专题七 突破设问4-5 角度问题 相似三角形存在性问题-【一战成名新中考】2025山东中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·山东数学 重 难 专 题 突 破 设 问 4 　 角度问题 大题小练启发思维 1. (1)如图①,点 A 在 x 轴的负半轴上,请在 y 轴上画出点 P,使得∠PAO= 60°; 【点拨】想到含 30°角的直角三角形,注意点 P 在 y 轴正半轴和 y 轴负半轴两种情况, 不能漏解. 第 1 题图① (2)在如图②所示的网格坐标系中,点 A 的坐标是(4,0),点 B 的坐标是(0,2),请在图中 作射线 BP,使得∠PBA= 45°; 【点拨】想到含 45°角的直角三角形或正方形. 第 1 题图② (3)如图③,抛物线 L:y= -x2 +2x+3 经过点 A( -1,0),B(3,0),C(0,3) . ①在 y 轴上取一点 P,使得∠ABP= ∠ACO,写出点 P 的坐标; 【点拨】非特殊角考虑用全等或相似实现角相等的转化. 第 1 题图③ ②在①的条件下,求直线 BP 与抛物线 L 的交点 D 的坐标. 19 专项培优练·山东数学 重 难 专 题 仿真训练 2. [2024 烟台 24 题改编]如图,抛物线 y= x2 +bx+c 经过 A( -1,0),D(0,-3)两点,并交 x 轴于 另一点 B,点 E 是抛物线的顶点. (1)求抛物线的表达式; (2)点 H 的坐标为 ( 0, - 2),动点 P 在抛物线上,试探究是否存在点 P,使∠PEH = 2∠DHE? 若存在,请求出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 第 2 题图 ∵点 H 的坐标为(0,-2),抛物线的对称轴为直线 x=1,∴H′(2,-2), 设直线 PE 的表达式为 y=kx+b(k≠0),将 H′(2,-2),E(1,-4)代入,得 2k+b=-2, k+b=-4,{ 解得 k=2, b=-6,{ ∴直线 PE 的表达式为 y=2x-6, 联立 y=2x-6, y=x2-2x-3,{ 得 x 2-2x-3=2x-6,解得 x=3 或 x=1(舍去),∴ y=2×3-6=0,∴P(3,0); ②当点 P 在抛物线对称轴左侧抛物线上时,如解图②,延长 EP 交 y 轴于点 N,作HN 的垂直平分线交 HE 于点 Q,交 y 轴于点 M,连接 QN,过点 E 作 EK⊥y 轴于点 K,则 QM∥EK, ∵QM 垂直平分 HN,∴MN=HM,QH=QN,∴∠QHN=∠QNH,∴∠NQE=2∠NHE, ∵∠PEH=2∠DHE,∴∠NQE=∠PEH,∴NQ=NE, 由 H(0,-2),E(1,-4)得 EK=1,KH=2,∵QM∥EK,∴△HMQ∽△HKE, ∴HM HK =MQ KE ,∴HM 2 =MQ 1 ,∴HM=2MQ,设 HM=2m,则 MQ=m,∴MN=HM=2m,NK=2-4m, 在 Rt△QMN 和 Rt△ENK 中,由勾股定理,得 MQ2+MN2 =NK2+KE2,∴m2+(2m) 2 =(2-4m) 2+12, 解得 m= 5 11 或 m=1(舍去),∴NK=2-20 11 = 2 11 ,∴ON=4- 2 11 = 42 11 ,∴N(0,-42 11 ), 设直线 PE 表达式为 y=a1x+b1(a1≠0),将 N(0,- 42 11 ),E(1,-4)代入,得 a1+b1 =-4, b1 =- 42 11 , ì î í ï ï ïï 解得 a1 =- 2 11 , b1 =- 42 11 , ì î í ï ï ï ï ∴直线 PE 的表达式为 y=- 2 11 x-42 11 , 联立 y=- 2 11 x-42 11 , y=x2-2x-3, ì î í ï ï ïï 得- 2 11 x-42 11 =x2-2x-3,整理得 11x2-20x+9=0,解得 x= 9 11 或 x=1(舍去), ∴ y=- 2 11 × 9 11 -42 11 =-480 121 ,∴P( 9 11 ,-480 121 ) . 综上所述,符合条件的点 P 的坐标为 P(3,0)或 P( 9 11 ,-480 121 ) . 29 专项培优练·山东数学 重 难 专 题 3. 名师原创 如图,已知二次函数 y= -x2 +bx+c 的图象与 x 轴交于 A,B 两点,点 A 的坐标为 ( -1,0),且与 y 轴交于点 C,直线 y= -2x+3 经过点 C,与 x 轴交于点 D. (1)求二次函数的解析式; (2)点 E 是二次函数图象上的一个动点,设点 E 的横坐标为 t(0<t<3),求△ECD 面积的 最大值及此时点 E 的坐标; (3)在二次函数图象上是否存在点 P,使∠PCD= 45°,若存在,请求出点 P 的坐标;若不存 在,请说明理由. 第 3 题图 　 　 　 备用图 解:(1)把 x=0 代入 y=-2x+3,得 y=3, ∴点 C 的坐标为(0,3),∴ y=-x2+bx+3, ∵二次函数图象与 x 轴交于 A,B 两点,点 A 的坐标为(-1,0), ∴0=-(-1) 2-b+3, ∴ b=2, ∴二次函数的解析式为 y=-x2+2x+3; (2)如解图,过点 E 作 EF⊥y 轴于点 F,交 DC 于点 G, 设点 E 的坐标是( t,-t2+2t+3),则点 G 的纵坐标为-t2+2t+3, 代入直线 y=-2x+3,得点 G 的横坐标为 x= t 2-2t 2 , ∴点 G 的坐标是( t 2-2t 2 ,-t2+2t+3),∴EG= t-t 2-2t 2 =-t 2+4t 2 , ∴S△ECD =S△EGC+S△EDG = 1 2 EG·CF+ 1 2 EG·OF = 1 2 EG(CF+OF)= 1 2 EG·OC = 1 2 ×-t 2+4t 2 ×3 = - 3 4 ( t2-4t)= - 3 4 ( t-2) 2+3,∵- 3 4 <0,0<t<3, ∴S△ECD 的最大值是 3,此时点 E 的坐标为(2,3); (3)存在,点 P 的坐标为( 7 3 ,20 9 )或(-1,0) . 【解法提示】见本册 P. 39 专项培优练·山东数学 重 难 专 题 突 破 设 问 5 　 相似三角形存在性问题 大题小练启发思维 1. (1)对应关系确定:若△ABC∽△A′B′C′,∠A = 60°,则∠A′ = 　 60　 °, AB A′B′ = BC (　 　 ) = (　 　 ) A′C′ ; 第 1(3)题图 (2)对应关系不确定,需分类讨论:若以点 D,E,F 为顶点的三角形与 △ABC 相似,且∠A= ∠D,AB AC = 1 2 ,则DE DF = 　 　 　 　 ; (3)对应关系不确定,需分类讨论:已知直线 l 与 x 轴交于点 B,与 y 轴交于点 C,点 F 是线段 BC 上一点,FM⊥x 轴于点 M,点 O 是坐 标原点. 若点 E 是直线 FM 上一点,请在图中画出当△CEF 和 △COB 相似时点 E 的位置草图. 解:点 E 的位置如解图所示. 仿真训练 2. [2024 聊城东昌府区模拟]如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 y = ax2 +bx+c 与 x 轴交于 点A( -1,0),B(3,0),与 y 轴交于点 C(0,3) . (1)求抛物线的解析式; (2)点 D 为直线 BC 上方抛物线上一动点,连接 CD,设直线 BC 交线段 AD 于点 E,当DE AE = 1 2 时,求点 D 的坐标; (3)在(2)的条件下,且点 D 的横坐标小于 2,M 为 x 轴上方抛物线上的一点,过点 M 作 MN⊥x 轴,是否存在点 M 使以 A,M,N 为顶点的三角形与△BCD 相似? 若存在,求出 M 点的坐标;若不存在,请说明理由. 第 2 题图 　 　 　 备用图 设 D(m,-m2+2m+3),则 H(m,-m+3), ∴DH=-m2+2m+3-(-m+3)= 2,解得 m=1 或 2, 当 m=1 时,-m2+2m+3=4;当 m=2 时,-m2+2m+3=3,∴点 D 的坐标为(1,4)或(2,3); (3)存在,点 M 的坐标为( 8 3 ,11 9 )或(0,3) . 【解法提示】见本册 P. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 加练链接 二次函数与几何图形综合题加练扫描 P36 二维码一键免费下载. 49 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 ∴ 点N( -1, 14 )或( -1,- 14 ); ②当 AC=CN 时,18 = 1+(m+3) 2 ,解得 m = -3+ 17 或-3 - 17 (舍去), ∴ 点 N( -1,-3+ 17 ); ③当 AN=CN 时,4+m2 = 1+(m+3) 2 ,解得 m= -1, ∴ 点 N( -1,-1) . 综上所述,点 N 的坐标为( - 1, 14 ) 或( - 1,- 14 ) 或 ( -1,-1)或( -1,-3+ 17 ) . 拓展设问 解:存在,抛物线 y= x2 +2x-3 的对称轴为直线 x= -1. 设点 F 的坐标为( -1,n) . ∵ A( -3,0),C(0,-3),∴ AF2 = (0-n) 2 +( -3+1) 2 = n2 +4, CF2 = ( -1) 2 +(n+3) 2 =n2 +6n+10,AC2 = 32 +( -3) 2 = 18, 设直 线 AC 的 解 析 式 为 y = kx + b′ ( k ≠ 0 ), 则 -3k+b′= 0, b′= -3,{ 解得 k= -1, b′= -3,{ ∴ 直线 AC 的解析式为 y= -x-3, 如解图,设直线 AC 与直线 x = - 1 的交点为 P,则 P( - 1, -2) . ∵ 点 F 在 AC 上方,∴ n>-2. ①当 AC 为菱形的对角线时,如解图①,此时 AF=CF, ∴ n2 +4 =n2 +6n+10,解得 n= -1,∴ F( -1,-1); ②当 AF 为菱形的对角线时,如解图②,此时 AC=CF, ∴ n2 +6n+ 10 = 18,解得 n = 17 - 3 或- 17 - 3(不合题 意,舍去),∴ F( -1, 17 -3); ③当 CF 为对角线时,如解图③,此时 AC = AF, ∴ n2 + 4 = 18,解得 n = 14 或- 14 (不合题意,舍去),∴ F( - 1, 14 ) . 综上所述,点 F 的坐标为( - 1,- 1) 或( - 1, 17 - 3) 或 ( -1, 14 ) . 图① 　 图② 图③ 第 5 题解图 6. 解:(1) ∵ 二次函数 y = x2 + bx+ c 的图象与 x 轴交于点 A(3,0),与 y 轴交于点 B(0,-3), ∴ 32 +3b+c= 0, c= -3,{ 解得 b= -2, c= -3,{ ∴ 二次函数的表达式为 y= x2 -2x-3; (2) △OPQ 是以点 P 为直角顶点的直角三角形时, ∠OPQ= 90°. ∵ 抛物线的对称轴为直线 x = 1,点 P,B 关于抛物线对称 轴对称,∴ 点 P(2,-3), 设 Q(n,n2 -2n-3),∵ ∠OPQ= 90°, ∴ OP2 +PQ2 =OQ2 , ∴ (2-0) 2 +( -3-0) 2 +(n-2) 2 +(n2 -2n-3+3) 2 = n2 +(n2 - 2n-3) 2 , 整理得 3n2 -8n+4 = 0,解得 n1 = 2 3 ,n2 = 2(舍去), ∴ n= 2 3 ,∴ Q( 2 3 ,- 35 9 ) . 拓展设问解:存在,设M(m,m2 -2m-3),其中 0<m<3, ∵ A(3,0),B(0,-3),∴ AB2 =32 +32,AM2 =(m-3)2 +(m2 -2m- 3)2,BM2 =m2 +(m2 -2m)2, ①当 AB2 +AM2 =BM2 时,32 +32 +(m-3)2 +(m2 -2m-3)2 =m2 + (m2 -2m)2, ∴ m2 -m-6=0,∴ (m+2)(m-3)= 0, 解得 m=-2(舍去)或 m=3(舍去); ②当 AB2 +BM2 =AM2 时,32 +32 +m2 +(m2 -2m)2 =(m-3)2 +(m2 -2m-3)2, ∴ m2 -m=0,解得 m=0(舍去)或 m=1,∴ M(1,-4), ∵ 点 B(0,-3)向右平移 3 个单位长度再向上平移 3 个单位 长度得到点 A(3,0),∴ 由矩形 ABMC 的性质知,点M(1,-4) 向右平移3 个单位长度,再向上平移3 个单位长度得到点C, ∴ C(4,-1), 综上所述,点 C 的坐标为(4,-1). 突破设问 4　 角度问题 1. 解:(1)点 P 位置如解图①所示; 第 1 题解图①　 　 第 1 题解图② (2)解:作出射线 BP 如解图②所示; (3)①在 y 轴正半轴上取一点 P,使得∠ABP=∠ACO,如解图 ③,此时,△ACO≌△PBO,∴ OA =OP,∴ 点 P 的坐标为(0, 1);在 y 轴负半轴上取一点 P′,使得∠ABP′= ∠ACO,如解 图,此时,△ACO≌△P′BO,∴ OA = OP′,∴ 点 P′的坐标为 (0,-1) . 综上所述,点 P 的坐标为(0,1)或(0,-1); 第 1 题解图③ ②如解图③,由点 B,P,P′的坐标可得直线 BP 的解析式 为 y= - 1 3 x+1,直线 BP′的解析式为 y= 1 3 x-1, 当-x2 +2x+3 = - 1 3 x+1 时,解得 x = 3(舍去)或 x = - 2 3 ,则 y= - 1 3 x+1 = 11 9 ,∴ 点 D 的坐标为( - 2 3 , 11 9 ); 当-x2 +2x+3 = 1 3 x-1 时,解得 x= 3(舍去)或 x = - 4 3 ,则 y 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 101 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 = 1 3 x-1 = - 13 9 ,∴ 点 D′的坐标为( - 4 3 ,- 13 9 ) . 综上所述,点 D 的坐标为( - 2 3 , 11 9 )或( - 4 3 ,- 13 9 ) . 2. 解:(1) ∵ 抛物线 y = x2 +bx+c 经过 A( - 1,0),D( 0,- 3) 两点, ∴ 1-b+c= 0, c= -3,{ 解得 b= -2, c= -3,{ ∴ 抛物线的表达式为 y= x2 -2x-3; (2) 存在,①当点 P 在对称轴右侧的抛物线上时,如解 图①, 第 2 题解图① ∵ y= x2 -2x-3 = (x-1) 2 -4,∴ E(1,-4), ∵ 抛物线的对称轴∥y 轴,∴ ∠DHE= ∠1, ∵ ∠PEH= 2∠DHE, ∴ ∠PEH= 2∠1 = ∠1+∠2,∴ ∠1 = ∠2, 作 H 关于抛物线对称轴的对称点 H′,则点 H′在直线 PE 上, ∵ 点 H 的坐标为(0,- 2),抛物线的对称轴为直线 x = 1, ∴ H′(2,-2), 设直线 PE 的表达式为 y= kx+b′(k≠0),将 H′(2,-2), E(1,-4)代入,得 2k+b′= -2, k+b′= -4,{ 解得 k= 2, b′= -6,{ ∴ 直线 PE 的表达式为 y= 2x-6, 联立 y= 2x-6, y= x2 -2x-3,{ 得 x 2 -2x-3 = 2x-6,解得 x = 3 或 x = 1 (舍去),∴ y= 2×3-6 = 0,∴ P(3,0); ②当点 P 在对称轴左侧的抛物线上时,如解图②,延长 EP 交 y 轴于点 N,作 HN 的垂直平分线交 HE 于点 Q,交 y 轴于点 M,连接 QN,过点 E 作 EK⊥y 轴于点 K,则 QM ∥EK, 第 2 题解图② ∵ QM 垂直平分 HN,∴ MN=HM,QH=QN, ∴ ∠QHN= ∠QNH,∴ ∠NQE= 2∠NHE, ∵ ∠PEH= 2∠DHE,∴ ∠NQE= ∠PEH,∴ NQ=NE, 由 H(0,-2),E(1,-4)得 EK= 1,KH= 2, ∵ QM∥EK,∴ △HMQ∽△HKE, ∴ HM HK =MQ KE ,∴ HM 2 =MQ 1 ,∴ HM = 2MQ,设 HM = 2m,则 MQ =m,∴ MN=HM= 2m,NK= 2-4m, 在 Rt△QMN 和 Rt△ENK 中,由勾股定理,得 MQ2 +MN2 = NK2 +KE2 ,∴ m2 +(2m) 2 = (2-4m) 2 +12 , 解得 m= 5 11 或 m= 1(舍去),∴ NK= 2- 20 11 = 2 11 , ∴ ON= 4- 2 11 = 42 11 ,∴ N(0,- 42 11 ), 设直线 PE 的表达式为 y=a1x+b1(a1 ≠0),将 N(0,- 42 11 ), E(1,-4)代入,得 a1 +b1 = -4, b1 = - 42 11 ,{ 解得 a1 = - 2 11 , b1 = - 42 11 , ì î í ï ï ï ï ∴ 直线 PE 的表达式为 y= - 2 11 x- 42 11 , 联立 y= - 2 11 x- 42 11 , y= x2 -2x-3, { 得- 211x- 4211 = x2 -2x-3,整理得 11x2 - 20x+9 = 0,解得 x= 9 11 或 x= 1(舍去), ∴ y= - 2 11 × 9 11 - 42 11 = -480 121 ,∴ P( 9 11 ,- 480 121 ) . 综上所述, 符合条件的点 P 的坐标为 ( 3, 0) 或 ( 9 11 , -480 121 ) . 3. 解:(1)把 x= 0 代入 y= -2x+3,得 y= 3, ∴ 点 C 的坐标为(0,3), ∴ y= -x2 +bx+3, ∵ 二次函数图象与 x 轴交于 A,B 两点,点 A 的坐标为 ( -1,0), ∴ 0 = -( -1) 2 -b+3, ∴ b= 2, ∴ 二次函数的解析式为 y= -x2 +2x+3; (2)如解图①,过点 E 作 EF⊥y 轴于点 F,交 DC 于点 G, 设点 E 的坐标是( t,-t2 + 2t+ 3),则点 G 的纵坐标为- t2 + 2t+3, 代入直线 y= -2x+3,得点 G 的横坐标为 x= t2 -2t 2 , ∴ 点 G 的坐标是( t2 -2t 2 ,-t2 +2t+3), ∴ EG= t- t2 -2t 2 = -t2 +4t 2 , ∴ S△ECD =S△EGC+S△EDG = 1 2 EG·CF+ 1 2 EG·OF = 1 2 EG· (CF+OF) = 1 2 EG·OC = 1 2 × -t2 +4t 2 ×3 = - 3 4 ( t2 -4t) = - 3 4 ( t-2) 2 +3,∵ - 3 4 <0,0<t<3, ∴ S△ECD 的最大值是 3,此时点 E 的坐标为(2,3); 图① 　 图② 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 201 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 图③ 第 3 题解图 (3)存在,如解图,过点 C 作一条直线与 CD 的夹角为 45°,交二次函数的图象于点 P,过点 D 作 DM⊥CD,两线 交于点 M,过点 M 作 MN⊥x 轴于点 N, 情况一:如解图②,当点 P 在直线 CD 的右侧时, ∵ ∠PCD= 45°,DM⊥CD, ∴ △CDM 为等腰直角三角形, ∴ DC=MD,∠CDM= 90°, ∴ ∠CDO+∠MDN= 90°,∠MDN+∠DMN= 90°, ∴ ∠CDO= ∠DMN, 在△CDO 与△DMN 中, ∠CDO= ∠DMN, ∠DOC= ∠MND, DC=MD, { ∴ △CDO≌△DMN(AAS),∴ OC=DN,OD=MN, 易知 OD= 3 2 ,OC= 3, ∴ ON= 3 2 +3 = 9 2 ,∴ M( 9 2 , 3 2 ), ∵ C(0,3), ∴ 设直线 CM 的解析式为 y= kx+3, 将 M( 9 2 , 3 2 )代入 y= kx+3,得 k= - 1 3 , ∴ 直线 CM 的解析式为 y= - 1 3 x+3. ∴ 联立 y= -x2 +2x+3, y= - 1 3 x+3,{ 得-x2 +2x+3 = - 13 x+3, 解得 x1 = 0 (舍去),x2 = 7 3 , ∴ 将 x= 7 3 代入 y= - 1 3 x+3,得 y= 20 9 , ∴ 点 P 的坐标为( 7 3 , 20 9 ); 情况二:如解图③,当点 P 在直线 CD 的左侧时, 同理可得:直线 CM 的解析式为 y= 3x+3. 联立 y= -x2 +2x+3, y= 3x+3,{ 得-x 2 +2x+3 = 3x+3, 解得 x1 = 0(舍去),x2 = -1, ∴ 将 x= -1 代入 y= 3x+3,得 y= 0, ∴ 点 P 的坐标为( -1,0) . 综上所述,点 P 的坐标为( 7 3 , 20 9 )或( -1,0) . 突破设问 5　 相似三角形存在性问题 1. (1)60,B′C′,AC;(2)2 或 1 2 ; (3)解:点 E 的位置如解图所示. 第 1 题解图 2. 解:(1)由题意得 y=a(x+1)(x-3)= a(x2 -2x-3), ∵ 点 C 的坐标为(0,3), ∴ -3a= 3,解得 a= -1, ∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 +2x+3; (2)如解图,分别过点 D,A 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H,Q, 第 2 题解图 则△AEQ∽△DEH,∴ DE ∶AE=DH ∶AQ= 1 ∶2, 由点 B,C 的坐标得,直线 BC 的解析式为 y= -x+3, ∴ Q( -1,4),∴ AQ= 4,∴ DH= 2, 设 D(m,-m2 +2m+3),则 H(m,-m+3), ∴ DH= -m2 +2m+3-( -m+3)= 2,解得 m= 1 或 2, 当 m= 1 时,-m2 +2m+3 = 4;当 m= 2 时,-m2 +2m+3 = 3, ∴ 点 D 的坐标为(1,4)或(2,3); (3)存在,由题意得 D(1,4),由点 B,C,D 的坐标得 BC = 3 2 ,CD= 2 ,BD= 2 5 , ∴ BD2 =CD2 +BC2 ,∴ △BCD 为直角三角形, ∴ tan∠CBD= CD BC = 1 3 . 当以 A, M, N 为 顶 点 的 三 角 形 与 △BCD 相 似 时, tan∠MAN= 1 3 或 3, 设点 M(n,-n2 +2n+3), ∴ tan∠MAN = MN AN = -n2 +2n+3 n+1 = 1 3 或 tan ∠MAN = MN AN = -n2 +2n+3 n+1 = 3,解得 n = 8 3 或 n = 0 (不合题意的值已舍 去),经检验,上述 n 值是方程的解, 当 n= 8 3 时,-n2 +2n+3 = 11 9 ,当 n= 0 时,-n2 +2n+3 = 3, ∴ 点 M 的坐标为( 8 3 , 11 9 )或(0,3) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 301