精品解析：湖南省永州市柳子中学2024-—2025学年八年级上学期期中考试数学试题

永州柳子中学2024年下期期中考试试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分，请把正确答案涂在答题卡上．） 1. 下列各式：，，，，是分式的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，5，8 C. 3，4，5 D. 4，5，10 3. 等腰三角形两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 18 B. 21 C. 16或20 D. 18或21 4. 如图，，增加下列条件中的一个后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列从左到右的运算中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是假命题的是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 B. 全等三角形的对应高相等 C. 顶角与底角相等的等腰三角形是等边三角形 D. 等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一 7. 港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，全程55千米．通车前需走水陆两路共约170千米，通车后，约减少时间3小时，平均速度是原来的2.5倍，如果设原来通车前的平均时速为x千米/小时，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M，N（点M在上方），作直线交边于点D；在和上分别截取、，使，分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，若射线恰好经过点D，则（　 　） A. B. C. D. 9. 如果，那么代数式的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 10. 如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共24分，请把正确答案写在答题卡上．） 11. 若分式有意义，则的取值范围为________． 12. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一、据了解，一粒芝麻的质量约为，将数据用科学记数法表示为_______． 13. 分式与的最简公分母是__________． 14. 如图，在中，是边的中线，若面积为10，则的面积为__________． 15. 已知，，则的值为________． 16. 如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作分别交、于点、，则的周长为________ ． 17. 关于x的方程有增根，则m的值是_____． 18. 如图，在中，，，点为的中点，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动时间为________秒时，与全等． 三、解答题（共8小题，共66分，请在答题卡上写出运算或证明等解答过程．） 19. 解方程 （1）； （2）． 20. 化简分式 ，并从2，，0选择一个适当的x的值代入求值． 21. 如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 22. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接CE． （1）求∠BEC的度数； （2）求证：AE＝BC． 23. 为落实“双减政策”，某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知红色教育经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本，求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元？ 24. 如图，在四边形中，，，点在的延长线上，连接，交于点，且． （1）求证：； （2）若，平分，请判断的形状并说明理由． 25. 数学课堂上，老师提出问题：可以通过通分将两个分式的和表示成一个分式的形式，是否也可以将一个分式表示成两个分式和的形式？其中这两个分式的分母分别为x+1和x-1,小明通过观察、思考，发现可以用待定系数法解决上面问题.具体过程如下： 设 则有 故此 解得 所以= 问题解决： （1）设，求A、B. （2）直接写出方程 的解. 26. 把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． （1）若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； （2）当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； （3）如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永州柳子中学2024年下期期中考试试卷 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分，请把正确答案涂在答题卡上．） 1. 下列各式：，，，，是分式的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义，逐项分析判断即可，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母． 【详解】解：，，是分式，共3个， 故选C． 【点睛】本题考查了分式的判断，掌握分式的性质是解题的关键． 2. 已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，5，8 C. 3，4，5 D. 4，5，10 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：A．1+2=3，不能构成三角形，故A错误； B．2+5＜8，不能构成三角形，故B错误； C．3+4＞5，能构成三角形，故C正确； D．4+5＜10，不能构成三角形，故D错误． 故选C． 考点：三角形三边关系． 3. 等腰三角形两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 18 B. 21 C. 16或20 D. 18或21 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行判定是解题的关键．分8为腰长和5为腰长两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行判断，再计算其周长即可． 【详解】解：当8为为腰长时，三角形的三边长为：8、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为， 当5为腰长时，三角形的三边长为：5、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为， 故选：D． 4. 如图，，增加下列条件中的一个后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、由，，，根据得到，不符合题意； B、由，，，不能得到，符合题意； C、由，，，根据得到，不符合题意； D、 由，，，根据得到，不符合题意； 故选：B． 5. 下列从左到右的运算中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，同分母和异分母的分式加减法，熟练掌握各知识点是解题的关键． 分别根据零指数幂，负整数指数幂的知识点，以及同分母和异分母的分式加减法法则判断各选项即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法正确，符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：B． 6. 下列命题是假命题的是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 B. 全等三角形的对应高相等 C. 顶角与底角相等的等腰三角形是等边三角形 D. 等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．还涉及等边三角形的判定，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 分别根据等边三角形的判定，全等三角形的性质，等腰三角形的性质判断各选项即可． 【详解】解：A、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，是真命题，不符合题意； B、全等三角形的对应高相等，是真命题，不符合题意； C、顶角与底角相等的等腰三角形是等边三角形，是真命题，因为顶角与底角相等，则三个内角都相等，故不符合题意； D、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，原说法错误，是假命题，符合题意． 故选：D． 7. 港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，全程55千米．通车前需走水陆两路共约170千米，通车后，约减少时间3小时，平均速度是原来的2.5倍，如果设原来通车前的平均时速为x千米/小时，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设原来通车前的平均时速为x千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x千米/小时，根据它们行驶的时间差为3小时列出分式方程． 【详解】解：设原来通车前的平均时速为x千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x千米/小时，依题意得： 故选D． 【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 8. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M，N（点M在上方），作直线交边于点D；在和上分别截取、，使，分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，若射线恰好经过点D，则（　 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查线段垂直平分线作图及性质、角平分线作图及性质以及三角形的内角和定理，根据题意得到垂直平分，平分是解题的关键．根据垂直平分得，则有，根据角平分线得，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：由题意得：垂直平分，平分， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 9. 如果，那么代数式的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则和正确计算是解题的关键． 先将括号里通分，进行加法计算，再进行分式乘法运算，再把分子分解后约分得到，最后利用进行整体代入计算即可． 【详解】解：原式= ∵ ∴ ∴原式， 故选：B． 10. 如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和．通过等腰三角形的性质得到，利用角度的转换即可得到，故①正确；当时，可证明，即可得到，故②正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为中点，故③正确；根据三角形外角的性质，可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④不正确． 【详解】解：∵， ， ，， ，故①正确； 若， 由①得， ， ，故②正确； 若，则可得， ∵， D为中点，故③正确； 根据三角形外角的性质，可得， 故， 当时， ； 当， ，故④不正确， 所以正确的为①②③， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共24分，请把正确答案写在答题卡上．） 11. 若分式有意义，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握分式的分母不能为0是解题关键．根据分式有意义的条件可得出，从而即可解答． 【详解】解：若分式有意义，则， 解得：， 故答案为：． 12. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一、据了解，一粒芝麻的质量约为，将数据用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 分式与的最简公分母是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简公分母的定义进行求解即可． 【详解】解：∵与的最小公倍数为， ∴分式与的最简公分母是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求最简公分母，掌握最简公分母的求解方法是解题的关键，求最简公分母实际上就是求各分母的最小公倍数． 14. 如图，在中，是边的中线，若面积为10，则的面积为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据三角形的中线与面积的关系可进行求解． 【详解】解：∵是边的中线，且面积为10， ∴； 故答案为5． 【点睛】本题主要考查三角形的中线与面积的关系，熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键． 15. 已知，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法逆用，解题的关键是熟知其运算法则． 根据同底数幂的除法逆用得到，再代入求值即可． 【详解】解：， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作分别交、于点、，则的周长为________ ． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握角的平分线的定义，平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行内错角相等，等角对等边，角的平分线的定义，进行推理计算即可． 【详解】解：∵和的平分线交于点E，， ∴，， ∴， ∴的周长为 ， ∵， ∴的周长为， 故答案为：10． 17. 关于x的方程有增根，则m的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】解：去分母得：， 解得， 由分式方程有增根，得到，即， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 18. 如图，在中，，，点为的中点，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动时间为________秒时，与全等． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，然后分两种情况讨论：当时，当时，即可求解． 【详解】解：∵点D为的中点， ∴， ∵在中，， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴运动时间为； 当时，， ∵， ∴， ∴运动时间为， 综上所述，点Q的运动时间为或 故答案为：或． 三、解答题（共8小题，共66分，请在答题卡上写出运算或证明等解答过程．） 19. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）方程无解 【解析】 【分析】（1）方程两边同乘去分母，再按照整式方程的解法进行求解即可； （2）方程两边同乘，去分母，再按照整式方程的解法进行求解即可． 【小问1详解】 解：方程两边同乘， 得：， 解得． 检验：把代入， 故原方程的解为：； 【小问2详解】 解：方程两边同乘， 得：， 解得． 检验：把代入，所以是原方程的增根， 故原方程无解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤，正确找出最简公分母． 20. 化简分式 ，并从2，，0选择一个适当的x的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值及使分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则和分式有意义的条件是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给字母的值代入计算． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴原式． 21. 如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即 在和中 ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 首先得出，再利用证明即可． 【详解】略． 22. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接CE． （1）求∠BEC的度数； （2）求证：AE＝BC． 【答案】（1）； （2）证明：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠B=∠ACB=72°， ∵∠BEC=72°， ∴∠BEC=∠B， ∴BC=EC ∵DE垂直平分AC， ∴CE=AE， ． 【解析】 【分析】（1）首先利用垂直平分线的性质及等腰三角形的性质得出∠ECD=∠A=36°，然后利用三角形外角的性质即可得出答案； （2）通过等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠B的度数，然后通过等角对等边得出BC=EC，根据DE垂直平分AC，得出CE=AE，等量代换即可得证． 【详解】解：（1）∵DE垂直平分AC， ∴CE=AE， ∴∠ECD=∠A=36°， ∴∠BEC=∠A+∠ECD=36°+36°=72°； （2）略 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质，掌握这些性质是解题的关键． 23. 为落实“双减政策”，某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知红色教育经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本，求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元？ 【答案】“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是元，由题意：订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．列出分式方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是元， 由题意得：，解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元． 24. 如图，在四边形中，，，点在的延长线上，连接，交于点，且． （1）求证：； （2）若，平分，请判断的形状并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2） 是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定等知识点，熟练掌握全等三角形和等边三角形的判定是解题的关键． （1）根据平行线的性质导角，证明即可； （2）由，，得到，由平分，得到，进一步可得，即可证明是等边三角形． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：略． 25. 数学课堂上，老师提出问题：可以通过通分将两个分式的和表示成一个分式的形式，是否也可以将一个分式表示成两个分式和的形式？其中这两个分式的分母分别为x+1和x-1,小明通过观察、思考，发现可以用待定系数法解决上面问题.具体过程如下： 设 则有 故此 解得 所以= 问题解决： （1）设，求A、B. （2）直接写出方程 的解. 【答案】（1）A=1，B=-2；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题目所给方法进行求解即可； （2）根据题目所给方法先对等号左边各式进行变形化简，最后再解分式方程即可. 【详解】解：（1）∵， ∴， 解得； （2）设， 则有， ∴，解得， ∴， 由（1）知，， ∴原方程可化为， 解得， 经检验，是原方程的解. 【点睛】本题为关于分式及分式方程的创新题，此类型题重点在于理解题目所给的做题方法，并按照题目所给示例进行解答. 26. 把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． （1）若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； （2）当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； （3）如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明) 【答案】（1） 解：， 证明：延长到，使， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2） 解：， 证明：延长到，使，连接， ， ， ，， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法． （1）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （2）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （3）在上截取，连接，证，推出，，证，推出即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 证明：在上截取，连接， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $