热点必刷题04 二次函数综合解答题压轴（二）52题（7类题型52题）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（辽宁专用）

热点必刷题04 二次函数综合解答题压轴（二）52题 二次函数与线段长周长及最值问题 2 二次函数与面积及最值问题 8 二次函数与三角形存在性问题 11 二次函数与四边形存在性问题 17 二次函数与角度综合问题 23 二次函数与三角函数综合问题 30 二次函数与相似综合问题 32 二次函数与线段长周长及最值问题 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）阅读理解： 如图所示，在平面直角坐标系中，可以将函数通过“坐标特定变化”得到它的“变化函数”，即将函数图像上的各点横坐标不变，纵坐标都乘以m（m为常数，且，）得到函数，或者将函数图像上的各点纵坐标不变，横坐标都乘以n（n为常数，且，）得到函数，则称函数和均为函数的“变化函数”．如：将函数图像上各点的纵坐标都乘以3，横坐标不变，得到函数；或将图像上各点的横坐标都乘以，纵坐标不变，得到函数，我们称函数和均为函数的“变化函数”．类似的，我们也可以对其它函数进行变化．实践应用： (1)求出将图像上各点的纵坐标都乘以4，横坐标不变得到的“变化函数”的表达式； (2)求出将反比例函数图像上各点的横坐标都乘以5，纵坐标不变得到的“变化函数”的表达式； (3)已知函数， ①求出将函数的图像上各点的横坐标都乘以2，纵坐标不变得到的“变化函数”的表达式； ②点A是①中“变化函数”图像上位于x轴下方的一个动点，设动点A的横坐标为a，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作轴于点B，轴于点C．设矩形的周长为y，求y关于a的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数y的图像相交，且截得的线段长为时，请直接写出t的值． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点，满足，，那么称点是点，的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点，的“合作点”． (1)已知点，，点是点，的“合作点”，求出点的坐标； (2)若点是抛物线上一动点，点，点是点，的“合作点”，试求出中关于的函数表达式； (3)把（2）中关于的函数表达式向上平移3个单位得到新函数，设新函数与平面直角坐标系中的轴交于点，点是新函数图像上一动点，它的横坐标为m．过点作轴于点，当点与点都不与点重合时，以，为边作矩形，设矩形的周长为． ①求与的函数解析式； ②若对于的每一个取值，都有两个的值与它对应，直接写出的取值范围． 3．（2025·辽宁大连·一模）已知，抛物线（），与x轴交于A，B，（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D． (1)抛物线的对称轴为 （用含有a的式子表示）； (2)若当时，函数值y随着x的增大而减小，求a的取值范围； (3)如图1，当时，点为第四象限的抛物线上一点，过点E作轴与抛物线另外一个交点为点F． ①连接，过点E作轴，交于点H，以为邻边构造矩形，当矩形的周长为时，求m的值； ②以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴，请直接写出n的取值范围． 4．（2024·辽宁营口·模拟预测）已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为． (1)若． ①求点和点的坐标； ②当时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标． 5．（2025·辽宁大连·一模）在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，那么称点是点的“相关点”． 例如，点的“相关点”点的坐标为． (1)当时，反比例函数的图象经过点，则点的“相关点”点的坐标是________； (2)点的“相关点”点的坐标为，一次函数的图象经过点，与轴交于点，求证； (3)抛物线经过点和点．点是点的“相关点”，若，直线与抛物线交于点，，求的值． 6．（2025·辽宁沈阳·一模）小明同学利用画图的方法研究下列函数 【初步探究】 （1）在平面直角坐标系中画出关于的函数图象． 列表： ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 1 6 ．．． 描点、连线，在平面直角坐标系中画出该函数图象； 【深入探究】 （2）求关于的函数表达式； 【纵深探究】 （3）当直线与函数图象有2个交点时，则的取值范围是___________； 【系统探究】 （4）点，点在函数图象上，点是函数图象上的一动点，过点作的垂线交轴于点．当线段的长为时，请直接写出点的横坐标___________． 7．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，抛物线，与x轴交于、O两点，点为抛物线的顶点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点E为的中点，以点E为圆心、以1为半径作，交x轴于B、C两点，点M为上一点． ①射线交抛物线于点P，若，求点P的坐标； ②如图2，连接，取的中点N，连接，则线段的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出的最值；若不存在，请说明理由． 8．（2025·辽宁沈阳·零模）如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)已知点是抛物线的顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点． ①求四边形的面积； ②求的边上的高的最大值； ③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 二次函数与面积及最值问题 9．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点A在点的左侧），与轴交于点，经过点A的直线与抛物线交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (3)点是轴下方抛物线上的一个动点，使的面积为，请直接写出点的坐标为______； (4)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，请直接写出的最小值为______． 10．（2024·辽宁抚顺·一模）如图1，抛物线交x轴于，两点，交轴于点，点为线段上的动点． (1)请直接写出抛物线的解析式； (2)请求出的最小值； (3)如图2，过点作交抛物线的第三象限部分于点，连接，，记与的面积分别为，，设，当时，请求出点的坐标． 11．（2024·辽宁盘锦·三模）对某一个函数给出如下定义，当自变量满足（，实数，）时，函数有最大值，且最大值为，则称该函数为理想函数． (1)当，时，在①；②中，__________是理想函数： (2)当时，反比例函数是理想函数，求实数的值； (3)已知二次函数是理想函数，且最大值为，将该函数图像向左平移个单位长度所得图像记为，若图像的顶点为，与轴交于、（点在左侧），与轴交于点，求点、、、围成的四边形面积． 12．（2024·辽宁本溪·一模）如图1，抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，与轴交于点 (1)求抛物线的关系式； (2)是第四象限抛物线上一点，当四边形的面积最大时，求点的坐标和四边形的最大面积； (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2025·辽宁本溪·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，如果函数图象上一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 例如：函数上的点的横坐标与纵坐标相等，我们就称点是函数图象的完美点． 【定义应用】 （1）求反比例函数图象的完美点； （2）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若二次函数的图象与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为第二象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，面积为，若时，求点D的坐标． 14．（2024·辽宁朝阳·三模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴另一交点为． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标； (2)如图1，点为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值； (3)若点，是抛物线图象上的两点，若，之间的图象（包括点，）的最高点与最低点纵坐标的差为，求的值． 15．（2024·辽宁大连·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，抛物线上点A，B的坐标分别为，． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求m的取值范围； (3)过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，直线，交点为C，以为边作矩形． ①求； ②线段与x轴相交于点E，以为边作矩形，使矩形在x轴同侧，且．当矩形与矩形重合部分图形的面积是矩形面积的时，求m的值． 二次函数与三角形存在性问题 16．（2024·辽宁大连·一模）【概念感知】 两个二次函数只有一次项系数不同，就称这两个函数为“异b族二次函数”． 【概念理解】 如图1，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点为线段的中点，二次函数与是“异族二次函数”，其图象经过点． （1）求二次函数的解析式； 【拓展应用】 （2）如图2，直线，交抛物线于，当四边形为平行四边形时，求直线的解析式； （3）如图3，点为轴上一点，过点作轴的垂线分别交抛物线于点，，连接，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 17．（2024·辽宁阜新·三模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”． (1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是_____；（填序号） (2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值； (3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有个“平衡点”时，求的纵坐标． 18．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)设点是直线上方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，与直线交于点． ①连接，求四边形的面积与的函数关系式，并求出的最大值； ②连接．在①的条件下，试判断四边形的形状，并说明理由； ③是否存在点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 19．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，经过点的直线交轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，过点作的平行线交抛物线于另一点，点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，求四边形面积的最大值； (3)如图3，连接，将绕点逆时针方向旋转，记旋转中的三角形为，在旋转过程中，直线与直线交于点，若为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 20．（2024·辽宁辽阳·模拟预测）定义：若抛物线与轴两交点间的距离为4个单位长度，称此抛物线为定弦抛物线． (1)判断抛物线是否是定弦抛物线，请说明理由； (2)如图，当一定弦抛物线的对称轴为直线，图像开口向下且它的图像与轴的交点为点C、点D（点C在点D的左侧），与轴的交点为点E，连接所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式； (3)若定弦抛物线与轴交于A、B两点（A在B左边），当时，该抛物线的最大值与最小值之差等于之间的距离，求b的值． 21．（2024·辽宁丹东·二模）如图1，抛物线与x轴交于点，，与轴交于点，顶点为，直线交轴于点．    (1)求抛物线的表达式． (2)如图2，将沿直线平移得到． ①当点落在抛物线上时，求点的坐标． ②在移动过程中，存在点使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 22．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点，点P为线段上一动点，连接并延长交抛物线于点H，连结，当四边形的面积为时，求点H的坐标； (3)已知点E为x轴上一动点，点Q为第二象限抛物线上一动点，以为斜边作等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标． 23．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）定义：若以函数图象上的点与平面内两个点，为顶点构成的三角形是等边三角形，则称是上关于，的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知，，． (1)正比例函数上存在关于，的“等边点”，直接写出正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上一点，点是反比例函数上关于，的“等边点”，且轴，求反比例函数的解析式； (3)二次函数过点，，，则的解析式为______； 如图，射线交轴于点，点是上关于，的“等边点”，其中在射线上，在射线上，求点的坐标； 如图，点是第一象限内二次函数的对称轴上一动点，若点是上关于，的等边点，直接写出点的横坐标． 24．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图1，的三个顶点，，都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线． 问题： (1)已知点，，则的外接抛物线的解析式为______； (2)如图2，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点A，B的坐标； (3)如图2，已知是抛物线的内接三角形，，求边与y轴的交点P的坐标； (4)已知是抛物线的内接三角形，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧）． ①当是等腰直角三角形时，求的面积； ②当点C在y轴上，且是钝角三角形时，请直接写出c的取值范围． 二次函数与四边形存在性问题 25．（2024·辽宁·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点的纵坐标y与其横坐标x的和称为P点的“船山和”，而图形G上所有点的“船山和”中的最大值称为图形G的“船山优值”． (1)①点的“船山和”为______． ②点是抛物线上的任意一点，当点M的“船山和”为抛物线的“船山优值”时，则点M的坐标是______． (2)某二次函数的“船山优值”为2，且对称轴位于y轴右侧，点与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“船山和”相反． ①直接写出_______（用含c的式子表示）： ②求此二次函数的表达式． ③若点P是该抛物线对称轴上一动点，点Q是x轴上一动点，是否存在以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 26．（2024·辽宁·模拟预测）抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点D，与抛物线交于点E和F，若，求点D的坐标；    (3)如图，抛物线的顶点为M，轴与直线交于点N，若点P在抛物线上，在直线上是否存在点Q，使得以M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．    27．（2025·辽宁沈阳·零模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C． （1）求线段BC的长； （2）点P为第三象限内抛物线上一点，连接BP，过点C作交x轴于点E，连接PE，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，以y轴为对称轴，将抛物线对称，对称后点P的对应点为点，点M为对称后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点A、、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由． 28．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)若点在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 29．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，且．    (1)试求抛物线的解析式； (2)直线与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标；若不存在，请说明理由． 30．（2024·辽宁·模拟预测）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点D在抛物线上运动（不与点A，B，C重合）．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点D在第一象限抛物线上运动时，过点D作轴，垂足为点F，直线与直线交于点E，若，求点D的坐标； (3)如图2，直线交直线于点H，点G在坐标平面内，在抛物线上是否存在点D，使以点A，D，H，G为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 31．（2024·辽宁·模拟预测）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是，过点D作直线轴，垂足为点E，交直线于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； (3)若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形是矩形邻边之比为时，请直接写出点P的横坐标． 32．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点D是抛物线上一动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点D在直线上方时，作轴于点F，交直线于点E，当时，求点D的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，请直接写出点Q的坐标． 33．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线上的动点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为直线上的动点，当点在第四象限时，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)已知点为轴上一动点，点为平面内任意一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的正方形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 二次函数与角度综合问题 34．（2024·辽宁·模拟预测）已知抛物线y＝ax2+2x+c过A（﹣1，0），C（0，3），交x轴于另一点B．点P是抛物线上一动点（不与点C重合），直线CP交抛物线对称轴于点N． (1)求抛物线的解析式； (2)连接AN，当∠ANC＝45°时，求P点的横坐标； (3)如图2，过点N作NM⊥y轴于点M，连接AM，当AM+MN+CN的值最小时，直接写出N点的坐标． 35．（2024·辽宁丹东·二模）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 (1)抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ． 【深入探究】 (2)经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 (3)在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点． ①当时，求点的坐标． ②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 36．（2024·辽宁大连·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，若平分，求点P的坐标； (3)如图2，连接，抛物线的对称轴交于点E，连接，点P在y轴右侧的抛物线上，若，求点P的坐标． 37．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于，B两点，顶点为H． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线平移后得到抛物线，且抛物线的顶点始终在抛物线上， ①当点P在第一象限时，抛物线与y轴交于点E，若的面积为时，直接写出P点坐标； ②将平移后的抛物线绕点P旋转得到抛物线，抛物线与直线交于点M（M与H不重合），与y轴交于点N，连接，，若，求直线的解析式． 38．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接、，当时，求点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 39．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图①，一次函数y=x﹣2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数y=x2+bx+c的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C． （1）求二次函数的关系式及点C的坐标； （2）如图②，若点P是直线AB上方的抛物线上一点，过点P作PD∥x轴交AB于点D，PE∥y轴交AB于点E，求PD+PE的最大值； （3）如图③，若点M在抛物线的对称轴上，且∠AMB=∠ACB，求出所有满足条件的点M的坐标． 40．（2024·辽宁大连·模拟预测）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，点与点关于轴对称，点为抛物线上一点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)如图，当点E在第一象限时，设 的面积为S，求S的最大值； (3)连接，若，求点E的坐标． 41．（2024·辽宁·模拟预测）已知：如图，抛物线经过点，，与x轴交于另一点B，连接，． (1)求出抛物线的函数表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，连接且，求点的坐标； (3)点为直线上方的抛物线上的一点，过点作于点，连接，若的一个锐角等于的2倍，请直接写出点的横坐标． 42．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标； (3)在（2）的条件下，连接，在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 43．（2024·辽宁·模拟预测）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为，，，抛物线经过的三个顶点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点M是抛物线在第一象限上一点． ①连接与相交于点E，即将分为两个三角形，若这两个三角形的面积之比为时，则点M的坐标为_______，直线的函数表达式为_______； ②将沿着x轴正方向平移，当点B与点M重合时停止，点A的对应点为，点O的对应点为点，求出与重合部分的图形的周长； (3)在抛物线的对称轴上取一点K，连接，使，延长交抛物线于点P，连接，动点Q从C点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，是否存在某一时刻，使？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 44．（2024·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点F是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点F在第一象限运动时，连接线段，且．当S取最大值时，求点F的坐标； (3)过点F作轴交直线于点D，交x轴于点E，若，求点F的坐标． 45．（2024·辽宁·模拟预测）抛物线交轴于，两点（在的左边），交轴于，直线经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，为直线上方的抛物线上一点轴交于点，过点作于点．设，求的最大值及此时点坐标； （3）如图，点在轴负半轴上，点绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点处，且，求点坐标． 二次函数与三角函数综合问题 46．（2024·辽宁·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，直线经过点，与轴正半轴相交于点，点为第三象限内抛物线上一点，连接绕点逆时针旋转，与线段相交于点，且，若，求点的坐标； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作，垂足为点，与轴相交于点，连接，若，求的长． 47．（2024·辽宁大连·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴于、两点（点在点左侧），交轴于点．与时的函数值相等，且与的函数值之差．点为抛物线上一动点，点为抛物线上另一动点，连接、、． (1)求抛物线的解析式； (2)当关于抛物线的对称轴轴对称时，求的值； (3)设（），若，且，求的取值范围． 48．（2024·辽宁·模拟预测）如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第一象限内抛物线上一动点．   　　   (1)求抛物线的解析式． (2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接．当时，求点E的横坐标． (3)如图2，点N为x轴正半轴上一点，与交于点M．若，，求点E的坐标． 49．（2024·辽宁·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是第一象限内抛物线上的一点，与交于点E，且，求点D的坐标； (3)如图2，已知点，抛物线上是否存在点P，使锐角满足？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 二次函数与相似综合问题 50．（2024·辽宁营口·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，． (1)求点B的坐标和抛物线的解析式； (2)为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，． ①点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标； ②点在轴上自由运动，若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，，三点为“共谐点”．请直接写出使得，，三点成为“共谐点”的的值． 51．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线与直线交于，两点，抛物线与轴负半轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限抛物线上，作轴交于点，作轴，轴，垂足分别是，，当四边形为正方形时，求的长； (3)为第一象限抛物线上的点，为直线上的点，当与相似时，直接写出点的坐标． 52．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，经过点A的直线交抛物线于点，点与点的横坐标互为相反数，是抛物线上一动点，连接．    (1)求抛物线的表达式； (2)若点在第一象限内的抛物线上，当时，求直线的表达式； (3)点在轴上，若，请直接写出点的坐标． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点必刷题04 二次函数综合解答题压轴（二）52题 二次函数与线段长周长及最值问题 2 二次函数与面积及最值问题 34 二次函数与三角形存在性问题 62 二次函数与四边形存在性问题 99 二次函数与角度综合问题 146 二次函数与三角函数综合问题 204 二次函数与相似综合问题 223 二次函数与线段长周长及最值问题 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）阅读理解： 如图所示，在平面直角坐标系中，可以将函数通过“坐标特定变化”得到它的“变化函数”，即将函数图像上的各点横坐标不变，纵坐标都乘以m（m为常数，且，）得到函数，或者将函数图像上的各点纵坐标不变，横坐标都乘以n（n为常数，且，）得到函数，则称函数和均为函数的“变化函数”．如：将函数图像上各点的纵坐标都乘以3，横坐标不变，得到函数；或将图像上各点的横坐标都乘以，纵坐标不变，得到函数，我们称函数和均为函数的“变化函数”．类似的，我们也可以对其它函数进行变化．实践应用： (1)求出将图像上各点的纵坐标都乘以4，横坐标不变得到的“变化函数”的表达式； (2)求出将反比例函数图像上各点的横坐标都乘以5，纵坐标不变得到的“变化函数”的表达式； (3)已知函数， ①求出将函数的图像上各点的横坐标都乘以2，纵坐标不变得到的“变化函数”的表达式； ②点A是①中“变化函数”图像上位于x轴下方的一个动点，设动点A的横坐标为a，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作轴于点B，轴于点C．设矩形的周长为y，求y关于a的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数y的图像相交，且截得的线段长为时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②；③或 【分析】（1）根据定义解答即可； （2）根据定义解答即可； （3）①根据定义解答即可； ②根据题意可知其对称轴轴为直线，由题意可知，，，进而得，，分两种情况讨论：当点在对称轴左侧时， 当点在对称轴右侧时，结合矩形的面积即可求解； ③根据题意可知函数的图像关于直线对称，作出草图，分两种情况：当直线在下方时，当直线在上方时，分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：设图像上任意点的坐标为， 将图像上各点的纵坐标都乘以4，横坐标不变， 则任意点的坐标变为，则， ∴得到的“变化函数”的表达式为； （2）设图像上任意点的坐标为， 将反比例函数图像上各点的横坐标都乘以5，纵坐标不变， 则任意点的坐标变为，则，即：， ∴得到的“变化函数”的表达式为：， （3）①设图像上任意点的坐标为， 将函数的图像上各点的横坐标都乘以2，纵坐标不变， 则任意点的坐标变为， 则， ∴得到的“变化函数”的表达式为； ②∵， ∴其对称轴轴为直线， 由题意可知，，，而，且， ∴，， 当点在对称轴左侧时，， 在矩形中，， ∴矩形的周长为， 即：； 当点在对称轴右侧时，， 在矩形中，， ∴矩形的周长为， 即：； 综上：； ③对于函数，即： ∵， ∴函数的图像关于直线对称， 当时，，即；当时，，即；当时，，即； 当直线在下方时，交函数的图像于，，则， 由对称可知，， 此时，； 当直线在上方时，交函数的图像段于，，则，， 交函数的图像段于，，由对称可知，即此情况满足截得的线段长为， 由对称可知，， ∴， 此时，； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了函数的新定义，反比例函数，二次函数的图像与性质，二次函数与几何图形，理解新定义函数及其相关概念，利用分型结合的数学思想，对问题进行分类讨论，是解决问题的关键． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点，满足，，那么称点是点，的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点，的“合作点”． (1)已知点，，点是点，的“合作点”，求出点的坐标； (2)若点是抛物线上一动点，点，点是点，的“合作点”，试求出中关于的函数表达式； (3)把（2）中关于的函数表达式向上平移3个单位得到新函数，设新函数与平面直角坐标系中的轴交于点，点是新函数图像上一动点，它的横坐标为m．过点作轴于点，当点与点都不与点重合时，以，为边作矩形，设矩形的周长为． ①求与的函数解析式； ②若对于的每一个取值，都有两个的值与它对应，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】（1）设，根据“合作点”的定义计算即可得解； （2）由题意可得，即，由“合作点”的定义可得，由①可得，代入②计算即可得解； （3）①分三种情况：当点在轴左侧时；当点在直线上方，即；当点在轴右侧，直线下方，即时；分别利用矩形的性质求解即可；②画出函数图象，利用函数图象求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵，，点是点，的“合作点”， ∴，， ∴； （2）解：∵点是抛物线上一动点， ∴，即， ∵点是点，的“合作点”， ∴， 由①可得：， 代入②得：； （3）解：①由题意可得：， 当时，，即， ∴， ∵轴， ∴， 如图，当点在轴左侧时， ， 当时，∵四边形为矩形， ∴，， ∴； 如图，当点在直线上方，即时， ， 同理可得：，， ∴； 如图：当点在轴右侧，直线下方，即时， ， 同理可得：，， ∴； 综上所述，； ②的函数图象如图所示： ， 由图象明显可得，当或时，对于的每一个取值，都有两个的值与它对应． 【点睛】本题考查了新定义、二次函数的图象与性质、矩形的性质，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 3．（2025·辽宁大连·一模）已知，抛物线（），与x轴交于A，B，（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D． (1)抛物线的对称轴为 （用含有a的式子表示）； (2)若当时，函数值y随着x的增大而减小，求a的取值范围； (3)如图1，当时，点为第四象限的抛物线上一点，过点E作轴与抛物线另外一个交点为点F． ①连接，过点E作轴，交于点H，以为邻边构造矩形，当矩形的周长为时，求m的值； ②以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)①或；② 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）直接利用对称轴的计算公式计算即可； （2）分和，利用二次函数的增减性进行求解即可； （3）①求出的坐标，进而求出的解析式，由题意，求出，，利用矩形的周长公式列出方程进行求解即可； ②求出抛物线的顶点坐标，进而求出翻折后的抛物线的解析式，求出翻折后的抛物线的顶点恰好在轴上，和翻折后的抛物线恰好经过原点两种临近情况的值，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； 故答案为：； （2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，时，随着的增大而减小， ∵当时，函数值y随着x的增大而减小， ∴； 当时，时，随着的增大而减小， ∵当时，函数值y随着x的增大而减小， ∴； 综上：或； （3）①当时，则：，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，，当时，解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∵点为第四象限的抛物线上一点，过点E作轴与抛物线另外一个交点为点F，轴，交于点H， ∴，，，， ∴，， ∴当矩形的周长为时，， ∴， 当，即：时，， 解得：或（舍去）； 当，即：时，， 解得：； 综上：或； ②∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 由题意，得：直线的解析式为， ∴点关于的对称点为：， ∴翻折后的抛物线的解析式为， 当抛物线的顶点恰好在轴上时，则：， ∴， 当抛物线过原点时，则：，解得：， ∵翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴， ∴． 4．（2024·辽宁营口·模拟预测）已知抛物线，为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为． (1)若． ①求点和点的坐标； ②当时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且，当时，求点的坐标． 【答案】(1)①点的坐标为；点的坐标为；②点的坐标为 (2) 【分析】（1）①待定系数法求解析式，然后化为顶点式，即可求得的坐标，令，解方程，即可求得的坐标； ②过点作轴于点，与直线相交于点．得出．可得中，．中，．设点，点．根据，解方程即可求解； （2）根据题意得出抛物线的解析式为．得点，其中．则顶点的坐标为，对称轴为直线．过点作于点，则，点．由，得．于是．得出(舍)．，同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点，则点，点，点．根据已知条件式，建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①由，得抛物线的解析式为． ∵， ∴点的坐标为． 当时，．解得．又点在点的左侧， ∴点的坐标为． ②过点作轴于点，与直线相交于点．      ∵点，点， ∴．可得中，． ∴中，． ∵抛物线上的点的横坐标为，其中， ∴设点，点． 得．即点． ∴． 中，可得． ∴．又， 得．即．解得(舍)． ∴点的坐标为． （2）∵点在抛物线上，其中， ∴．得． ∴抛物线的解析式为． 得点，其中． ∵， ∴顶点的坐标为，对称轴为直线． 过点作于点，则，点． 由，得．于是． ∴． 即．解得(舍)． 同(Ⅰ)，过点作轴于点，与直线相交于点， 则点，点，点． ∵， ∴． 即．解得(舍)． ∴点的坐标为．      【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，线段问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．（2025·辽宁大连·一模）在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，那么称点是点的“相关点”． 例如，点的“相关点”点的坐标为． (1)当时，反比例函数的图象经过点，则点的“相关点”点的坐标是________； (2)点的“相关点”点的坐标为，一次函数的图象经过点，与轴交于点，求证； (3)抛物线经过点和点．点是点的“相关点”，若，直线与抛物线交于点，，求的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3)或 【分析】本题主要考查了反比例函数，一次函数图象的性质，二次函数图象的性质，分类讨论的数学思想等知识点，解题的关键是根据题意求出点的坐标，并熟练掌握以上函数的性质． （1）先根据反比例函数的解析式求出点坐标，再根据题目要求求出点坐标即可； （2）利用一次函数图象的性质，求出相关线段的长度，利用全等三角形的判定和性质即可求出结果； （3）利用待定系数法求出二次函数的解析式，采用分类讨论的数学思想，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：当，即当时，代入得，， ∴点的坐标为， 根据“相关点”的定义，点的坐标是． 故答案为：． （2）证明：根据题意，得点的坐标为， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴点的坐标为， 过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴． （3）解：抛物线经过点和点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，点的坐标为，点的坐标为， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如上图所示，过点作轴于点，则， 当点在线段上时，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得， ② 当点在延长线上时，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点在抛物线上， ∴， 解得， 综上，或． 6．（2025·辽宁沈阳·一模）小明同学利用画图的方法研究下列函数 【初步探究】 （1）在平面直角坐标系中画出关于的函数图象． 列表： ．．． 0 1 2 3 4 5 ．．． ．．． 1 6 ．．． 描点、连线，在平面直角坐标系中画出该函数图象； 【深入探究】 （2）求关于的函数表达式； 【纵深探究】 （3）当直线与函数图象有2个交点时，则的取值范围是___________； 【系统探究】 （4）点，点在函数图象上，点是函数图象上的一动点，过点作的垂线交轴于点．当线段的长为时，请直接写出点的横坐标___________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或；（4）或或4 【分析】（1）根据表格描点，连线画出图象即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据图象求解即可； （4）根据题意画出图形，得到点P到x轴的距离为1，得到，，然后令，求出，即可求解． 【详解】（1）如图所示， （2）当时，将代入得， ∴ ∴； 当时，将，代入 得 解得 ∴； 当时，将，代入 得 解得 ∴； 综上所述，； （3）由图象可得，当或时，直线与函数图象有2个交点； （4）如图所示， ∵， ∴点P到x轴的距离为1 ∴由图象和网格可得，， ∴当时， 整理得， 解得（舍去）， ∴ 综上所述，点的横坐标为或或4． 【点睛】此题考查了画函数图象，待定系数法求一次函数，反比例函数和二次函数解析式，函数图象和性质，解题的关键是正确画出图象． 7．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，抛物线，与x轴交于、O两点，点为抛物线的顶点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点E为的中点，以点E为圆心、以1为半径作，交x轴于B、C两点，点M为上一点． ①射线交抛物线于点P，若，求点P的坐标； ②如图2，连接，取的中点N，连接，则线段的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出的最值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点的坐标为或；②存在，线段的长度最小值和最大值分别为和 【分析】（1）用抛物线顶点式表达式得：，将点的坐标代入上式，即可求解； （2）①由题意可知，为等腰直角三角形，分点在轴上方、点在轴下方两种情况，分别求解即可； ②证明是的中位线，故，而，而，即可求解． 【详解】（1）解：∵点为抛物线的顶点 ∴设抛物线解析式为：， 将代入上式得：，解得：， 即：抛物线解析式为； （2）①如图，连接， 点是的中点，则点，圆的半径为1，则点，， ∴， ∵，则， ∴为等腰直角三角形，， 当点在轴上方时，此时点的坐标为， 故设直线的表达式为：将点，的坐标代入得：， 解得：，即：故直线的表达式为：， 联立并解得：或（不合题意，舍去）， 当时，，即：此时，点的坐标为：； 当点在轴下方时，此时点的坐标为， 故设直线的表达式为：将点，的坐标代入得：， 解得：，即：故直线的表达式为：， 联立并解得：或（不合题意，舍去）， 当时，，即：此时，点的坐标为：； 综上，点的坐标为或； ②线段的长度存在最大值或最小值，理由如下： 连接、、，如图， ∵，， ∴点为的中点， 又∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴， 由勾股定理可知，， 由三角形三边关系可知，， 即， 故线段的长度最小值和最大值分别为和． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、中位线的性质等，解答本题的关键是熟练掌握分类讨论思想与数形结合思想的运用． 8．（2025·辽宁沈阳·零模）如图1，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)已知点是抛物线的顶点，点是线段上的一个动点（与点、不重合），过点E作轴于点，交抛物线于点． ①求四边形的面积； ②求的边上的高的最大值； ③如图2，在②的条件下，在x轴上是否存在点G，使得的值最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①12；②．③ 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于，两点，设函数解析式为，再将点代入求解即可． （2）①先求出抛物线的顶点坐标为，再根据四边形的面积计算即可； ②求出直线的解析式为：，求出，设的边上的高为，设点E为，则，在中，，即可求出答案； ③以点A为顶点作，过点G作于点M，得到三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置，利用解直角三角形求出答案即可． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设该抛物线的解析式为：． ∵过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为：． （2）∵， ∴抛物线的顶点坐标为 ∴四边形的面积； 即四边形的面积 ②设直线的解析式为：， 把点，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为：． ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为，如图， 设点E为，则， 则， 在中，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ③以点A为顶点作，过点G作于点M， ∴， ∴，即三点共线时，有最小值，即为的长，此时点G在点的位置， 如图： 由可知，当时，， ∴有最大值时，点E的坐标为， 则， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数求最值，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题关键是在求等腰直角三角形的存在性时，注意分类讨论的思想的运用，要把所有符合条件的点求全． 二次函数与面积及最值问题 9．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点A在点的左侧），与轴交于点，经过点A的直线与抛物线交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (3)点是轴下方抛物线上的一个动点，使的面积为，请直接写出点的坐标为______； (4)点是线段上一动点，点是线段上一动点，且，请直接写出的最小值为______． 【答案】(1) (2)， (3)或 (4) 【分析】（1）利用待定系数法可求出一次函数解析式； （2）先利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式即可得顶点的坐标； （3）过点作交轴于，连接，则，根据的面积为求出，则，可得直线的表达式为，联立抛物线即可求解； （4）过点作轴，，证明，可得，由三角形的三边关系可得，则当、、三点共线时，的值最小，最小为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：（1）设直线的表达式为， ，， ，解得， 直线的表达式为． （2）解：抛物线过，， ，解得， 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为，． （3）解：如图1，过点作交轴于，连接， ， 的面积为， ，解得， ， ， ，直线的表达式为， 设直线的表达式为， ，解得， 直线的表达式为， 联立与抛物线得， 解得，， 点的坐标为或， 故答案为：或． （4）解：如图2，过点作轴，，连接，， 轴， ， ，， ， ， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小为的长， 直线的表达式为， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质，待定系数法确定函数的解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质以及一次函数的图象与性质是解题的关键． 10．（2024·辽宁抚顺·一模）如图1，抛物线交x轴于，两点，交轴于点，点为线段上的动点． (1)请直接写出抛物线的解析式； (2)请求出的最小值； (3)如图2，过点作交抛物线的第三象限部分于点，连接，，记与的面积分别为，，设，当时，请求出点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为：； (2)的最小值为； (3)或． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）作点关于直线的对称点，连接、、，交于点，交与点；连接．得出，勾股定理求得，即可求解； （3）过点P作轴，交x轴于点F，交于点E，连接．根据得出，设点，则，得出直线的解析式为，则，进而表示出，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，两点， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为：． （2）作点关于直线的对称点，连接、、，交于点，交与点；连接． ，，， ， ，， ，， ，， ， （两点之间，线段最短） 中，， 的最小值为10． （3）过点P作轴，交x轴于点F，交于点E，连接． ， （同底等高）， 设点， 设直线的解析式为 ，， ∴ ， 直线的解析式为， 解得或． 或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，线段周长问题，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 11．（2024·辽宁盘锦·三模）对某一个函数给出如下定义，当自变量满足（，实数，）时，函数有最大值，且最大值为，则称该函数为理想函数． (1)当，时，在①；②中，__________是理想函数： (2)当时，反比例函数是理想函数，求实数的值； (3)已知二次函数是理想函数，且最大值为，将该函数图像向左平移个单位长度所得图像记为，若图像的顶点为，与轴交于、（点在左侧），与轴交于点，求点、、、围成的四边形面积． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】（1）由当，时，可得，，再根据一次函数的性质分别求出函数的最大值，判断是等于6即可； （2）由时，，可得，根据、、时反比例函数的增减性求得y的最大值，再利用y的最大值为列等式求解即可； （3）由最大值为最大值为，可得，即，再由，可得，从而可得，对称轴为直线，当，即，不符合题意，当，即时，，即时，则当时，y取最大值，，解得：，从而求得图像C：，求出点A、B、E、D的坐标，即可求出结果． 【详解】（1）解：当，时，，， ①在函数图像中，y随x的增大而增大， 当时，y的最大值为：， ②在函数图像中，y随x的增大而减小， 当时，y的最大值为：， ∴是理想函数， 故答案为：②； （2）解：当时，， ∴，即， 当时，，在反比例函数的图像中，y随x的增大减小， 则当时，y的最大值为：， ∴，即，解得：， 当时，，在反比例函数的图像中，y随x的增大而增大， 则当时，y的最大值为：， ∴，即，此方程无根， 当时，，函数y没有最大值，不符合题意， ∴； （3）解：∵最大值为， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， 此时， ∴对称轴为直线， 当，即， ∴当时，时，y的最大值为：， ∴，解得：， ∵， ∴（舍）， 当，即， ①若，即时，则当时，y取最大值， ∴，解得：， ∵， ∴， ②，即时，则当时，y取最大值， ∴， 解得：（舍去） ∴，此时图像C：， ∴， 当时，，当时，，解得：，， ∴，，， ∴ ． 【点睛】本题考查新定义、勾股定理及逆定理、切线的性质定理、二次函数顶点式、一次函数的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 12．（2024·辽宁本溪·一模）如图1，抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，与轴交于点 (1)求抛物线的关系式； (2)是第四象限抛物线上一点，当四边形的面积最大时，求点的坐标和四边形的最大面积； (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，面积最大为 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）将B，C两点坐标代入，利用待定系数法求解； （2）连接，过M作x轴的垂线交于点N，，其中为定值，设M点坐标为，则，化为顶点式，即可求出最值； （3）取中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，由直角三角形斜边中线的性质可得，设点P坐标为，利用勾股定理解，求出n的值即可． 【详解】（1）解：把B，C两点坐标代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，连接，过M作x轴的垂线交于点N， 在中，令， 解得或， ∴A点坐标为． ∴，且， ∴， ∵， ， ∴直线BC解析式为， 设M点坐标为，则N点坐标为， ∵M在第四象限， ∴， ∴， ∴当时，，， ∴当M为时，四边形的面积有最大值， 最大值． （3）解：存在．如图，取中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q， 在中，由勾股定理得， 由题意，当时，， 易求，抛物线的对称轴为直线， 设点P坐标为， ∴， ， 由，得， 解得， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，铅垂法求三角形面积，二次函数的最值，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用数形结合思想． 13．（2025·辽宁本溪·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，如果函数图象上一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 例如：函数上的点的横坐标与纵坐标相等，我们就称点是函数图象的完美点． 【定义应用】 （1）求反比例函数图象的完美点； （2）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若二次函数的图象与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为第二象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，面积为，若时，求点D的坐标． 【答案】（1）反比例函数图象的完美点是，；（2）（3）． 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图像和性质，一元二次方程根的判别式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握一次函数和二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据完美点的定义设点是反比例函数图象的完美点，得到，即可得到答案； （2）根据完美点的定义，得到有两个相等的实数根，计算求出的值即可得到答案； （3）过点B作轴交于E，设，则，过点D作轴交于F，证明，得到，计算求解即可． 【详解】解：（1）设点是反比例函数图象的完美点， ， 或， 反比例函数图象的完美点是，； （2）二次函数的图象上有且只有一个完美点， ， 即有两个相等的实数根， ， 解得①， 将代入得， ②， 联立①②，得， （3）由（2）可知， ； 如图，过点B作轴交于E，过点D作轴交于F， 则， ， 设，则， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， （舍）， 当时，， ． 14．（2024·辽宁朝阳·三模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴另一交点为． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标； (2)如图1，点为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值； (3)若点，是抛物线图象上的两点，若，之间的图象（包括点，）的最高点与最低点纵坐标的差为，求的值． 【答案】(1)，． (2)． (3)的值是或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的性质与判定； （1）根据一次函数解析式，先求得，，进而待定系法求二次函数解析式，即可求解； （2）过点作，垂足为点，过点作轴交于点，过点作轴交于点．证明得出，设，则，，进而得出关于的二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． （3）分四种情况讨论，①，在对称轴的左侧，②当，位于对称轴的两侧，且点离对称轴远，当，位于对称轴的两侧，且点离对称轴远，③当，均在对称轴的右侧，即，，分别画出图形，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）把代入中，， 把代入中，， ∴，． 把和代入中, 得， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴． （2）过点作，垂足为点，过点作轴交于点，过点作轴交于点． ， ，， ， ， ，， ， 即， 设，则，， ，， ， ，抛物线开口向下， 当时，最大，最大值为． （3）． ①，在对称轴的左侧，当， 即时，， 即， 解之，（不合题意，舍去）． ②当，位于对称轴的两侧，且点离对称轴远， 即，且， 即时，， ，（不合题意，舍去）． 当，位于对称轴的两侧，且点离对称轴远， ，且， 即，， ，（不合题意，舍去）． ③当，均在对称轴的右侧，即，， ， ，（不合题意，舍去），综上，的值是或． 15．（2024·辽宁大连·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，抛物线上点A，B的坐标分别为，． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求m的取值范围； (3)过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，直线，交点为C，以为边作矩形． ①求； ②线段与x轴相交于点E，以为边作矩形，使矩形在x轴同侧，且．当矩形与矩形重合部分图形的面积是矩形面积的时，求m的值． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)或； (3)①；②m的值为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得抛物线与轴的交点坐标为和，再分①当时，；②当时，，两种情况讨论，据此求解即可； （3）①当点在第一象限，点在第四象限时，求得，，据此求解即可；当点在第四象限，点在第一象限时，同理可解； ②当点在第一象限，点在第四象限时，求得，证明，利用相似三角形的性质求得，列式计算即可求解；当点在第四象限，点在第一象限时，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴当时，； 当或时，； ①∵，，， ∴当时，，此时， ∴， ∵， ∴点在第四象限，即， ∴， ∴； ②当时，， 当点在第三象限，， ∴， ∴此时点在第四象限，即， ∴，不符合题意，舍去； 当点在第四象限，， ∴， ∵， ∴点在第一象限，即， 解得， ∴； 综上，或； （3）解：①∵点，在抛物线上， ∴，， 如图，当点在第一象限，点在第四象限时， ，， ∴； 如图，当点在第四象限，点在第一象限时， ，， ∴； ②中，， 设，， ∴， ∴， 如图，当点在第一象限，点在第四象限时， ， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）； 如图，当点在第四象限，点在第一象限时， 同理可知， 此时， ∴， 解得（舍去），． 综上，m的值为或． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、矩形的性质、线段的中点坐标的表示方法、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 二次函数与三角形存在性问题 16．（2024·辽宁大连·一模）【概念感知】 两个二次函数只有一次项系数不同，就称这两个函数为“异b族二次函数”． 【概念理解】 如图1，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点为线段的中点，二次函数与是“异族二次函数”，其图象经过点． （1）求二次函数的解析式； 【拓展应用】 （2）如图2，直线，交抛物线于，当四边形为平行四边形时，求直线的解析式； （3）如图3，点为轴上一点，过点作轴的垂线分别交抛物线于点，，连接，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或或 【分析】（1）先求出点C和B的坐标，再根据中点性质，得出D的坐标，结合“异族二次函数”的定义，进行列式，代数计算，即可作答． （2）先得出这两个函数的顶点坐标，因为二次函数与的值相同，结合四边形为平行四边形，，得出，再运用待定系数法，求解析式，即可作答． （3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论，当这三种情况，分别根据两点距离公式以及勾股定理进行列式，代数化简计算，即可作答． 【详解】解：（1）将代入得，， 解方程得， 的中点的坐标是 二次函数与是“异族二次函数” 将代入解得 二次函数的解析式为 （2）依题意， ∵ ∴当时，则； ∵ ∴当时，则； ∴抛物线的顶点分别为 二次函数与的值相同 抛物线可以由抛物线向右移动1个单位，再向上移动1个单位得到 四边形为平行四边形， 设直线的解析式为 将代入 得 解得 直线的解析式为 （3）依题意，设P的坐标为，则， ∵为等腰三角形 ∴当时，则根据等腰三角形的“三线合一”， 即 ∴ 解得（舍去） ∴当时， 即 ∴ 解得（舍去） ∴当时， 即 ∴ 解得（舍去） 综上：或或，使得为等腰三角形 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，等腰三角形的性质，平行四边形的性质、求一次函数、二次函数的解析式，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 17．（2024·辽宁阜新·三模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”． (1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是_____；（填序号） (2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值； (3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有个“平衡点”时，求的纵坐标． 【答案】(1)①② (2)的值为或或或； (3) 【分析】（1）根据“平衡点”的定义求解即可； （2）先求得；，，从而得，，，然后分类讨论秋季即可； （3）设，由，得抛物线的顶点为，从而得点关于的对称点为，旋转后的抛物线解析式为，再根据新定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数， 在中，令得， ∴或， ∴当时，当时，， ∴的图象上存在“平衡点”和， 同理可得，，的图象上不存在“平衡点”，的图象上存在“平衡点”； 故答案为：①②； （2）解：在中，令得， 解得或， ， ； 在中，令得， 解得， 当时，， ，，， 若，则， 解得； 若，则， 解得或； 若，则， 解得或（此时，重合，舍去）； 的值为或或或； （3）解：设， ， 抛物线的顶点为， 点关于的对称点为， 旋转后的抛物线解析式为， 在中，令得： ， ， 旋转后的图象上恰有个“平衡点” 有两个相等实数根， ，即， ， ∴的纵坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，一元二次方程根与系数的关系，反比例函数求自变量的值，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的图像及性质以及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 18．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)设点是直线上方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，与直线交于点． ①连接，求四边形的面积与的函数关系式，并求出的最大值； ②连接．在①的条件下，试判断四边形的形状，并说明理由； ③是否存在点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，的最大值为12；②平行四边形，理由见解析；③存在，满足条件的的值为或或 【分析】此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，主要考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形相似，平行四边形的性质等，分类求解是解决问题． （1）由待定系数法即可求解； （2）①由，即可求解； ②由，即可求解； ③分、、三种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得 解得， 该抛物线的表达式为． （2）①， 直线的解析式为． 设点的坐标为，故点的坐标为，其中， 则． 四边形的面积与的函数关系式为 ． ，， 当时，有最大值，的最大值为12． ②四边形是平行四边形．理由如下： 由①可得，当时，． ， 四边形是平行四边形． ③存在，理由如下： 如图， 点的坐标为，点的坐标为，其中， 点的坐标为， ． ，． ，，即， ． 分三种情况讨论： I．当时，则，解得（舍去）． Ⅱ．当时，如图，过点作于点，则． ， 解得（舍去）． Ⅲ．当时，如图，过点作于点， 则． ， ， ， ， 即， ， 解得（舍去）， 综上所述，满足条件的的值为或或． 19．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，经过点的直线交轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，过点作的平行线交抛物线于另一点，点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，求四边形面积的最大值； (3)如图3，连接，将绕点逆时针方向旋转，记旋转中的三角形为，在旋转过程中，直线与直线交于点，若为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)或或或 【分析】（1）把点代入抛物线，求出的值即可； （2）先用待定系数法求出直线的解析式，进而求得直线的解析式，设，则，表示出，用配方法求出它的最大值， 联立方程求出点的坐标，进一步可知，然后计算四边形EAPD面积的最大值即可； （3）分、和三种情况，分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）过点P作轴交AD于点G， 设直线的解析式为， 将点代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， ∵，设直线的解析式为， 将点，可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， 则， ∴当时，的值最大，最大值为2， 由，解得 或， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3）①如下图，当时，作于， ∵， ∴， ∴， ∴， 可得； ②如下图，当时， 设点， ∵， ∴， 解得， ∴或； ③当时，如下图，过点作轴，交点为， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，满足条件点点Q坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理、二次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 20．（2024·辽宁辽阳·模拟预测）定义：若抛物线与轴两交点间的距离为4个单位长度，称此抛物线为定弦抛物线． (1)判断抛物线是否是定弦抛物线，请说明理由； (2)如图，当一定弦抛物线的对称轴为直线，图像开口向下且它的图像与轴的交点为点C、点D（点C在点D的左侧），与轴的交点为点E，连接所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式； (3)若定弦抛物线与轴交于A、B两点（A在B左边），当时，该抛物线的最大值与最小值之差等于之间的距离，求b的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数图像与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与几何图形的综合等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质，运用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）先求得抛物线与x轴的交点坐标，再求得两点间的距离，根据题中定义可得结论； （2）先根据二次函数的性质求得C、D坐标，再证明，求得，然后利用待定系数法求该该抛物线的表达式即可； （3）根据题意，先得到定弦抛物线的开口向上，对称轴为直线，且与轴交于A、B两点（A在B左边），又，可得，然后分情况讨论，利用二次函数的图像与性质求解即可． 【详解】（1）解：是，理由为： 当时，， 解得：， 则． 即该抛物线是定弦抛物线； （2）解：如图，该定弦抛物线的对称轴为直线，开口向下，则E在y轴的正半轴上， 设 则， 解得：， ∴，， ∴，， ∵为直角三角形 ∴由题意可得， ∵， ∴， ∴，即． ∴（负值已舍去） ∴； 设该定弦抛物线表达式为， 把代入，解得 ∴该定弦抛物线表达式为，即； （3）解：由题意，定弦抛物线的开口向上，对称轴为直线，且与轴交于A、B两点（A在B左边），又， ∴， 若，即，则在中， 当时该定弦抛物线取最大值，当时该定弦抛物线取最小值． ． 解得：． 若，∴，则在中， 当时该定弦抛物线取最大值，当时该定弦抛物线取最小值． 解得：（舍去）， 若，∴，则在中， 当时该定弦抛物线取最大值，当时该定弦抛物线取最小值． ， 解得：，不合题意，舍去， 若，即，则在中， 当时该定弦抛物线取最大值，当时该定弦抛物线取最小值． ， 解得：， ∴综上所述或． 21．（2024·辽宁丹东·二模）如图1，抛物线与x轴交于点，，与轴交于点，顶点为，直线交轴于点．    (1)求抛物线的表达式． (2)如图2，将沿直线平移得到． ①当点落在抛物线上时，求点的坐标． ②在移动过程中，存在点使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)①点的坐标为或；②点的坐标为或或或 【分析】（1）抛物线的表达式为：，即，解方程即可得到答案； （2）①将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解；②根据题意，分为直角、为直角、为直角三种情况，由勾股定理分别列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴设抛物线解析式为， 则，即， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：抛物线与x轴交于点，， 函数的对称轴为，故点； 设直线的表达式为：， 将点、的坐标代入得，解得， 直线的表达式为， 设点， ∵，则点， ①将点的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故点的坐标为或； ②点，点的坐标分别为、，则，，， 当为直角时，由勾股定理得， 解得， 故点的坐标为或； 当为直角时，由勾股定理得， 解得， 故点的坐标为； 当为直角时，由勾股定理得， 解得， 故点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及二次函数图象与性质、待定系数法确定二次函数表达式、待定系数法确定一次函数表达式、勾股定理的运用等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏，熟练掌握二次函数图象与性质及二次函数综合问题解法是解决问题的关键． 22．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点，点P为线段上一动点，连接并延长交抛物线于点H，连结，当四边形的面积为时，求点H的坐标； (3)已知点E为x轴上一动点，点Q为第二象限抛物线上一动点，以为斜边作等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解题即可； （2）连接，则，设H点坐标为，则解方程即可； （3）分两种情况解题即可过Q作于点M，则可得到全等三角形，找到线段关系，从而得到点的坐标. 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于两点，，表示点Q坐标，代入解析式解题即可． 代入，得 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，连接，∵，∴， 设H点坐标为， 则 解得：或， ∴点H的坐标为或 （3）点E的坐标为或 设点E坐标为 如图，过Q作于点M， ∴ 又∵ ∴ ∴∠ ∴ ∴， ∴Q点坐标为( 又∵Q在抛物线上， ∴, 解得或（舍） 则Q点坐标为 如图，过Q作于点M， ∴ 又∵ ∴ ∴∠ ∴ ∴， ∴Q点坐标为( 又∵Q在抛物线上， ∴, 解得或（舍） 则Q点坐标为 综上所述，Q点坐标为或 【点睛】本题考查了二次函数应用，求二次函数的解析式，等腰三角形的性质以及一线三等角模型的应用. 23．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）定义：若以函数图象上的点与平面内两个点，为顶点构成的三角形是等边三角形，则称是上关于，的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知，，． (1)正比例函数上存在关于，的“等边点”，直接写出正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上一点，点是反比例函数上关于，的“等边点”，且轴，求反比例函数的解析式； (3)二次函数过点，，，则的解析式为______； 如图，射线交轴于点，点是上关于，的“等边点”，其中在射线上，在射线上，求点的坐标； 如图，点是第一象限内二次函数的对称轴上一动点，若点是上关于，的等边点，直接写出点的横坐标． 【答案】(1)或； (2)； (3)；；或． 【分析】本题考查二次函数综合题，通过新定义“等边点”确定解析式，正比例函数，等边三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特点等知识点，理解新定义和熟悉二次函数的性质是解题的关键． （1）根据图象和、的坐标即可得解； （2）由题意得是等边三角形，轴，通过解三角形的计算即可得到点坐标，即可得解； （3）的解析式为：，作垂足为，通过勾股定理可得，设，，，求出的值即可得解； 当，重合时，过作，交延长线于点，过点作轴于点，证明，设，可求得，，将代入，即可得解． 【详解】（1）解：，， ， 边上的高为：， 点的纵坐标为：， ∵点P的横坐标为， 设正比例函数的解析式为， ∴ ∴或； （2）解：如图所示，由题意得是等边三角形，轴， ，， 中， ， ， ， 设， 将代入， 解得，， 的解析式为； （3）解：∵抛物线过，， ∴设抛物线的解析式为， 代入，得， ∴抛物线的解析式为； 作垂足为，如图所示， 由题意得， ，， ，， ， 设，，， 则， 解得，， ， ， ∴； 如图所示，当，重合时，，显然符合题意； 如图所示，过作，交延长线于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 设， ∵点是上关于，的等边点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，即P是中点， ∴， 将代入， 解得（舍），， ∴， 综上，的横坐标为：或． 24．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图1，的三个顶点，，都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线． 问题： (1)已知点，，则的外接抛物线的解析式为______； (2)如图2，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点A，B的坐标； (3)如图2，已知是抛物线的内接三角形，，求边与y轴的交点P的坐标； (4)已知是抛物线的内接三角形，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧）． ①当是等腰直角三角形时，求的面积； ②当点C在y轴上，且是钝角三角形时，请直接写出c的取值范围． 【答案】(1) (2)点A的坐标是，点B的坐标是 (3) (4)①1；②或 【分析】（1）根据点A、B、O三点坐标即可设抛物线解析式为，再将代入计算即可； （2）根据等边三角形的性质设B点坐标，代入解析式求解即可； （3）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，证明∽，设点，点，根据相似比可得，再联立直线和二次函数解析式得到关于x的方程组，利用根与系数的关系即可求出点P坐标； （4）①由抛物线对称性可得点C为抛物线顶点，设，从而得到点B和点C的坐标，代入抛物线解析式即可求出a值，因而得解； ②由图象得当点A和点B在y轴同侧时，则为钝角三角形，此时；当点A和点B在y轴两侧时，可讨论的临界值，因此得解． 【详解】（1）解：，， 抛物线的对称轴为直线，即y轴， 在抛物线上， 设抛物线解析式为， 将代入得， 的外接抛物线的解析式为； 故答案为：； （2）解：设与y轴交于点M， 为等边三角形， ，， ， ， 设，则， ， 将B坐标代入得，， 解得，（不合题意，舍去， 点A的坐标是，点B的坐标是； （3）解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点， 设点，点，则，，，， ， ，， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， 设直线的解析式为， 由， 得， ， ， 当时，， 点P的坐标是； （4）解：①如图，设抛物线的对称轴交于点， 由抛物线和等腰直角三角形的对称性， 得，，， 设， 对称轴为， 点B的坐标为，点C的坐标为， 将点B，C的坐标分别代入，得， 解得或（舍去），      ，， ； ②点A和点B在x轴上，点C在y轴上， 若当点A和点B在y轴同侧时，则为钝角三角形， 如图， 此时或， 抛物线开口向上， ； 若时，则可先讨论的c的值， 如图， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得或舍去， 此时时，； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二次函数与四边形存在性问题 25．（2024·辽宁·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点的纵坐标y与其横坐标x的和称为P点的“船山和”，而图形G上所有点的“船山和”中的最大值称为图形G的“船山优值”． (1)①点的“船山和”为______． ②点是抛物线上的任意一点，当点M的“船山和”为抛物线的“船山优值”时，则点M的坐标是______． (2)某二次函数的“船山优值”为2，且对称轴位于y轴右侧，点与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“船山和”相反． ①直接写出_______（用含c的式子表示）： ②求此二次函数的表达式． ③若点P是该抛物线对称轴上一动点，点Q是x轴上一动点，是否存在以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①1；② (2)①；②；③或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的最值问题，坐标与图形： （1）①根据“船山和”的定义进行求解即可；②先求出点M的“船山和”为，再由点M的“船山和”为抛物线的“船山优值”，得到取最大值，据此可得答案； （2）①先求出，再由点B与点C的“船山和”相反进行求解即可；②，把代入中得：，求出，再由二次函数的“船山优值”为2，得到的最大值为2，则，解得，再由对称轴位于y轴右侧，得到，则抛物线解析式为；③由（2）得，求出抛物线对称轴为直线，设，然后分当为对角线时，当为对角线时， 当为对角线时，三种情况由对角线的中点重合列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴点的“船山和”为1， 故答案为：1； ②∵点是抛物线上的任意一点， ∴点M的“船山和”为， ∵点M的“船山和”为抛物线的“船山优值”， ∴取最大值， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵点与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点， ∴， 又∵点B与点C的“船山和”相反， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 把代入中得：， ∴， ∵二次函数的“船山优值”为2， ∴的最大值为2，即的最大值为2， ∴， 解得， ∵对称轴位于y轴右侧， ∴，即， ∴， ∴抛物线解析式为； ③由（2）得， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设， 当为对角线时，由于的中点重合， ∴ ， ∴， ∴； 当为对角线时，由于的中点重合， ∴ ， ∴， ∴； 当为对角线时，由于的中点重合， ∴ ， ∴， ∴； 综上所述，点P的坐标为或． 26．（2024·辽宁·模拟预测）抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点D，与抛物线交于点E和F，若，求点D的坐标；    (3)如图，抛物线的顶点为M，轴与直线交于点N，若点P在抛物线上，在直线上是否存在点Q，使得以M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或 【分析】（1）把和代入解析式，解方程组，即可求解； （2）过点E作轴，过点F作轴，与相交于点G，首先可求得点，可得，可求得，设点，则点，把点F的坐标代入，可求得点，点，利用待定系数法可求的直线的解析式，据此即可求解； （3）首先可求得直线的解析式及点M、N的坐标，即可得的长，再分为平行四边形的边和为平行四边形的对角线两种情况分别求解，即可求解． 【详解】（1）解：把和代入，得 解得 ∴抛物线解析式为； （2）解：如图：过点E作轴，过点F作轴，与相交于点G，    ，， ， ∴当，， ，， ∴点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设点，则点， 把点代入得： ， 解得：， ， ∴点，点， 设直线的解析式为， ∴，解得： ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点D的坐标为； （3）解：存在； 顶点M的坐标为， 设直线的解析式为， 把点B、C的坐标分别代入解析式，得 ，解得， 直线的解析式为， 当时，， 点N的坐标为， ， 当是平行四边形的边时，则，， 设，， 则， 得或， 由解得，， 则点的坐标为或(舍去)， 由解得，， 则点的坐标为或； 当是平行四边形的对角线时，设，， 的中点坐标为， 的中点坐标为， 解得或， 则点Q的坐标为或(舍去)， 综上，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合、待定系数法求解析式、坐标与图形、平行四边形的性质，根据题意灵活运用所需知识点是解题的关键． 27．（2025·辽宁沈阳·零模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C． （1）求线段BC的长； （2）点P为第三象限内抛物线上一点，连接BP，过点C作交x轴于点E，连接PE，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，以y轴为对称轴，将抛物线对称，对称后点P的对应点为点，点M为对称后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点A、、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由． 【答案】（1）（2）面积的最大值为4；此时P的坐标为．（3）或． 【分析】（1）由抛物线表达式，求出点B的坐标，当时求出点C的坐标，然后根据勾股定理即可求出BC的长度． （2）由把的面积转化为△BPC的面积，作PF∥y轴交BC于点F，交x轴于点H，根据点B和点C的坐标求出BC所在直线的表达式，然后设出点P和F的坐标，表示出△BPC的面积，根据二次函数的最值求解即可． （3）分A是菱形的边长或对角线时两种情况讨论，首先根据点A和点的坐标求出A的长度，然后设出点M的坐标，根据菱形的临边相等列出方程求出点M的坐标，最后根据菱形对角线互相平分，利用中点坐标公式列出方程即可求出点N的坐标． 【详解】（1）∵抛物线交x轴于点A、B， ∴当y=0时，即， 整理得：， 解得：． ∴A点坐标为，B点坐标为． ∴OB=4． 当时，y=-2， ∴C点坐标为， ∴OC=2． ∴． （2）如图所示，连接PC，作PF∥y轴交BC于点F，交x轴于点H． ∵， ∴△BPE和△BPC是同底等高的三角形， ∴， ∴求△BPE面积的最大值即求△BPC面积的最大值． ∵B，C， ∴设BC所在直线表达式为， 将B，C两点代入得：， 解得：． ∴BC所在直线表达式为． ∴设P点坐标为，F点坐标为， ∴． ∴， 即， ∴面积的最大值为4， 将m=-2代入得， ∴此时P点坐标为． （3）∵抛物线表达式为， ∴对称轴， ∵以y轴为对称轴，将抛物线对称， ∴对称后的抛物线的对称轴． ∵对称后点P的对应点为点，点P的坐标为， ∴点的坐标为， 又∵A点坐标为， ∴． 设M点坐标为， ∴． 分两种情况，①当A是菱形的边长时，如图所示， ∵四边形AMNP是菱形， ∴， ∴， 解得：， ∴，． ∵四边形AMNP是菱形， ∴对角线AN和互相平分， ∴根据平面直角坐标系中中点坐标公式可得：， 代入可得：或， 解得：，，， ∴，． ②当A是菱形的对角线时，如图所示， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得：． ∴， 又∵， ∴此时M点在线段上，以点A、、M、N为顶点构不成菱形， 故此种情况不存在． 综上所述，N点的坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数综合，二次函数中三角形面积最值问题，菱形存在性问题，解题的关键是根据题意作出辅助线，找到坐标和线段长度之间的关系． 28．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)若点在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点G的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）方法一：连接，过点作轴交于点．先求得直线的表达式为：．再设，，则，利用面积构造一元二次方程求解即可得解；方法二：令抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点，设，利用面积构造一元二次方程求解即可得解； （3）如下图，连接，，由菱形及等边三角形的性质证明得．从而求得直线的表达式为：．联立方程组求解，又连接，，，证．得，又证．得．进而求得直线的表达式为：．联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得． ∴抛物线的表达式为：． （2）解：方法一：如下图，连接，过点作轴交于点．      ∵ ， ∴． 令中，则， 解得或， ∴， 设直线为， ∵过点，，， ∴， 解得， ∴直线的表达式为：． 设，， ∴ ． ∴ ． ∵， ∴． 整理得，解得． ∴． 方法二： 如下图，    抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点， 设， ∴， ∴ ． ∵， ∴． 整理得，解得． ∴． （3）解：存在，点的坐标为或． 如下图，连接，，    ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∵，，， ∴，，点与点关于对称轴对称， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴即，， ∴． ∴． ∴直线的表达式为：． 与抛物线表达式联立得． ∴点坐标为． 如下图，连接，，，     同理可证：是等边三角形，是等边三角形，． ∴， ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴直线的表达式为：． 与抛物线表达式联立得． ∴点坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，一元二次方程的应用，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数与二次函数的解析式是解题的关键． 29．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，且．    (1)试求抛物线的解析式； (2)直线与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，m取得最大值，此时点P的坐标为 (3)存在，或 【分析】（1）先求出点，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点P作轴交直线于E，连接，先求出直线的解析式为，设，则，，由得出，因此，最后根据二次函数的性质即可求出m最大值及此时点P的坐标； （3）分两类进行讨论：①当是矩形的边时，有两种情形，当四边形为矩形时，如图2，连接，过点作轴于M，证明，，求出，，，从而得出满足条件的Q点和N点的坐标；当四边形是矩形时，如图2，过点作轴交的延长线于，过点作轴于T，证明，，求出，，，从而得出满足条件的Q点和N点的坐标；②当是对角线时，设，由Q是直角顶点，根据勾股定理得出方程，此方程无解，此种情形不存在． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线经过点，，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）如图1，过点P作轴交直线于E，连接，    设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵直线与y轴交于点D， ∴， ∴， ∵轴，即， ∴， ∴， ∵，   ∴， ∵， ∴当时，m取得最大值，此时点P的坐标为； （3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形． 由（2）知：， ①当是矩形的边时，有两种情形，    当四边形为矩形时，如图2，连接，过点作轴于M， 则， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，   ∴， ∴， ∴； 当四边形是矩形时，如图2，过点作轴交的延长线于，过点作轴于T， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当是对角线时，设，则，，， ∵Q是直角顶点， ∴， ∴，   整理得，此方程无解，此种情形不存在； 综上所述， 或． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象与性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，综合性较强，熟练掌握二次函数的图象与性质，根据题意正确作出图形，进行分类讨论是解题的关键． 30．（2024·辽宁·模拟预测）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点D在抛物线上运动（不与点A，B，C重合）．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点D在第一象限抛物线上运动时，过点D作轴，垂足为点F，直线与直线交于点E，若，求点D的坐标； (3)如图2，直线交直线于点H，点G在坐标平面内，在抛物线上是否存在点D，使以点A，D，H，G为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）把A（3，0）和B（-1，0）代入函数关系式，求出a、b的值，即可得出函数的解析式； （2）先求出点C的坐标，求出的解析式，设点，则， 用m表示出，列出关于m的方程，解关于m的方程，即可求出点D的坐标； （3）设点D的坐标为：；当为对角线时，当为矩形的一条边时，当为一条边时，分三种情况进行讨论，求出点D的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴当时，， ∴点， ∵， 设的解析式为 ∴， ∴， ∴的解析式为， 设点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，（不合题意，舍去） 把代入得：， ∴点坐标为； （3）解：存在；设点D的坐标为：； 当，为对角线时，过点D作轴于点F，交于点E，如图1所示： 由（2）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴此时点D的坐标为：； 当，为矩形的一条边时，过点D作轴于点M，如图2所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴， ∴此时点D的坐标为：； 当为一条边时，过点D作轴于点M，如图3所示：    ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， ， ， 解得：，， 把，和分别代入得：， ∴点D的坐标为或； 综上所述，点D的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，作出辅助线，进行分类讨论，是解题的关键． 31．（2024·辽宁·模拟预测）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是，过点D作直线轴，垂足为点E，交直线于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； (3)若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形是矩形邻边之比为时，请直接写出点P的横坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将点，代入解析式即可求解； （2）可求直线的解析式为，可得，，，①当时，可求，，即可求解；②当时，，，即可求解； （3）①当在对称轴的左侧时，得到是矩形，邻边之比为，即，即可求解；②当在对称轴的右侧时，同理可求． 【详解】（1）解：由题意得 解得， 故抛物线的表达式； （2）解：当时，， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 点D的横坐标是，过点D作直线轴， ，，， ①如图，当时，   ， ， ， 整理得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， ； ②如图，当时，   ， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ； 综上所述：线段的长为或． （3）解：设点，， 当四边形是矩形时，则为直角， ①当在对称轴的左侧时， 如图，过作轴交轴于，交过作轴的平行线于，   ， ∵为直角， 则， ∵， ∴， ∴， ∵是矩形邻边之比为，即或， 即和的相似比为或， 即， 由题意得：，， ∴， 则， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）； ②当在对称轴的右侧时，    同理可得：， 解得：， 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数综合体，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，矩形的性质，三角形相似的性质等知识点，分类求解是解答本题的关键． 32．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点D是抛物线上一动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点D在直线上方时，作轴于点F，交直线于点E，当时，求点D的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，，， 【分析】（1）将B，C两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可求出直线的解析式，由可证明，作于H，则，设点D的横坐标为t，分别表达和，建立方程即可得出结论； （3）若四边形为正方形，则是等腰直角三角形，且，根据题意画出对应图形，利用全等三角形建立方程，即可得出结论． 【详解】（1）经过点，点      解得 抛物线的函数解析式为： （2）轴， 轴，   ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得其解析式得， ， 解得，， ∴直线的解析式为 作于H，如图，则    设点D的横坐标为t， 则，， ， 解得（舍）， （3）∵， ∴抛物线的对称轴为， 若四边形为正方形，则是等腰直角三角形，且， 设点D的横坐标为n，则， 如图2，过点D作于点M，设直线l与x轴交于点N， 则，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， 当时，点D与点A重合，如图3，，则或，则； 当时，则；    如图4，过点D作于点M，设直线l与x轴交于点N， 同理可证，， ∴， ∴， ∴， 解得或， 当时，点D与点A重合，同上； 当时，，则；    综上，点Q的坐标为：或或或 【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法，等腰三角形的性质与判定，正方形的性质与判定等相关知识，解题关键是利用转化思想对已知信息进行转化，将转化为，将正方形的存在性转化为等腰直角三角形的存在性． 33．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线上的动点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为直线上的动点，当点在第四象限时，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)已知点为轴上一动点，点为平面内任意一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的正方形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)；；； 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）作直线，过作轴于点，交于点．设，则，，则，当时，的面积最大值为，从而求出此时四边形面积的最大值，点坐标； （3）设，，分四种情况画出图形，利用正方形性质求解即可． 【详解】（1）解：将，代入中， 得，解得． 该抛物线的函数表达式为． （2）解：作直线，过作轴于点，交于点．    设直线的表达式为：，将，代入中， 得，解得， ． 设，则，， ∵ ∴ ∴， ∴， 当时，面积的最大值为． 与直线平行， ， 四边形面积的最大值为． 当时，， （3）解：设，， I.如图，当点E在原点时，即点，，，    ∵四边形为正方形， ∴点， II.如解图3-2，当四边形为正方形时，，，    作轴，垂足为，作轴，垂足为， 又∵， ∴， ∴ ∴，， 同理可得：， ∴， ∴，解得：，（，不合题意舍去） ∴， ∴点， III.如解图3-3，当四边形为正方形时，    同理可得：，， ∴， ∴，解得：，（，不合题意舍去） ∴， ∴点， IV.如解图3-4，当四边形为正方形时，    同理可得：，， ∴， ∴，解得：，（，不合题意舍去） ∴， ∴点， 综上所述：点坐标为；；；． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、正方形性质、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的解法、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 二次函数与角度综合问题 34．（2024·辽宁·模拟预测）已知抛物线y＝ax2+2x+c过A（﹣1，0），C（0，3），交x轴于另一点B．点P是抛物线上一动点（不与点C重合），直线CP交抛物线对称轴于点N． (1)求抛物线的解析式； (2)连接AN，当∠ANC＝45°时，求P点的横坐标； (3)如图2，过点N作NM⊥y轴于点M，连接AM，当AM+MN+CN的值最小时，直接写出N点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)（1，） 【详解】（1）解：∵抛物线y＝ax2+2x+c过A（﹣1，0），C（0，3）， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线； 如图所示，过点A作 AM⊥AN交直线CP于M，过点M作MQ⊥x轴于Q，设抛物线对称轴与x轴交点为D， ∴∠AQM=∠MAN=∠NDA=90°，D（1，0）， ∴∠AMQ+∠MAQ=90°， 又∵∠MAQ+∠NAD=90°， ∴∠AMQ=∠NAD， ∵∠MAN=90°，∠MNA=45°， ∴∠AMN=∠ANM=45°， ∴AM=NA， ∴△AMQ≌△NAD（AAS）， ∴MQ=AD，AQ=ND， 设直线CP的解析式为，点N的坐标为（1，k+3）， ∵当时，A（-1，0），D（1，0）， ∴MQ=AD=2，， ∴OQ=k+4， ∴点M的坐标为（-k-4，2）， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴直线PC的解析式为， 联立 得， 解得或（舍去）， ∴点P的横坐标为； 同理当时，可以求得点P的横坐标为 ， 综上所述，点P的横坐标为或； （3）解：如图，过点C作CE⊥DN于E，连接ME，连接AE交y轴于F， ∴点E的坐标为（1，3）， ∵MN⊥y轴，ND⊥x轴，CE⊥DN， ∴四边形CMNE是矩形，四边形OMND是矩形， ∴CN=EM，MN=OD=1， ∴AM+MN+CN=AM+EM+1， ∵AM+ME≥AE， ∴当M与F重合时，AM+EM的值最小，即为AE+1 设直线AE的解析式为， ∴， ∴， ∴直线AE的解析式为， ∴点M的坐标为（0，）， ∴点N的坐标为（1，）． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定等等，解题的关键在于能够利用数形结合和分类讨论的思想求解． 35．（2024·辽宁丹东·二模）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 (1)抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ． 【深入探究】 (2)经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 (3)在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点． ①当时，求点的坐标． ②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)和 (2)点的坐标为 (3)①顶点为或顶点为；②存在，或或 【分析】（1）根据定义，确定c值，再建立方程组求解即可． （2）把点代入解析式，确定，根据定义建立方程求解即可． （3）①根据等腰直角三角形的性质，得到等线段，再利用字母表示等线段建立绝对值等式计算即可． ②设与对称轴的交点为，用含的式子表示出点的坐标，分别写出极限分割线、直线及直线的解析式，用含的式子分别表示出点到直线的距离和点到直线的距离，根据点到直线的距离与点到直线的距离相等，得出关于的绝对值方程，解方程即可． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，极限分割线为， 极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为． 故答案为： 和． （2）抛物线经过点， ∴ ∴ ∴， 解得 ∴点D的坐标为． （3）①设与对称轴交于点，若，则．    ∵点C的坐标为，点D的坐标为．． ∴， ∴， ∴， 解得． ∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的顶点为， ∴当时，，故顶点为； ∴当时，，故顶点为； ∴顶点为或顶点为． 存在，或或． 如图，设与对称轴的交点为．    由知，，抛物线的顶点为，∴抛物线的极限分割线：， 直线垂直平分， ∴直线：， ∴点到直线的距离为； 直线与直线关于极限分割线对称， 直线： ， ∵， ∴点到直线的距离为， 点到直线的距离与点到直线的距离相等， ∴， ∴或， 解得或或， 故或或． 【点睛】．查了抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点坐标等知识点，明确题中的定义、熟练掌握二次函数的图像与性质及绝对值方程是解题的关键． 36．（2024·辽宁大连·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，若平分，求点P的坐标； (3)如图2，连接，抛物线的对称轴交于点E，连接，点P在y轴右侧的抛物线上，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过作轴交于，交轴于，过作轴于，求出直线的解析式为，求出， 证明，设，则，证明，得出，求出， 根据，得出，求出t的值，即可得出点P的坐标； （3）过作于，过作于，延长交于F，求出直线的解析式为，证明，得出，求出，得出，求出直线的解析式为，令，求出x的值，即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得：， ∴； （2）解：如图1，过作轴交于，交轴于，过作轴于，如图所示： 设的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，，， 在中，根据勾股定理， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，   ∴， ∵， ∴， 整理得：，（舍），， 当时，， ∴； （3）解：过作于，过作于，延长交于F，如图所示： ∵， ∴对称轴为直线， 设直线的解析式为，代入，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵于G， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，   ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， 设的直线为，把代入得： ∴直线的解析式为， 令， 解得，（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握三角形相似的判定方法． 37．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于，B两点，顶点为H． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线平移后得到抛物线，且抛物线的顶点始终在抛物线上， ①当点P在第一象限时，抛物线与y轴交于点E，若的面积为时，直接写出P点坐标； ②将平移后的抛物线绕点P旋转得到抛物线，抛物线与直线交于点M（M与H不重合），与y轴交于点N，连接，，若，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移、旋转的性质，直角三角形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①先求抛物线的解析式为，可得，再由的面积，求出的值即可； ②先求抛物线的解析式为，则，再分别求出点，，用待定系数法求直线的解析式为，联立方程求出，分两种情况讨论：过作轴交于，过作轴交于，可知，能求，在中，，从而确定点，，再求直线的解析式为；当在下方时，，同理求出，，可得直线的解析式为． 【详解】（1）将，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）①点始终在抛物线上， ， 抛物线的解析式为， ， ， 的面积， 解得或（舍， ； ②抛物线绕点旋转得到抛物线， 抛物线的解析式为， ， 中，当时，， 解得或， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，解得或， ， 如图1，过作轴交于，过作轴交于， ，，，， ， ， ， ， 在中，， ， ，， 直线的解析式为； 如图2，当在下方时， ， ， 在中，， ， ，， 直线的解析式为； 综上所述：直线的解析式为或． 38．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接、，当时，求点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）分别令的，即可求出直线与坐标轴的交点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，设，则，（其中），利用三角形面积公式，即可求出点的坐标； （3）作交抛物线于点，作于点， 设，，得，，根据即可得，解方程可得； 作关于轴对称点，连接，作交抛物线于点，作于点，设，则，同法可得，进而得解． 【详解】（1）解：在中， 当时，； 当时，， 解得：， ，， 将，代入中， 得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）解：过点作轴，交于点，如图： 设，则，（其中）， ； 由（1）得：，， ， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 此时，， ；    （3）解：①作交抛物线于点， ， 在中， ， 作于点，    设，， ，， ， ， ， ， ． 整理得：， 解得：（舍去），， 当时，， ； ②作关于轴对称点， 连接，则， 作交抛物线于点，   ， ， ， 作于点 设，则， ，， ， ， 整理得， 解得：（舍去），， 当时，， ； 综上所述,点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，三角函数，会利用待定系数法求函数解析式，能把求函数交点问题转化为解方程的问题．是正确解答此题的关键． 39．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图①，一次函数y=x﹣2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数y=x2+bx+c的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C． （1）求二次函数的关系式及点C的坐标； （2）如图②，若点P是直线AB上方的抛物线上一点，过点P作PD∥x轴交AB于点D，PE∥y轴交AB于点E，求PD+PE的最大值； （3）如图③，若点M在抛物线的对称轴上，且∠AMB=∠ACB，求出所有满足条件的点M的坐标． 【答案】（1）二次函数的关系式为y＝；C（1，0）；（2）当m＝2时，PD＋PE有最大值6；（3）点M的坐标为（，）或（，）． 【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后把A、B的坐标分别代入二次函数的解析式，解方程组即可得到结论； （2）先证明△PDE∽△OAB，得到PD＝2PE．设P（m，），则E（m，），PD＋PE＝3PE，然后配方即可得到结论． （3）分两种情况讨论：①当点M在直线AB上方时，则点M在△ABC的外接圆上，如图1．求出圆心O1的坐标和半径，利用MO1=半径即可得到结论． ②当点M在直线AB下方时，作O1关于AB的对称点O2，如图2．求出点O2的坐标，算出DM的长，即可得到结论． 【详解】解：（1）令y＝＝0，得：x＝4，∴A（4，0）． 令x＝0，得：y＝－2，∴B（0，－2）． ∵二次函数y＝的图像经过A、B两点， ∴，解得：， ∴二次函数的关系式为y＝． 令y＝＝0，解得：x＝1或x＝4，∴C（1，0）． （2）∵PD∥x轴，PE∥y轴， ∴∠PDE＝∠OAB，∠PED＝∠OBA， ∴△PDE∽△OAB．∴＝＝＝2， ∴PD＝2PE．设P（m，）， 则E（m，）． ∴PD＋PE＝3PE＝3×[()－()]＝＝． ∵0＜m＜4，∴当m＝2时，PD＋PE有最大值6． （3）①当点M在直线AB上方时，则点M在△ABC的外接圆上，如图1． ∵△ABC的外接圆O1的圆心在对称轴上，设圆心O1的坐标为（，－t）． ∴＝，解得：t＝2， ∴圆心O1的坐标为（，－2），∴半径为． 设M（，y）．∵MO1=，∴， 解得：y=，∴点M的坐标为（）． ②当点M在直线AB下方时，作O1关于AB的对称点O2，如图2． ∵AO1＝O1B＝，∴∠O1AB＝∠O1BA．∵O1B∥x轴，∴∠O1BA＝∠OAB， ∴∠O1AB＝∠OAB，O2在x轴上，∴点O2的坐标为 （，0），∴O2D＝1， ∴DM＝＝，∴点M的坐标为（，）． 综上所述：点M的坐标为（，）或（，）． 点睛：本题是二次函数的综合题．考查了求二次函数的解析式，求二次函数的最值，圆的有关性质．难度比较大，解答第（3）问的关键是求出△ABC外接圆的圆心坐标． 40．（2024·辽宁大连·模拟预测）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，点与点关于轴对称，点为抛物线上一点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)如图，当点E在第一象限时，设 的面积为S，求S的最大值； (3)连接，若，求点E的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)S的最大值为 (3)点E的坐标为（或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）在中，，，，得到，求出直线的表达式为：，即可求解． 【详解】（1）抛物线与轴相交于点和点， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）设点， 该抛物线的解析式为，令，得， ， 设直线的表达式为：，则： ，解得， 直线的表达式为：， 过点作轴交于点，   抛物线与轴相交于点和点，且对称轴为直线， ， 点与点关于轴对称， ， 当时，，即， 则， 故的最大值为：； （3）作点关于的对称点，连接，则，， 则， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 则轴， 则点， 设直线的表达式为：，则： ， 直线的表达式为：， 设交轴于点，则点， 过点作交的延长线于点，    在中，，，， 故设，则，则， 则，则，， 则， 可设直线的表达式为：， 将代入得： 直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：或， 解得：或， 则点，或，． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 41．（2024·辽宁·模拟预测）已知：如图，抛物线经过点，，与x轴交于另一点B，连接，． (1)求出抛物线的函数表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，连接且，求点的坐标； (3)点为直线上方的抛物线上的一点，过点作于点，连接，若的一个锐角等于的2倍，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 (3)点P的横坐标为或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）在中，，，，用解直角三角形的方法求出，再运用待定系数法求出的表达式为：，即可求解； （3）运用待定系数法求出的表达式为：，作点关于轴的对称点，连接，过点作于点，设点，则点，则，由或，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）解：设交轴于点，过点作于点， 在中，，，， 设，则， 则，则， 则，， 由勾股定理得：，即点， 由点、的坐标得， 设直线的表达式为 把和分别代入 得 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点的坐标为：； （3）解：依题意， ∴ 设直线的表达式为 把和分别代入 得 解得 ∴的表达式为：， 作点关于轴的对称点，连接，过点作于点， 则， 则， 即，则， 则， 的一个锐角等于的2倍， 即或， 过点作轴交于点， 则， 则， 则， 设点， 则点，则， 则或， 解得：或， 即点的横坐标为：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、勾股定理、解直角三角形、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 42．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标； (3)在（2）的条件下，连接，在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）根据抛物线过点，对称轴为直线，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意求得，，求得，则，进而求得直线的解析式为，过点作轴，交于点，证明，根据已知条件得出设，则，将点代入，即可求解． （3）根据题意可得，以为对角线作正方形，则，进而求得的坐标，待定系数法求得的解析式，联立解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，则对称轴为直线， ∴， 解得： ∴抛物线解析式为； （2）解：由，当时，， 解得：， ∴， 当时，，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，则， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作轴，交于点，    ∵， ∴ ∵ ∴，则 设，则即， 将点代入 即 解得：或（舍去） 当时，， ∴； （3）∵，， 则，是等腰直角三角形， ∴，由（2）可得， ∵ ∴， 由（2）可得， 设直线的解析式为，则 解得： ∴直线的解析式为 如图所示，以为对角线作正方形，则，    ∵，则，则，， 设，则， 解得：，， 则，， 设直线的解析式为，直线的解析式为 则，， 解得：，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， ∴解得：，则， 解得：,则， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 43．（2024·辽宁·模拟预测）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为，，，抛物线经过的三个顶点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点M是抛物线在第一象限上一点． ①连接与相交于点E，即将分为两个三角形，若这两个三角形的面积之比为时，则点M的坐标为_______，直线的函数表达式为_______； ②将沿着x轴正方向平移，当点B与点M重合时停止，点A的对应点为，点O的对应点为点，求出与重合部分的图形的周长； (3)在抛物线的对称轴上取一点K，连接，使，延长交抛物线于点P，连接，动点Q从C点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，是否存在某一时刻，使？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①当点M的坐标为时，直线的解析式为；当点M的坐标为时，直线的解析式为；② (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①如图所示，过点E作轴于F，先证明，得到，求出，由将分为两个面积为的三角形，可得或， 当时，则，利用相似三角形的性质得到，则，求出直线的解析式为，联立， 即可求出点M的坐标为；同理可得当时，直线的解析式为，点M的坐标为；②根据题意可得点B与点M关于抛物线对称轴对称，即可求出，则，设分别与交于，由平移的性质得到，即可求出，解直角三角形求出，则；求出直线的解析式为，同理可求得直线的解析式为 联立， 求出，利用勾股定理求出，，则与重合部分的图形的周长； （3）如图3-1所示，当点K在x轴上方时，过点K作轴于T，过点P作轴于H，连接，先求出点P的坐标，再证明，在中，由勾股定理建立方程求解即可；同理当点K在x轴下方时，求出对应的t的值即可． 【详解】（1）解：把，，代入抛物线解析式中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：①如图所示，过点E作轴于F， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵将分为两个面积为的三角形， ∴或， 当时，则， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点M的坐标为； 同理可得当时，直线的解析式为，点M的坐标为； 综上所述，当点M的坐标为时，直线的解析式为；当点M的坐标为时，直线的解析式为； ②∵将沿着x轴正方向平移，当点B与点M重合时停止， ∴点B与点M关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线，， ∴； ∴， 设分别与交于， ∵是由平移得到的， ∴， ∴，，   在中，， 在中，； ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 同理可求得直线的解析式为 联立，解得， ∴， ∴，， ∴与重合部分的图形的周长 ； （3）解：如图3-1所示，当点K在x轴上方时，过点K作轴于T，过点P作轴于H，连接， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴； ∵A、C关于对称，   ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，即； 如图3-2所示，当点K在x轴下方，且点Q在点P右侧时， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴； 同理可证， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，即； ∴， 由对称性可知，当点Q运动到点G，此时时，也满足题意， ∴； 综上所述，t的值为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 44．（2024·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点F是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点F在第一象限运动时，连接线段，且．当S取最大值时，求点F的坐标； (3)过点F作轴交直线于点D，交x轴于点E，若，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）设点，过点F作轴于点H，则，分别求出，得到，利用二次函数的性质求解即可； （3）分点F在x轴上方和下方两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，连接，设点，过点F作轴于点H，则， ∵， ∴， 当时，， ∴点C的坐标是， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，有最大值，此时， ∴此时点F的坐标是． （3）当点F在x轴上方时，如图，延长射线交x轴于点N， ∵，点C的坐标是， ∴， ∴, ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N的坐标是， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 由， 解得（不合题意，舍去），， 当时，， ∴点F的坐标是， 当点F在x轴下方时，如图，设交x轴于点H， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形，是的角平分线且三线合一， ∴， ∴, 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 由， 解得（不合题意，舍去），， 当时，， ∴点F的坐标是， 综上所述，点F的坐标是或． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、相似三角形的判定和性质、一次函数和二次函数图象的交点坐标、等腰三角形的判定和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键，是中考压轴题的常见类型． 45．（2024·辽宁·模拟预测）抛物线交轴于，两点（在的左边），交轴于，直线经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，为直线上方的抛物线上一点轴交于点，过点作于点．设，求的最大值及此时点坐标； （3）如图，点在轴负半轴上，点绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点处，且，求点坐标． 【答案】（1）（2）最大值是，此时（3） 【分析】（1）由直线经过，两点，先求出点，的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）根据表达式，设出点的坐标和点的坐标，用含的代数式分别表达出线段、，转化成关于t的二次函数，再求出的最大值及点坐标； （3）根据条件，且，利用三角形的全等去确定满足条件的、点，再根据函数解析式求出坐标即可． 【详解】解：（1）直线经过，两点，当时，；当，； ，， 点，在抛物线上， ， ， ； （2）如图，连接，延长交轴于， 轴， 轴， 设，， ，   ， 且，，， ， ， ， ， ， 当时，有最大值是，此时； （3）如图，过作，交于点，过点作，交的延长线于点， 则， ，                              由旋转得：， ， ， ， ， ， ， 平分 设直线交轴于点， ， ， ， 的解析式为：，     ， 解得：，，      ， 设， ， 由勾股定理得，， 解得， ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图像与性质、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 二次函数与三角函数综合问题 46．（2024·辽宁·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，直线经过点，与轴正半轴相交于点，点为第三象限内抛物线上一点，连接绕点逆时针旋转，与线段相交于点，且，若，求点的坐标； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作，垂足为点，与轴相交于点，连接，若，求的长． 【答案】(1)； (2)点坐标为； (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质；会应用三角形全等证明线段相等；理解锐角三角函数的定义． （1）直接把点坐标代入求出的值即可得到抛物线解析式为； （2）如图2，由三角形外角性质得，加上，则，再利用可，于是可判断为等腰直角三角形，则，由此得到点坐标为； （3）过作轴交的延长线于，作于，轴于，如图3，利用得到，加上，则，于是根据等腰三角形的性质可得，接着判断四边形为矩形得到，则，然后证明得到，所以；再在中利用正弦定义可得到，利用勾股定理得，设点坐标为，则，，于是可表示出，所以，解方程得到得，（舍去），所以． 【详解】（1） 解：把代入得，解得， 所以抛物线解析式为； （2） 解：如图2， ， 而， ， ， ， ，即， 为等腰直角三角形， ， 点坐标为； （3） 解：过作轴交的延长线于，作于，轴于，如图3， ∴四边形为矩形， ∵， ， ， ， 而， ， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， 而， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， 在中，， ， ， 设点坐标为，则，， ， ， 整理得，（舍去）， ． 47．（2024·辽宁大连·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴于、两点（点在点左侧），交轴于点．与时的函数值相等，且与的函数值之差．点为抛物线上一动点，点为抛物线上另一动点，连接、、． (1)求抛物线的解析式； (2)当关于抛物线的对称轴轴对称时，求的值； (3)设（），若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）与时的函数值相等，可知其对称轴为，得到，再通过与的函数值之差，得到，从而计算出值，得到函数表达式； （2）关于轴对称时，可以知道和关于对称，从而知道值； （3）当时，，此时，可知当点移动到点时，满足条件，此时；当时，作点作交的延长线于，作交于，作轴交，过点作轴，过点作，延长交于点，先证明四边形是矩形，再通过证明，得到，表示出和的长度，最后利用计算出值． 【详解】（1）与时的函数值相等 该抛物线的对称轴为直线 又抛物线（）的对称轴为直线 与的函数值之差 整理得：，即 ， 抛物线的解析式为； （2）当时， 当时， 所以设点坐标为，点坐标为 抛物线交轴于、两点（点在点左侧） 当时，解得， 点坐标为 由（1）可知抛物线的对称轴为直线 关于直线轴对称 点和点关于对称 ，， 点坐标为，点坐标为 此时点在对称轴上，符合题意 当时，为轴对称图形，且对称轴为 故答案为：； （3）①当时， 将代入，得，即点坐标为 点坐标为 当，，那么点坐标为 当时，，，那么点坐标为 此时，那么 即当，时， 此时与重合，如图所示 此时； ②当时，过点作交的延长线于，作交于，作轴交轴于，过点作轴交的延长线于点，过点作交于点，如图所示 ，， ， 四边形是平行四边形 四边形是矩形 点坐标为，点坐标为 点坐标为，， ， ， 又 ， 四边形是矩形 ， 又， 解得， 即 舍去 即 时， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的对称轴，二次函数图象上点的特征，轴对称图形的性质，三角形相似的判定与性质，解直角三角形，两点距离公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 48．（2024·辽宁·模拟预测）如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第一象限内抛物线上一动点．   　　   (1)求抛物线的解析式． (2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接．当时，求点E的横坐标． (3)如图2，点N为x轴正半轴上一点，与交于点M．若，，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)或1 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法，把已知点坐标代入解析式即可求解函数的解析式； （2）分别过，向轴作垂线，垂足为，，根据证得 ，从而，设点坐标，分别表示出，坐标，再列方程求解即可； （3）将平移到，连接，则；过作于，过作轴于，过作交延长线于，延长交轴于，设，则，，，由可得，从而，设由 可得，， ，再求出点坐标为，代入抛物线解析式中即可求得或，从而可得点坐标 ． 【详解】（1）解：把和代入到解析式中可得 ，解得， 抛物线的解析式为：； （2）直线中，令，则，所以， 直线中，令，则，所以， 分别过，向轴作垂线，垂足为，，    根据题意可得， 轴，轴， 和为直角三角形， 在和中， ， ， ， 设， 则， ，， 从而，， 则有或， 解得（舍去），或，或 故点的横坐标为：或1； （3）将平移到，连接，则四边形为平行四边形，，过作于，过作轴于，过作交延长线于，延长交轴于， ， 可设，则， ∴， 则，    设， 轴， ， ， ，，， ，，， ， ，， ， ， ，，则， ，， ， 代入抛物线解析式中有：， 解得：或， 当时，， 当时，． 【点睛】本题是二次函数与相似三角形综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正切的定义等知识，解题关键是在坐标系中利用等线段构造全等进行计算，构造相似三角形解决问题． 49．（2024·辽宁·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是第一象限内抛物线上的一点，与交于点E，且，求点D的坐标； (3)如图2，已知点，抛物线上是否存在点P，使锐角满足？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)点D的坐标为或； (3)存在，点P的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点D作交于点F，求出点B坐标和直线的解析式，设点D的横坐标为t，可得，，求出，证明，利用相似三角形的性质列出比例式求出t的值即可； （3）分情况讨论：①当在上方时，过点M作交于I，过I作轴于J，证明，利用相似三角形的性质求出，，进而可得点I的坐标，然后求出直线的解析式，联立抛物线和直线的解析式即可求出此时点P的坐标；②当在下方时，同理求解即可． 【详解】（1）解：把点，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点D作交于点F， 当时，有， 解得， ∴     ，            设直线的解析式为：， 代入，得：， 解得 ， ∴直线的解析式为：， 设点D的横坐标为t，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴点D的坐标为或； （3）解：存在点P，使， ①当在上方时，过点M作交于I，过I作轴于J， 则， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴此时点P的坐标为； ②当在下方时，过点M作交于K，过K作轴于L， 同理可得，点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法的应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数等知识，能够根据题意作出合适的辅助线，利用数形结合的思想是解题的关键． 二次函数与相似综合问题 50．（2024·辽宁营口·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，． (1)求点B的坐标和抛物线的解析式； (2)为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，． ①点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标； ②点在轴上自由运动，若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，，三点为“共谐点”．请直接写出使得，，三点成为“共谐点”的的值． 【答案】(1)，； (2)①当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或；②当，，三点成为“共谐点”时的值为0.5或或． 【分析】（1）把点坐标代入直线解析式可求得，则可求得点坐标，由、的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）①由点坐标可表示、的坐标，从而可表示出、、、的长，分和两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于的方程，可求得的值； ②用可表示出、、的坐标，由题意可知有为线段的中点、为线段的中点或为线段的中点，可分别得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）解：与轴交于点，与轴交于点， ，解得， ， 抛物线经过点，， ，解得， 抛物线解析式为； （2）解：①由（1）可知直线解析式为， 为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，， ，， ，，， 和相似，且， 或， 当时，则有， 点的纵坐标为2， ，解得（舍去）或， ； 当时，过点作轴于点， 则，，， ， ， ， ， ， ，解得（舍去）或， ； 综上可知当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或； ②由①可知，，， ，，三点为“共谐点”， 有为线段的中点、为线段的中点或为线段的中点， 当为线段的中点时，则有， 解得（舍去）或； 当为线段的中点时，则有， 解得（舍去）或； 当为线段的中点时，则有， 解得（舍去）或； 综上可知当，，三点成为“共谐点”时的值为0.5或或． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中利用相似三角形的性质得到关于的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（2）②中利用“共谐点”的定义得到的方程是解题的关键，注意分情况讨论． 51．（2024·辽宁·模拟预测）如图，抛物线与直线交于，两点，抛物线与轴负半轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限抛物线上，作轴交于点，作轴，轴，垂足分别是，，当四边形为正方形时，求的长； (3)为第一象限抛物线上的点，为直线上的点，当与相似时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)Q点的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入，解方程组求出b、c的值即可得答案； （2）设D点坐标为则E点坐标为，设直线解析式为，利用待定系数法可得出直线的解析式，把、分别代入抛物线和直线的解析式，列方程组可求出m、n的值，进而可得答案； （3）设，，根据抛物线解析式可求出点C坐标，即可求出、、的长，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，当时，过点P作轴于D，交于E，可得，根据角的和差关系可得，可得，进而列方程可求出m的值，可得的长，根据点Q坐标可用n表示出的长，分和两种情况，根据相似三角形的性质求出n值即可；当时，根据平行线的判定定理可得轴，可得出点P纵坐标，进而可求出点P坐标，可得的长，分和两种情况，根据相似三角形的性质求出n值即可得点Q坐标；当时，此情况符合题意；综上即可得答案． 【详解】（1）解：∵，在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：设D点坐标为则E点坐标为，设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， ∵在抛物线上，在直线上， ∴，， 解得：， ∴． （3）解：设，， ∴， ∵抛物线解析式为， ∴当时，， 解得：，， ∴点C坐标为， ∵，， ∴，，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ①如图，当时，过点P作轴于D，交于E，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴， ， 如图，过点P作， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴，即． 如图，过点P作，交于Q，可得， ∴，即， 解得：， ∴，即， ②如图，当时，可得轴， ∴点P纵坐标为2， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 如图，过点P作，可得， ∴，即， 解得：， ∴，即． 如图，过点P作，交于Q，可得， ∴轴， ∴， ∴，即． ③当时，不符合题意， 综上所述：点Q坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线、熟练掌握相似三角形的判定定理并灵活运用分类讨论的思想是解题关键． 52．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，经过点A的直线交抛物线于点，点与点的横坐标互为相反数，是抛物线上一动点，连接．    (1)求抛物线的表达式； (2)若点在第一象限内的抛物线上，当时，求直线的表达式； (3)点在轴上，若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解即可； （2）证明，得到，进而求解即可； （3）当点Q在点D的下方时，利用得到，即和的相似比为2，求出点P的坐标即可；同理可解：当点Q在点D的上方时的情况． 【详解】（1）解：将代入中，得． ． ∴点A的坐标为． ∵点D与点A的横坐标互为相反数， ∴点D的横坐标为． 将代入，得． ∴点D的坐标为． 将点和的坐标代入， 得解得 ∴抛物线对应的函数表达式为． （2）解：在上取点E，使，交y轴于点F， 将代入，．将代入，． ∴点C，F的坐标分别为和． ． ， ． ． ， ， ． 在中， ，，， ，即． ， 点E的坐标为． 设直线对应的函数表达式为， 将点和的坐标代入表达式中， 得解得 ∴直线对应的函数表达式为． ，， ， ， ． ∴设直线对应的函数表达式为， 将点的坐标代入表达式为中，得． ∴直线对应的函数表达式为．    （3）解：①如图：当点Q在点D的下方时， 过点Q作x轴的平行线交过点P与y轴的平行线于点H，交过点D和y轴的平行线于点G，    ∵，则为直角， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴即和的相似比为2， 由点D的坐标知，， 设，则点Q的坐标为：，， ∴点P的坐标为：，即， 将点P的坐标代入抛物线表达式得，解得:， ∴点P的坐标为：或； ②当点Q在点D的上方时， 同理可得，点P的坐标为：， 将点P的坐标代入抛物线表达式得：，次方程无解． 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、三角形相似的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识并掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$