专题三 新定义运算-【一战成名新中考】2025山东中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·山东数学 重 难 专 题 专题三　 新定义运算 (统考卷 16 题) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　类型 1　 新定义法则 1. [ 2024 枣庄滕州市一模] 定义一种运算 a　 b c　 d = ad - bc, 计 算 5 　 sin60° 2　 15 = 　 4 3 　 . 2. [2024 威海 7 题 3 分]定义新运算:①在平面 直角坐标系中,{a,b}表示动点从原点出 发,沿着 x 轴正方向(a≥0)或负方向(a< 0)平移 | a | 个单位长度,再沿着 y 轴正方 向(b≥0)或负方向(b<0)平移 | b | 个单位 长度. 例如,动点从原点出发,沿着 x 轴负 方向平移 2 个单位长度,再沿着 y 轴正方 向平移 1 个单位长度,记作{ -2,1} . ②加 法运算法则:{a,b} +{ c,d} = {a+c,b+d}, 其中 a,b,c,d 为实数. 若{3,5} +{m,n} = { -1,2},则下列结论正 确的是 (　 B　 ) A. m= 2,n= 7 B. m= -4,n= -3 C. m= 4,n= 3 D. m= -4,n= 3 3. [2024 宿迁]规定:对于任意实数 a,b,c,有 【a,b】★c = ac+b,其中等式右面是通常的 乘法和加法运算,如【2,3】 ★1 = 2×1+3 = 5. 若关于 x 的方程【x,x+1】★(mx)= 0 有 两个不相等的实数根,则 m 的取值范围为 (　 D　 ) A. m< 1 4 B. m> 1 4 C. m> 1 4 且 m≠0 D. m< 1 4 且 m≠0 4. [2024 烟台蓬莱区二模]对于实数 a,b,定义 一种新运算“ ⊗” 为:a⊗b = 1 a-b2 ,这里等 式右边是实数运算. 例如:1⊗3 = 1 1-32 = - 1 8 ,则方程 x⊗( -2)= 2 x-4 -1 的解是 (　 B　 ) A. x= 4 B. x= 5 C. x= 6 D. x= 7 5. [2024 临沂蒙阴县期末]定义:对于实数 a,符 号[a] 表示不大于 a 的最大整数. 例如: [5. 7] = 5,[5] = 5,[ -π] = - 4. 若[ x 2 ] = -3,则 (　 A　 ) A. -6≤x<-4 B. -8≤x<-6 C. -6<x≤-4 D. -8<x≤-6 6. [2024 泰安肥城市期末]对于有理数 a,b,定 义 min{a,b}的含义为:当 a<b 时,min{a, b} = a, 例如: min { 1, - 2 } = - 2. 已知 min{ 31 ,a} =a,min{ 31 ,b} = 31 ,且 a 和 b 为两个连续正整数,则 ab-( 31 ) 2 的 立方根为　 -1　 . 7. [2024 滨州邹平市模拟]从 n 个不同元素中 取出 m(m≤n) 个元素的所有组合的个 数,叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的 组 合 数, 用 符 号 Cmn 表 示, Cmn = n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1) m(m-1)·…·1 (n≥m,n, m 为正整数) . 例如:C25 = 5×4 2×1 ,C38 = 8×7×6 3×2×1 , 则C49 +C59 = (　 C　 ) A. C69 B. C410 C. C510 D. C610 8. [2024 内蒙古]对于实数 a,b,定义运算“※” 为 a※b=a+3b,例如 5※2 = 5+3×2 = 11,则 关于 x 的不等式 x※m<2 有且只有一个正 整数解时,m 的取值范围是　 　 　 　 . 9. [2024 眉山]定义运算:a⊗b = (a+2b) (a- b),例如 4⊗3 = (4+2×3) (4-3),则函数 y= (x+1)⊗2 的最小值为 (　 B　 ) A. -21 B. -9 C. -7 D. -5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 24 专项培优练·山东数学 重 难 专 题 10. [ 2024 广 州 ] 定 义 新 运 算: a ⊗ b = a2 -b,a≤0, -a+b,a>0.{ 例如:-2⊗4 = ( -2) 2 -4 = 0, 2⊗3 = -2+3 = 1. 若 x⊗1 = - 3 4 ,则 x 的值 为　 　 　 　 . 11. [2023 潍坊昌邑市二模]定义新运算:a⊕b = a b (b>0), - a b (b<0), ì î í ï ï ï ï ïï 例如:3⊕5 = 3 5 ,3⊕( - 5) = - 3 -5 = 3 5 ,则 y= 3⊕x(x≠0)的图象是 (　 B　 ) 第 12 题图 12. 数学文化 [2024 济南平阴 县一模] 《梦溪笔谈》 是 我国古代科技著作,其 中它记录了计算圆弧长 度的 “ 会圆术” . 如图, AB ( 是以点 O 为圆心、OA 为半径的圆弧,N 是 AB 的中点,MN⊥ AB. “会圆术”给出 AB ( 的弧长 l 的近似值 计算 公 式: l = AB + MN 2 OA . 当 OA = 4, ∠AOB= 60°时,l 的值为　 11-4 3 　 . 类型 2　 新定义概念(统考卷 16 题) 13. [2024 广元]若点 Q(x,y)满足 1 x + 1 y = 1 xy , 则称点 Q 为“美好点”,写出一个“美好 点”的坐标 　 . 14. [2024 淄博沂源县二模]定义:两点关于某 条直线对称,则称这条直线为这两个点 的“幸福直线” . 若点 A(1,2)的幸福直线 是 x= -2,则点 A 关于这条幸福直线的对 称点 B 的坐标是 (　 A　 ) A. ( -5,2) B. ( -1,2) C. (1,-2) D. ( -1,-2) 15. [2024 潍坊模拟]若把第 n 个位置上的数 记为 xn,则称 x1,x2,x3,…,xn 有限个有序 放置的数为一个数列 A. 定义数列 A 的 “伴生数列” B 是:y1,y2,y3,…,yn,其中 yn 是这个数列中第 n 个位置上的数,n = 1,2,…,k,且 yn = 0(xn-1 = xn+1), 1(xn-1≠xn+1), { 并规定 x0 = xn,xn +1 = x1 . 如果数列 A 只有四个数, 且 x1,x2,x3,x4 依次为 3,1,2,1,则其“伴 生数列”B 是 (　 A　 ) A. 0,1,0,1 B. 1,0,1,0 C. 1,0,0,1 D. 0,1,1,0 16. [2024 济宁北湖区二模]定义:若一元一次 不等式组的解集(不含无解)都在一元一 次不等式的解集范围内,则称该一元一 次不等式组为该不等式的“子集” . 如:不 等式组 2x-3<9-x, 5x+5≥2x-4{ 的解集为-3≤x<4, 不等式 2x-1>-9 的解为 x>-4, ∵ -3≤x<4 在 x>-4 的范围内, ∴ 一元一次不等式组 2x-3<9-x, 5x+5≥2x-4{ 是一 元一次不等式 2x-1>-9 的“子集” . 若关于 x 的不等式组 3x-6>2-x, x-1≥4x-10{ 是关 于 x 的不等式 x-k≤1 的“子集”,则 k 的 取值范围是　 k≥2　 . 17. [2024 临沂兰山区月考]如果二次函数 y = a1x2 +b1x+c1(a1 ≠0,a1,b1,c1 是常数)与 y=a2x2 +b2x+c2(a2 ≠0,a2,b2,c2 是常数) 满足 a1 +a2 = 0,b1 = b2,c1 +c2 = 0,那么称这 两个函数互为“旋转函数” . 若函数 y = -x2 + 4 3 mx-2 与 y= x2 -2nx+n 互为旋转函 数,则(m+n) 2 023 的值为　 -1　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 34 专项培优练·山东数学 重 难 专 题 18. [2024 济南三模]新定义:函数图象上任意 一点 P ( x, y), y - x 称为该点的 “ 坐标 差”,函数图象上所有点的“坐标差”的最 大值称为该函数的“特征值” . 一次函数 y = 2x + 3 ( - 2 ≤ x ≤ 1 ) 的 “ 特征值” 是　 4　 . 19. 分类讨论 ∙∙∙∙ [2024 济宁二模]定义:一个三角 形的一边长是另一边长的 2 倍,这样的 三角形叫作 “ 倍长三角形” . 若 等 腰 △ABC 是“倍长三角形”,腰 AB 的长为 4,则底边 BC 的长为　 2　 . 20. [2024 上海]对于一个二次函数 y = a( x- m) 2 +k(a≠0)中存在一点 P(x′,y′),使 得 x′-m= y′-k≠0,则称 2 | x′-m | 为该抛 物线的 “ 开口大小”,那么抛物线 y = - 1 2 x2 + 1 3 x+3 的“开口大小”为　 4　 . 21. [2024 河北]在平面直角坐标系中,我们把 一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该 点的“特征值” . 如图,矩形 ABCD 位于第 一象限,其四条边分别与坐标轴平行,则 该矩形四个顶点中“特征值”最小的是 (　 B　 ) 第 21 题图 A. 点 A　 B. 点 B　 C. 点 C　 D. 点 D 22. [2024 菏泽鲁西新区三模]定义:平面内任 意两点 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ),dPQ = | x1 - x2 | + | y1 -y2 |称为这两点之间的曼哈顿距 离,例如 P(1,2),Q(3,-4),dPQ = | x1 -x2 | + | y1 -y2 | = | 1-3 | + | 2-( -4) | = 2+6 = 8. 若点 A 为抛物线 y= x2 上的动点,点 B 为 直线 y= 1 2 x+b 上的动点,并且抛物线与 直线没有交点,dAB 的最小值为 1,则 b 的 值为 (　 D　 ) A. - 1 16 B. -15 16 C. -1 D. -17 16 23. [2024 烟台招远市模拟]规定:两个函数 y1, y2 的图象关于 y 轴对称,则称这两个函 数互为“Y 函数” . 例如,函数 y1 = 2x+2 与 y2 = -2x+2 的图象关于 y 轴对称,则这两 个函数互为“Y 函数” . 若函数 y = kx2 + 2(k-2)x+k-8(k≠0)的“Y 函数”图象与 x 轴只有一个交点,则其“Y 函数”的解析 式为 (　 D　 ) A. y= -x2 -6x+9 B. y= -x2 -6x-9 C. y= -x2 +6x+9 D. y= -x2 +6x-9 24. [2024 泸州]宽与长的比是 5 -1 2 的矩形叫 作黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀 称的美感. 如图,把黄金矩形 ABCD 沿对 角线 AC 翻折,点 B 落在点 B′处,AB′交 CD 于点 E,则 sin∠DAE 的值为(　 A　 ) 第 24 题图 A. 5 5 B. 1 2 C. 3 5 D. 2 5 5 25. [2024 河北]平面直角坐标系中,我们把 横、纵坐标都是整数,且横、纵坐标之和 大于 0 的点称为“和点” . 将某“和点”平 移,每次平移的方向取决于该点横、纵坐 标之和除以 3 所得的余数(当余数为 0 时,向右平移;当余数为 1 时,向上平移; 当余数为 2 时,向左平移),每次平移 1 个单位长度. 例:“和点”P(2,1) 按上述 规则连续平移 3 次后,到达点 P3(2,2), 其平移过程如下: . 若“和点”Q 按上述规则连续平移 16 次 后,到达点 Q16( -1,9),则点 Q 的坐标为 (　 D　 ) A. (6,1)或(7,1)　 B. (15,-7)或(8,0) C. (6,0)或(8,0) D. (5,1)或(7,1) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 44 专项培优练·山东数学 重 难 专 题 26. [2024 湖南省卷]在平面直角坐标系 xOy 中,对于点 P(x,y),若 x,y 均为整数,则 称点 P 为“整点”,特别地,当 y x (其中 xy≠0)的值为整数时,称“整点”P 为“超 整点” . 已知点 P(2a- 4,a+ 3)在第二象 限,下列说法正确的是 (　 C　 ) A. a<-3 B. 若点 P 为“整点”,则点 P 的个数为 3 C. 若点 P 为“超整点”,则点 P 的个数 为 1 D. 若点 P 为“超整点”,则点 P 到两坐标 轴的距离之和大于 10 27. [2024 乐山]定义:函数图象上到两坐标轴 的距离都小于或等于 1 的点叫作这个函 数图象的“近轴点” . 例如,点(0,1)是函 数 y= x+1 图象的“近轴点” . (1)下列三个函数的图象上存在“近轴 点”的是　 ③　 (填序号); ①y= -x+3;②y= 2 x ;③y= -x2 +2x-1. (2)易错 ∙∙ 若一次函数 y = mx- 3m 图象上 存在 “ 近轴点”, 则 m 的取值范围 为　 　 　 　 　 　 　 　 . 28. [2023 济南 10 题改编]定义:在平面直角坐 标系中,对于点 P( x1,y1 ),当点 Q( x2, y2) 满足 2 ( x1 + x2 ) = y1 + y2 时, 称点 Q(x2,y2)是点 P(x1,y1 )的“倍增点” . 已 知点 P1(1,0),下列结论错误的是 (　 B　 ) A. 点 Q1(3,8),Q2( -2,-2)都是点 P1 的 “倍增点” B. 若直线 y = x+ 2 上的点 A 是点 P1 的 “倍增点”,则点 A 的坐标为(2,4) C. 抛物线 y= x2 -2x-3 上存在两个点是 点 P1 的“倍增点” D. 若点 B 是点 P1 的“倍增点”,则 P1B 的最小值是 4 5 5 29. 学科融合 [2024 广元]小明从科普读物中 了解到,光从真空射入介质发生折射时, 入射角 α 的正弦值与折射角 β 的正弦值 的比值 sinα sinβ 叫作介质的“绝对折射率”, 简称“折射率” . 它表示光在介质中传播 时,介质对光作用的一种特征. (1)若光从真空射入某介质,入射角为 α,折射角为 β,且 cosα = 7 4 ,β = 30°, 求该介质的折射率; (2)现有一块与( 1) 中折射率相同的长 方体介质,如图①所示,点 A,B,C,D 分别是长方体棱的中点,若光线经真 空从矩形 A1D1D2A2 对角线交点 O 处 射入,其折射光线恰好从点 C 处射 出,如图②,已知 α= 60°,CD= 10 cm, 求截面 ABCD 的面积. 图① 图② 第 29 题图 解:(1)该介质的折射率为 3 2 ; (2)截面 ABCD 的面积为 100 2 cm2 . 详解见本册 P. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 54 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 DC2 -DH2 = 7-3 = 2,∴ BC=BH+CH= 1+2 = 3,∴ AB = BC= 3,故①正确;当动点 P 运动到点 C 时,t = BC÷ 1 = 3 (秒),∴ 当 t= 5 时,P 在 AC 上,且 PC= 2,如解图②,AD = AP= 1,又∠A= 60°,∴ △ADP 是等边三角形,∴ DP = AD = AP= 1,∴ y=DP2 = 1,故②正确;当 4≤t≤6 时,如解图③, 此时 PC= 1,点 P 从如解图③的位置运动到点 A,过点 D 作 DH⊥AC 于点 H,则 AH = 1 2 AD = 1 2 ,DH = 3 2 AD = 3 2 , 当点 P 运动到点 H 时,y 取得最小值 3 4 ,又∵ HP=AC-AH -PC= 3- 1 2 -1 = 3 2 ,∴ DP = DH2 +HP2 = 3 ,∴ 此时 y = DP2 取得最大值 3,∴ 当 4≤ t≤6 时, 3 4 ≤y≤3,故③错 误;∵ t1 +t2 = 6,t1 <t2 ,∴ t1 +t2 <2t2 ,∴ t1 +t2 2 <t2 ,即 3<t2 ,2t1 < t1 +t2 ,t2 = 6- t1 ,∴ t1 < t1 +t2 2 ,即 t1 < 3,∴ t1 < 3,t2 > 3. 由题意 得,当 0≤t≤3 时,y = ( t- 1) 2 + 3;当 3≤ t≤6 时,y = ( t- 5. 5) 2 + 3 4 ,∴ y1 = ( t1 - 1) 2 + 3,y2 = ( t2 - 5. 5) 2 + 3 4 = ( t1 - 0. 5) 2 + 3 4 ,∴ y1 -y2 = ( t1 -1) 2 + 3-( t1 - 0. 5) 2 - 3 4 = 3- t1 > 0,∴ y1 >y2 ,故④正确. 图① 　 图② 　 图③ 第 9 题解图 专题三　 新定义运算 1. 4 3 　 【解析】∵ a　 b c　 d = ad-bc,∴ 5 　 sin60° 2　 15 = 5 × 15 -2sin60° = 5 3 -2× 3 2 = 5 3 - 3 = 4 3 . 2. B　 【解析】由新运算知 3+m = - 1,5+n = 2,解得 m = - 4, n= -3. 3. D　 【解析】根据题意得 x(mx) +x+1 = 0,整理得 mx2 +x+1 = 0,∵ 关于 x 的方程【 x,x+ 1】 ★(mx) = 0 有两个不相等 的实数根,∴ Δ = 12 - 4m·1> 0 且 m≠0,解得 m< 1 4 且 m ≠0. 4. B　 【解析】根据题意得 1 x-4 = 2 x-4 -1,方程两边乘( x-4), 得 1 = 2-( x- 4),解得 x = 5,经检验,x = 5 是分式方程的 解,∴ x= 5. 5. A　 【解析】∵ [ x 2 ] = -3,∴ x 2 <-2①, x 2 ≥-3②, ì î í ï ï ïï 解不等式①得 x <-4,解不等式②得 x≥-6,∴ 原不等式组的解集为-6≤x <-4. 6. -1　 【解析】∵ min{ 31 ,a} = a,min{ 31 ,b} = 31 , ∴ a< 31 <b,∵ 5< 31 <6,且 a 和 b 为两个连续正整数, ∴ a= 5,b = 6, ∴ ab - ( 31 ) 2 = 5 × 6 - 31 = - 1, ∴ ab - ( 31 ) 2 的立方根为-1. 7. C　 【解析】∵ Cmn = n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1) m(m-1)·…·1 ,∴ C49 + C59 = 9×8×7×6 4×3×2×1 +9 ×8×7×6×5 5×4×3×2×1 = 5 ×9×8×7×6 5×4×3×2×1 +9 ×8×7×6×5 5×4×3×2×1 = 2× 9×8×7×6×5 5×4×3×2×1 = 10 ×9×8×7×6 5×4×3×2×1 = C510 . 8. 0≤m< 1 3 　 【解析】x※m = x+3m,∴ x※m<2 即 x+3m<2, 解得 x<-3m+2. ∵ 此不等式有且只有一个正整数解,∴ 1 <-3m+2≤2,解得 0≤m< 1 3 . 9. B　 【解析】由题意得 y= (x+ 1) ⊗2 = ( x+ 1+ 2× 2) ( x+ 1- 2)= (x+5)(x-1)= x2 +4x-5 = ( x+2) 2 -9,∴ 函数 y = ( x+ 1)⊗2 的最小值为-9. 10. - 1 2 或 7 4 　 【解析】∵ x⊗1 = - 3 4 ,∴ 当 x≤0 时,x2 -1 = - 3 4 ,解得 x = - 1 2 或 x = 1 2 (不合题意,舍去);当 x> 0 时,-x+1 = - 3 4 ,解得 x= 7 4 . 综上,x 的值为- 1 2 或 7 4 . 11. B　 【解析】由题意得 y = 3⊕x = 3 x (x>0), - 3 x (x<0), ì î í ï ï ïï ∴ 当 x> 0 时,反比例函数 y = 3 x 的图象在第一象限,当 x<0 时,反 比例函数 y= - 3 x 的图象在第二象限,∴ B 选项符合. 12. 11-4 3 　 【解析】如解图,连接 ON,∵ OA =OB,∠AOB = 60°,∴ △OAB 是等边三角形,∴ AB = OA = 4,∵ N 是 AB 的中点,∴ ON⊥AB,∵ MN⊥AB,∴ M,N,O 三点共线, ∵ △OAB 是等边三角形,ON⊥AB,∴ ON = 3 2 OA = 2 3 , ∵ OM=OA= 4,∴ MN=OM-ON= 4-2 3 ,∴ l =AB+ MN2 OA = 4+ (4-2 3 ) 2 4 = 11-4 3 . 第 12 题解图 13. (2,-1)(答案不唯一,满足 x+y= 1 且 x≠0,y≠0 均可) . 14. A 15. A　 【解析】由题意得 x0 = x4 = 1,x5 = x1 = 3,∵ x0 = x2 = 1, ∴ y1 = 0,∵ x1 = 3,x3 = 2,∴ y2 = 1,∵ x2 = 1,x4 = 1,∴ y3 = 0,∵ x3 = 2,x5 = 3,∴ y4 = 1,∴ “伴生数列”B 是 0,1,0,1. 16. k≥2　 【解析】解不等式组 3x-6>2-x, x-1≥4x-10,{ 得 2 < x≤3. ∵ 关于 x 的不等式 x-k≤1 的解集为 x≤k+1,关于 x 的 不等式组 3x-6>2-x, x-1≥4x-10{ 是关于 x 的不等式 x-k≤1 的“子 集”,∴ k+1≥3,∴ k≥2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 97 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 17. -1　 【解析】∵ 函数 y= -x2 + 4 3 mx-2 与 y = x2 -2nx+n 互 为旋转函数,∴ 4 3 m= -2n, -2+n= 0, { 解得 m = - 3,n = 2,∴ (m+ n) 2 023 = ( -3+2) 2 023 = -1. 18. 4　 【解析】设点(a,b)为一次函数 y = 2x+3( -2≤x≤1) 图象上任意一点,则 b = 2a+3,∴ b-a = a+3,∵ - 2≤a≤ 1,∴ 当 a= 1 时,b-a 取得最大值,最大值为 4,∴ 一次函 数 y= 2x+3( -2≤x≤1)的“特征值”为 4. 19. 2　 【解析】分两种情况:当等腰三角形的底边长 BC 是 腰长 AB 的 2 倍时,∵ 腰长 AB = AC = 4,∴ 底边 BC 的长 为 8,∵ 4+4 = 8,∴ 不能组成三角形;当等腰三角形的腰 长 AB 是底边长 BC 的 2 倍时,∵ 腰长 AC = AB = 4,∴ 底 边 BC 的长为 2,∵ 4+2>4,∴ 能组成三角形. 综上所述, 底边 BC 的长为 2. 20. 4　 【解析】∵ 抛物线 y= - 1 2 x2 + 1 3 x+3 = - 1 2 ( x- 1 3 ) 2 + 55 18 ,∴ x′- 1 3 = - 1 2 (x′- 1 3 ) 2 + 55 18 - 55 18 ,解得 x′- 1 3 = -2, ∴ 抛物线 y= - 1 2 x2 + 1 3 x+3 的“开口大小”为 2 | x′- 1 3 | = 2× | -2 | = 4. 21. B　 【解析】设 A(a,b),AB=m,AD=n,∵ 四边形 ABCD 是 矩形,∴ BC=AD= n,CD = AB =m,∴ D(a,b+n),B(a+m, b),C(a+m,b+n),∵ b a+m < b a < b+n a ,而 b a+m < b+n a+m ,∴ 该 矩形四个顶点中“特征值”最小的是点 B. 22. D　 【解析】设 A(m,m2 ),B(n, 1 2 n+b),∴ dAB = | m-n | + |m2 - 1 2 n-b | ,∵ 抛物线与直线没有交点,dAB 的最小值 为 1,∴ 当 A,B 两点横坐标相等时,dAB 能取得最小值, ∴ dAB = |m2 - 1 2 m-b | = | (m- 1 4 ) 2 - 1 16 -b | ,∵ 曼哈顿距 离 dAB 的最小值为 1,∴ | - 1 16 -b | = 1,∴ b= - 17 16 或 b= 15 16 , ∵ 抛物线与直线没有交点,∴ 方程 x2 = 1 2 x+b,即 x2 - 1 2 x-b= 0 无实数根,∴ Δ= ( - 1 2 ) 2 +4b<0,∴ b<- 1 16 ,∴ b = - 17 16 . 23. D　 24. A　 【解析】∵ 矩形 ABCD 是黄金矩形,∴ 令 AD = BC = ( 5 - 1) a,AB = CD = 2a,由翻折可知∠EAC = ∠BAC. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AB∥CD,∴ ∠DCA = ∠BAC, ∴ ∠DCA= ∠EAC,∴ AE=EC. 令 DE= x,则 AE =EC = 2a- x,在 Rt△ADE 中,AD2 +DE2 =AE2 ,[( 5 -1)a] 2 +x2 = (2a -x) 2 ,解得 x= 5 -1 2 a,∴ DE = 5 -1 2 a,AE = 2a- 5 -1 2 a = 5- 5 2 a,∴ 在 Rt△ADE 中,sin∠DAE= DE AE = 5 -1 2 a 5- 5 2 a = 5 5 . 25. D　 【解析】根据已知得,点 P3(2,2)的横、纵坐标之和除 以 3 所得的余数为 1,继而向上平移 1 个单位得到 P4(2, 3),此时横、纵坐标之和除以 3 所得的余数为 2,继而向 左平移 1 个单位得到 P5(1,3),此时横、纵坐标之和除以 3 所得的余数为 1,又向上平移 1 个单位……因此发现 规律为若“和点”横、纵坐标之和除以 3 所得的余数为 0 时,先向右平移 1 个单位,再按照向上、向左,向上、向左 不断重复的规律平移. 若“和点”Q 按上述规则连续平移 16 次后,到达点 Q16( -1,9),则按照“和点”Q16 反向运动 16 次即可,可以分为两种情况:①Q16 先向右 1 个单位得 到 Q15(0,9),此时横、纵坐标之和除以 3 所得的余数为 0,应该是 Q15 向右平移 1 个单位得到 Q16 ,故矛盾,不成 立; ②Q16 先向下 1 个单位得到 Q15( -1,8),此时横、纵 坐标之和除以 3 所得的余数为 1,则应该向上平移 1 个 单位得到 Q16 ,故符合题意,∴ 点 Q16 先向下平移,再向 右平移,当平移到第 15 次时,共计向下平移了 8 次,向 右平移了 7 次,此时坐标为( -1+7,9-8),即(6,1),∴ 最 后一次若向右平移则为(7,1),若向左平移则为(5,1) . 26. C 　 【解析】 ∵ 点 P ( 2a - 4, a + 3 ) 在 第 二 象 限, ∴ 2a-4<0, a+3>0,{ 解得-3<a< 2,故选项 A 不正确,不符合题 意;∵ 点 P(2a-4,a+3)为“整点”,∴ a 为整数,又∵ -3< a<2,∴ a= -2,-1,0,1,当 a = -2 时,2a-4 = -8,a+3 = 1, 此时点 P( -8,1);当 a= -1 时,2a-4 = -6,a+3 = 2,此时 点 P( - 6,2);当 a = 0 时,2a- 4 = - 4,a+ 3 = 3,此时点 P( -4,3);当 a= 1 时,2a-4 = -2,a+3 = 4,此时点 P( -2, 4),∴ “整点”P 的个数为 4,故选项 B 不正确,不符合题 意;根据“超整点”的定义得,只有当 a = 1 时,点 P( -2, 4)是“超整点”,∴ “超整点”P 的个数为 1,故选项 C 正 确,符合题意;若点 P 为“超整点”,即 P( -2,4),则点 P 到两坐标轴的距离之和为 | -2 | + | 4 | = 6,故选项 D 不正 确,不符合题意. 27. (1)③;(2)0<m≤ 1 2 或- 1 2 ≤m<0　 【解析】(2)∵ y=mx -3m=m(x-3),∴ 一次函数 y = mx- 3m 图象经过点(3, 0),分两种情况:①当 m>0 时,如解图①,当 x = 1 时,y = m-3m= -2m,∵ 一次函数 y =mx-3m 图象上存在“近轴 点”,∴ -1≤-2m<0,∴ 0<m≤ 1 2 ;②当 m<0 时,如解图 ②,由①知,点 A 的坐标为(1,-2m),∵ 一次函数 y=mx- 3m 图象上存在“近轴点”,∴ 0<-2m≤1,∴ - 1 2 ≤m<0. 综上,m 的取值范围为 0<m≤ 1 2 或- 1 2 ≤m<0. 图① 　 图② 第 27 题解图 28. B　 【解析】A. ∵ 2×(1+3)= 8+0,2×(1-2)= -2+0,∴ 点 Q1(3,8),Q2( -2,-2)都是点 P1 的“倍增点”,∴ A 正确; B. 由题意,可设满足题意的“倍增点” A( x,x+2),∴ 2( x +1)= x+2+0,∴ x= 0,∴ A(0,2),∴ B 错误;C. 可设抛物 线上的“倍增点”为(x,x2 -2x-3),∴ 2(x+1)= x2 -2x-3+ 0,∴ x= 5 或 x= -1,∴ 此时满足题意的“倍增点”有(5, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 08 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 12),( -1,0)两个,∴ C 正确;D. 设 B(x,y),∴ 2( x+1) = y+ 0, ∴ y = 2 ( x + 1 ), ∴ P1B = (x-1) 2 +y2 = (x-1) 2 +4(x+1) 2 = 5(x+ 3 5 ) 2 + 16 5 ,∵ 5> 0,∴ 当 x = - 3 5 时,P1B 有最小值为 4 5 5 ,∴ D 正确. 29. 解:(1)如解图,∵ cosα= b c = 7 4 ,∴ 设 b = 7 x(x>0),则 c= 4x, 第 29 题解图 由勾股定理得 a= (4x) 2 -( 7 x) 2 = 3x, ∴ sinα= a c = 3x 4x = 3 4 , ∵ β= 30°,∴ sinβ= sin30° = 1 2 , ∴ 该介质的折射率为 sinα sinβ = 3 4 1 2 = 3 2 . 答:该介质的折射率为 3 2 ; (2)根据长方体介质与( 1) 中折射率相同可得折射率 为 3 2 , ∴ sinα sinβ = sin60° sinβ = 3 2 ,∴ sinβ= 3 3 , 易得点 O 是 AD 的中点,∴ AD= 2OD, ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ ∠ADC= 90°, ∵ ∠OCD=β,∴ sin∠OCD= sinβ= OD OC = 3 3 , 在 Rt△ODC 中,设 OD= 3 y(y>0),OC= 3y, 由勾股定理得 CD= (3y) 2 -( 3 y) 2 = 6 y, ∴ tanβ= OD CD = 2 2 , ∴ OD= 10× 2 2 = 5 2 (cm), ∴ AD= 2OD= 10 2 (cm), ∴ 截 面 ABCD 的 面 积 为 AD · CD = 10 2 × 10 = 100 2 (cm2 ) . 答:截面 ABCD 的面积为 100 2 cm2 . 专题四　 结论正误判断题 1. C 2. C　 【解析】根据题意得 150× x 10 -100≥100×20%,解得 x ≥8,∴ 该商品最多打 8 折. 3. D 4. D　 【解析】T(3,5)= 15+6-4 = 17,故①正确;若 T( -3,x) = 5, 则 - 3x - 6 - 4 = 5, 解 得 x = - 5, 故 ② 正 确; 若 T( -3,x) <5, T(x,2)≤4,{ 则 -3x-6-4<5, 2x+2x-4≤4,{ 解得-5<x≤2,故③正确; ④若 T(m,n) = 0(n≠-2),则 mn+2m-4 = 0,∴ m = 4 n+2 , ∵ m,n 都是整数,∴ n+2 = ±4 或 n+2 = ±2 或 n+2 = ±1,∴ n = 2 或-6 或 0 或-4 或-1 或-3,∴ m,n 有且仅有 6 组整数 解,故④正确. 综上,结论正确的个数为 4. 5. ②③④　 【解析】如解图,当 x< - 1 时,x 越小,函数值越 大,故①错误;当-1<x<0 时,x 越大,函数值越小,故②正 确;当 0<x< 1 时,x 越小,函数值越大,故③正确;当 x> 1 时,x 越大,函数值越大,故④正确. 第 5 题解图 6. C　 【解析】如解图,过点 B 作 BE⊥x 轴,垂足为 E,①根 据双曲线 y= 2 x 及直线 y= kx(k>0)均关于原点成中心对 称图形可知点 A 与点 B 关于原点对称,故①正确;②∵ AC ⊥x 轴,∴ AC∥y 轴,∵ 点 A 与点 B 关于原点对称,∴ OB = OA,∴ BD=DC,即 D 是 BC 的中点,故②正确;③当点 P, Q 在同一象限内时,若 y1 >y2 ,则 x1 <x2 ,故③错误;④S△BOD = 1 2 S△BOC = 1 2 S△AOC = 1 2 ×1 = 1 2 ,故④正确. 综上所述,结 论正确的是①②④,共 3 个. 第 6 题解图 7. B　 【解析】如解图,作 AE⊥y 轴于点 E,CF⊥y 轴于点 F, ∵ 四边形 OABC 是平行四边形,∴ S△AOB = S△COB,∴ AE = CF,易得四边形 CNOF,四边形 AMOE 都是矩形,∴ CF = ON,AE=OM,∴ OM=ON,∵ S△AOM = 1 2 | k1 | = 1 2 OM·AM, S△CON = 1 2 | k2 | = 1 2 ON·CN,∴ AM CN = | k1 | | k2 | = | k1 k2 | ,故①正 确; ∵ S△AOM = 1 2 | k1 | ,S△CON = 1 2 | k2 | , ∴ S阴影 = S△AOM + S△CON = 1 2 | k1 | + 1 2 | k2 | = 1 2 ( | k1 | + | k2 | ),故②正确;当 ∠AOC= 90°时,四边形 OABC 是矩形,∴ 不能确定 OA 与 OC 相等,∴ 不能判断△AOM 与△OCN 全等,∴ 不能判断 S△AOM 与 S△CON 相等,∴ 不能确定 | k1 | = | k2 | ,故③错误; 若四边形 OABC 是菱形, 则 OA = OC, 又 ∵ OM = ON, ∴ Rt△AOM≌Rt△CON( HL),∴ S△AOM = S△CON,∴ | k1 | = | k2 | ,又由图象可得,k1 >0,k2 <0,∴ k1 = -k2 ,∴ k1 +k2 = 0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 18