专题03 立体几何初步（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年高一数学下学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第二册）

专题03 立体几何初步 【考点01 ：空间几何体的结构特征】 【考点02 ：空间几何体的表面积】 【考点03：空间几何体的体积】 【考点04：空间几何体的直观图问题】 【考点05： 空间几何体最短路径问题】 【考点05： 异面直线的判断】 【考点06： 求异面直线所成角】 【考点07：共面、共线、共点证明】 【考点08：平面基本性质与等角定理】 【考点09： 线面平行的证明】 【考点10：线面平行的性质的应用 】 【考点11： 面面平行的证明】 【考点12： 面面平行的性质定理应用】 【考点13： 线线垂直的证明】 【考点14：线面垂直的证明】 【考点15： 面面垂直的证明】 【考点16： 与球有关的切接问题】 【考点17： 立体几何中的截面问题】 知识点1 空间几何体的结构特征 1、多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点，但不一定相等 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2、特殊的棱柱和棱锥 （1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． （2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 【注意】 （1）棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱． （2）棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台． （3）注意棱台的所有侧棱相交于一点． 3、旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形 旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 4、空间几何体的直观图 （1）画法：常用斜二测画法． （2）规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． （3）直观图与原图形面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝S原图形； S原图形＝2S直观图． 知识点2 空间几何体的表面积和体积 1、空间几何体的表面积和体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 几何体的表面积和侧面积的注意点 ①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和． ②组合体的表面积应注意重合部分的处理． 2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系 （1）当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥， 则S正棱柱侧＝ch′ S正棱台侧＝(c＋c′)h′S正棱锥侧＝ch′. （2）当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥， 则S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl. 3、柱体、锥体、台体体积间的关系 知识点3 点、直线、平面之间的位置关系 1、 四个公理 （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． 作用：判断一条直线是否在某个平面内的依据 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 【拓展】公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 作用：公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线． 作用：公理3是证明三线共点或三点共线的依据 （4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3、直线与直线的位置关系 （1）空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 （2）异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：(0°，90°]． 4、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 5、两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 知识点4 直线、平面平行的判定与性质 1、直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a⊄α，b⊂α， a∥b ⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b 2、平面与平面平行 （1）平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P， a∥β，b∥β⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 3、平行关系之间的转化 在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”． 知识点5 直线、平面垂直的判定与性质 1、直线与平面垂直 （1）定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2、直线和平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是. （2）范围：. 3、平面与平面垂直 （1）二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． （2）平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 谨记五个结论 （1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． （5）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 4、垂直关系之间的转化 在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决． 【考点01 ：空间几何体的结构特征】 1．如图所示，这个几何体的主要结构特征是（    ） A．圆锥和圆柱的组合体 B．球和圆柱的组合体 C．圆锥和棱柱的组合体 D．球和棱柱的组合体 2．若一平面与正方体截面的形状是三角形，则该三角形不可能为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 3．多选题我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等．《九章算术》中将有三条棱互相平行且不全相等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是（   ） A．三棱台体不是“刍甍” B．“刍甍”有且仅有两个面为三角形 C．存在有两个面为平行四边形的“刍甍” D．“刍甍”存在两个互相平行的面 【考点02 ：空间几何体的表面积】 1．已知圆柱的底面半径为2cm，体积为，则该圆柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．在直角梯形ABCD中，，，且，，.在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分以AB所在直线为轴，将图中阴影部分旋转一周形成的旋转体的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．所有棱长都相等的四面体的体积为，则其表面积为（    ） A． B．12 C． D． 4．若底面半径为，母线长为的圆锥的表面积与直径为的球的表面积相等，则（    ） A． B． C． D． 5．已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．已知是球的球面上一点，过线段的中点作垂直于直线的平面，若该球被这个平面截得的圆面的面积为，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 7．圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为 ． 8．圆柱的轴截面是边长为4cm的正方形，则该圆柱的表面积为 ． 9．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示(单位：cm)，则此几何体的表面积为 cm2．    10．已知圆锥的母线长为2，其外接球表面积为，则圆锥的高为 ． 11．如图，直三棱柱中，，，，点P在棱上，且，则当 时，的面积取最小值；此时三棱锥的外接球的表面积为 ． 【考点03：空间几何体的体积】 1．圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 2．若水平放置的平面四边形AOBC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则以原四边形AOBC 的边 AC为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 3．已知四棱锥，，平分，点在上且满足，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．．已知直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 5．如图所示，在三棱柱中，若点E，F分别满足，，平面将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为和，则＝ . 6．如图1，在中，，，，、分别为、的中点，将沿折起来，使得二面角为（如图2），则 ，三棱锥的外接球体积为 .    7．如图中，，在三角形内挖去一个半圆（圆心在边上，半圆与分别相切于点，交于点），则图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为 ． 【考点04：空间几何体的直观图问题】 1．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．8 2．如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在x′轴上，与x′轴垂直，且，则的面积为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，的边，，则原中角A的角平分线长度是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是 ． 5．如图是用斜二测画法画出的水平放置的正的直观图，其中，则的面积为 . 【考点05： 空间几何体最短路径问题】 1．已知某圆台的体积为，其轴截面为梯形，，，则在该圆台的侧面上，从点到的最短路径的长度为（    ） A． B． C．6 D． 2．如图，某圆柱体的高为1，ABCD是该圆柱体的轴截面.已知从点B出发沿着圆柱体的侧面到点D的路径中，最短路径的长度为，则该圆柱体的侧面积是（    ）    A．14 B． C．7 D． 3．在直三棱柱中分别为的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，圆锥的底面半径为1，母线，点为的中点，一蚂蚁自点出发，沿圆锥的侧面爬行至点，则最短路径等于 ． 5．如图，在直三棱柱中，，，，E、F分别是、的中点，沿棱柱的表面从E到F的最短路径长度为 ．    【考点05： 异面直线的判断】 1．如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正方体中，直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都不是 3．已知正方体，、、分别为、、的中点，则图中与直线异面的直线是（    ）    A． B． C． D． 4．多选题如图，这是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（    ） A． B． C．直线与异面 D．直线与异面 【考点06： 求异面直线所成角】 1．在正三棱柱 中，，，分别是 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．在正四面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，已知四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．在正方体中，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 6．在正方体中，直线和直线所成的角为 . 7．在三棱锥中，分别是的中点，则 . 【考点07：共面、共线、共点证明】 1．如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 2．已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求点M到平面的距离； (2)判断，M，B，N四点是否共面，若是，请证明；若不是，请说明理由． 3．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四点E，F，G，H共面. 4．如图，在正方体中，分别是的中点．    (1)求证：四点共面； (2)求异面直线所成的角. 5．已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 6．如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 【考点08：平面基本性质与等角定理】 1．多选题下面四个命题中，正确的为（    ） A．相交于同一点的三条直线在同一平面内 B．在平面外，其三边延长线分别和交于，则一定共线 C．一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等 D．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 2．多选题如图所示，在四面体中，M，N，P，Q，E分别是的中点，则下列说法正确的是（    ） A．四边形是菱形 B． C． D．四边形为矩形 【考点09： 线面平行的证明】 1．多选题如图，在正方体中，､､､､､分别是棱､､､､､的中点，则下列结论错误的是（    ）    A．直线和平行，和异面 B．直线和平行，和相交 C．直线和相交，和异面 D．直线和异面，和异面 2．如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，为的中点，侧棱长为3. (1)证明：平面； (2)求该正四棱台的表面积. 3．如图，正三棱柱中，是的中点，．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 4．如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 5．如图，直三棱柱的侧面积为，底面为等腰直角三角形，，，M，N分别是和的中点． (1)求证：平面； (2)取的中点E，连接与交于点O，求异面直线与所成角的余弦值． 6．如图，在四棱锥中，，底面为矩形，对角线与相交于点，点到平面的距离为为的中点． (1)求证： 平面． (2)求三棱锥的体积． 7．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且. (1)求证:平面MCD; (2)，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 8．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，是四棱锥的高，且是的中点；    (1)求证平面； (2)求四棱锥和三棱锥的体积． 【考点10：线面平行的性质的应用 】 1．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点O，E为中点，F在上，，∥平面，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D．3 2．已知菱形沿对角线向上折起，得到三棱锥，分别是棱的中点，，为棱上的一点，且平面，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 3．在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 4．如图，在三棱台中，从中取3个点确定平面，若平面平面，且，则所取的这3个点可以是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，直三棱柱 中，，为的中点. (1)求证：平面 ； (2)求 到平面 的距离. 6．如图所示，四边形为空间四边形的一个截面，且截面为平行四边形． (1)求证：平面． (2)若，且，，求四边形的面积． 【考点11： 面面平行的证明】 1．如图，在正方体中，下列四对截面彼此平行的一对是（    ） A．平面与平面 B．平面与平面 C．平面与平面 D．平面与平面 2．正方体如图所示 (1)求证:平面. (2)平面平面. 3．如图，在多面体中，底面是平行四边形，点和点分别是和的中点．证明：平面∥平面．    4．如图所示：在长方体中，，，E、F分别是面，中心，G，H分别是，的中点. (1)证明：面面； (2)证明：面. 5．如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点M、N、Q分别是、、的中点.求证：平面平面. 6．如图，四边形与四边形均为平行四边形，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 7．如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点.求证： (1)四点共面； (2)平面 平面. 【考点12： 面面平行的性质定理应用】 1．如图，梯形是圆台的轴截面，E，F分别在底面圆，的圆周上，EF为圆台的母线，，已知，，G，H分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若三棱锥的体积为，求圆台的侧面积. 【考点13： 线线垂直的证明】 1．如图，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且为线段的中点．证明：. 2．如图，已知正方体中，分别是和的中点．      (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 3．空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：. 【考点14：线面垂直的证明】 1．如图，四棱锥的底面是正方形，底面.    (1)若，求四棱锥的体积 (2)求证：平面 2．如图，在正方体中． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 3．如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，为的中点． (1)若，求证：平面； (2)棱上是否存在点，使得平面？说明理由． 4．在正三棱柱中，，分别为，的中点.    (1)证明：平面； (2)证明：平面. 5．如图，在正四棱柱中，，． (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离． 【考点15： 面面垂直的证明】 1．如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 2．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面.，为侧棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 3．如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的正切值. 【考点16： 与球有关的切接问题】 1．一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的体积为（    ） A．18 B．27 C．36 D．54 2．在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知某圆台的母线长为3，下底面的半径为1，若球O与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则球O的表面积为 ． 4．如图某机器零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的体积和为 . 【考点17： 立体几何中的截面问题】 1．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 2．若平面截球O所得截面圆的半径为3，且球心O到平面的距离为2，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆台的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆台所得的截面是一个上底为2，下底为4，腰为2的等腰梯形，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是 ． 5．球面上三点、、所确定的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则该球的体积为 . 6．如图，圆锥PO的底面直径和高均是，过的中点'作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 立体几何初步 【考点01 ：空间几何体的结构特征】 【考点02 ：空间几何体的表面积】 【考点03：空间几何体的体积】 【考点04：空间几何体的直观图问题】 【考点05： 空间几何体最短路径问题】 【考点05： 异面直线的判断】 【考点06： 求异面直线所成角】 【考点07：共面、共线、共点证明】 【考点08：平面基本性质与等角定理】 【考点09： 线面平行的证明】 【考点10：线面平行的性质的应用 】 【考点11： 面面平行的证明】 【考点12： 面面平行的性质定理应用】 【考点13： 线线垂直的证明】 【考点14：线面垂直的证明】 【考点15： 面面垂直的证明】 【考点16： 与球有关的切接问题】 【考点17： 立体几何中的截面问题】 知识点1 空间几何体的结构特征 1、多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点，但不一定相等 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2、特殊的棱柱和棱锥 （1）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形． （2）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 【注意】 （1）棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱． （2）棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台． （3）注意棱台的所有侧棱相交于一点． 3、旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形 旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 4、空间几何体的直观图 （1）画法：常用斜二测画法． （2）规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． （3）直观图与原图形面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直观图＝S原图形； S原图形＝2S直观图． 知识点2 空间几何体的表面积和体积 1、空间几何体的表面积和体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 几何体的表面积和侧面积的注意点 ①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和． ②组合体的表面积应注意重合部分的处理． 2、柱体、锥体、台体侧面积间的关系 （1）当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱；当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥， 则S正棱柱侧＝ch′ S正棱台侧＝(c＋c′)h′S正棱锥侧＝ch′. （2）当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥， 则S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl. 3、柱体、锥体、台体体积间的关系 知识点3 点、直线、平面之间的位置关系 1、 四个公理 （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． 作用：判断一条直线是否在某个平面内的依据 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 【拓展】公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 作用：公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线． 作用：公理3是证明三线共点或三点共线的依据 （4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3、直线与直线的位置关系 （1）空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 （2）异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：(0°，90°]． 4、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 5、两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 知识点4 直线、平面平行的判定与性质 1、直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a⊄α，b⊂α， a∥b ⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b 2、平面与平面平行 （1）平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P， a∥β，b∥β⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 3、平行关系之间的转化 在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”． 知识点5 直线、平面垂直的判定与性质 1、直线与平面垂直 （1）定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2、直线和平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是. （2）范围：. 3、平面与平面垂直 （1）二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． （2）平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 谨记五个结论 （1）若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． （5）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 4、垂直关系之间的转化 在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决． 【考点01 ：空间几何体的结构特征】 1．如图所示，这个几何体的主要结构特征是（    ） A．圆锥和圆柱的组合体 B．球和圆柱的组合体 C．圆锥和棱柱的组合体 D．球和棱柱的组合体 【答案】D 【分析】根据几何体的特征可得出结论. 【详解】由图可知，该几何体是由一个球和棱柱构成的组合体. 故选：D 2．若一平面与正方体截面的形状是三角形，则该三角形不可能为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】C 【分析】由题意分析得截面与棱的交点应在相邻的三条棱上，作出可能的图后逐个分析，特殊①恰好经过三个顶点；②恰好经过两个顶点；③与三条棱都交于任意点，设交点到顶点的距离分别为，由勾股定理定理表示出三角形三边，然后利用余弦定理得到三角形内角的范围. 【详解】一个平面截正方体要使其截面为三角形，则与棱的交点应在相邻的三条棱上． ①如图1，当三个交点恰好在正方体的顶点处，则为等边三角形； ②如图2，在①基础上将其中一个顶点沿棱平移，则可能产生等腰三角形； ③如图3，一般情形下，设交点到同一个顶点的距离分别为， 利用勾股定理可知截面三角形的三边长分别为，，， 利用余弦定理知其中一个角的余弦值大小为， 所以该角为锐角，同理其余角也为锐角，所以该三角形为锐角三角形， 不可能为直角三角形． 故选：C． 3．多选题我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等．《九章算术》中将有三条棱互相平行且不全相等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是（   ） A．三棱台体不是“刍甍” B．“刍甍”有且仅有两个面为三角形 C．存在有两个面为平行四边形的“刍甍” D．“刍甍”存在两个互相平行的面 【答案】AB 【分析】如图，根据“刍甍”的定义，结合选项，依次判断即可. 【详解】如图，，四边形为矩形， A：三棱台体是一个由一个三角形底面和一个平行的三角形顶面组成的五面体，三个侧面是梯形. 在三棱台体中，有三对平行的棱（每对连接底面和顶面的对应顶点），而不是只有三条平行的棱， 所以三棱台体不是“刍甍”，故A正确； B：根据定义，三条棱互相平行且不全相等，不可能所有四个非矩形面都是梯形. 所以“刍甍”必须有且仅有两个面为三角形，故B正确； C：根据定义，三条棱互相平行且不全相等，不可能有两个面为平行四边形. 所以不存在有两个面为平行四边形的“刍甍”，故C错误； D：根据定义，三条棱互相平行且不全相等，如图，“刍甍”不存在两个互相平行的面，故D错误. 故选：AB. 【考点02 ：空间几何体的表面积】 1．已知圆柱的底面半径为2cm，体积为，则该圆柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆柱的表面积和体积公式即可求解. 【详解】设圆柱的高为， 因为圆柱的底面半径为2cm，体积为，则圆柱的底面周长为， ，所以圆柱的表面积为， 故选：D 2．在直角梯形ABCD中，，，且，，.在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分以AB所在直线为轴，将图中阴影部分旋转一周形成的旋转体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定旋转一周形成的旋转体的形状，结合圆台侧面积公式以及球的表面积公式，即可求得答案. 【详解】由题意可知阴影部分以AB所在直线为轴，旋转一周形成的旋转体为一个圆台挖去半个球， 其中圆台的上下底面半径为2和5，高为4，母线长为， 挖去半球的半径为2， 故形成的旋转体的表面积为， 故选：B 3．所有棱长都相等的四面体的体积为，则其表面积为（    ） A． B．12 C． D． 【答案】D 【分析】根据条件求出正四面体的棱长，再利用正四面体的表面积等于四个等边三角形的面积之和，求解即可． 【详解】如图，正四面体中，设各棱长均为， 过作底面，交于点，   ， ， 正四面体体积， 解得， 所以． 故选：D． 4．若底面半径为，母线长为的圆锥的表面积与直径为的球的表面积相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆锥表面积以及球的表面积公式构造方程即可. 【详解】易知圆锥的表面积为，球的表面积为， 故，即， 解得（负舍）. 故选：B. 5．已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用正弦定理求得的外接圆的半径，再由球的截面的性质，求得外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】在中，，， 则的外接圆的半径， 因为平面，，设此三棱锥外接球的半径为， 则， 则三棱锥的外接球的表面积为． 故选：B． 6．已知是球的球面上一点，过线段的中点作垂直于直线的平面，若该球被这个平面截得的圆面的面积为，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题涉及球的截面相关概念.球的截面是一个圆，根据圆的面积公式（其中为面积，为半径），可求出截面圆的半径.再利用球的截面性质，设球的半径为，截面圆半径为，球心到截面的距离（这里），通过勾股定理求出球的半径，进而求出球的表面积. 【详解】已知截面圆的面积为，根据圆的面积公式，可得，解得. 设球的半径为，因为是的中点，所以球心到截面的距离. 根据勾股定理，将，代入可得： ,则，则，则，解得. 根据球的表面积公式，将代入可得： 故选：C. 7．圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】先利用侧面积求出圆柱的高，再求出球的半径可得表面积. 【详解】设圆柱的高为，其外接球的半径为， 由圆柱的底面半径为1，侧面积为，得，解得， 由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处， 因此，所以球的表面积为. 故答案为： 8．圆柱的轴截面是边长为4cm的正方形，则该圆柱的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆柱轴截面可求得圆柱的半径和高，即可求得圆柱表面积. 【详解】由圆柱的轴截面是边长为4cm的正方形可知， 该圆柱上底面直径为4cm，半径为2cm，高为4cm； 根据圆柱表面积公式可得. 故答案为：. 9．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示(单位：cm)，则此几何体的表面积为 cm2．    【答案】 【分析】几何体是由圆锥和圆柱组成的，由圆柱与圆锥的表面积公式计算求解即可. 【详解】此几何体是由圆锥和圆柱组成的， 圆锥的底面半径为，高为，所以母线长为， 所以其侧面积为：， 圆柱的底面积为：，侧面积为：， 所以该几何体的表面积为：. 故答案为：. 10．已知圆锥的母线长为2，其外接球表面积为，则圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】根据圆锥的特征，再找到球心的位置，再结合勾股定理得出高. 【详解】 设圆锥高，而母线，在中，则， 设圆锥外接球的半径为R，显然外接球的球心为O在高上， 球心O到底面圆心的距离，由，得， 因此，解得，所以长为． 故答案为：. 11．如图，直三棱柱中，，，，点P在棱上，且，则当 时，的面积取最小值；此时三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 / 【分析】设，先求得的关系式，然后利用基本不等式求得的面积取最小值，以及此时的值.根据三棱锥外接球表面积的求法求得三棱锥的外接球的表面积. 【详解】设，则，， 由于，所以，整理得， 所以 ， 当且仅当即时等号成立. 此时，所以，所以， 由于，所以是三棱锥的外接球的直径， 所以外接球的半径为，表面积为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：求解三角形面积的最值问题，可以先将面积的表达式求出，然后根据表达式的结构，利用基本不等式、函数的最值等知识来求得面积的最值.求解几何体外接球有关问题，关键是判断出外接球的球心和半径. 【考点03：空间几何体的体积】 1．圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用圆柱的体积公式计算即得. 【详解】圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积. 故选：D 2．若水平放置的平面四边形AOBC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则以原四边形AOBC 的边 AC为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由斜二测画法的直观图，得出原图形为直角梯形，再轴旋转一周得到的圆柱和圆锥的组合几何体的体积. 【详解】由题意，，，，， ， 所以原图形中，，，，， ， 所以梯形以边为轴旋转一周得到的几何体为圆柱去掉一个同底圆锥的组合体， ． 故选：D． 3．已知四棱锥，，平分，点在上且满足，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则有，利用三角形面积公式可得，又由点在上且满足，可得到平面的距离，结合三棱锥体积公式计算可得答案． 【详解】根据题意，设点到平面的距离为，到平面的距离为， 则有， 而，， 又由，，平分，则， 则； 故，而， 则有， 又由点在上且满足，故到平面的距离为， 则有， 故． 故选：B． 4．．已知直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，利用正弦定理求出外接圆半径，根据直三棱柱求出球心到平面的距离为，由及球的体积公式求解即可. 【详解】在中，由正弦定理得外接圆半径满足，所以， 又因为在直三棱柱中侧棱垂直于底面，所以该三棱柱外接球的球心到平面的距离为， 所以该三棱柱外接球的半径为，体积为.    故选：B. 【点睛】思路点睛:解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的思路是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径;对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 5．如图所示，在三棱柱中，若点E，F分别满足，，平面将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为和，则＝ . 【答案】 【分析】先计算三棱柱的体积，再得出三棱台的体积，从而根据，即可求解. 【详解】在三棱柱中，设的面积为S，三棱柱的高为h， 则三棱柱的体积为，由，， 得，则，且，于是的面积为， 则三棱台的体积为，从而， 所以. 故答案为： 6．如图1，在中，，，，、分别为、的中点，将沿折起来，使得二面角为（如图2），则 ，三棱锥的外接球体积为 .    【答案】 3 【分析】由题意可知：二面角的平面角为，利用余弦定理运算求解；根据题意可证平面，进而求外接球的半径和体积. 【详解】由题可知：，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角为， 由余弦定理可得 ， 因为，，，，平面， 可知平面， 且，所以平面， 因为外接圆半径， 则三棱锥的外接球半径为， 所以三棱锥的外接球体积为. 故答案为：；. 7．如图中，，在三角形内挖去一个半圆（圆心在边上，半圆与分别相切于点，交于点），则图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，分别求得和，结合圆锥和球的体积公式，即可求解. 【详解】由题意，在中，，可得， 连接，如图所示， 由半圆与相切于点，与相切于点，则， 在直角中,， 则绕旋转一周得到一个圆锥，其中底面为以为圆心，以为半径， 圆锥的高为，其体积为， 半圆绕旋转可得以为球心，半径为为半径的球， 其体积为， 所以图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为：. 故答案为：. 【考点04：空间几何体的直观图问题】 1．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】将直观图还原为原图，如图所示，进而求解. 【详解】将直观图还原为原图，如图所示，则是直角三角形，其中，， 故的面积为， 故选：B． 2．如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在x′轴上，与x′轴垂直，且，则的面积为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】利用斜二测画法的定义通过的长确定OA，OB的长，再求出的面积. 【详解】∵在轴上，在轴上， ∴在x轴上，在y轴上， ，，如图， ∴. 故选：B. 3．如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，的边，，则原中角A的角平分线长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的直观图可得，，，再利用角平分线定理可求得，再由勾股定理可得结论. 【详解】易知为直角三角形，且，，由勾股定理可得， 设角A的角平分线交BC于D，如下图所示：    根据角平分线性质知， 又因为，所以，， 所以， 故选：D． 4．如图，等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，斜边，则原图形的面积是 ． 【答案】 【分析】根据直观图中的位置关系以及线段长度还原出原图形，即可计算出面积. 【详解】易知， 所以原图形中，且，如下图所示： 因此其面积为. 故答案为： 5．如图是用斜二测画法画出的水平放置的正的直观图，其中，则的面积为 . 【答案】 【分析】由直观图可以推得原三角形底边长及高，从而可得，从而求得三角形的高，即可求解面积. 【详解】由直观图可知，原三角形边长为4，则边上的高为，所以， 所以的高是，所以的面积是. 故答案为：. 【考点05： 空间几何体最短路径问题】 1．已知某圆台的体积为，其轴截面为梯形，，，则在该圆台的侧面上，从点到的最短路径的长度为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】先由体积公式与已知数据待定圆台母线与高，再利用侧面展开图中距离求解最短路径长即可. 【详解】由圆台轴截面为等腰梯形，故对边不是母线，分别是下、上底面圆的直径. 故由，得圆台的下底面的半径为，上底面的半径为， 设圆台的高为，由圆台的体积为， 得，解得. 在梯形中，则，即母线长为. 如图，由圆台性质，延长交于点， 由与相似，得，解得. 设该圆台的侧面展开图的圆心角为， 则，所以， 连结，则从点到的最短路径为线段， 又在中，，， 由余弦定理得 所以. 验证知，由，得，， 此时，恰与扇形弧所在圆相切，满足题意. 故选：B. 2．如图，某圆柱体的高为1，ABCD是该圆柱体的轴截面.已知从点B出发沿着圆柱体的侧面到点D的路径中，最短路径的长度为，则该圆柱体的侧面积是（    ）    A．14 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】根据圆柱侧面展开图，先求出圆柱底面半径，再根据侧面积公式求圆柱体的侧面积. 【详解】    设圆柱体底面圆的半径为，将侧面的一半展开后得四边形为矩形， 则依题意得：， 所以，即， 所以该圆柱体的侧面积为：. 故选：A. 3．在直三棱柱中分别为的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑将直棱柱的侧面按不同方式展开，使得点在一个平面内，再利用勾股定理求得EF的长度，比较大小，即得答案. 【详解】由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形． ①若把面和面展开在同一个平面内，则线段在直角三角形中，      由勾股定理得； ②若把面和面展开在同一个平面内，则线段在直角三角形中，    此时. ③若把面和面展开在同一个平面内，设的中点为，    在直角三角形中，由勾股定理得． ④若把面和面展开在同一个面内，    过作与行的直线，过作与平行的直线， 所作两直线交于点，则在直角三角形中， 由勾股定理得． 由于， 可得从到两点的最短路径的长度为, 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键时考虑到将棱柱侧面展开时有几种展开方式，使得在一个平面内，从而将立体问题转化平面问题解决. 4．如图，圆锥的底面半径为1，母线，点为的中点，一蚂蚁自点出发，沿圆锥的侧面爬行至点，则最短路径等于 ． 【答案】 【分析】在圆锥侧面展开图中，求出线段即可. 【详解】依题意，圆锥底面圆周长为，沿母线剪开将圆锥侧面展开，如图， 圆弧长为，而，则， 由余弦定理得， 所以最短路径等于. 故答案为： 5．如图，在直三棱柱中，，，，E、F分别是、的中点，沿棱柱的表面从E到F的最短路径长度为 ．    【答案】/ 【分析】分析可得沿棱柱的表面从E到F可能经过棱，，，再分别展开直观图求解即可. 【详解】若从E到F经过棱则沿棱展开如图，过作于，则，，故.    若从E到F经过棱则沿棱展开如图，，，.    若从E到F经过棱则沿棱展开如图，，，.    若从E到F经过棱则沿棱展开如图，由题意，为等腰直角三角形，四边形为正方形，故为等腰直角三角形，故四边形为直角梯形.又，，故.    故沿棱柱的表面从E到F的最短路径长度为. 故答案为： 【考点05： 异面直线的判断】 1．如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义一一判断即可. 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 2．如图，在正方体中，直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都不是 【答案】C 【分析】由异面直线的判定定理判断即可. 【详解】因为平面，平面，， 所以直线与是异面直线. 故选：C 3．已知正方体，、、分别为、、的中点，则图中与直线异面的直线是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义逐项判断. 【详解】根据已知，可得，而，所以，A错误； 平面，平面，， 所以与是异面直线，B正确； 因为，所以四点共面，C错误； ，D错误. 故选：B 4．多选题如图，这是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（    ） A． B． C．直线与异面 D．直线与异面 【答案】AD 【分析】根据题意，画出该正方体的直观图，结合正方体的结构特征依次分析选项，综合可得答案. 【详解】根据题意，画出该正方体的直观图， 对于A，易得，A正确； 对于B，与异面，B错误； 对于C，直线与相交，C错误； 对于D，直线与异面，D正确. 故选：AD. 【考点06： 求异面直线所成角】 1．在正三棱柱 中，，，分别是 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，取的中点，的中点，的中点,可得异面直线与 所成角为或其补角，利用余弦定理即可求解. 【详解】设，取的中点，的中点，的中点, 易知,, 所以异面直线与 所成角为或其补角. 由正三棱柱的几何特征可得,，. , , ，， , 在中，由余弦定理可得, 所以直线与 所成角的余弦值为. 故选:A. 2．在正四面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点为，确定异面直线与所成的角，再求出等腰三角形底角的余弦即可. 【详解】设正四面体的棱长为2，取的中点，连接， 由是棱的中点，得，则为异面直线与所成的角（或其补角）， 在中，，，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D    3．如图，在正四面体ABCD中．点E是线段AD上靠近点D的四等分点，则异面直线EC与BD所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF，则为异面直线EC与BD所成角或其补角，利用余弦定理求解即可. 【详解】过点E作直线BD的平行线，交AB于点F，连接CF， 则为异面直线EC与BD所成角或其补角， 不妨设，易得， ， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线EC与BD所成角的余弦值为． 故选：A．    4．如图，已知四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取有中点，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦. 【详解】取的中点，连接，由E为CD的中点，得，， 则是异面直线CM与AE所成的角或其补角， 正方形中，，在中，， ，， 于是， 所以异面直线CM与AE所成的角的余弦值为. 故选：D 5．在正方体中，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：利用坐标法可得异面直线夹角余弦值；法二：根据异面直线夹角的定义可得角. 【详解】法一： 如图，以为原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 从而，， 故， 即异面直线与所成角的余弦值是； 法二： 如图所示，取中点，连接，，，， 由正方体可知， 则异面直线与所成角即为直线与所成角， 设，则，， 由正方体可知，平面， 即，， 则， 在中，由余弦定理， 则直线与所成角的余弦值为， 即异面直线与所成角的余弦值为， 故选：C. 6．在正方体中，直线和直线所成的角为 . 【答案】 【分析】利用异面直线所成角的定义可知即为所求的角. 【详解】如下图所示： 由正方体性质可得， 所以直线和直线所成的角等于， 又易知为等边三角形，所以. 故答案为： 7．在三棱锥中，分别是的中点，则 . 【答案】 【分析】如图，根据中位线的性质可得，即可求解. 【详解】如图，由题意知， 由题意知，，所以. 故答案为： 【考点07：共面、共线、共点证明】 1．如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【答案】B 【分析】连接，利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果. 【详解】连接连接，，    直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 故选：B. 2．已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求点M到平面的距离； (2)判断，M，B，N四点是否共面，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)是，证明见详解. 【分析】（1）由即可求解； （2）利用三角形中位线性质证明，然后证明为平行四边形，即可得，再由直线平行的传递性可证. 【详解】（1）记点M到平面的距离为h， 易知为正三角形，且，所以， 又， 所以， 因为，所以，即， 解得，即点M到平面的距离为. （2），M，B，N四点共面，证明如下： 连接， 因为M，N分别是线段，的中点， 所以， 由正方体性质可知，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以，M，B，N四点共面. 3．如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四点E，F，G，H共面. 【答案】证明见解析； 【分析】证明即可证明结论. 【详解】证明：因为E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点， 所以， 所以， 所以四点E，F，G，H共面. 4．如图，在正方体中，分别是的中点．    (1)求证：四点共面； (2)求异面直线所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，证得，结合确定平面的性质，得到与确定一个平面，即可得证； （2）连结，证得，得到（或其补角）是异面直线与所成的角，在中，即可求解. 【详解】（1）证明：因为分别是和的中点，所以且， 又因为且，所以四边形 是平行四边形，所以， 所以，所以与确定一个平面， 所以点，即四点共面． （2）解：连结，在正方体中，平行且等于, 所以四边形为平行四边形，可得， 因此（或其补角）是异面直线与所成的角， 设正方体的棱长为，在中，可得， 所以是等边三角形，可得， 即异面直线与所成的角等于.    5．已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【答案】证明见解析. 【分析】先证明平面与平面相交于,再根据线面关系证明在直线上,即可证明三点共线. 【详解】因为, 所以平面平面 , 因为平面,平面,且, 所以, 即三点位于同一直线上. 6．如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）证明，即可说明、、、四点共面. （2）先证明点面和面，即点在面与面的交线上在证明面 面 ，即点 ，即可得到答案. （3）延长交于,由于面 面 ，则在交线上. 【详解】（1）连接 在长方体中 、分别是和的中点 、、、四点共面 （2） 确定一个平面 面 面 对角线与平面交于点 面 在面与面的交线上 面且面 面 面 即点共线. （3）延长交于 面 面 面 面 面 面 、、三线共点. 【考点08：平面基本性质与等角定理】 1．多选题下面四个命题中，正确的为（    ） A．相交于同一点的三条直线在同一平面内 B．在平面外，其三边延长线分别和交于，则一定共线 C．一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等 D．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 【答案】BD 【分析】举例说明判断A；利用平面基本事实判断B；利用等角定理判断C；利用反证法判断D. 【详解】对于A，三棱锥的三条侧棱所在直线交于同一点，而这三条直线不共面，故A错误； 对于B，所在平面与平面相交，由平面基本事实知，公共点都在交线上，故B正确； 对于C，一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线,则这两角相等或互补，故C错误； 对于D，因为四个点不共面，假设其中任意三点共线， 由平面公理2的推论可得此四点共面，与已知矛盾，所以假设错误，故D正确. 故选：BD. 2．多选题如图所示，在四面体中，M，N，P，Q，E分别是的中点，则下列说法正确的是（    ） A．四边形是菱形 B． C． D．四边形为矩形 【答案】BC 【分析】由由等角定理即可判断BC，由三角形的中位线即可判断四边形形状判断A，D. 【详解】由三角形中位线的性质知，，，， 所以，所以四边形为平行四边形，但不能确定是否为菱形或矩形，故AD不正确． 在中中位线定理得同理在中，由中位线定理得, 所以由等角定理知，，所以B正确; 在中，由中位线定理得 所以 , 所以由等角定理可知，，,, 所以，所以C正确; 故选：BC． 【考点09： 线面平行的证明】 1．多选题如图，在正方体中，､､､､､分别是棱､､､､､的中点，则下列结论错误的是（    ）    A．直线和平行，和异面 B．直线和平行，和相交 C．直线和相交，和异面 D．直线和异面，和异面 【答案】CD 【分析】利用平行线的传递性可判断出直线和平行，利用三角形全等可证得和相交，由异面直线的定义可判断出和异面，即可得出合适的选项. 【详解】如下图所示：    因为､分别为､的中点，则，同理可证， 在正方体中，且， 所以，四边形为平行四边形，则，所以，， 延长交直线于点， 因为，则， 又因为，，所以，，所以，， 延长交的延长线于点，同理可证， 因为，所以，，即点､重合， 所以，､相交， 由异面直线的定义结合图形可知，､异面，故AB对，CD均错. 故选：CD. 2．如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，为的中点，侧棱长为3. (1)证明：平面； (2)求该正四棱台的表面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线性质以及线面平行的判定定理即可证明出结论； （2）由正四棱台的上、下底面边长分别求得上下底面面积以及侧面面积即可得出表面积. 【详解】（1）连结，交于点，连结.    在正四棱台中，底面为正方形，所以为中点，    又为的中点， 又平面，平面，    平面. （2）由已知，梯形中，，，， 过作，交于点，    ，， 所以梯形的面积为 正四棱台的表面积为： . 3．如图，正三棱柱中，是的中点，．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设，证明，即可证明平面； （2）先证明平面，再利用等积变换，结合锥体体积公式可求三棱锥的体积． 【详解】（1）连接，设，连接， 是正三棱柱，且， ∴四边形是正方形，是的中点， 又是的中点，， 平面平面平面．    （2）∵正三棱柱中，是的中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 平面，   ． 4．如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点．    (1)求证：平面； (2)是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得证. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）连接，交于，连接    因为四边形是平行四边形， 所以是的中点，又因为M是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以，平面 又因为平面，平面平面， 所以， 5．如图，直三棱柱的侧面积为，底面为等腰直角三角形，，，M，N分别是和的中点． (1)求证：平面； (2)取的中点E，连接与交于点O，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接．先证明四边形是矩形．再借助中位线证明，运用线面平行定理证明即可. （2）连接并延长与交于的中点，记为点F，过O作，交于点H．则为的三等分点（靠近点），连接，则或其补角为异面直线与所成角，设，根据直三棱柱的侧面积为，解得，再分别求出，，，，在中用余弦定理求出即可. 【详解】（1）证明：连接． 在直三棱柱中，，且， 四边形是矩形． 是的中点， 过点N且平分． 在中，M是的中点， 是的中位线， ，又平面，平面， 平面． （2）点E，M分别是和的中点， 与的交点O为的重心． 连接并延长与交于的中点，记为点F． 过O作，交于点H． 为的三等分点（靠近点）． 连接，则或其补角为异面直线与所成角． 设，则直三棱柱的侧面积为，解得． 直三棱柱的底面为直角三角形，， ，． 且都在面内， 平面，面， ． 又， ． 又，． 在中，， 异面直线与所成角的余弦值为． 6．如图，在四棱锥中，，底面为矩形，对角线与相交于点，点到平面的距离为为的中点． (1)求证： 平面． (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可； （2）根据线面平行得出三棱锥的高，再结合三棱锥的体积公式计算即可. 【详解】（1）如图，连接． 点为的中点，且点为的中点 为的中位线，即 ． 又平面平面 平面 （2）为矩形 又平面 平面 点到平面的距离为1，即棱锥的高为1． 又为的中点，且 ． 7．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且. (1)求证:平面MCD; (2)，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取PA的中点S，结合中位线性质可得S，M，C，D四点共面，再利用结合线面平行的判定定理即可得证； （2）利用所给条件，结合线面垂直的判定定理与性质定理与余弦定理计算可得的余弦值，再利用等体积法可求出点到平面的距离，结合的长度即可得解. 【详解】（1）取PA的中点S，连接SM，SD，SC，因为为PB的中点， 所以，又，所以，故S，M，C，D四点共面， 由题意知Q，N分别为PS，PC的中点，故， 又平面平面MCD，因此平面MCD； （2）连接AC，BD交于点，则为平行四边形ABCD的中心， 又， 则等腰中，根据三线合一，有， 又，平面， 故平面， 设， 则， ， ， 相加并整理得，① 在Rt，Rt中，有， 即，（2），，③ 解方程组①②③得，， 故， 于是， 在中，是PC中点， 故， 于是， 设点A到平面PBC的距离为，由，得， 故， 故所求线面角的正弦值. 8．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，是四棱锥的高，且是的中点；    (1)求证平面； (2)求四棱锥和三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)； 【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，构造中位线，即可证明； （2）根据锥体体积公式，直接求，求有2种方法，法一是利用体积相减，法二是利用等体积转化，即可求解. 【详解】（1）连结交于，连结. ∵四边形是正方形，∴是的中点. 又∵是的中点，∴.            平面平面 ∴平面.                          （2）∵是四棱锥的高， ∴ ， 即四棱锥的体积为. 同理，∵是四棱锥的高，∴是四棱锥的高 法一∴； ∴    法二∴ 【考点10：线面平行的性质的应用 】 1．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点O，E为中点，F在上，，∥平面，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据∽，得到，利用平面，得到，结合比例式的性质，得到，即可求解. 【详解】设与交于点，连接，如图所示，    因为为的中点，则， 由四边形是平行四边形，可得，则∽， 所以，所以， 又因为平面，平面，平面平面， 所以，所以. 故选：D. 2．已知菱形沿对角线向上折起，得到三棱锥，分别是棱的中点，，为棱上的一点，且平面，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】连接，交于点，连接，再利用线面平行的性质、三角形重心的性质以及三角形一边的平行线性质定理即可求解. 【详解】如图，连接，交于点，连接， 因为平面，平面，平面 平面 ， 所以， 又因为，分别为，的中点， 所以点为的重心， 所以， 在中，，根据三角形一边的平行线性质定理， 有. 故选：B. 3．在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可. 【详解】 如图，连接交于点，连接 因为平面平面，平面平面所以， 所以，因为为的三等分点， 则即. 故选：D. 4．如图，在三棱台中，从中取3个点确定平面，若平面平面，且，则所取的这3个点可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得出平面，由直线与平面平行的性质定理可知，当平面时，有，从而可得出正确选项. 【详解】由于几何体是三棱台，则，又平面，平面，所以，平面， 当平面，平面平面时，由直线与平面平行的性质定理可知，选项C符合要求. 故选：C. 5．如图，直三棱柱 中，，为的中点. (1)求证：平面 ； (2)求 到平面 的距离. 【答案】(1)证明见解析. (2). 【分析】（1）连接交于点，连接，利用中位线定理证明，由线面平行的判定定理证明即可； （2）设点到平面的距离为，利用等体积法，结合锥体的体积公式求解即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 在直三棱柱中，四边形为平行四边形， 则点为的中点， 又因为为的中点， 所以， 又平面，平面， 故平面. （2）设点到平面的距离为， 在直三棱柱中，平面， 则为三棱锥的高， 所以, 又因为， 所以, , 所以，即. 所以， 即， 由解得. 所以点到平面的距离为. 6．如图所示，四边形为空间四边形的一个截面，且截面为平行四边形． (1)求证：平面． (2)若，且，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证明. （2）由线面平行的性质定理结合可得平行四边形为矩形，利用相似可得，，则四边形的面积为. 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，平面，平面， 平面. 平面，平面平面， ，又平面，平面， 平面. （2）四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面 又平面，平面平面， ，又，， ， 平行四边形为矩形， 由（1）知， 与相似， 又，即， ，又， ，解得， ，， 同理， 与相似， ，又，可得， 四边形的面积为. 【考点11： 面面平行的证明】 1．如图，在正方体中，下列四对截面彼此平行的一对是（    ） A．平面与平面 B．平面与平面 C．平面与平面 D．平面与平面 【答案】A 【分析】根据面面平行的判定定理进行判断即可. 【详解】如图， 对于A：，平面，平面， 平面，又，同理可证平面， 又，，平面， 平面平面，因此A正确; 对于B： 平面，且与相交，又平面，平面， 故平面与平面不可能平行，因此B不正确; 对于C：平面与平面有公共点，故平面与平面不可能平行，因此C不正确; 对于D：平面，且与相交，又平面，平面， 故平面与平面不可能平行，因此D不正确; 故选：A. 2．正方体如图所示 (1)求证:平面. (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）先证明平行四边形得出线线平行，再结合线面平行判定定理证明； （2）先证明线面平行，再应用面面平行判定定理证明. 【详解】（1）由题设得：，， ∴四边形为平行四边形. ∴. 又∵平面，平面， ∴平面. （2），， ∴四边形为平行四边形. ∴. 又∵平面，平面， ∴平面.平面. 又平面， ∴平面平面.． 3．如图，在多面体中，底面是平行四边形，点和点分别是和的中点．证明：平面∥平面．    【答案】证明见解析 【分析】由三角形的中位线定理可得∥，则由线面平行的判定定理得∥平面，设，连接，则∥，则由线面平行的判定定理得∥平面，从而由面面平行的判定定理可证得结论. 【详解】证明：在中，因为，分别是，的中点，所以∥， 又因为平面，平面，所以∥平面． 设，则点为的中点，连接，如图所示，    在中，因为点为的中点，所以∥， 又因为平面，平面， 所以∥平面． 又因为，，平面， 所以平面∥平面． 4．如图所示：在长方体中，，，E、F分别是面，中心，G，H分别是，的中点. (1)证明：面面； (2)证明：面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先由线面平行再由判定定理证明面面平行； （2）由线面平行判定定理证明. 【详解】（1）连接，，则F，E分别为，的中点， 则，又面，面， 所以面， ，又面，面， 所以面， 又，，面， 所以面面. . （2）连接，，G，F分别是AD，AC的中点， ，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又面，面， 所以面. . 5．如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点M、N、Q分别是、、的中点.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意结合三角形的中位线定理可得 ， ，则由线面平行的判定定理可得 平面， 平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论. 【详解】因为底面为平行四边形，为的中点， 所以为的中点， 因为M、Q分别是、的中点.， 所以 ， ， 因为平面，平面， 所以 平面， 平面， 因为平面， 所以平面 平面. 6．如图，四边形与四边形均为平行四边形，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，利用三角形的中位线证明线线平行，然后由线面平行的判定定理证明即可； （2）证明两个线面平行，然后由面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）如图，连接，因为四边形为平行四边形，则必过与的交点， 所以为的中点， 连接，则为的中位线，所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）因为，分别为平行四边形的边，的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为为的中点，为的中点， 所以为的中位线， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又与为平面内的两条相交直线， 所以平面平面． 7．如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点.求证： (1)四点共面； (2)平面 平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接BH，由中位线可得，即可证明F，G，H，B四点共面； （2）由面面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）连接， 分别是的中点, 为的中位线， ， 四点共面； （2）由（1）知 ， 平面面， 平面； 又分别是的中点 ， 平面平面， 平面； 面面， 平面 平面. 【考点12： 面面平行的性质定理应用】 1．如图，梯形是圆台的轴截面，E，F分别在底面圆，的圆周上，EF为圆台的母线，，已知，，G，H分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若三棱锥的体积为，求圆台的侧面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意可证得平面，平面，进而可证得结论； （2）由三棱锥体积可得的面积，进而可得圆台的侧面积． 【详解】（1）∵在梯形中，，，∴， 又G为的中点，∴，∴， 故四边形为平行四边形，∴. 又平面，平面， ∴平面. ∵分别是，的中点， ∴. 又平面，平面， ∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面. （2）设由（1）可知，则为三棱锥的高h. 故， 由，可得， ∴. 又∵，， ∴. 故， ∴. 在中，. 故圆台的侧面积. 【考点13： 线线垂直的证明】 1．如图，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且为线段的中点．证明：. 【答案】证明见解析 【分析】取BC中点为G，连接DG，AG，通过证明，结合可证明结论； 【详解】取BC中点为G，连接DG，AG． 因分别为中点，则． 则四边形是平行四边形，故． 因为，则，所以. 2．如图，已知正方体中，分别是和的中点．      (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接、．由题意可证得，因为为的中点，所以，即可证得. （2）设到平面（即平面）的距离为，直线与平面所成角为，由线面垂直的判定定理可证得平面，所以，由等体积法求出，再由，代入即可得出答案. 【详解】（1）证明：如图，正方体中， 取的中点，连接、．∵是的中点， ∴，．∵是的中点，且，， ∴，，∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，∵正方体，又为的中点， ∴，∴． （2）设到平面（即平面）的距离为，直线与平面所成角为， 设正方体棱长为2，则， 由（1）知：，由正方体的性质知平面， 因为平面，所以，平面，， 所以平面，因为，所以平面， ∴即， ∴， ∴．      3．空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用平行关系，证明，转化为证明. 【详解】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GEBD，同理GFAC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角． 在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°. ∴AC⊥BD. 【考点14：线面垂直的证明】 1．如图，四棱锥的底面是正方形，底面.    (1)若，求四棱锥的体积 (2)求证：平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据体积公式可求四棱锥的体积. （2）可证 ，结合可证平面. 【详解】（1）因为底面，故四棱锥的高为， 而正方形的面积为，故. （2）因为底面，而平面，故， 由正方形可得，因平面， 故平面. 2．如图，在正方体中． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）连接，可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明. 【详解】（1）因为为正方体，则∥，且， 可知为平行四边形，则∥， 且平面，平面，所以∥平面. （2）连接， 因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面， 可得平面， 由平面，可得， 同理可得：， 且，平面， 所以平面. 3．如图，在四棱锥中，平面，底部为菱形，为的中点． (1)若，求证：平面； (2)棱上是否存在点，使得平面？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）结合题意，利用线面垂直的性质定理及判定定理即可证明； （2）取的中点为，的中点为，连接，结合题意利用面面平行的判定定理及性质定理即可求解. 【详解】（1）证明：平面，平面， ， 底面为菱形，为的中点，， ， 又，平面， 平面. （2）棱上存在点，使得平面， 理由如下： 取的中点为，的中点为，连接， 底面为菱形，为的中点，分别为的中点， ， ，平面，平面， 平面， 同理，平面，平面， 平面， 又，平面， 平面平面， 平面， 棱上存在中点，使得平面. 4．在正三棱柱中，，分别为，的中点.    (1)证明：平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可； （2）先证明线面垂直再应用平行得出结论. 【详解】（1）    取的中点，连接，， 因为为的中点， 所以且，    又因为且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，      所以，    又因为平面，平面， 所以 平面. （2）因为为直三棱柱， 所以平面，因为面， 所以，       因为为等边三角形，所以， 又平面， 所以平面，又， 所以平面. 5．如图，在正四棱柱中，，． (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直即可求证， （2）利用等体积法，即可由三棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）由于四棱柱为正四棱柱，所以四边形为正方形，故, 又底面，底面，故, 平面， 故直线平面 （2）由，可得, 所以, 设到平面的距离为， 则 【考点15： 面面垂直的证明】 1．如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知为中点，可得，利用面面垂直的性质定理即可证明； （2）由已知，可得平面，则，又得，则平面，利用面面垂直的判定得证. 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 又，则，且为中点，所以， 又平面，所以平面； （2）在直角梯形中， ，， 则， 又，则， 又，所以， 在折后的几何体中，， 因平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，即，则， 又，平面，平面， 则平面， 又平面， 所以平面平面. 2．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面.，为侧棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过线面垂直证明面面垂直可得结论. （2）通过构造辅助线找到二面角的平面角，在直角三角形中利用锐角三角函数可得结果. 【详解】（1）∵平面，平面，∴. ∵,平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2） 取中点，连接，过点作于点，连接. ∵点分别为的中点，∴，， ∴平面， ∵平面，平面，∴， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴， ∴为二面角的平面角， 在直角梯形中，. ∵，∴， ∴，即二面角的正切值为. 3．如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的正切值. 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)2 【分析】（1）证明线面平行需要找到平面外的线与平面内线平行即可. （2）由线面垂直得出线线垂直，再由平面外一条线垂直于一个平面内的两条相交直线，即可证明线面垂直，从而证明面面垂直. （3）通过线面角定义找到线面角，然后得出线段长度，由二面角定义找到二面角的平面角，利用三角函数得出二面角平面角的正切值 【详解】（1）∵且为棱的中点， ∴， 又∵，∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴平面. （2）∵且， ∴四边形为正方形， ∴，又由（1）可知, ∴, ∵平面，, ∴且, ∴且, ∴平面平面. （3）由（2）可知直线与平面所成角为，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平面， ∴且， ∴, ∴， ∴二面角的平面角是, ∴. 【考点16： 与球有关的切接问题】 1．一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的体积为（    ） A．18 B．27 C．36 D．54 【答案】D 【分析】先根据球的体积公式，求出内切球的半径，进而求出正三棱柱的高；再根据内切球的半径等于底面正三角形内切圆半径求出正三角形的边长，进而利用公式求出结果. 【详解】设球的半径为， 则由球的体积，∴， ∴正三棱柱的高. 设正三棱柱的底面边长为， ∵球的半径等于底面正三角形内切圆半径， ，， ∴底面正三角形的面积. ∴正三棱柱的体积. 故选：D. 2．在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求解棱台的高,进而根据相切，由勾股定理求解球半径，即可由表面积公式求解. 【详解】设棱台上下底面的中心为,连接， 则， 所以棱台的高, 设球半径为,根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于,与棱均相切于各边中点处， 设中点为，连接, 所以，解得， 所以球的表面积为， 故选：C 3．已知某圆台的母线长为3，下底面的半径为1，若球O与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则球O的表面积为 ． 【答案】 【分析】把空间问题降维，转化在轴截面中进行研究，需要理解轴截面的概念，利用等面积法及勾股定理建立等式求解． 【详解】解：如图，    在轴截面梯形中，，， 设球O的半径为r， ． ， 解得：， 因为， 所以， 所以球O的表面积为， 故答案为：． 4．如图某机器零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的体积和为 . 【答案】/ 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、中、小内切于正四面体的高即可求解. 【详解】如图所示正四面体，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，过作交于，连接， 则为正四面体内切球的半径， 因为，，， 所以， 所以，解得， 所以正四面体内切球的体积， 由图可知最大球内切于高的正四面体中，最大球半径， 故最大球体积为； 中等球内切于高的正四面体中，中等球半径， 故中等球的体积为； 最小求内切于高的正四面体中，最小球半径， 故最小求的体积为； 所以九个球的体积和， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于求出大球、中球以及小球的半径，由此结合体积公式即可顺利得解. 【考点17： 立体几何中的截面问题】 1．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的体积. 【详解】设球的半径为，则，解得， 球的体积. 故选：A 2．若平面截球O所得截面圆的半径为3，且球心O到平面的距离为2，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得球的半径，再由球的表面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设球O的半径为R，则，所以球O的表面积为. 故选：B 3．已知圆台的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆台所得的截面是一个上底为2，下底为4，腰为2的等腰梯形，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知圆台的上底面的半径为1，下底面的半径为2，母线长为2，然后利用圆台有表面积公式求解即可 【详解】根据题意，圆台的上底面的半径为1，下底面的半径为2，母线长为2， 所以其表面积． 故选：A. 4．已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出球半径即得答案. 【详解】在中，，则，， 由正弦定理得外接圆半径，设球半径为， 于是，解得，所以球的表面积是. 故答案为： 5．球面上三点、、所确定的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则该球的体积为 . 【答案】 【分析】 设球的半径为，计算出的外接圆半径，根据题意可得出关于的等式，解出的值，再利用球体的体积公式可求得该球的体积. 【详解】设球的半径为，因为，，，则， 所以，，则为直角三角形，且为斜边， 所以，的外接圆半径为， 因为所确定的截面到球心的距离等于球半径的， 则，可得， 因此，该球的体积为. 故答案为：. 6．如图，圆锥PO的底面直径和高均是，过的中点'作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积． 【答案】表面积为，体积为； 【分析】根据圆锥，圆柱的侧面积，表面积和体积公式即可求出 【详解】设圆柱的底面半径为，由三角形中位线定理可知，，圆柱母线长， 而圆锥的母线长为，所以圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为 圆锥的表面积加上圆柱的侧面积， 即， 圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积， 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$