专题一 规律探索-【一战成名新中考】2025山东中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·山东数学 三、山东中考培优———重难专题　 　 重 难 专 题 专题一　 规律探索 (统考卷 16 题;统考样卷 16 题) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　类型 1　 数式规律探索(统考卷 16 题; 　 　 　 　 　 统考样卷 16 题) 1. [2024 淄博沂源县一模]观察下列分式: 2 x , - 5 x2 ,10 x3 ,- 17 x4 ,26 x5 ,…,按此规律第 10 个分 式是 (　 D　 ) A. 99 x10 B. -99 x10 C. 101 x10 D. -101 x10 2. [2024 潍坊 14 题 4 分]将连续的正整数排成 如图所示的数表. 记 a( i,j) 为数表中第 i 行 第 j 列位置的数字,如 a(1,2) = 4,a(3,2) = 8, a(5,4) = 22. 若 a(m,n) = 2 024,则 m= 　 45　 , n= 　 2　 . 第 2 题图 3. [2023 济宁 10 题改编]已知一列均不为 1 的 数 a1,a2,a3, …,an 满足如下关系: a2 = 1+a1 1-a1 ,a3 = 1+a2 1-a2 ,a4 = 1+a3 1-a3 ,…,an+1 = 1+an 1-an , 若 a1 = 2,则 a2 025 的值是　 2　 . 4. [2024 临沂沂水县一模]如图,各正方形中的 四个数之间都有相同的规律,根据此规 律,x 的值为　 199　 . 第 4 题图 5. [2024 德州 17 题 4 分]观察下列等式: S1 = 1+1+ 1 4 ; S2 = 1+1+ 1 4 + 1+ 1 4 + 1 9 ; S3 = 1+1+ 1 4 + 1+ 1 4 + 1 9 + 1+ 1 9 + 1 16 ; … 则 S10 的值为　 　 　 　 . 6. [2024 日照 12 题 3 分]在数学活动课上,老 师给出了一个数字构造游戏:对于给定的 一列有序数字,在每相邻两个数之间插入 这两数的和,形成新的一列有序数字. 现 有一列数:2,4,进行第 1 次构造,得到新 的一列数:2,6,4,第 2 次构造后,得到一 列数:2,8,6,10,4,…,第 n 次构造后得到 一列数:2,x1,x2,x3,…,xk,4,记 an = 2+x1 + x2 +x3 +…+xk +4. 某小组经过讨论得出如 下结论,错误的是 (　 D　 ) A. a3 = 84 B. an 3 为偶数 C. an+1 = 3an-6 D. k= 2n-1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 63 专项培优练·山东数学 重 难 专 题 类型 2　 图形规律探索 7. 学科融合 [2024 重庆 A 卷]烷烃是一类由 碳、氢元素组成的有机化合物质,如图是 这类物质前四种化合物的分子结构模型 图,其中灰球代表碳原子,白球代表氢原 子. 第 1 种如图①有 4 个氢原子,第 2 种如 图②有 6 个氢原子,第 3 种如图③有 8 个 氢原子,……按照这一规律,第 10 种化合 物的分子结构模型中氢原子的个数是 (　 B　 ) 第 7 题图 A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 8. [2024 济宁 10 题 3 分]如图,用大小相等的 小正方形按照一定规律拼正方形. 第一幅 图有 1 个正方形,第二幅图有 5 个正方 形,第三幅图有 14 个正方形,……按照此 规律,第六幅图中正方形的个数为 (　 B　 ) 第 8 题图 A. 90 B. 91 C. 92 D. 93 变式 [2024 聊城冠县一模]在求 1 + 2 + 3 +…+ 100 的值时,发现:1 + 100 = 101,2 + 99 = 101,…,从而得到 1+2+3+…+100 = 101× 50 = 5 050. 按此方法可解决下面问题. 图 ①中有 1 个三角形,记作 a1 = 1;分别连接 这个三角形三边中点得到图②,有 5 个三 角形,记作 a2 = 5;再分别连接图②中间的 小三角形三边中点得到图③,有 9 个三角 形,记作 a3 = 9;按此方法继续下去,则 a1 + a2 +a3 +…+an = 　 2n2-n　 (结果用含 n 的 代数式表示) . 变式题图 9. 名师原创 观察如下图案: 第 9 题图 按照此规律继续摆下去,第　 11　 个图案 中图形“○”和“△”的个数之和为 169. 10. [2024 泰安泰山区二模改编]如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,∠B = 30°,AC = 1,AC 在 直线 l 上,将△ABC 绕点 A 按顺时针方向 旋转 到 位 置 ①, 可 得 到 点 P1, 此 时 AP1 = 2;将位置①的三角形绕点 P1 按顺 时针方向旋转到位置②,可得到点 P2,此 时 AP2 = 2+ 3 ;将位置②的三角形绕点 P2 按顺时针方向旋转到位置③,可得到 点 P3,此时 AP3 = 3+ 3 ;……按此规律继 续旋 转, 直 到 得 到 点 P2 025 为 止, 则 AP2 025 = 　 2 025+675 3 　 . 第 10 题图 11. [2022 淄博 17 题改编]如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,曲线 DA1B1C1D1A2… 是由多段 90°的圆心角所对的弧组成的, 其中,DA1 ( 的圆心为 A,半径为 AD;A1B1 ( 的圆心为 B,半径为 BA1;B1C1 ( 的圆心为 C,半径为 CB1;C1D1 ( 的圆心为 D,半径为 DC1,……,DA1 ( ,A1B1 ( ,B1C1 ( ,C1D1 ( …的圆 心依次按点 A,B,C,D 循环,则 C2 025D2 025 ( 的长是　 4 050π　 (结果保留 π) . 第 11 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 73 专项培优练·山东数学 重 难 专 题 12. [2024 滨州邹平市一模改编]如图①,已知 小正方形 ABCD 的面积为 1,把它的各边 延长一倍得到新正方形 A1B1C1D1;把正 方形 A1B1C1D1 各边按原法延长一倍得 到正方形 A2B2C2D2(如图②);……以此 下去,则正方形 A2 025B2 025C2 025D2 025 的面 积为　 52 025 　 . 图① 　 图② 第 12 题图 13. [2024 枣庄滕州市一模改编]如图,正方形 ABCB1 中,AB= 3 ,AB 与直线 l 所夹锐角 为 60°,延长 CB1 交直线 l 于点 A1,作正 方形 A1B1C1B2,延长 C1B2 交直线 l 于点 A2,作正方形 A2B2C2B3,延长 C2B3 交直 线 l 于点 A3,作正方形 A3B3C3B4,……依 此规律,则线段 A2 024A2 025 = 　 　 　 　 . 第 13 题图 类型 3　 坐标系中的规律探索 14. [2024 枣庄台儿庄区一模改编]在直角坐标 系中,点 A1 从原点出发,沿如图所示的 方向运动,到达位置的坐标依次为 A2(1, 0),A3( 1,1),A4 ( - 1,1),A5 ( - 1, - 1), A6(2,-1),A7 ( 2, 2 ), …. 若到达终点 An( -506,-506),则 n 的值为　 2 025　 . 第 14 题图 变式 如图,已知 A1 (1,- 3 ),A2 ( 3,- 3 ), A3(4,0),A4(6,0),A5(7, 3 ),A6(9, 3 ), A7(10,0),A8(11,- 3 ),…依此规律,则点 A2 025 的坐标为　 (2 893,- 3 ) 　 . 变式题图 15. [2024 龙东地区]如图,在平面直角坐标系 中,正方形 OMNP 顶点 M 的坐标为( 3, 0),△OAB 是等边三角形,点 B 坐标是 (1,0),△OAB 在正方形 OMNP 内部紧 靠正方形 OMNP 的边(方向为 O→M→ N→P→O→M→…)做无滑动滚动,第一 次滚动后,点 A 的对应点记为 A1,A1 的坐 标是(2,0);第二次滚动后,A1 的对应点 记为 A2,A2 的坐标是(2,0);第三次滚动 后,A2 的对应点记为 A3,A3 的坐标是 (3- 3 2 , 1 2 );……如此下去,则 A2 024 的坐 标是　 (1,3) 　 . 第 15 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 83 专项培优练·山东数学 重 难 专 题 16. [2024 济宁邹城市二模改编]如图,在平面 直角坐标系中有一边长为 1 的正方形 OABC,边 OA,OC 分别在 x 轴、y 轴上,如 果以对角线 OB 为边作第二个正方形 OBB1C1,再以对角线 OB1 为边作第三个 正方形 OB1B2C2,……照此规律作下去, 则点 B2 025 的坐标为 (　 C　 ) 第 16 题图 A. (0,21 012) B. (22 025,22 025) C. (0,21 013) D. ( -22 025,0) 17. [2024 东营 18 题 4 分]如图,在平面直角坐 标系中,已知直线 l 的表达式为 y = x,点 A1 的坐标为( 2 ,0 ),以 O 为圆心,OA1 为半径画弧,交直线 l 于点 B1,过点 B1 作直线 l 的垂线交 x 轴于点 A2;以 O 为 圆心,OA2 为半径画弧,交直线 l 于点 B2, 过点 B2 作直线 l 的垂线交 x 轴于点 A3; 以 O 为圆心,OA3 为半径画弧,交直线 l 于点 B3,过点 B3 作直线 l 的垂线交 x 轴 于点 A4;……按照这样的规律进行下去, 点 A2 024 的横坐标是　 21 012 　 . 第 17 题图 　 变式题图 变式 [2024 潍坊寿光市期末改编]如图,△OB1A1, △A1B2A2,△A2B3A3,…,△An -1BnAn 都是一 边在 x 轴上的等边三角形, 点 B1, B2, B3,…,Bn 都在反比例函数 y= 3 x (x>0)的 图象上,点 A1,A2,A3,…,An 都在 x 轴上, 则 A2 025 的坐标为　 (90,0) 　 . 18. [2024 菏泽鲁西新区一模改编]在平面直角 坐标系 xOy 中,矩形 OABC 如图放置,动 点 P 从(0,3)出发,沿所示方向运动,每 当碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角 等于入射角,当点 P 第 2 025 次碰到矩形 的边时,点 P 的坐标为　 (8,3) 　 . 第 18 题图 19. [2024 济宁北湖区三模改编]如图,在平面 直角坐标系中,点 A 在 y 轴的正半轴上, OA= 1,将 OA 绕点 O 顺时针旋转 45°到 OA1,扫过的面积记为 S1,A1A2 ⊥OA1 交 x 轴于点 A2,将 OA2 绕点 O 顺时针旋转 45° 到 OA3,扫过的面积记为 S2,A3A4 ⊥OA3 交 y 轴于点 A4,将 OA4 绕点 O 顺时针旋 转 45°到 OA5,扫过的面积记为 S3;…… 按此规律,则 S2 025 的值为 (　 B　 ) A. 22 020π B. 22 021π C. 22 022π D. 22 023π 第 19 题图 　 第 20 题图 20. 名师原创 如图,在平面直角坐标系中, △ABO 为等边三角形,A(0,4),以 AB 为 边,在 AB 右侧构造正六边形 ABCDEF. 若组合图形 OCDEF 绕点 O 逆时针旋转, 每次旋转 15°,则第 2 024 次旋转结束时, 点 D 的坐标为 (　 B　 ) A. (6 3 ,2) B. ( -6 3 ,2) C. (6 3 ,-2) D. ( -6 3 ,-2) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 93 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 第 2 题解图 　 　 第 3 题解图 3. B　 【解析】如解图,过点 B 作 BH⊥AC 于点 H,作射线 HE,∵ △ABC 是边长为 4 的等边三角形,BH⊥AC,∴ AH = CH= 1 2 AC= 2,∵ ∠BED= ∠BHD = 90°,∴ B,D,H,E 四点 共圆,∴ ∠BHE = ∠BDE = 45°,∴ ∠AHE = 45°,∴ 点 E 在 ∠AHB 的平分线上运动,∴ 当 AE⊥EH 时,AE 的长度取 得最小值,∵ ∠AHE = 45°,∴ AEmin = 2 2 AH = 2 ,即 AE 的 最小值为 2 . 4. 2 2 + 1 2 　 【解析】如解图,取 AC 的中点 Q,连接 PQ,∵ P 是 CD 的中点,Q 是 AC 的中点,∴ PQ 是△ACD 的中位 线,∴ PQ= 1 2 AD = 1 2 ,∴ 线段 AD 绕点 A 旋转时,点 P 在 以 Q 为圆心、PQ 为半径的圆上运动,∴ 当 BP 经过点 Q 时,BP 的值最大,最大值为 BQ+QP. ∵ BC= 2,tan∠BAC = 1 2 ,∴ AC= 4,∴ AQ=CQ= 2. ∵ ∠ACB = 90°,∴ BQ2 =BC2 + CQ2 = 8,∴ BQ= 2 2 (负值不合题意,舍去),∴ BP 的最大 值为 2 2 + 1 2 . 第 4 题解图 5. 2 10 -1　 【解析】如解图,连接 BM,将△BCM 绕点 B 逆 时针旋转 90°得△BEF,连接 MF,QF, ∵ ∠CBE = 90°, ∠ABC= 90°,∴ ∠ABC+ ∠CBE = 180°,∴ A,B,E 三点共 线,∵ ∠PBM= ∠PBQ-∠MBQ = 90°-∠MBQ = ∠QBF,由 旋转性质得 QB=PB,FB=MB,∴ △BQF≌△BPM( SAS), ∴ FQ=MP= 1,∴ 点 Q 的运动轨迹是以点 F 为圆心,1 为 半径的弧,∵ BC=CD=AB= 4,M 是边 CD 的中点,∴ CM = 1 2 CD= 2,∴ BM = BC2 +CM2 = 2 5 ,∵ ∠MBF = 90°,BM =BF,∴ MF = 2 BM = 2 10 ,∵ MQ≥MF-QF,∴ MQ≥ 2 10 -1,∴ MQ 的最小值为2 10 -1. 第 5 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三、山东中考培优———重难专题 专题一　 规律探索 1. D　 【解析】第 n 个式子是( - 1) n+1 n2 +1 xn ,则第 10 个式子 是- 101 x10 . 2. 45,2　 【解析】由数表中排列规律可知,当 a( i,j) = k2 时,若 k 为奇数,则 k2 在第 k 行、第 1 列,下一个数在第 k+1 行、 第 1 列,上一个数在第 k 行、第 2 列;若 k 为偶数,则 k2 在 第 1 行、第 k 列,下一个数在第 1 行、第 k+1 列,上一个数 在第 2 行、第 k 列. ∵ a(m,n) = 2 024 = 2 025- 1 = 452 - 1,而 452 在第 45 行、第 1 列,∴ 2 024 在第 45 行、第 2 列,∴ m = 45,n= 2. 3. 2　 【解析】a1 = 2,a2 = 1+2 1-2 = -3,a3 = 1-3 1+3 = - 1 2 ,a4 = 1- 1 2 1+ 1 2 = 1 3 ,a5 = 1+ 1 3 1- 1 3 = 2,…,由此可见,这一列数按 2, - 3, - 1 2 , 1 3 循环出现,∵ 2 025÷4 = 506……1,∴ a2 025 = 2. 4. 199　 【解析】每个正方形左上角的数依次为 1,2,3,4, …,∴ 第 n 个正方形的左上角数可表示为 n;每个正方形 左下角的数字依次为 2,3,4,5,…,∴ 第 n 个正方形左下 角的数可表示为 n+1;每个正方形右上角的数字依次为 1,3,5,7,…,∴ 第 n 个正方形右上角的数可表示为 2n-1. 当 2n-1 = 19 时,n= 10,则 n+1 = 11,∴ a= 10,b = 11. 又∵ 1 = 1×2- 1;7 = 3 × 3 - 2;17 = 4 × 5 - 3;…,∴ x = 11 × 19 - 10 = 199. 5. 10 10 11 　 【解析】 ∵ 　 1+1+ 1 4 = 　 9 4 = 3 2 = 1 + 1 1×2 , 　 1+ 1 4 + 1 9 = 　 49 36 = 7 6 = 1+ 1 2×3 , 　 1+ 1 9 + 1 16 = 　 169 144 = 13 12 = 1+ 1 3×4 ,…,∴ S1 = 1+ 1 1×2 = 1+1- 1 2 = 2- 1 2 ,S2 = 1+ 1 1×2 +1+ 1 2×3 = 2+ 1- 1 2 + 1 2 - 1 3 = 3- 1 3 ,S3 = 1+ 1 1×2 + 1+ 1 2×3 +1+ 1 3×4 = 3+1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 = 4- 1 4 ,…,∴ S10 = 11- 1 11 = 10 10 11 . 6. D　 【解析】第 1 次构造得 a1 = 2+6+4 = 12,k= 1 = 21 -1,第 2 次构造得 a2 = 2+8+6+10+4 = 30 =a1 +18 = a1 +6×31 ,k = 3 = 22 -1,第 3 次构造得 a3 = 2+10+8+14+6+16+10+14+4 = 84 =a2 +54 =a2 +6×32 ,k= 7 = 23 -1,故 A 选项正确;第 n 次 构造为 an =an-1 +6×3n -1 ,则 an -an-1 = 6×3n -1 ,an-1 -an-2 = 6× 3n-2 ,an-2 -an-3 = 6×3n -3 ,…,a2 -a1 = 6×31 ,相加得 an -a1 = 6 ×3n-1 +6×3n-2 +6×3n-3 +…+ 6×31 = 6×(3n-1 +3n-2 +…+31 ), 令 S= 3n-1 +3n-2 +…+31 = 31 +32 +…+3n-2 +3n-1 ①,则 3S = 32 +33 +…+3n ②,②-①,得 2S= -3+3n ,∴ S= 3n -3 2 ,即 an -a1 = 3n +1 -9,∴ an = 3n +1 + 3,∴ an+1 = 3n +2 + 3,即 an +1 = 3an - 6, 故 C 选项正确; an 3 = 3n +1 为偶数,故 B 选项正确;第 n 次 构造为 an =an-1 +6×3n -1 ,k= 2n -1,故 D 选项错误. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 57 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 7. B　 【解析】由所给图形可知,第 1 种化合物的分子结构模 型中氢原子的个数为 4 = 1×2+2;第 2 种化合物的分子结 构模型中氢原子的个数为 6 = 2×2+2;第 3 种化合物的分 子结构模型中氢原子的个数为 8 = 3×2+2;第 4 种化合物 的分子结构模型中氢原子的个数为 10 = 4×2+2;…,∴ 第 n 种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为 2n+2,当 n= 10 时,2n+2 = 22,即第 10 种化合物的分子结构模型中 氢原子的个数为 22. 8. B　 【解析】第一幅图中正方形的个数为 1 = 12 ;第二幅图 中正方形的个数为 5 = 12 +22 ;第三幅图中正方形的个数 为 14 = 12 +22 +32 ;第四幅图中正方形的个数为 30 = 12 +22 +32 +42 ;…,∴ 第 n 幅图中正方形的个数为 12 +22 +32 +… +n2 ,∴ 当 n= 6 时,12 +22 +32 +…+62 = 91,∴ 第六幅图中正 方形的个数为 91. 变式 　 2n2 -n　 【解析】∵ 图①中有 1 个三角形,记作 a1 = 1;图②中有 5 个三角形,记作 a2 = 5 = 1+ 4 = 1+ 4× 1;图 ③中有 9 个三角形,记作 a3 = 9 = 1+4+4 = 1+4×2;…,∴ 图 ○n 中三角形的个数为 an = 1+4(n-1)= 4n-3,∴ a1 +a2 +a3 +…+an = 1+5+9+…+(4n-3)= 1+4n-3 2 ·n = 2n2 -n. 9. 11　 【解析】第 1 个图案中“ ○”的个数为 4×2,第 2 个图 案中“○”的个数为 4×3,第 3 个图案中“○”的个数为 4× 4,第 4 个图案中“○”的个数为 4×5,…,∴ 第 n 个图案中 “○”的个数为 4(n+1);第 1 个图案中“ △”的个数为 12 , 第 2 个图案中“△”的个数为 22 ,第 3 个图案中“ △”的个 数为 32 ,第 4 个图案中“△”的个数为 42 ,…,∴ 第 n 个图 案中“ △” 的个数为 n2 ,设第 m 个图案中图形 “ ○” 和 “△”的个数之和为 169,则 4(m+ 1) +m2 = 169,解得 m = 11 或 m= -15(舍去),∴ m = 11,∴ 第 11 个图案中图形 “○”和“△”的个数之和为 169. 10. 2 025+675 3 　 【解析】∵ ∠ACB= 90°,∠B= 30°,AC = 1, ∴ AB= 2,BC= AB2 -AC2 = 3 ,∴ 将 Rt△ABC 绕点 A 顺 时针旋转,每旋转一次,AP 的长度依次增加 2, 3 ,1,且 三次一循环,∵ 2 025÷ 3 = 675,∴ AP2 025 = 675×( 2+ 3 + 1)= 2 025+675 3 . 11. 4 050π　 【解析】DA1 ( 的半径是 1,A1B1 ( 的半径是 2,B1C1 ( 的半径是 3,C1D1 ( 的半径是 4;D1A2 ( 的半径是 5,A2B2 ( 的 半径是 6,B2C2 ( 的半径是 7,C2D2 ( 的半径是 8 = 4×2,…, C3D3 ( 的半径是 12 = 4 × 3, …, ∴ CnDn ( 的半径是 4n, ∴ C2 025D2 025 ( 的半径为 4× 2 025 = 8 100,∴ C2 025D2 025 ( 的 长= nπr 180 = 90π ×8 100 180 = 4 050π. 12. 52 025 　 【解析】∵ 小正方形 ABCD 的面积为 1,∴ 边长为 1,易得正方形 A1B1C1D1 的面积为 12 + 22 = 5,正方形 A2B2C2D2 的面积为( 5 ) 2 + ( 2 5 ) 2 = 25 = 52 ,正方形 A3B3C3D3 的面积为 52 +(2×5) 2 = 125 = 53 ,…,∴ 正方形 AnBnCnDn 的面积为 5n,∴ 正方形 A2 025B2 025C2 025D2 025 的 面积为 52 025 . 13. 2×( 3 3 ) 2 024 　 【解析】∵ 四边形 ABCB1 是正方形,∴ AB1 =AB= 3 ,A1C∥AB,∴ ∠B1A1A = 60°,∴ A1B1 = 3 3 AB1 = 1,AA1 = 2 3 3 AB1 = 2, ∵ 四边形 A1B1C1B2 为正方形, ∴ A1B2 = A1B1 = 1, A2C1 ∥ A1B1 , ∴ ∠B2A2A1 = 60°, ∴ A1A2 = 2 3 3 A1B2 = 2× 3 3 ,A2B2 = 3 3 A1B2 = 3 3 ,同理可得 A2A3 = 2 × ( 3 3 ) 2 ,A3B3 = 1 3 ,…,∴ 线段 A2 024A2 025 = 2 × ( 3 3 ) 2 024 . 14. 2 025　 【解析】从点 A3 开始点所在的象限 4 个一循环, ∵ 点 A5 的坐标为( -1,-1),点 A9 的坐标为( -2,-2),点 A13 的坐标为( - 3, -3),…,∴ 点 A4m+1 的坐标可表示为 ( -m, -m) (m 为正整数), ∴ 当 m = 506 时, 4m + 1 = 2 025,即点 A2 025 的坐标为( - 506, - 506),∴ n 的值为 2 025. 变式 　 ( 2 893, - 3 ) 　 【解析】 点 A1 的坐标为 ( 1, - 3 ),点 A2 的坐标为(3,- 3 ),点 A3 的坐标为(4,0), 点 A4 的坐标为(6,0),点 A5 的坐标为(7, 3 ),点 A6 的 坐标为(9, 3 ),点 A7 的坐标为(10,0),点 A8 的坐标为 (11,- 3 ),点 A9 的坐标为(13,- 3 ),点 A10 的坐标为 (14,0),点 A11 的坐标为(16,0),点 A12 的坐标为( 17, 3 ),点 A13 的坐标为(19, 3 ),点 A14 的坐标为(20,0), …,由此可见,每隔七个点,点 An 的横坐标增加 10,且纵 坐标按- 3 ,- 3 ,0,0, 3 , 3 ,0 循环出现,∵ 2 025÷7 = 289……2,∴ A2 025 的横坐标为 3+ 289× 10 = 2 893, ∴ 点 A2 025 的坐标为(2 893,- 3 ) . 15. (1,3) 　 【解析】点 A1 的坐标为(2,0),点 A2 的坐标为 (2,0),点 A3 的坐标为(3- 3 2 , 1 2 ),点 A4 的坐标为(3, 2),点 A5 的坐标为(3,2),点 A6 的坐标为( 5 2 ,3- 3 2 ), 点 A7 的坐标为(1,3),点 A8 的坐标为(1,3),点 A9 的坐 标为( 3 2 , 5 2 ),点 A10 的坐标为(0,1),点 A11 的坐标为 (0,1),点 A12 的坐标为( 1 2 , 3 2 ),点 A13 的坐标为( 2, 0),…, 由此可见, 点 An 的坐标每 12 个循环一次, ∵ 2 024÷12 = 168……8,∴ 点 A2 024 的坐标为(1,3) . 16. C　 【解析】∵ 正方形 OABC 的边长为 1,∴ OB= 2 ,∵ 四 边形 OBB1C1 是以正方形 OABC 的对角线 OB 为边的正 方形,∴ OB1 = 2 OB = 2,∴ 点 B1 的坐标为(0,2);同理 可知 OB2 = 2 2 ,∴ 点 B2 的坐标为( - 2,2);OB3 = 4,点 B3 的坐标为( -4,0);点 B4 的坐标为( -4,-4);点 B5 的 坐标为(0,-8);点 B6 的坐标为(8,-8);点 B7 的坐标为 (16,0);点 B8 的坐标为( 16,16);点 B9 的坐标为( 0, 32),…由规律可以发现,每经过 8 次作图后,点的坐标 符号与第一次坐标符号相同,每次作图后正方形的边长 变为原来的 2倍,∵ 2 025÷8 = 253……1,∴ 点 B2 025 的横 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 67 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 纵坐标 符 号 与 点 B1 相 同, 横 坐 标 为 0, 纵 坐 标 为 ( 2 ) 2 026 ,∴ 点 B2 025 的坐标为(0,21 013 ) . 17. 21 012 　 【解析】∵ 直线 l 的表达式为 y = x,∴ 直线 l 与 x 轴正半轴的夹角为 45°. ∵ 点 A1 的坐标为( 2 ,0),∴ OA1 = 2 . 由作图过程可知 OB1 =OA1 = 2 . 又∵ A2B1 ⊥l, ∴ △OB1A2 是等腰直角三角形,∴ OA2 = 2OB1 = 2,同理 可得 OA3 = 2 2 ,OA4 = 4,…,∴ OAn = ( 2 ) n( n 为正整 数),当 n= 2 024 时,OA2 024 = ( 2 ) 2 024 = 21 012 ,∴ 点 A2 024 的横坐标为 21 012 . 变式 　 (90,0)　 【解析】如解图,过点 B1 作 B1C⊥x 轴 于点 C,过点 B2 作 B2D⊥x 轴于点 D,过点 B3 作 B3E⊥x 轴于点 E,∵ △OA1B1 为等边三角形,∴ ∠B1OC = 60°, OC=A1C,∴ B1C= 3OC,设 OC= t,则点 B1 的坐标为( t, 3 t),把 B1( t, 3 t)代入 y = 3 x 得 t· 3 t = 3 ,解得 t = 1 或 t= -1(舍去),∴ OA1 = 2OC = 2,∴ A1(2,0) . 设 A1D = m,同理得到 B2D= 3m,则点 B2 的坐标为(2+m, 3m), 把 B2(2+m, 3m)代入 y= 3 x ,得(2+m) × 3m= 3 ,解得 m= 2 - 1 或 m = - 2 - 1(舍去),∴ A1D = 2 - 1,A1A2 = 2A1D= 2 2 -2,∴ OA2 = 2+2 2 - 2 = 2 2 ,∴ A2(2 2 ,0) . 设 A2E=n,同理可得,点 B3 的坐标为(2 2 +n, 3 n),把 B3(2 2 +n, 3 n)代入 y= 3 x ,得(2 2 +n) · 3 n = 3 ,解 得 n= 3 - 2 或 n = - 3 - 2 (舍去),∴ A2E = 3 - 2 , A2A3 = 2A2E = 2 3 -2 2 ,∴ OA3 = 2 2 +2 3 -2 2 = 2 3 , ∴ A3(2 3 ,0);…,∴ An(2 n ,0),∴ A2 025(2 2 025 ,0), 即(90,0) . 变式题解图 18. (8,3)　 【解析】根据反射角与入射角的定义作出图形 如解图,每 6 次反弹为一个循环组,经过 6 次反弹后动 点 P 回到出发点(0,3),∵ 2 025÷6 = 337……3,∴ 当点 P 第 2 025 次碰到矩形的边时为第 338 个循环组的第 3 次 反弹,∴ 点 P 的坐标为(8,3) . 第 18 题解图 19. B　 【解析】∵ 将 OA 绕点 O 顺时针旋转 45°到 OA1 ,A1A2 ⊥OA1 交 x 轴于点 A2 , ∴ ∠AOA1 = 45°,OA1 = OA = 1, ∠OA1A2 = 90°, ∴ ∠A1OA2 = 90° - ∠AOA1 = 45°, ∴ ∠OA2A1 = 90°-∠A1OA2 = 45°,∴ △A1OA2 是等腰直角三 角形,∴ A1A2 = OA1 = 1,∴ OA2 = 2 ,同理可得△A3OA4 , △A5OA6 ,…都是等腰直角三角形,OA4 = 2,OA6 = 2 2 , …,∴ S1 = 45π×12 360 = 1 8 π,S2 = 45π×( 2 ) 2 360 = 1 4 π,S3 = 45π×22 360 = 1 2 π,S4 = 45π×(2 2 ) 2 360 = π,…,∴ Sn = 2n -4 π,∴ S2 025 = 22 021 π. 20. B　 【解析】由题意可知,组合图形 OCDEF 绕点 O 逆时 针旋转,每次旋转 15°,则第 2 024 次旋转结束时,共旋 转 2 024×15° = 30 360°,30 360÷360 = 84……120,即该组 合图形绕点 O 逆时针旋转 84 圈后再逆时针旋转 120°, 如解图,旋转后的图形为 OC′D′E′F′,此时点 D′在第二 象限,∵ 旋转不改变图形的形状和大小,A(0,4),△ABO 为等边三角形, ∴ A′ O = A′ B′ = OA = 4, ∴ 正六边形 A′B′C′D′E′F′的边长为 4,易得∠BOB′ = 120°,∠AOB = 60°,∴ ∠AOB′= 60°,∴ ∠B′ON = 30°,∴ A′B′⊥x 轴,在 正六边形 A′B′C′D′E′F′中,D′E′∥A′B′,设 D′E′,A′B′分 别交 x 轴于点 M,N,在等边三角形 OA′B′中,∵ ON⊥ A′B′,∴ NO= 2 3 ,在正六边形 A′B′C′D′E′F′中,易得 MN = 3A′B′= 4 3 ,D′M= 1 2 D′E′= 1 2 A′B′= 2,∴ OM =MN+ ON= 6 3 ,又∵ 点 D′在第二象限,∴ 第 2 024 次旋转结束 时,点 D 的坐标为( -6 3 ,2) . 第 20 题解图 专题二　 动点、动图类函数图象的分析与判断 1. C　 【解析】∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠B = ∠C = 60°, BC= AB = a, ∴ PC = a - x. ∵ ∠APD = 60°, ∠B = 60°, ∴ ∠BAP+∠APB = 120°,∠APB+∠CPD = 120°,∴ ∠BAP = ∠CPD,∴ △ABP∽△PCD,∴ CD BP = PC AB ,即 y x = a -x a ,∴ y = - 1 a x2 +x,∴ y 与 x 函数关系的大致图象是开口向下的 抛物线. 2. B　 【解析】①当点 P 在 AB 上时,0≤x≤3,点 D 到 AP 的 距离为 AD 的长度,是定值 4;②当点 P 在 BC 上时,3<x≤ 5,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD∥BC,∴ ∠APB = ∠DAE, 又∵ ∠B= ∠DEA= 90°,∴ △ABP∽△DEA,∴ AB DE = AP DA ,即 3 y = x 4 ,∴ y= 12 x ,∴ 当 3<x≤5 时,y 关于 x 的函数图象是 反比例函数 y= 12 x (x>0)图象的一部分,只有 B 选项图象 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 77