解析式． 延伸探究 （3）如图2，将点P的运动过程中y与x的函数关系绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，解决如下问题： ①当点P的运动到使时，图像上对应点的坐标为______； ②当将正方形分成面积相等的两部分时，与正方形交于点G、H两点，请直接写出此时的长，以及自变量和函数的值． 34．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）问题提出： 如图，在中，，，，为射线上的动点，以为一边作矩形，其中点，分别在射线，射线上，设长为，矩形面积为（均可以等于0）． 问题探究： （1）如图1，当点从点运动到点时， ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②求关于的函数解析式，并通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象： 0 1 2 3 4 0 1.5 2 表中的值为___________，的值为___________； （2）当点运动到线段的延长线上时， ①直接用含的代数式表示的长：___________； ②求关于的函数解析式； 问题解决： （3）若从上至下存在三个不同位置的点，，，对应的矩形面积均相等，当时，求矩形的面积． 35．（2024·辽宁沈阳·零模）问题提出： 如图，四边形是矩形，，E为射线上的动点，连接，过E作（点F在的左侧），且，过D作交射线于点G，连接，设长为x，四边形的面积为y（x，y均可等于0）． 初步感知： （1）如图1，当点E由点D运动到点A时，经探究发现y是关于x的二次函数，l为其对称轴，请根据图象信息求y关于x的函数解析式及线段的长； （2）当点E在线段的延长线上运动时，求y关于x的函数解析式； 延伸探究： （3）若存在三个不同位置的点E（从右向左依次用表示），对应的四边形面积均相等． ①试确定的数量关系，并说明理由； ②当时，求四边形的面积．    36．（2024·辽宁沈阳·零模）中，，，， 点 P从点C出发，沿射线方向运动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q以相同的速度从点 B 出发，沿射线方向运动．设运动时间为x （且）秒， 的面积为S． (1)当时， 如图①， 求S与x的函数关系式； (2)当时， 如图②， 求S的最大值； (3)若在运动过程中，存在两个时刻，，对应的点P和点Q分别记为 ，和，对应的和的面积分别记为和，且当时，，请求出的值． 二次函数与实际生活情境应用问题 37．（2025·辽宁抚顺·二模）利用素材解决问题： 《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽度（如图1），称为跨度，桥面最高点到的距离，称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度，拱高． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 ①如图2，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径．（点为圆心，，交于点，交于点D．） ②设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图3所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式． 任务二 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，，通过计算，我们确定：设计成圆弧型拱桥，货船可以顺利通过．如果设计成抛物线型，货船能否顺利通过？请写出结论并说明理由． 38．（2025·辽宁沈阳·一模）［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标； 【探究二】研究心形叶片的宽度： （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度； 【探究三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度． 39．（2025·辽宁辽阳·二模）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） (1)设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求S与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 40．（2025·辽宁抚顺·二模）某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），王同学站在原点，将乒乓球从1.5米的高度P处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离王同学1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)王同学抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明； (3)若乒乓球投入箱子后立即向右上方弹起，沿与原抛物线形状相同的抛物线运动，且无阻挡时乒乓球的最大高度达到原最大高度的一半，请判断乒乓球是否弹出箱子，并说明理由． 41．（2025·辽宁丹东·一模）为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛.如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分，第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系．      (1)直接写出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式：______； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点处，并说明理由； (3)若消防员从点前进到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，求请直接写出的值．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 42．（2024·辽宁锦州·二模）某机器工程师为长虹食品加工厂设计自动化清洗池，其部分平面设计图如图1，为输送带，清洗池近似于抛物线型，为清洗池的池盖，点F处有进水口向清洗池注水，清洗池的最低点C处设有排水口，P为输送带上固定的支点，设备的支架，垂直于地面，支架垂直于（点C与点G重合，点A，M，H在同一直线上）．如图2，当DF张开最大角度时点F恰好在点B的正上方，以所在的直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知，，所对应的函数表达式为． (1)求排水口C的坐标及抛物线型清洗池所对应的函数表达式； (2)安装清洗池的固定支架与需要的材料是每延长米2400元，求安装固定支架的最低成本； (3)如图3，清洗池可绕点B（点B处安装轴承与轴杆）逆时针旋转到某个位置（张开最大角度不变），排水口C到直线的距离等于的长时，点D恰好落在的延长线上，此时进水口F到清洗池口的距离是多少米？（结果保留精确值） 43．（2024·辽宁沈阳·三模）根据以下素材，探索完成任务． 如何调整蔬菜大棚的结构？ 素材1 我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，相关数据如图2所示，其中，．    素材2 已知大棚有200根长为的支架和200根长为的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．    问题解决 任务1 确定大棚形状 在图2中以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 尝试改造方案 当米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造． 任务3 拟定最优方案 只考虑经费情况下，求出的最大值． 44．（2024·辽宁葫芦岛·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里表示起跳点到地面的距离，，以为坐标原点，以地面的水平线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，某运动员在处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到轴的距离与水平方向移动的距离满足．在着陆坡上设置点作为基准点，点与相距，高度（与距离）为，着陆点在点或超过点视为成绩达标．    (1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的这次试跳落地点能否达标，说明理由； (2)研究发现，运动员的运动轨迹与清出速度的大小有关，下表是某运动员7次试跳的与的对应数据： 150 170 190 210 230 250 270 ①猜想关于的函数类型，求函数解析式，并任选一对对应值验证； ②当滑出速度为多少时，运动员的成绩刚好能达标？ 45．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）【发现问题】小星同学学习了并联电路的相关知识后，掌握了并联电路中总电阻与各支路电阻的关系：（为正整数）．在探究由两个电阻组成的并联电路时（电路图如图1），小星同学发现了一个有趣的问题：当电阻与电阻的和为定值时，并联电路的总电阻（）与其中任意一个电阻（或）存在函数关系． 【实验探究】 小星同学找来了若干个电阻进行实验，且每次连接到电路中的两个电阻的和恒为，即，实验数据记录如下： 1 2 3 4 5 … 9 8 7 6 5 … … （1）请在图2中描出上表中与各对数值所对应的点，并用光滑的曲线连接： 【提出猜想】 观察（1）中的图象，小星同学提出了大胆的猜想：在由两个电阻组成的并联电路中，当电阻与电阻的和为定值时，并联电路的总电阻（）与其中任意一个电阻（与）满足二次函数关系． 【验证猜想】 为了验证上述猜想，小星同学进行了下列推导： 当并联电路中有两个电阻时，根据公式： ，得，通分整理，得． 求倒数，得． 设，则． 代入，得．整理，得． （2）请帮小星同学补全推导过程： ①_____________；②____________；③____________；④____________；⑤_____________． 【实际应用】 （3）小星同学获知，某电取暖器的电路中有两个并联的、阻值可连续调节的电阻，且无论如何调节，这两个电阻的和恒为（，）．已知电路中总电阻越大，电取暖器的电功率越低，当工作中的电取暖器达到最低电功率时，分别求各支路电阻与总电阻的值． 46．（2024·辽宁大连·一模）【发现问题】 某公园在一个扇形草坪的圆心O处垂直于草坪的地上竖一根柱子，在A处安装一个自动喷水装置，喷头向外喷水，爱思考的小腾发现喷出的水流呈现出抛物线形状． 【提出问题】 喷出的水距地面的高度与喷出的水与池中心的水平距㐫之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小腾测出连喷头在内柱高，喷出的水流在与O点的水平距离处达到最高点B，点B距离地面．于是小腾以所在直线为y轴，垂直于的地平线为x轴，点O为坐标原点建立如图1所示的平面直角坐标系，根据测量结果得到点A、点B的坐标，从而得到y与x的函数关系式． 【解决问题】 （1）如图1，在建立的平面直角坐标系中，点A的坐标为，水流的最高点B的坐标为，求抛物线水流对应的函数关系式． （2）当喷头绕立柱旋转时，这个草坪刚好被水覆盖，求扇形草坪的面积．（结果用含的式子表示） （3）现要在扇形内的一块三角形区域地块中建造一个矩形花坛，如图2的设计方案是使G，H分别在，上，在上，设，当x为多少米时，矩形花坛的面积最大？最大面积是多少平方米？ 47．（2024·辽宁鞍山·二模）【发现问题】 一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分． 【提出问题】 碗体（碗体的厚度忽略不计）上一点到碗底内部所在平面的距离与这一点到碗的中轴线（面碗的上、下两个底面圆的圆心所在直线）m的距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径cm，碗底直径cm，面碗的边沿上一点B到桌面EF的距离cm，碗足高cm．小丽又进一步建立以所在直线为x轴，以直线m为y轴的平面直角坐标系（如图3），从而求出y与x的关系式． 【解决问题】 (1)请你帮助小丽求出y与x的关系式； (2)小丽向空面碗中倒入一些水，当水面宽度为时，求此时面碗中水的深度； (3)小丽将（2）中面碗中的水倾倒至如图4所示，水面刚好与重合，直接写出此时面碗中水的最大深度． 48．（2024·辽宁抚顺·三模）综合与应用 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． (1)在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x（m） 0 1 1.5 竖直高度y（m） 10 10 6.25 根据上述数据，求出y关于x的关系式； (2)在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长； (3)信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为，从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作． 问题解决： ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是______． 49．（2024·辽宁铁岭·二模）【发现问题】 小明和小强做弹球游戏，如图，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜． 【提出问题】 小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？ 【分析问题】 小强以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，取单位长度为，建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为，小强通过这些数据，经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜． 【解决问题】 (1)求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式； (2)求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离； (3)小强将木板立在距斜坡底端多远的范围内，才能确保自己获胜？ 50．（2024·辽宁阜新·一模）民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面． 经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图1所示（单位：），如果把锅纵断面的抛物线的记为，把锅盖纵断面所在的圆记作．    (1)直接写出抛物线解析式和弧所在的半径； (2)锅中原有水的最大深度为（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高，求此时的水面宽度； (3)如果将底面直径，高度为的圆柱形器皿若干个叠加起来组成一个新的圆柱形器皿（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形器皿多少个？（直接写出答案） 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$