精品解析：云南省保山市昌宁县第二中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷

昌宁县第二中学高一年级2024~2025学年下学期3月份月考 数学试卷 测试时间：120分钟 满分：150分 难度系数0.5~0.55 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号､准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解． 【详解】解：若， 则，即， 向量，， 则，解得 故选：C 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定即可得答案. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C. 3. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果． 【详解】在上的投影向量为． 故选：A． 4. 已知复数为虚数单位，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入复数的运算公式，即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 5. 已知向量 ，，，若点不能构成三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的坐标，再根据三点共线求出的值，即可得到结果. 【详解】由题意可得,， 若点三点共线，则点不能构成三角形, 即，解得：， 所以的值为. 故选：B. 6. 已知，，且，其中i是虚数单位，则（ ） A. 10 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数的乘法运算，再根据复数相等列方程计算求参，最后应用模长公式计算即可. 【详解】由得：， 所以解得， 所以. 故选:D. 7. 设为虚数单位，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数相等求解即可. 【详解】 又，根据复数的相等， 故则 故选：B. 8. 已知角为的一个内角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件分析的范围，再利用求出，再利用二倍角公式即可求解. 【详解】因为为三角形内角，所以，所以， 又因为，且， 所以，所以， 所以， 由二倍角公式有： . 故选：A 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知中，所对的边分别为，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 为等腰三角形 B. C. 的面积是 D. 的周长是 【答案】AC 【解析】 【分析】通过正弦定理对已知条件进行转化，再结合三角函数的性质求出三角形的内角，进而求出三角形的面积和周长. 【详解】由正弦定理，知， 又，则， 将代入，得， ， 又，当且仅当时，等号成立． 因为为三角形的内角，所以， 可得，故A正确，B错误． 又由正弦定理知，则三角形的面积，周长为，故C正确，D错误． 故选：AC 10. 下列说法错误的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式可求得结果，注意“一正二定三相等”. 【详解】对于A：当时，，最小值不为，A错误； 对于B：设， 则开口向下，对称轴为， 时，单调递增，当时，单调递减， 当时，取最大值，此时， 则的最大值是，B正确； 对于C：， 当且仅当时等号成立，这样的不存在，C错误； 对于D：根据基本不等式，将原式变形为， 根据基本不等式， 当且仅当，即时取等号， 因此原式最大值为， 又，故上述不等式无法取等号，D错误. 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 的图象关于直线对称 C. 当时，的值域为 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】AB 【解析】 【分析】整理可得.对于A：以为整体，结合正弦函数的单调性分析判断；对于B：代入求值，结合对称轴与最值点之间的关系分析判断；对于C：以为整体，结合正弦函数的有界性分析判断；对于D：根据三角函数图象变换分析判断. 【详解】因为. 对于选项A：因为，则， 且正弦函数在内单调递减， 所以在区间单调递减，故A正确； 对于选项B：因为，为最小值， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于选项C：因为，则， 可得，即， 所以的值域为，故C错误； 对于选项D：的图象向左平移个单位长度， 可得，故D错误. 故选：AB. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设向量，且，则________， ________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由，化简得到，列出方程求得，再由向量模的坐标运算公式，即可求解. 【详解】由向量且， 可得，所以， 则，解得，所以， 所以，则. 故答案为：；. 13. 设复数满足（为虚数单位），则的模为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知根据复数的除法运算可得，再根据复数的模的运算求解即可. 【详解】由已知可得， 所以， 所以的模为. 故答案为：. 14. 已知角的终边过点，则__________. 【答案】10 【解析】 【分析】利用正切函数的定义及齐次式法计算得解. 【详解】由角的终边过点，得， 所以. 故答案为：10 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在矩形中，，，点为边的中点，点在边上． （1）若点为线段上靠近的三等分点，求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）取为基向量，将分别用基向量表示，利用数量积的运算律计算即得； （2）设计算得到关于的一次函数解析式，根据的范围，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意，, ∵， ， ∴． 【小问2详解】 设则 ∴， ∴， 显然为增函数，因，故． 16. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，且______． （1）求角； （2）求面积的取值范围． 在①，②，这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若选①利用余弦定理计算可得；若选②利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得； （2）由正弦定理可得，，由面积公式转化为角的三角函数，利用三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 若选①：∵，， ∴，∴， ∵，∴． 若选②：∵， ∴， ∴， ∴，∵，∴． 【小问2详解】 由正弦定理知：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵，，∴， ∴，∴，∴． 17. 已知向量，，函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若，时，求函数的最值． 【答案】（1）；（2）函数的最大值、最小值分别为：，． 【解析】 【分析】 （1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调增区间求解即可． （2）通过的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解即可． 【详解】（1）． 由，， 可得，， ∴单调递增区间为：． （2）若． 当时，， 即，则， 所以函数的最大值、最小值分别为：，． 【点睛】本题主要考查平面向量与三角恒等变换，三角函数的性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18. 已知定义域为R的函数是奇函数． （1）求a，b的值． （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1），． （2）在上为减函数，证明：由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减涵数． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，由，，建立方程，结合奇函数定义，可得答案； （2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案； （3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案. 【小问1详解】 因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴，又∵，即，∴． 则，由， 则当，原函数为奇函数． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 19. 在中，. （1）求角； （2）若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，进而根据和差角公式可得，即可求解； （2）根据余弦定理，结合题中条件可得，，再由余弦定理求解（ⅰ），利用三角形面积公式求解（ⅱ）. 【小问1详解】 因为，即， 由正弦定理可得， ， 即，可得， 且，则，可得， 又因为，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）∵，由余弦定理，，又∵（*）， 整理得：，即，代入（*）可得， 由余弦定理，； （ⅱ）∵，由（ⅰ）得：， 解得， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌宁县第二中学高一年级2024~2025学年下学期3月份月考 数学试卷 测试时间：120分钟 满分：150分 难度系数0.5~0.55 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号､准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数为虚数单位，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量 ，，，若点不能构成三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，其中i是虚数单位，则（ ） A. 10 B. C. 2 D. 7. 设为虚数单位，，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知角为的一个内角，且，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知中，所对的边分别为，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 为等腰三角形 B. C. 的面积是 D. 的周长是 10. 下列说法错误的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最大值为 11. 已知函数，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 的图象关于直线对称 C. 当时，的值域为 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设向量，且，则________， ________. 13. 设复数满足（为虚数单位），则的模为______． 14. 已知角的终边过点，则__________. 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在矩形中，，，点为边的中点，点在边上． （1）若点为线段上靠近的三等分点，求的值； （2）求的取值范围． 16. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，且______． （1）求角； （2）求面积的取值范围． 在①，②，这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 已知向量，，函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若，时，求函数的最值． 18. 已知定义域为R的函数是奇函数． （1）求a，b的值． （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围． 19. 在中，. （1）求角； （2）若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $