专题二 动点、动图类函数图象的分析与判断-【一战成名新中考】2025山东中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·山东数学 重 难 专 题 专题二　 动点、动图类函数图象的分析与判断 (统考样卷 10 题) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　类型 1　 函数图象的判断 1. [2024 临沂经开区一模]如图,在等边三角形 ABC 中,点 P 是 BC 边上一动点(不与点 B,C 重 合), 连接 AP, 作 射 线 PD, 使 ∠APD= 60°,PD 交 AC 于点 D,已知 AB = a,设 CD= y,BP = x,则 y 与 x 函数关系的 大致图象是 (　 C　 ) 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. [2024 东营一模]如图,矩形 ABCD 中,AB = 3,BC= 4,动点 P 从 A 点出发,按 A→B→C 的方向在 AB 和 BC 上移动,记 PA= x,点 D 到直线 PA 的距离为 y,则 y 关于 x 的函数 图象大致是 (　 B　 ) 3. [2024 济宁泗水县一模]如图,四边形 ABCD 是边长为 2 cm 的正方形,点 E,F 分别为 边 AD,CD 的中点,点 O 为正方形的中心, 连接 OE,OF,点 P 从点 E 出发沿 E-O-F 运动,同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 运动, 两点运动速度均为 1 cm / s,当点 P 运动到 点 F 时,两点同时停止运动,设运动时间 为 t s, 连接 BP, PQ, △BPQ 的面积为 S cm2,下列图象能正确反映出 S 与 t 的函 数关系的是 (　 D　 ) 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. 名师原创 如图, 周长为 20 cm, 面积为 20 cm2 的菱形 ABCD 的一边 AD 与直角三 角形 EFG 的斜边 FG 重合,将△EFG 沿着 AB 所在直线以 1 cm / s 的速度向右平移, 直至点 F 与点 C 重合时停止,在此过程 中,设△EFG 与菱形 ABCD 重合部分的面 积为 y(cm2),平移的时间为 x(s),则 y 随 x 变化的函数图象大致为 (　 A　 ) 类型 2　 函数图象的分析(统考样卷 10 题) 5. [2024 淄博周村区一模]如图①,动点 P 从点 A 出发,在边长为 1 的小正方形组成的网 格平面内运动. 设点 P 经过的路程为 s,点 P 到直线 l 的距离为 d,已知 d 与 s 的关系 如图②所示,则下列选项中,可能是点 P 的运动路线的是 (　 C　 ) 图① 　 　 图② 第 5 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 04 专项培优练·山东数学 重 难 专 题 6. [2024 东营一模]如图①,在△ABC 中,CA = CB,直线 l 经过点 A 且垂直于 AB. 现将直 线 l 以 1 cm / s 的速度向右匀速平移,直至 到达点 B 时停止运动,直线 l 与边 AB 交 于点M,与边 AC(或 CB)交于点 N. 设直线 l 移动的时间是 x( s),△AMN 的面积为 y(cm2),若 y 关于 x 的函数图象如图②所 示,则△ABC 的周长为 (　 C　 ) 图① 　 　 图② 第 6 题图 A. 16 cm B. 17 cm C. 18 cm D. 20 cm 7. 名师原创 如图 ①, 在 ▱ABCD 中, AB = 4 cm,∠A= 30°,动点 M,N 同时从点 A 出 发,点M 在边 AB 上以 2 cm / s 的速度匀速 运动,到达 B 点时停止运动,点 N 沿 A→ D→C→B 的路径匀速运动,到达 B 点时 停止运动. 已知△AMN 的面积 S( cm2 )与 点 N 的运动时间 t( s)的关系图象如图② 所示,则 a 和 b 的值分别是 (　 D　 ) 图① 　 图② 第 7 题图 A. 6 和 5 B. 7 和 5 C. 7 和 4 D. 7 和 3 8. [2024 日照东港区一模]如图①,在☉O 中, 圆心角∠AOB = 60°. 点 P 从点 B 出发,绕 着圆心 O 以每秒 30°的速度在圆周上逆时 针旋转到点 A. 在旋转过程中,线段 AP 的 长度 y(cm)与旋转时间 t(s)的函数关系如 图②所示,则下列说法正确的是 (　 B　 ) 图① 　 　 图② 第 8 题图 A. e= 8 B. c-b= 4 C. a+d= 6 D. C(3,4) 9. [2024 济南 10 题 4 分]如图①,△ABC 是等 边三角形,点 D 在边 AB 上,BD= 2,动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从点 B 出发, 沿折线 BC-CA 匀速运动,到达点 A 后停 止,连接 DP. 设点 P 的运动时间为 t(s), DP2 为 y. 当动点 P 沿 BC 匀速运动到点 C 时,y 与 t 的函数图象如图②所示. 有以下 四个结论:①AB = 3;②当 t = 5 时,y = 1; ③当 4≤ t≤6 时,1≤y≤3;④动点 P 沿 BC-CA 匀速运动时,两个时刻 t1,t2( t1 <t2) 分别对应 y1 和 y2,若 t1 +t2 = 6,则 y1 >y2 . 其 中正确结论的序号是 (　 D　 ) 图① 　 　 图② 第 9 题图 A. ①②③ B. ①② C. ③④ D. ①②④ 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 加练链接 动点、动图类函数图象的分析与判断加练扫描 P36 二维码一键免费下载. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 14 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 纵坐标 符 号 与 点 B1 相 同, 横 坐 标 为 0, 纵 坐 标 为 ( 2 ) 2 026 ,∴ 点 B2 025 的坐标为(0,21 013 ) . 17. 21 012 　 【解析】∵ 直线 l 的表达式为 y = x,∴ 直线 l 与 x 轴正半轴的夹角为 45°. ∵ 点 A1 的坐标为( 2 ,0),∴ OA1 = 2 . 由作图过程可知 OB1 =OA1 = 2 . 又∵ A2B1 ⊥l, ∴ △OB1A2 是等腰直角三角形,∴ OA2 = 2OB1 = 2,同理 可得 OA3 = 2 2 ,OA4 = 4,…,∴ OAn = ( 2 ) n( n 为正整 数),当 n= 2 024 时,OA2 024 = ( 2 ) 2 024 = 21 012 ,∴ 点 A2 024 的横坐标为 21 012 . 变式 　 (90,0)　 【解析】如解图,过点 B1 作 B1C⊥x 轴 于点 C,过点 B2 作 B2D⊥x 轴于点 D,过点 B3 作 B3E⊥x 轴于点 E,∵ △OA1B1 为等边三角形,∴ ∠B1OC = 60°, OC=A1C,∴ B1C= 3OC,设 OC= t,则点 B1 的坐标为( t, 3 t),把 B1( t, 3 t)代入 y = 3 x 得 t· 3 t = 3 ,解得 t = 1 或 t= -1(舍去),∴ OA1 = 2OC = 2,∴ A1(2,0) . 设 A1D = m,同理得到 B2D= 3m,则点 B2 的坐标为(2+m, 3m), 把 B2(2+m, 3m)代入 y= 3 x ,得(2+m) × 3m= 3 ,解得 m= 2 - 1 或 m = - 2 - 1(舍去),∴ A1D = 2 - 1,A1A2 = 2A1D= 2 2 -2,∴ OA2 = 2+2 2 - 2 = 2 2 ,∴ A2(2 2 ,0) . 设 A2E=n,同理可得,点 B3 的坐标为(2 2 +n, 3 n),把 B3(2 2 +n, 3 n)代入 y= 3 x ,得(2 2 +n) · 3 n = 3 ,解 得 n= 3 - 2 或 n = - 3 - 2 (舍去),∴ A2E = 3 - 2 , A2A3 = 2A2E = 2 3 -2 2 ,∴ OA3 = 2 2 +2 3 -2 2 = 2 3 , ∴ A3(2 3 ,0);…,∴ An(2 n ,0),∴ A2 025(2 2 025 ,0), 即(90,0) . 变式题解图 18. (8,3)　 【解析】根据反射角与入射角的定义作出图形 如解图,每 6 次反弹为一个循环组,经过 6 次反弹后动 点 P 回到出发点(0,3),∵ 2 025÷6 = 337……3,∴ 当点 P 第 2 025 次碰到矩形的边时为第 338 个循环组的第 3 次 反弹,∴ 点 P 的坐标为(8,3) . 第 18 题解图 19. B　 【解析】∵ 将 OA 绕点 O 顺时针旋转 45°到 OA1 ,A1A2 ⊥OA1 交 x 轴于点 A2 , ∴ ∠AOA1 = 45°,OA1 = OA = 1, ∠OA1A2 = 90°, ∴ ∠A1OA2 = 90° - ∠AOA1 = 45°, ∴ ∠OA2A1 = 90°-∠A1OA2 = 45°,∴ △A1OA2 是等腰直角三 角形,∴ A1A2 = OA1 = 1,∴ OA2 = 2 ,同理可得△A3OA4 , △A5OA6 ,…都是等腰直角三角形,OA4 = 2,OA6 = 2 2 , …,∴ S1 = 45π×12 360 = 1 8 π,S2 = 45π×( 2 ) 2 360 = 1 4 π,S3 = 45π×22 360 = 1 2 π,S4 = 45π×(2 2 ) 2 360 = π,…,∴ Sn = 2n -4 π,∴ S2 025 = 22 021 π. 20. B　 【解析】由题意可知,组合图形 OCDEF 绕点 O 逆时 针旋转,每次旋转 15°,则第 2 024 次旋转结束时,共旋 转 2 024×15° = 30 360°,30 360÷360 = 84……120,即该组 合图形绕点 O 逆时针旋转 84 圈后再逆时针旋转 120°, 如解图,旋转后的图形为 OC′D′E′F′,此时点 D′在第二 象限,∵ 旋转不改变图形的形状和大小,A(0,4),△ABO 为等边三角形, ∴ A′ O = A′ B′ = OA = 4, ∴ 正六边形 A′B′C′D′E′F′的边长为 4,易得∠BOB′ = 120°,∠AOB = 60°,∴ ∠AOB′= 60°,∴ ∠B′ON = 30°,∴ A′B′⊥x 轴,在 正六边形 A′B′C′D′E′F′中,D′E′∥A′B′,设 D′E′,A′B′分 别交 x 轴于点 M,N,在等边三角形 OA′B′中,∵ ON⊥ A′B′,∴ NO= 2 3 ,在正六边形 A′B′C′D′E′F′中,易得 MN = 3A′B′= 4 3 ,D′M= 1 2 D′E′= 1 2 A′B′= 2,∴ OM =MN+ ON= 6 3 ,又∵ 点 D′在第二象限,∴ 第 2 024 次旋转结束 时,点 D 的坐标为( -6 3 ,2) . 第 20 题解图 专题二　 动点、动图类函数图象的分析与判断 1. C　 【解析】∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠B = ∠C = 60°, BC= AB = a, ∴ PC = a - x. ∵ ∠APD = 60°, ∠B = 60°, ∴ ∠BAP+∠APB = 120°,∠APB+∠CPD = 120°,∴ ∠BAP = ∠CPD,∴ △ABP∽△PCD,∴ CD BP = PC AB ,即 y x = a -x a ,∴ y = - 1 a x2 +x,∴ y 与 x 函数关系的大致图象是开口向下的 抛物线. 2. B　 【解析】①当点 P 在 AB 上时,0≤x≤3,点 D 到 AP 的 距离为 AD 的长度,是定值 4;②当点 P 在 BC 上时,3<x≤ 5,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD∥BC,∴ ∠APB = ∠DAE, 又∵ ∠B= ∠DEA= 90°,∴ △ABP∽△DEA,∴ AB DE = AP DA ,即 3 y = x 4 ,∴ y= 12 x ,∴ 当 3<x≤5 时,y 关于 x 的函数图象是 反比例函数 y= 12 x (x>0)图象的一部分,只有 B 选项图象 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 77 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 符合. 3. D　 【解析】如解图①,当 0<t≤1 时,由题意得 PE = BQ = t cm,∵ 正方形 ABCD 的边长为 2 cm,∴ P 到 BC 的距离 为(2-t)cm,∴ S= 1 2 t·(2-t)= - 1 2 t2 +t,∴ 当 0<t≤1 时, S 与 t 的函数关系图象为开口向下的抛物线的一部分;如 解图②,当 1<t≤2 时,由题意得 PF =CQ = (2-t) cm,易得 四边形 CFPQ 为矩形,∴ PQ = CF = 1 cm,∴ S = 1 2 t·1 = 1 2 t,∴ 当 1<t≤2 时,S 与 t 的函数关系图象为直线的一 部分,故选项 D 正确. 图① 　 图② 第 3 题解图 4. A　 【解析】∵ 菱形 ABCD 的周长为 20,∴ GF = AD = AB = 5,∵ 菱形 ABCD 的面积为 20,∴ AB·EF = 20,∴ EF = 4, ∴ 在 Rt△EFG 中,由勾股定理得 GE = GF2 -EF2 = 3. 当 0<x≤2 时,△EFG 与菱形 ABCD 重叠部分为△EFG,∴ y =S△EFG = 1 2 ×3×4 = 6;当 2<x≤5 时,当△EFG 平移到如解 图位置时,设 BC 与 EF 交于点 H,∵ AE= 3+x,∴ BE =AE- AB= 3+x-5 = x-2,∵ FG∥BC,∴ △EBH∽△EGF,∴ EH EF = BE GE ,即 EH 4 = x -2 3 ,∴ EH = 4(x-2) 3 ,∴ y = S△EFG -S△EHB = 6- 1 2 (x-2)· 4(x-2) 3 = - 2 3 (x-2) 2 + 6,∴ 当 2<x≤5 时,y 随 x 变化的图象是顶点为(2,6)的开口向下的抛物线的 一部分,且当 x= 5 时,y= 0,故选项 A 正确. 第 4 题解图 5. C　 【解析】当点 P 经过的路程为 1 时,点 P 到直线 l 的距 离为 1,不变,故点 P 应先沿平行于 l 的线运动;当点 P 经 过的路程为 3 时,点 P 到直线 l 的距离增加到 3;当点 P 经过的路程为 4 时,点 P 到直线 l 的距离为 3,不变,故点 P 应沿平行于 l 的线运动;当点 P 经过的路程为 5 时,点 P 到直线 l 的距离变为 2,故点 P 往 l 方向运动. 故选 C. 6. C　 【解析】依题意得,直线 l 运动到点 B 停止,且当直线 l 运动到点 C 时,△AMN 的面积最大,∴ AB= 8 cm,且当 AM = 4 cm 时,S△AMN = 6 cm2 ,∵ l⊥AB,∴ S△AMN = 1 2 AM·MN, ∴ 当 AM = 4 cm 时,MC =MN = 3 cm,在 Rt△AMC 中,CA= AM2 +MC2 = 42 +32 = 5( cm),∵ CA = CB,∴ △ABC 的 周长为 CA+CB+AB= 5+5+8 = 18(cm) . 7. D　 【解析】∵ AB= 4 cm,点 M 的速度为 2 cm / s,∴ 当点 M 运动到点 B 时,用时 t= 4÷2 = 2(s),由图象知,t = 2 时,点 M 到达点 B,点 N 未到达点 D,如解图,过点 N 作 NE⊥AB 于点 E,设 NE= x cm(x>0),∴ 当 t= 2 时,S= 1 2 AB·NE = 2,即 1 2 ×4×NE= 2,∴ NE= 1 cm,∴ AN= 2 cm,∴ 点 N 的运 动速度是 1 cm / s;由图象可知,当 t= 3 时,点 N 到达 D 点 处,∴ AD= 1×3 = 3( cm),∴ b = 1 2 × 4× 3sin30° = 3,易知点 N 从点 D 到点 C 用时 4 s,∴ a= 3+4 = 7. 第 7 题解图 8. B　 【解析】当 t= 360°-60° 30° = 10( s)时,点 P 与点 A 重合, 此时 AP= 0,由图象可知,e= 10,故选项 A 错误,不符合题 意;由图象可知,当 t = 0 时,y = 2,如解图①,此时点 P 与 点 B 重合,∴ AP = AB = 2 cm, ∵ ∠AOB = 60°,OA = OB, ∴ △AOB 是等边三角形,∴ OA=OB = 2 cm,即☉O 的半径 为 2 cm, 当 y = 2 3 时, 如解图 ②, 此时 AP3 = AP4 = 2 3 cm,过点 O 作 OD⊥AP4 于点 D,则 AD =DP4 = 1 2 AP4 = 3 cm, ∴ sin ∠AOD = sin ∠DOP4 = 3 2 , ∴ ∠AOD = ∠DOP4 = 60°,即∠AOP4 = 120°,同理可得∠AOP3 = 120°, 此时 t= 360°-120°-60° 30° = 6( s)或 t = 120°-60° 30° = 2( s),由 图象可知,b = 2,c = 6,∴ c-b = 4,故选项 B 正确,符合题 意;当 y= 2 2 时,如解图③,此时 AP1 = AP2 = 2 2 cm, ∵ AO2 +OP21 =AO2 +OP22 = 22 + 22 = 8 = AP21 = AP22 ,∴ ∠AOP1 = ∠AOP2 = 90°, 此 时 t = 90°-60° 30° = 1 ( s ) 或 t = 180°+90°-60° 30° = 7(s),由图象可知 a = 1,d = 7,∴ a+d = 8, 故选项 C 错误,不符合题意;当点 P 旋转到 P5 时,如解图 ④,此时 AP5 是☉O 的直径,y 取最大值 4,则 t= 180°-60° 30° = 4(s),则由图象可知,点 C 的坐标为( 4,4),故选项 D 错误,不符合题意. 图① 　 图② 图③ 　 图④ 第 8 题解图 9. D　 【解析】当动点 P 运动到点 C 时,DP2 = y = 7,∴ DC2 = 7. 如解图①,过点 D 作 DH⊥BC 于点 H,∵ ∠B = 60°,BD = 2, ∴ BH = 1 2 BD = 1, DH = 3 2 BD = 3 , ∴ CH = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 87 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 DC2 -DH2 = 7-3 = 2,∴ BC=BH+CH= 1+2 = 3,∴ AB = BC= 3,故①正确;当动点 P 运动到点 C 时,t = BC÷ 1 = 3 (秒),∴ 当 t= 5 时,P 在 AC 上,且 PC= 2,如解图②,AD = AP= 1,又∠A= 60°,∴ △ADP 是等边三角形,∴ DP = AD = AP= 1,∴ y=DP2 = 1,故②正确;当 4≤t≤6 时,如解图③, 此时 PC= 1,点 P 从如解图③的位置运动到点 A,过点 D 作 DH⊥AC 于点 H,则 AH = 1 2 AD = 1 2 ,DH = 3 2 AD = 3 2 , 当点 P 运动到点 H 时,y 取得最小值 3 4 ,又∵ HP=AC-AH -PC= 3- 1 2 -1 = 3 2 ,∴ DP = DH2 +HP2 = 3 ,∴ 此时 y = DP2 取得最大值 3,∴ 当 4≤ t≤6 时, 3 4 ≤y≤3,故③错 误;∵ t1 +t2 = 6,t1 <t2 ,∴ t1 +t2 <2t2 ,∴ t1 +t2 2 <t2 ,即 3<t2 ,2t1 < t1 +t2 ,t2 = 6- t1 ,∴ t1 < t1 +t2 2 ,即 t1 < 3,∴ t1 < 3,t2 > 3. 由题意 得,当 0≤t≤3 时,y = ( t- 1) 2 + 3;当 3≤ t≤6 时,y = ( t- 5. 5) 2 + 3 4 ,∴ y1 = ( t1 - 1) 2 + 3,y2 = ( t2 - 5. 5) 2 + 3 4 = ( t1 - 0. 5) 2 + 3 4 ,∴ y1 -y2 = ( t1 -1) 2 + 3-( t1 - 0. 5) 2 - 3 4 = 3- t1 > 0,∴ y1 >y2 ,故④正确. 图① 　 图② 　 图③ 第 9 题解图 专题三　 新定义运算 1. 4 3 　 【解析】∵ a　 b c　 d = ad-bc,∴ 5 　 sin60° 2　 15 = 5 × 15 -2sin60° = 5 3 -2× 3 2 = 5 3 - 3 = 4 3 . 2. B　 【解析】由新运算知 3+m = - 1,5+n = 2,解得 m = - 4, n= -3. 3. D　 【解析】根据题意得 x(mx) +x+1 = 0,整理得 mx2 +x+1 = 0,∵ 关于 x 的方程【 x,x+ 1】 ★(mx) = 0 有两个不相等 的实数根,∴ Δ = 12 - 4m·1> 0 且 m≠0,解得 m< 1 4 且 m ≠0. 4. B　 【解析】根据题意得 1 x-4 = 2 x-4 -1,方程两边乘( x-4), 得 1 = 2-( x- 4),解得 x = 5,经检验,x = 5 是分式方程的 解,∴ x= 5. 5. A　 【解析】∵ [ x 2 ] = -3,∴ x 2 <-2①, x 2 ≥-3②, ì î í ï ï ïï 解不等式①得 x <-4,解不等式②得 x≥-6,∴ 原不等式组的解集为-6≤x <-4. 6. -1　 【解析】∵ min{ 31 ,a} = a,min{ 31 ,b} = 31 , ∴ a< 31 <b,∵ 5< 31 <6,且 a 和 b 为两个连续正整数, ∴ a= 5,b = 6, ∴ ab - ( 31 ) 2 = 5 × 6 - 31 = - 1, ∴ ab - ( 31 ) 2 的立方根为-1. 7. C　 【解析】∵ Cmn = n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1) m(m-1)·…·1 ,∴ C49 + C59 = 9×8×7×6 4×3×2×1 +9 ×8×7×6×5 5×4×3×2×1 = 5 ×9×8×7×6 5×4×3×2×1 +9 ×8×7×6×5 5×4×3×2×1 = 2× 9×8×7×6×5 5×4×3×2×1 = 10 ×9×8×7×6 5×4×3×2×1 = C510 . 8. 0≤m< 1 3 　 【解析】x※m = x+3m,∴ x※m<2 即 x+3m<2, 解得 x<-3m+2. ∵ 此不等式有且只有一个正整数解,∴ 1 <-3m+2≤2,解得 0≤m< 1 3 . 9. B　 【解析】由题意得 y= (x+ 1) ⊗2 = ( x+ 1+ 2× 2) ( x+ 1- 2)= (x+5)(x-1)= x2 +4x-5 = ( x+2) 2 -9,∴ 函数 y = ( x+ 1)⊗2 的最小值为-9. 10. - 1 2 或 7 4 　 【解析】∵ x⊗1 = - 3 4 ,∴ 当 x≤0 时,x2 -1 = - 3 4 ,解得 x = - 1 2 或 x = 1 2 (不合题意,舍去);当 x> 0 时,-x+1 = - 3 4 ,解得 x= 7 4 . 综上,x 的值为- 1 2 或 7 4 . 11. B　 【解析】由题意得 y = 3⊕x = 3 x (x>0), - 3 x (x<0), ì î í ï ï ïï ∴ 当 x> 0 时,反比例函数 y = 3 x 的图象在第一象限,当 x<0 时,反 比例函数 y= - 3 x 的图象在第二象限,∴ B 选项符合. 12. 11-4 3 　 【解析】如解图,连接 ON,∵ OA =OB,∠AOB = 60°,∴ △OAB 是等边三角形,∴ AB = OA = 4,∵ N 是 AB 的中点,∴ ON⊥AB,∵ MN⊥AB,∴ M,N,O 三点共线, ∵ △OAB 是等边三角形,ON⊥AB,∴ ON = 3 2 OA = 2 3 , ∵ OM=OA= 4,∴ MN=OM-ON= 4-2 3 ,∴ l =AB+ MN2 OA = 4+ (4-2 3 ) 2 4 = 11-4 3 . 第 12 题解图 13. (2,-1)(答案不唯一,满足 x+y= 1 且 x≠0,y≠0 均可) . 14. A 15. A　 【解析】由题意得 x0 = x4 = 1,x5 = x1 = 3,∵ x0 = x2 = 1, ∴ y1 = 0,∵ x1 = 3,x3 = 2,∴ y2 = 1,∵ x2 = 1,x4 = 1,∴ y3 = 0,∵ x3 = 2,x5 = 3,∴ y4 = 1,∴ “伴生数列”B 是 0,1,0,1. 16. k≥2　 【解析】解不等式组 3x-6>2-x, x-1≥4x-10,{ 得 2 < x≤3. ∵ 关于 x 的不等式 x-k≤1 的解集为 x≤k+1,关于 x 的 不等式组 3x-6>2-x, x-1≥4x-10{ 是关于 x 的不等式 x-k≤1 的“子 集”,∴ k+1≥3,∴ k≥2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 97