专题四 结论正误判断题-【一战成名新中考】2025山东中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·山东数学 重 难 专 题 专题四　 结论正误判断题 (统考卷 10 题) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　类型 1　 代数类(统考卷 10 题) 1. 数学文化 [2024 德州德城区三模]我国古典 数学文献《增删算法统宗》中有一个“隔沟 计算”的问题:“甲乙隔沟牧放,二人暗里 参详. 甲云得乙九只羊,多乙一倍之上,乙 说得甲九只,两家之数相当,二人闲坐恼 心肠,画地算了半晌. ”其大意为:甲,乙两 人一起放牧,两人心里暗中数羊. 如果乙 给甲 9 只羊,那么甲的羊数为乙的 2 倍; 如果甲给乙 9 只羊,那么两人的羊数相 同. 请问甲、乙各有多少只羊? 设甲有羊 x 只,则下列说法正确的是 (　 C　 ) A. 列方程 x+9 = 2(x-18+9) B. 列方程组为 x+9 = x-18, x+9 = 2(x-18+9){ C. 设 乙 有 羊 y 只, 列 方 程 组 为 x+9 = 2(y-9), x-9 = y+9{ D. 甲有羊 27 只,乙有羊 18 只 2. 真实情境 某商店有一款商品,每件进价为 100 元,标价为 150 元,现准备打折销售. 若要保证利润率不低于 20%,设打 x 折销 售,则下列说法正确的是 (　 C　 ) A. 依题意得 150x-100≥20%×100 B. 依题意得 150× x 10 -100≥20%×150 C. 该商品最多打 8 折 D. 该商品最多打 9 折 3. 真实情境 下表是学习分式方程的应用时, 老师板书的问题和两名同学所列的方程. 甲、 乙 两 地 相 距 1 400 km,乘高铁列 车从甲地到乙地比 乘特 快 列 车 少 用 9 h,已知高铁列车 的平均行驶速度是 特快列车的 2. 8 倍. 小明:1 400 x -1 400 2. 8x = 9 小 红: 1 400 y = 2. 8 × 1 400 y+9 下列判断正确的是 (　 D　 ) A. 小明设的未知数是高铁列车的平均 速度 B. 小红设的未知数是乘特快列车从甲地 到乙地的时间 C. 高铁列车的平均速度是 100 km / h D. 特快列车从甲地到乙地的时间是 14 h 4. 新定义 [2024 枣庄三模]对 a,b 定义一种新 运算 T,规定:T(a,b) = ab+2a-4,这里等 式右边是通常的四则运算. 例如:T ( 2, 1)= 2×1+2×2-4 = 2,则下列结论正确的 个数为 (　 D　 ) ①T(3,5)= 17;②若 T( -3,x) = 5,则 x = -5;③若 T( -3,x) <5, T(x,2)≤4,{ 则- 5 <x≤2;④若 T(m,n)= 0(n≠-2),则 m,n 有且仅有 6 组整数解. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. [2023 临沂 16 题 3 分]小明利用学习函数获 得的经验研究函数 y = x2 + 2 x 的性质,得到 如下结论:①当 x<- 1 时,x 越小,函数值 越小;②当- 1<x< 0 时,x 越大,函数值越 小;③当 0<x< 1 时,x 越小,函数值越大; ④当 x>1 时,x 越大,函数值越大. 其中正确的是　 ②③④　 (只填写序号) . 6. [2024 新疆]如图,在平面直角坐标系中,直 线 y= kx(k>0)与双曲线 y= 2 x 交于 A,B 两 点,AC⊥x 轴于点 C,连接 BC 交 y 轴于点 D,结合图象判断下列结论:①点 A 与点 B 关于原点对称;②D 是 BC 的中点;③在 y= 2 x 的图象上任取点 P(x1,y1 )和点Q(x2, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 64 专项培优练·山东数学 重 难 专 题 y2),如果 y1 >y2,那么 x1 >x2;④S△BOD = 1 2 . 其 中正确结论的个数是 (　 C　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第 6 题图 　 第 7 题图 7. [2024 枣庄市中区二模]如图,四边形 OABC 是平行四边形,对角线 OB 在 y 轴正半轴 上,位于第一象限的点 A 和第二象限的点 C 分别在双曲线 y= k1 x 和 y = k2 x 的一个分支 上,分别过点 A,C 作 x 轴的垂线,垂足分 别为点 M 和点 N,给出如下四个结论: ①AM CN = | k1 k2 | ; ② 阴 影 部 分 的 面 积 是 1 2 ( | k1 | + | k2 | );③当∠AOC = 90°时, | k1 | = | k2 | ; ④若平行四边形 OABC 是菱形,则 k1 +k2 = 0. 以上结论正确的是 (　 B　 ) A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①④ 8. 真实情境 [2024 临沂平邑县一模]为了响应 “绿水青山就是金山银山”的号召,建设生 态文明,某工厂自 2019 年 1 月开始限产进 行治污改造,其月利润 y(万元)与月份 x 之间的变化如图所示,治污完成前是反比 例函数图象的一部分,治污完成后是一次 函数图象的一部分, 下列结论正确的 是　 ①②④　 (填写序号即可) . ①4 月份的利润为 50 万元;②治污改造完 成后每月利润比前一个月增加 30 万元; ③治污改造完成前后共有 4 个月的利润 低于 100 万元;④9 月份该厂利润达到 200 万元. 第 8 题图 9. [2024 东营 9 题 3 分]已知抛物线 y = ax2 + bx+c(a≠0)如图所示,则下列结论正确的 是 (　 D　 ) A. abc<0 B. a-b= 0 C. 3a-c= 0 D. am2 +bm≤a-b(m 为任意实数) 第 9 题图 　 第 10 题图 10. [2024 临沂临沭县二模]如图,关于 x 的函 数 y 的图象与 x 轴有且仅有三个交点,分 别是( -3,0),( -1,0),(3,0),对此,小华 认为:①当 y>0 时,-3<x<-1;②当 x>-3 时,y 有最小值;③点 P(m,-m- 1) 在函 数 y 的图象上,符合要求的点 P 只有 1 个;④将函数 y 的图象向右平移 1 个或 3 个单位长度经过原点. 其中正确的结论 有 (　 C　 ) A. ①②③ B. ②③④ C. ②④ D. ③④ 类型 2　 几何类 11. [2024 济宁泗水县二模]如图,在四边形 AB- CD 中,AD∥BC,AB⊥BC,AD = 2,BC = 6, CD= 8,E,F 分别是边 AB,CD 的中点, DH⊥ BC 于 点 H, 现 有 下 列 结 论: ①∠CDH= 30°;②EF = 4;③四边形 EF- CH 是菱形;④S△EFC = 3S△BEH . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 74 专项培优练·山东数学 重 难 专 题 你认为结论正确的有 　 ①②③　 (填写 正确的序号) . 第 11 题图 　 第 12 题图 12. [2024 赤峰]如图,△ABC 中,AB = BC = 1, ∠C = 72°. 将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 得到△AB′C′,点 B′与点 B 是对应点,点 C′与点 C 是对应点. 若点 C′恰好落在 BC 边上,下列结论:①点 B 在旋转过程中经 过的路径长是 1 5 π;②B′A∥BC;③BD = C′D;④AB AC =B′B BD . 其中正确的结论是 (　 A　 ) A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②④ 13. [2024 巴中]如图,在△ABC 中,D 是 AC 的 中点,CE⊥AB,BD 与 CE 交于点 O,且 BE=CD. 下列说法错误的是 (　 D　 ) A. BD 的垂直平分线一定与 AB 相交于 点 E B. ∠BDC= 3∠ABD C. 当 E 为 AB 中点时,△ABC 是等边三 角形 D. 当 E 为 AB 中点时, S△BOC S△ABC = 3 4 第 13 题图 　 　 　 第 14 题图 14. [2023 泰安 11 题改编]如图,△ABC 是等腰 三角形,AB = AC,∠C = 72°,以点 B 为圆 心,任意长为半径作弧,交 AB 于点 F,交 BC 于点 G,分别以点 F 和点 G 为圆心, 大于 1 2 FG 的长为半径作弧,两弧相交于 点 H,作射线 BH 交 AC 于点 D;分别以点 B 和点 D 为圆心,大于 1 2 BD 的长为半径 作弧,两弧相交于 M,N 两点,作直线 MN 交 AB 于点 E,连接 DE. 下列结论不正确 的是 (　 C　 ) A. AE AB =DE BC B. BC=AE C. ED= 2 2 BC D. ∠DEN= 54° 15. [2024 潍坊 10 题改编]如图,☉O 是△ABC 的外接圆,AO∥BC,连接 CO 并延长交 ☉O 于点 D. 分别以点 A,C 为圆心,以大 于 1 2 AC 的长为半径作弧,并使两弧交于 圆外一点M. 直线 OM 交 BC 于点 E,连接 AE,下列结论不一定正确的是 (　 C　 ) A. AB ( =AD ( B. AB=OE C. ∠AOD= ∠BAC D. 四边形 AOCE 为菱形 第 15 题图 　 　 第 16 题图 16. [2024 枣庄滕州市模拟]如图,在△ABC 中, ∠ACB= 90°,BC= 10,点 O 为 AB 上一点, 以 5 为半径作☉O 分别与 BC,AC 相切于 D,E 两点,OB 与☉O 交于点 M,连接 OC 交☉O 于点 F,连接 ME,FE,若点 D 为 BC 的中点,给出下列结论: ①CO 平分 ∠ACB;②E 为 AC 的中点; ③ ∠AME = 22. 5°;④MF ( 的长度为 5 2 π. 其中正确结 论的个数是 (　 D　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 84 专项培优练·山东数学 重 难 专 题 17. [2024 东营垦利区模拟]如图,已知菱形 AB- CD 的边长为 4,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 M,N 分别是边 BC,CD 上的动点, ∠BAC= ∠MAN = 60°,连接 MN,OM,MN 与 AC 相交于点 E. 以下四个结论: ①△AMN 是等边三角形;②MN 的最小 值是 2 3 ;③若 BM = 3 时,CE = 3 4 ;④当 OM⊥BC 时,OA2 =DN·AB. 其中正确的个数有 (　 D　 ) 第 17 题图 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 18. [2024 滨州经开区一模]如图,AC,AD,CE 是正五边形 ABCDE 的对角线,AD 与 CE 相交 于 点 F. 下 列 结 论: ① CF 平 分 ∠ACD;②四边形 ABCF 是菱形;③AF = 2DF;④AB2 = AD·EF. 其中正确的结论 是　 ①②④　 (填写所有正确结论的序 号) . 第 18 题图 　 　 第 19 题图 19. [2024 青岛崂山区二模]如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在 BC 边上,且 AE =AD,AE 平分 ∠BAD. 作 DF⊥AE 于点 F,连接 DE,BF, BF 的延长线交 DE 于点 O,交 CD 于点 G. 以下结论:①AF = BE;②∠CDE = 20°; ③OF= 1 2 DE;④若 AB = 1,则 OB = 5 2 . 其 中正确的有　 ①③　 (填写序号) . 20. 数学文化 [2024 南充]如图是我国汉代赵 爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称 它为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直 角三角形和一个小正方形组成. 在正方 形 ABCD 中, AB = 10. 下列三个结论: ①若 tan∠ADF= 3 4 , 则 EF = 2; ② 若 Rt△ABG 的面积是正方形 EFGH 面积的 3 倍,则点 F 是 AG 的三等分点; ③ 将 △ABG 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 90° 得 到 △ADG′,则 BG′的最大值为 5 5 +5. 其中 正确的结论是 (　 D　 ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第 20 题图 　 　 第 21 题图 21. [2024 威海 9 题 3 分]如图,在▱ABCD 中, 对角线 AC,BD 交于点 O,点 E 在 BC 上, 点 F 在 CD 上,连接 AE,AF,EF,EF 交 AC 于点 G. 下列结论错误的是 (　 D　 ) A. 若 CE CF =AD AB ,则 EF∥BD B. 若 AE⊥BC,AF⊥CD,AE=AF,则 EF∥ BD C. 若 EF ∥BD, CE = CF, 则 ∠EAC = ∠FAC D. 若 AB=AD,AE=AF,则 EF∥BD 22. [2024 遂宁] 如图,在正方形纸片 ABCD 中,E 是 AB 边的中点,将正方形纸片沿 EC 折叠,点 B 落在点 P 处,延长 CP 交 AD 于点 Q,连接 AP 并延长交 CD 于点 F. 给出以下结论:①△AEP 为等腰三角形; ②F 为 CD 的中点; ③ AP ∶ PF = 2 ∶ 3; ④cos∠DCQ= 3 4 .其中正确结论是 　 (填序号) . 第 22 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 94 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 12),( -1,0)两个,∴ C 正确;D. 设 B(x,y),∴ 2( x+1) = y+ 0, ∴ y = 2 ( x + 1 ), ∴ P1B = (x-1) 2 +y2 = (x-1) 2 +4(x+1) 2 = 5(x+ 3 5 ) 2 + 16 5 ,∵ 5> 0,∴ 当 x = - 3 5 时,P1B 有最小值为 4 5 5 ,∴ D 正确. 29. 解:(1)如解图,∵ cosα= b c = 7 4 ,∴ 设 b = 7 x(x>0),则 c= 4x, 第 29 题解图 由勾股定理得 a= (4x) 2 -( 7 x) 2 = 3x, ∴ sinα= a c = 3x 4x = 3 4 , ∵ β= 30°,∴ sinβ= sin30° = 1 2 , ∴ 该介质的折射率为 sinα sinβ = 3 4 1 2 = 3 2 . 答:该介质的折射率为 3 2 ; (2)根据长方体介质与( 1) 中折射率相同可得折射率 为 3 2 , ∴ sinα sinβ = sin60° sinβ = 3 2 ,∴ sinβ= 3 3 , 易得点 O 是 AD 的中点,∴ AD= 2OD, ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ ∠ADC= 90°, ∵ ∠OCD=β,∴ sin∠OCD= sinβ= OD OC = 3 3 , 在 Rt△ODC 中,设 OD= 3 y(y>0),OC= 3y, 由勾股定理得 CD= (3y) 2 -( 3 y) 2 = 6 y, ∴ tanβ= OD CD = 2 2 , ∴ OD= 10× 2 2 = 5 2 (cm), ∴ AD= 2OD= 10 2 (cm), ∴ 截 面 ABCD 的 面 积 为 AD · CD = 10 2 × 10 = 100 2 (cm2 ) . 答:截面 ABCD 的面积为 100 2 cm2 . 专题四　 结论正误判断题 1. C 2. C　 【解析】根据题意得 150× x 10 -100≥100×20%,解得 x ≥8,∴ 该商品最多打 8 折. 3. D 4. D　 【解析】T(3,5)= 15+6-4 = 17,故①正确;若 T( -3,x) = 5, 则 - 3x - 6 - 4 = 5, 解 得 x = - 5, 故 ② 正 确; 若 T( -3,x) <5, T(x,2)≤4,{ 则 -3x-6-4<5, 2x+2x-4≤4,{ 解得-5<x≤2,故③正确; ④若 T(m,n) = 0(n≠-2),则 mn+2m-4 = 0,∴ m = 4 n+2 , ∵ m,n 都是整数,∴ n+2 = ±4 或 n+2 = ±2 或 n+2 = ±1,∴ n = 2 或-6 或 0 或-4 或-1 或-3,∴ m,n 有且仅有 6 组整数 解,故④正确. 综上,结论正确的个数为 4. 5. ②③④　 【解析】如解图,当 x< - 1 时,x 越小,函数值越 大,故①错误;当-1<x<0 时,x 越大,函数值越小,故②正 确;当 0<x< 1 时,x 越小,函数值越大,故③正确;当 x> 1 时,x 越大,函数值越大,故④正确. 第 5 题解图 6. C　 【解析】如解图,过点 B 作 BE⊥x 轴,垂足为 E,①根 据双曲线 y= 2 x 及直线 y= kx(k>0)均关于原点成中心对 称图形可知点 A 与点 B 关于原点对称,故①正确;②∵ AC ⊥x 轴,∴ AC∥y 轴,∵ 点 A 与点 B 关于原点对称,∴ OB = OA,∴ BD=DC,即 D 是 BC 的中点,故②正确;③当点 P, Q 在同一象限内时,若 y1 >y2 ,则 x1 <x2 ,故③错误;④S△BOD = 1 2 S△BOC = 1 2 S△AOC = 1 2 ×1 = 1 2 ,故④正确. 综上所述,结 论正确的是①②④,共 3 个. 第 6 题解图 7. B　 【解析】如解图,作 AE⊥y 轴于点 E,CF⊥y 轴于点 F, ∵ 四边形 OABC 是平行四边形,∴ S△AOB = S△COB,∴ AE = CF,易得四边形 CNOF,四边形 AMOE 都是矩形,∴ CF = ON,AE=OM,∴ OM=ON,∵ S△AOM = 1 2 | k1 | = 1 2 OM·AM, S△CON = 1 2 | k2 | = 1 2 ON·CN,∴ AM CN = | k1 | | k2 | = | k1 k2 | ,故①正 确; ∵ S△AOM = 1 2 | k1 | ,S△CON = 1 2 | k2 | , ∴ S阴影 = S△AOM + S△CON = 1 2 | k1 | + 1 2 | k2 | = 1 2 ( | k1 | + | k2 | ),故②正确;当 ∠AOC= 90°时,四边形 OABC 是矩形,∴ 不能确定 OA 与 OC 相等,∴ 不能判断△AOM 与△OCN 全等,∴ 不能判断 S△AOM 与 S△CON 相等,∴ 不能确定 | k1 | = | k2 | ,故③错误; 若四边形 OABC 是菱形, 则 OA = OC, 又 ∵ OM = ON, ∴ Rt△AOM≌Rt△CON( HL),∴ S△AOM = S△CON,∴ | k1 | = | k2 | ,又由图象可得,k1 >0,k2 <0,∴ k1 = -k2 ,∴ k1 +k2 = 0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 18 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 故④正确,∴ 结论正确的是①②④. 第 7 题解图 8. ①②④　 【解析】①设反比例函数的解析式为 y = k x ( x> 0),把(1,200)代入得 k= 200,∴ 反比例函数的解析式为 y= 200 x (x>0),当 x= 4 时,y = 50,∴ 4 月份的利润为 50 万 元,故①正确,符合题意;②治污改造完成后,从 4 月到 6 月,利润从 50 万到 110 万,每月利润比前一个月增加 30 万元,故②正确,符合题意;③当 y = 100 时, 200 x = 100,解 得 x= 2,则只有 3 月,4 月,5 月共 3 个月的利润低于 100 万元,故③错误,不符合题意;④设一次函数的解析式为 y = kx+b(x≥4),则 4k+b= 50, 6k+b= 110,{ 解得 k= 30, b= -70,{ 故一次函数 的解析式为 y= 30x-70(x≥4),当 x= 9 时,y= 200,则 9 月 份该厂利润达到 200 万元,故④正确,符合题意. 9. D　 【解析】由函数图象可知,a< 0,c> 0,- b 2a < 0,∴ b< 0, ∴ abc>0,故 A 选项错误,不符合题意;∵ 抛物线经过点 ( -3,0) 和( 1,0),∴ 抛物线的对称轴为直线 x = - b 2a = -3+1 2 = -1,∴ 2a-b = 0,故 B 选项错误,不符合题意;∵ 抛 物线经过点(1,0),∴ a+b+c = 0,将 b = 2a 代入 a+b+c = 0 得 a+2a+c = 0,∴ 3a+c = 0,故 C 选项错误,不符合题意; ∵ 抛物线开口向下且对称轴为直线 x = - 1,∴ 当 x = - 1 时,函数取得最大值 a-b+c,∴ 对于抛物线上的任意一点 (横坐标为 m),总有 am2 +bm+c≤a-b+c,即 am2 +bm≤a- b,故 D 选项正确,符合题意. 10. C　 【解析】①当 y>0 时,-3<x<-1 或 x>3,∴ ①不正确; ②由图象可知,当 x>-3 时,y 有最小值,∴ ②正确;③令 x=m,y= -m-1,∴ y= -x-1,∴ 点 P(m,-m-1)在直线 y= -x-1 上,如解图,由图象可以看出,它们有三个交点, ∴ 符合要求的点 P 有 3 个,∴ ③不正确;④将函数 y 的 图象向右平移 1 个单位长度时,原图象上坐标为( -1,0) 的点过原点;将函数 y 的图象向右平移 3 个单位长度 时,原图象上坐标为( - 3,0) 的点过原点,∴ ④正确. 综 上,只有②④正确. 第 10 题解图 11. ①②③　 【解析】①∵ AD∥BC,AB⊥BC,DH⊥BC,∴ 四边 形 ABHD 是矩形,∴ BH=AD= 2,AB =DH,∴ CH =BC-BH = 6-2 = 4,∵ CD = 8,∴ CH = 1 2 CD,∴ ∠CDH = 30°,①正 确;②∵ E,F 分别是边 AB,CD 的中点,∴ EF∥BC,EF = 1 2 (AD+BC)= 4,②正确;③∵ EF∥BC,EF =CH = 4,∴ 四 边形 EFCH 是平行四边形,又∵ EF = CF = 4,∴ 四边形 EFCH 是菱形, ③正确; ④ ∵ EF = 4,BH = 2, ∴ S△EFC = 2S△BEH,④错误. 故结论正确的有①②③. 12. A　 【解析】∵ AB = BC,∠C = 72°,∴ ∠BAC = ∠C = 72°, ∴ ∠ABC= 180°-2∠C = 36°,由旋转的性质得∠AB′C′ = ∠ABC= 36°,∠B′AC′ = ∠BAC = 72°,∠AC′B′ = ∠ACB = 72°,AC′ = AC, ∴ ∠AC′C = ∠C = 72°, ∴ ∠CAC′ = 36°, ∴ ∠CAC′= ∠BAC′= 36°,∴ ∠B′AB = 72° - 36° = 36°,由 旋转的性质得 AB′ = AB,∴ ∠ABB′ = ∠AB′B = 1 2 ×(180° -36°) = 72°, ①点 B 在旋转过程中经过的路径长是 36π×1 180 = 1 5 π,①正确;②∵ ∠B′AB = ∠ABC = 36°,∴ B′A ∥BC, ② 正确; ③ ∵ ∠DC′ B = 180° - 2 × 72° = 36°, ∴ ∠DC′B= ∠ABC = 36°, ∴ BD = C′ D, ③ 正 确; ④∵ ∠BB′D= 180° - 72° - 36° - 36° = 36° = ∠ABC, ∠B′BD= ∠BAC= 72°,∴ △B′BD∽△BAC,∴ AB AC = BB′ BD , ④正确. 综上,①②③④都是正确的. 13. D　 【解析】对于选项 A,如解图①,连接 DE,∵ CE⊥AB, D 是 AC 的中点,∴ DE 为 Rt△AEC 斜边上的中线,∴ DE =AD=CD= 1 2 AC,∵ BE =CD,∴ BE =DE,∴ 点 E 在线段 BD 的垂直平分线上,即线段 BD 的垂直平分线一定与 AB 相交于点 E,故选项 A 正确,不符合题意;对于选项 B,设 ∠ABD = α, ∵ BE = DE, ∴ ∠EDB = ∠ABD = α, ∴ ∠AED= ∠EDB + ∠ABD = 2α, ∵ DE = AD, ∴ ∠A = ∠AED= 2α, ∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = 3α,即 ∠BDC = 3∠ABD,故选项 B 正确,不符合题意;对于选项 C,当 E 为 AB 中点时,BE = 1 2 AB,∵ CE⊥AB,∴ CE 是线段 AB 的垂直平分线,∴ AC = BC,∵ BE = 1 2 AB,CD = 1 2 AC,BE =CD,∴ AB = AC,∴ AC = BC = AB,∴ △ABC 是等边三角 形,故选项 C 正确,不符合题意;对于选项 D,如解图②, 连接 AO,并延长交 BC 于点 F,当 E 为 AB 中点时,∵ D 为 AC 的中点,∴ 根据三角形三条中线交于一点得 F 为 BC 的中点,∵ 当 E 为 AB 中点时,△ABC 是等边三角形, ∴ ∠ABC= ∠BAC = 60°,AF⊥BC,AF 平分∠BAC,BD 平 分∠ABC, ∴ ∠OBA = ∠OAB = ∠OBC = ∠OAC = 30°, ∴ OA=OB,在 Rt△OBF 中,OB = 2OF,∴ OA =OB = 2OF, ∴ AF = OA + OF = 3OF, ∴ S△OBC = 1 2 BC · OF, S△ABC = 1 2 BC·AF= 3 2 BC·OF,∴ S△OBC S△ABC = 1 3 ,故选项 D 不正 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 28 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 确,符合题意. 图① 　 图② 第 13 题解图 14. C　 【解析】∵ AB=AC,∴ ∠ABC = ∠ACB = 72°,由作图知 BD 平分∠ABC,∴ ∠CBD = ∠DBE = 1 2 ∠ABC = 36°,由 作图知 MN 垂直平分 BD,∴ DE = BE,∴ ∠EDB = ∠EBD = 36°,∴ ∠EDB= ∠CBD,∴ DE∥BC,∴ △AED∽△ABC, ∴ AE AB = DE BC ,故选项 A 正确,不符合题意; ∵ DE∥BC, ∴ ∠AED= ∠ABC, ∠ADE = ∠ACB, ∵ ∠ABC = ∠ACB, ∴ ∠AED= ∠ADE,∴ AE = AD,∵ ∠A = 180°- 72°- 72° = 36°,∴ ∠A = ∠ABD,∴ AD = BD,∵ ∠BDC = 180° - 36° - 72° = 72°,∴ ∠C= ∠BDC,∴ BD=BC,∴ BC = AE,故选项 B 正确,不符合题意;∵ AE AB =DE BC ,∴ BC BC+DE =DE BC ,∴ DE = 5 -1 2 BC,故选项 C 不正确,符合题意;∵ ∠BDE = 36°, MN⊥BD,∴ ∠DEN = 90°- 36° = 54°,故选项 D 正确,不 符合题意. 15. C　 【解析】如解图,令 AC,OE 交于点 F,连接 AD,由题 意得 OE 是 AC 的垂直平分线,∴ EA = EC,∵ AO = OC, ∴ ∠OAF= ∠OCF, ∵ AO ∥ BC, ∴ ∠OAF = ∠ACE, ∴ ∠OCA= ∠ACE,∴ AB ( =AD ( ,选项 A 正确,不符合题意; ∵ ∠OCF = ∠ECF, ∠OFC = ∠EFC = 90°,CF = CF, ∴ △EFC≌△OFC,∴ OC = CE = OA,∵ AO∥EC,∴ 四边形 AOCE 为菱形,选项 D 正确,不符合题意;∵ AB ( = AD ( ,∴ AB=AD,∵ 四边形 AOCE 为菱形,∴ AE = OC = OD,AE∥ OC,∴ 四边形 AEOD 为平行四边形,∴ AD = OE,∴ AB = OE,选项 B 正确,不符合题意;∵ OD∥AE,∴ ∠AOD = ∠OAE,无法判断∠AOD 与∠BAC 的大小,故选项 C 不 一定正确,符合题意. 第 15 题解图 16. D　 【解析】如解图,连接 OD,OE,∵ 以 5 为半径作☉O 分别与 BC,AC 相切于 D,E 两点,∴ OD⊥BC,OE⊥AC, OD=OE,∴ 圆心 O 在∠ACB 的平分线上, ∴ CO 平分 ∠ACB,故①正确;∵ ∠ACB = 90°,OD⊥BC,∴ OD∥AC, ∵ D 为 BC 的中点,∴ O 为 AB 的中点,∵ ∠ACB = 90°, OE⊥AC,∴ OE∥BC,∴ E 为 AC 的中点,故②正确;由① ②可得四边形 ODCE 为正方形,∴ CE = OE = AE,∠AEO = 90°, ∴ ∠OCE = ∠COE = ∠AOE = 45°, ∴ ∠AME = 1 2 ∠AOE= 22. 5°,故③正确;由③可知∠AOC = ∠AOE+ ∠COE= 90°,∴ ∠BOC = 90°,∴ MF ( 的长度为 90π×5 180 = 5 2 π,故④正确. 第 16 题解图 17. D　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AB = CB = AD = CD,AB∥CD,AC⊥BD,OA =OC,∴ ∠BAC = ∠ACD = 60°, ∴ △ABC 和△ADC 都是等边三角形,∴ ∠ABM = ∠ACN = 60°,AB=AC,∵ ∠MAN= 60°,∴ ∠BAM = ∠CAN = 60°- ∠CAM,∴ △BAM≌△CAN( ASA),∴ AM = AN,∴ △AMN 是等边三角形,故①正确;当 AM⊥BC 时,AM 的值最小, 此时 MN 的值也最小,∵ ∠AMB= 90°,∠ABM= 60°,AB= 4,∴ MN=AM = AB·sin60° = 4× 3 2 = 2 3 ,∴ MN 的最小 值是 2 3 , 故 ② 正确; ∵ BM = 3, ∴ CM = 4 - 3 = 1, ∵ ∠AMN= ∠ABM = ∠MCE = 60°, ∴ ∠AMB + ∠BAM = ∠AMB+∠CME = 120°,∴ ∠BAM = ∠CME,∴ △ABM∽ △MCE,∴ AB MC = BM CE ,即 4 1 = 3 CE ,∴ CE = 3 4 ,故③正确; ∵ CB=CD,BM = CN,∴ CB-BM = CD-CN,∴ CM = DN, ∵ OM⊥ BC, ∴ ∠CMO = ∠COB = 90°, ∵ ∠OCM = ∠BCO,∴ △OCM∽△BCO,∴ CM OC = OC CB ,∴ OC2 = CM· CB,∴ OA2 =DN·AB,故④正确. 18. ①②④　 【解析】如解图,作正五边形 ABCDE 的外接圆 ☉O,∵ AB=BC=CD=ED=AE,∴ AB ( =BC ( =CD ( =ED ( =AE ( , ∵ AE ( =ED ( ,∴ ∠ACF = ∠DCF,∴ CF 平分∠ACD,故①正 确; ∵ AB ( = AE ( , BC ( = CD ( , ∴ ∠BCA = ∠FCA, ∠BAC = ∠FAC,∵ AC=AC,∴ △ABC≌△AFC( ASA),∴ AB = AF, BC=FC,∵ AB=BC,∴ AB=AF=BC =FC,∴ 四边形 ABCF 是菱形,故②正确;∵ ∠CDE= ∠DEA = 1 5 ×(5-2) ×180° = 108°,∴ ∠DEF= ∠DCE= ∠DAE= ∠EDF= 1 2 ×(180°- 108°)= 36°, ∴ DF = EF, ∵ ∠AFE = ∠DEF + ∠EDF = 72°,∠AEF = ∠DEA- ∠DEF = 72°, ∴ ∠AFE = ∠AEF, ∴ AF= AE = ED, ∵ ∠DEF = ∠DAE, ∠EDF = ∠ADE, ∴ △EDF∽△ADE,∴ ED AD = DF ED ,∴ ED2 = AD·DF,∴ AB2 =AD·EF,故④正确;∵ ED2 = AD·DF,且 AF = ED,∴ AF2 = DF(AF+DF),∴ AF2 -DF·AF-DF2 = 0,∴ AF = 5 +1 2 DF 或 AF= - 5 +1 2 DF(不符合题意,舍去),∴ AF≠ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 38 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 2DF,故③错误. 故正确的结论是①②④. 第 18 题解图 19. ① ③ 　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ ∠BAD = ∠ABC= ∠C = ∠ADC = 90°,∵ AE 平分∠BAD,∴ ∠BAE = ∠DAE = 45°, ∴ △ABE 是等腰直角三角形, ∴ AE = 2AB= 2BE,∵ DF⊥AE,∴ △ADF 是等腰直角三角形, ∴ AD = 2 AF, 又 ∵ AE = AD, ∴ AF = BE, 故 ① 正确; ∵ △ADF 是等腰直角三角形,∴ ∠DAF = 45°,∴ ∠ADE = ∠AED = 180°-45° 2 = 67. 5°,∴ ∠CDE = 90° - 67. 5° = 22. 5°,故②错误; ∵ ∠BAF = 45°,AB = AF, ∴ ∠ABF = ∠AFB= 67. 5°,∴ ∠OFE= ∠AFB= ∠AED = 67. 5°,∴ OF =OE,∵ ∠DFO = ∠DFE-∠OFE = 90° - 67. 5° = 22. 5°, ∴ ∠ODF = ∠ADE - ∠ADF = 67. 5° - 45° = 22. 5°, ∴ ∠DFO= ∠ODF,∴ OF =DO,∴ DO =OE =OF,∴ OF = 1 2 DE,故③正确;∵ ∠ABF = ∠AFB = ∠AED = ∠ADE = 67. 5°,∴ △ABF∽△AED,∴ AB AE = BF DE ,∵ AB = 1,∴ AE = AD= 2 AB = 2 ,设 BF = x,则 DE = 2 x,∴ OE = OF = 1 2 DE= 2 2 x, ∵ ∠OFE = ∠OEF = ∠ABF = ∠AFB = 67. 5°,∴ △ABF∽ △OFE, ∴ AB OF = BF EF , ∵ AB = AF = 1, ∴ EF= 2 -1,∴ 1 2 2 x = x 2 -1 ,∴ x2 = 2- 2 ,∵ BO =BF+OF =x+ 2 2 x,∴ BO2 = ( 3 2 + 2 )x2 = ( 3 2 + 2 ) ×(2- 2 )= 1+ 2 2 ≠ 5 4 , ∴ BO≠ 5 2 ,故④错误. 综上所述,正确的有 ①③. 20. D　 【解析】在 Rt△ADF 中,tan∠ADF = AF DF = 3 4 . 令 AF = 3x,DF= 4x,则(3x) 2 +(4x) 2 = 102 ,解得 x = 2(负值已舍 去),∴ AF= 6,DF = 8. ∵ 外部的四个直角三角形全等, ∴ DE=AF= 6,∴ EF = 8-6 = 2,故①正确;∵ Rt△ABG 的 面积是正方形 EFGH 面积的 3 倍,∴ 1 2 BG·AG = 3FG2 , ∵ BG=AF=AG-FG,∴ 1 2 (AG-FG) ·AG = 3FG2 ,整理得 6FG2 +FG·AG-AG2 = 0,则 6( FG AG ) 2 + FG AG -1 = 0,解得 FG AG = 1 3 (负值已舍去),则点 F 是 AG 的三等分点,故②正确; 由旋转可知∠AG′D= ∠AGB= 90°,∴ 点 G′在以 AD 为直 径,点 M 为圆心的圆上,如解图,∴ AM = 1 2 AD = 5,在 Rt△ABM 中,BM = 52 +102 = 5 5 ,当点 B,M,G′共线 时,BG′取得最大值,此时 BG′= 5 5 +5,故③正确. 第 20 题解图 21. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD = BC, AB=CD. A. 若 CE CF =AD AB ,即 CE CF = BC CD ,又∵ ∠ECF = ∠BCD, ∴ △CEF∽△CBD,∴ ∠CEF = ∠CBD,∴ EF∥BD,故 A 选项正确,不符合题意;B. 若 AE⊥BC,AF⊥CD,AE=AF, ∴ CA 是∠BCD 的平分线,∴ ∠ACB = ∠ACD,∵ AD∥BC, ∴ ∠DAC= ∠ACB,∴ ∠DAC= ∠DCA,∴ AD =DC,∴ 四边 形 ABCD 是菱形,∴ AC⊥BD,在 Rt △ACE 和 Rt △ACF 中, AE=AF, AC=AC,{ ∴ Rt△ACE≌Rt△ACF(HL),∴ CE=CF,又 ∵ AE=AF,∴ AC⊥EF,∴ EF∥BD,故 B 选项正确,不符 合题意;C. ∵ CE = CF,∴ ∠CFE = ∠CEF,∵ EF∥BD,∴ ∠CBD= ∠CEF,∠CDB = ∠CFE,∴ ∠CBD = ∠CDB,∴ CB=CD,∴ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AC⊥BD,又∵ EF∥ BD,∴ AC⊥EF,∵ CE = CF,∴ AC 垂直平分 EF,∴ AE = AF,∴ ∠EAC= ∠FAC,故 C 选项正确,不符合题意;D. 若 AB=AD,则▱ABCD 是菱形,当 AE = AF,且 BE = DF 时, 可得 AC 垂直平分 EF,∵ AC⊥BD,∴ EF∥BD,故 D 选项 错误,符合题意. 22. ①②③　 【解析】∵ E 是 AB 边的中点,∴ EA = EB,∵ 将 正方形纸片沿 EC 折叠,点 B 落在点 P 处,∴ EB = EP, ∴ EA=EP,即△AEP 为等腰三角形,故①正确;∵ EA = EP,∴ ∠EAP= ∠EPA,∵ 将正方形纸片沿 EC 折叠,点 B 落在点 P 处, ∴ ∠BEC = ∠PEC, ∵ ∠BEP = ∠EAP + ∠EPA,∴ ∠BEC= ∠EAP,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠CBE= ∠ADF,AB∥CD,BC = AD,∴ ∠EAP = ∠DFA,∴ ∠BEC= ∠DFA,∴ △BEC≌△DFA( AAS),∴ DF = BE, ∴ DF= 1 2 AB= 1 2 CD,即 F 为 CD 的中点,故②正确;如 解图,过点 P 作 PM⊥EC 于点 M,过点 E 作 EN⊥AF 于 点 N,∵ ∠BEC = ∠EAP,∴ EC∥AF,∴ EN = PM,设 AE = BE=EP=DF= CF = a,则 BC = AD = PC = 2a,∴ EC = AF = a2 +(2a) 2 = 5 a,∵ S△PEC = 1 2 EC·PM = 1 2 PE·PC, ∴ PM = PE·PC EC = a·2a 5 a = 2 5 a 5 ,∴ EN = 2 5 a 5 , ∴ PN = EP2 -EN2 = a2 -( 2 5 a 5 ) 2 = 5 a 5 , ∴ AP = 2PN = 2 5 a 5 ,∴ PF = AF-AP = 5 a- 2 5 a 5 = 3 5 a 5 ,∴ AP ∶ PF = 2 5 a 5 ∶ 3 5 a 5 = 2 ∶3,故③正确;∵ ∠EAP = ∠EPA,∠EAD = ∠EPQ= 90°,∴ ∠QAP = ∠QPA,∴ AQ = PQ, ∵ 正方形 ABCD 的边长为 2a,∴ AD=CD=CP= 2a,QD= 2a-AQ,CQ = 2a+PQ= 2a+AQ,在 Rt△CDQ 中,由勾股定理得 CD2 + 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 48 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 QD2 =CQ2 ,即(2a) 2 +(2a-AQ) 2 = (2a+AQ) 2 ,解得 AQ = 1 2 a,∴ DQ = 2a - 1 2 a = 3 2 a, ∴ CQ = 2a + 1 2 a = 5 2 a, ∴ cos∠DCQ= CD CQ = 2a 5 2 a = 4 5 ,故④不正确. 第 22 题解图 专题五　 几何综合及探究问题 1. 1　 【解析】在△ABC 中,∵ AB = AC = 2,∴ ∠ACB = ∠B = 15°,∴ ∠DAC = ∠B + ∠ACB = 30°, 在 Rt △ADC 中, ∵ sin∠DAC= CD AC ,∴ CD= 2sin30° = 1. 2. 5 2 　 【解析】∵ △AEF 沿 EF 折叠,点 A 与点 C 重合,∴ EF 是线段 AC 的垂直平分线,∠ECF = ∠A = 45°,∴ CF = AF= 1 2 AC = 1,∠EFC = 90°,∴ ∠FEC = 45°,∴ ∠FEC = ∠ECF,∴ EF=CF= 1,∵ D 是 EF 的中点,∴ DF = 1 2 EF = 1 2 ,∴ CD = DF2 +CF2 = ( 1 2 ) 2 +12 = 5 2 ,即 CD 的长 为 5 2 . 3. 2 10 　 【解析】∵ ∠BAC = 90°,AB = AC,∴ ∠ACB = 45°, ∵ DE⊥DA 且 DE=DA,∴ ∠DAE= 45°,∴ ∠DAE= ∠ACD, ∵ ∠ADF = ∠CDA, ∴ △ADF∽ △CDA, ∴ AD ∶ CD = DF ∶ AD,∵ CD= 8,DF= 5,∴ AD ∶8 = 5 ∶AD,解得 AD = 2 10 ,即 AD 的长为 2 10 . 4. 解:(1)在 Rt△ABC 中,AB= AC2 -BC2 = 4, ∵ AC 平分∠BAD,CB⊥AB,CD⊥AD, ∴ ∠B= ∠D= 90°,CB=CD, 在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中, AC=AC, CB=CD,{ ∴ Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),∴ AD=AB= 4; (2)由(1)知△ABC≌△ADC, ∴ BC=CD= 5 2 ,AD=AB= 6, ∴ AC 垂直平分 BD,在 Rt △ABC 中,AC = AB2 +BC2 = 62 +( 5 2 ) 2 = 13 2 , ∵ S四边形ABCD = S△ABC +S△ADC = 2S△ABC = 2× 1 2 AB·BC = AB· BC,S四边形ABCD = 1 2 AC·BD, ∴ 6× 5 2 = 1 2 × 13 2 BD, 解得 BD= 60 13 . 5. 证明:∵ AB=AC,AD=AE,∴ BD=CE, ∵ 点 M,N,P 分别为 DE,BE,BC 的中点, ∴ MN 是△EDB 的中位线,PN 是△BCE 的中位线, ∴ MN= 1 2 BD,PN= 1 2 CE, ∴ MN=PN. 6. 证明:∵ AB=AC,∴ ∠B= ∠C, ∵ DE⊥BC,∴ ∠BED= ∠CED= 90°, ∴ ∠B+∠F= ∠C+∠EDC= 90°,∴ ∠F= ∠EDC, ∵ ∠ADF= ∠EDC,∴ ∠ADF= ∠F, ∴ AD=AF. 7. 解:DG=BE,理由:∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ DC=BC,∠BCD= 90°, ∵ 四边形 CEFG 是正方形, ∴ CG=CE,∠GCE= 90°, ∴ ∠DCG+∠ECD= ∠BCE+∠ECD= 90°, ∴ ∠DCG= ∠BCE, 在△DCG 和△BCE 中, DC=BC, ∠DCG= ∠BCE, CG=CE, { ∴ △DCG≌△BCE(SAS),∴ DG=BE. 8. 证明:∵ DE=DC,∴ ∠DEC= ∠C, ∵ ∠B= ∠C,∴ ∠B= ∠DEC, ∴ AB∥DE. ∵ AD∥BC,∴ 四边形 ABED 是平行四边形, ∴ AD=BE. 9. 证明: ( 1) 在 △ABE 和 △CBD 中, ∵ AB = CB, ∠ABE = ∠CBD,BE=BD, ∴ △ABE≌△CBD(SAS),∴ AE=CD. ∵ F 是 Rt△ABE 斜边 AE 的中点,∴ AE= 2BF, ∴ CD= 2BF; (2)如解图,延长 BF 到点 G,使 FG=BF,连接 AG. 第 9 题解图 在 △AGF 和 △EBF 中, ∵ AF = EF, ∠AFG = ∠EFB, GF=BF, ∴ △AGF≌△EBF(SAS),∴ ∠FAG= ∠FEB,AG=BE, ∴ AG∥BE,∴ ∠GAB+∠ABE= 180°, ∵ ∠ABC= ∠EBD= 90°,∴ ∠ABE+∠DBC= 180°, ∴ ∠GAB= ∠DBC. ∵ BE=BD,∴ AG=BD. 在 △AGB 和 △BDC 中, ∵ AG = BD, ∠GAB = ∠DBC, AB=BC, ∴ △AGB≌△BDC(SAS),∴ CD=BG. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 58