专题五 对角互补模型-【一战成名新中考】2025山东中考数学·二轮复习·专项培优练

参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 第 3 题解图 4. D　 【解析】如解图,把△ABC 绕点 B 顺时针旋转 90°得到 △HBD,连接 AH,∴ BH = AB = 3 2 ,DH = AC = 2,∠ABH = 90°,∴ AH= 2 AB = 6,∵ AD≤DH+AH(A,H,D 三点共线 时取等号),∴ AD 的最大值为 6+2 = 8. 第 4 题解图 　 　 　 变式题解图 变式 　 22 　 【解析】如解图,将 DC 绕点 C 顺时针旋转 90°得 EC,连接 AE,DE,则∠DCE = ∠ACB = 90°,∠ACE = ∠ACD+∠DCE= ∠ACD+∠BCA = ∠BCD,又∵ BC = AC,CD =CE= 3,∴ △BCD≌△ACE,∴ BD=AE,由旋转可知△CDE 为等腰直角三角形,∴ ∠CDE = 45°,DE = 2 CD = 3 2 , ∴ ∠ADE= ∠ADC + ∠CDE = 90°, ∴ AE = AD2 +DE2 = 22 +(3 2 ) 2 = 22 ,∴ BD= 22 . 专题五　 对角互补模型 例　 (1)①证明:选择小红的思路:如解图①,延长 CD 到 M, 使得 DM=BC,连接 AM, ∵ 四边形 ABCD 为对角互补四边形, ∴ ∠ABC+∠ADC= 180°, 又∵ ∠ADC+∠ADM= 180°, ∴ ∠ABC= ∠ADM, ∵ AB=AD,BC=DM,∴ △ABC≌△ADM, ∴ AC=AM,∠ACB= ∠AMD, ∴ ∠ACD= ∠AMD= ∠ACB, ∴ CA 平分∠BCD; 图① 　 　 图② 例题解图 选择小星的思路:如解图②,过点 A 分别作 AQ⊥CD 于 Q, AP⊥CB 交 CB 的延长线于 P, ∴ ∠APB= ∠AQD= 90°, ∵ 四边形 ABCD 为对角互补四边形, ∴ ∠ABC+∠ADC= 180°, 又∵ ∠ABP+∠ABC= 180°,∴ ∠ABP= ∠ADQ, ∵ AB=AD,∴ △ABP≌△ADQ, ∴ AP=AQ,∴ CA 平分∠BCD; ②解:CD +CB = 2 CA;【解法提示】 ∵ △ABC≌ △ADM, ∴ ∠BAC= ∠DAM,AC = AM,BC = DM,又∵ ∠BAD = 90°, ∴ ∠CAM= 90°, ∴ △ACM 是等腰直角三角形, ∴ CM = 2AC, ∵ CM=CD+DM,∴ CM=CD+BC= 2AC; (2)证明:如解图③,过点 E 作 EH⊥BC 于点 H,过点 E 作 EP⊥CD 于点 P, ∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ CE 平分∠BCD, 又∵ EH⊥BC,EP⊥CD,∴ EH=EP, ∴ 四边形 EHCP 是正方形,∴ ∠HEP= 90°, ∵ ∠GEH+∠HEF= 90°,∠PEF+∠HEF= 90°, ∴ ∠PEF= ∠HEG,∴ Rt△FEP≌Rt△GEH,∴ EF=EG; 图③ 　 　 图④ 例题解图 (3) 5 3 . 【解法提示】解法一:如解图④,过点 E 作 EM⊥BC 于 M,过点 E 作 EN⊥CD 于 N,则∠MEN= 90°,∴ EM∥AB, EN∥AD,∴ △CEN∽△CAD,△CEM∽△CAB,∴ NE AD = CE CA , EM AB = CE CA , ∴ NE AD = EM AB ,即 EN EM = AD AB = CB AB = 5 3 , ∵ ∠NEF + ∠FEM = ∠BEM + ∠FEM = 90°, ∴ ∠BEM = ∠FEN, ∵ ∠BME= ∠FNE = 90°, ∴ △BME∽ △FNE, ∴ EF EB = EN EM = 5 3 . 解法二:如解图⑤,过点 E 作 EM⊥AB 于点 M,延长 ME 交 CD 于点 N,则 EN⊥CD,MN∥BC,MN = BC,∴ AM ME = AB BC = 3 5 ,∴ AB-MB MN-EN = 3 -MB 5-EN = 3 5 , ∴ MB EN = 3 5 . ∵ EF ⊥ BE, ∴ ∠BEM+∠FEN = ∠BEM + ∠EBM, ∴ ∠FEN = ∠EBM, ∵ ∠ENF= ∠BME = 90°, ∴ △FEN∽ △EBM, ∴ EF BE = EN BM = 5 3 . 解图⑤ 　 解图⑥ 例题解图 解法三:如解图⑥,连接 BF,取 BF 的中点 O,连接 OE, OC. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,EF⊥BE,∴ ∠BEF = ∠BCF = 90°,AB = CD = 3, BC = AD = 5, ∴ B,C,F,E 四点共圆, ∴ ∠EBF=∠ECF,∴ tan∠EBF=tan∠ACD, ∴ EF BE =AD CD = 5 3 . 1. A　 【解析】解法一:如解图①,延长 AB 至点 E,使得 BE = AD,过点 O 作 OH⊥AC 于点 H,连接 CE,OA,OC,∵ ∠BAC 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 46 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 = ∠CAD= 45°,∴ BC = DC,∠DAB = 90°,∵ ∠ABC = 60°, ∴ ∠ADC= ∠EBC = 120°,∴ △ADC≌△EBC,∴ AC = CE, ∠ACD= ∠ECB,∴ ∠ACE = ∠BCD = 180° - ∠BAD = 90°, ∴ △ACE 为等腰直角三角形,∵ AB+AD = 2,∴ AB+BE = 2, ∴ AE= 2,∴ AC= AE 2 = 2 ,∵ OA =OC,OH⊥AC,∴ AH = CH = 1 2 AC= 2 2 ,∵ ∠ABC= 60°,∴ ∠AOC= 120°,由垂径定理 得 OA= AH sin60° = 6 3 ,∴ ☉O 的半径是 6 3 . 图① 　 图② 第 1 题解图 解法二:如解图②,过点 C 作 CM⊥AB 于点M,CN⊥AD 交 AD 的延长线于点 N,过点 O 作 OH⊥AC 于点 H,连接 OA, OC, ∵ ∠BAC= ∠CAD = 45°, ∴ AC 平分∠BAN, ∴ CM = CN,∵ ∠MAN= ∠BAC+∠CAD = 90°,∠AMC = ∠N = 90°, ∴ 四边形 AMCN 是正方形,∴ AM=AN,∵ ∠BAC = ∠CAD, ∴ BC= CD, ∵ CM = CN, ∴ Rt △CBM≌ Rt △CDN ( HL), ∴ MB=ND,∵ AB+AD = AM+MB+AD = AM+DN+AD = AM+ AN= 2AM = 2, ∴ AM = 1, ∵ ∠BAC = 45°, ∠AMC = 90°, ∴ △ACM 是等腰直角三角形,∴ AC = 2 AM = 2 ,∵ ∠B = 60°,∴ ∠AOC= 2∠B= 120°,∵ OA =OC,OH⊥AC,∴ AH = 1 2 AC= 2 2 ,∠AOH = 1 2 ∠AOC = 60°,∴ OA = AH sin60° = 6 3 , ∴ ☉O 的半径是 6 3 . 2. 4　 【解析】如解图,过点 O 分别作 OG⊥CD,OH⊥BC,垂 足分别为 G,H,∵ 点 O 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上, ∴ OG = OH, ∠GOH = 90°,即四边形 CGOH 是正方形, ∵ ∠EOF= ∠EOG + ∠GOF = ∠GOF + ∠FOH = ∠GOH, ∴ ∠EOG= ∠FOH, 又 ∵ ∠OGE = ∠OHF, ∴ △OGE ≌ △OHF( ASA), ∴ S四边形CEOF = S正方形CGOH . ∵ AD = CD = 3, ∴ AC= 3 2 ,∵ CO= 2AO,∴ CO= 2 2 ,∴ S正方形CGOH = 1 2 CO2 = 1 2 ×(2 2 ) 2 = 4,∴ S四边形CEOF = 4. 第 2 题解图 拓展设问　 1 2 　 【解析】如解图,过点 O 分别作 OG⊥CD,OH ⊥AD, 垂足分别为 G, H, 易得四边形 OHDG 为矩形, ∴ ∠HOG= 90°,∵ OF⊥OE,∴ ∠EOG+ ∠HOM = ∠EOG+ ∠GON= 90°,∴ ∠HOM = ∠GON,又∵ ∠MHO = ∠NGO = 90°,∴ △MHO∽ △NGO, ∴ OM ON = OH OG . ∵ AD = 3, ∴ AC = 3 2 ,∵ CO= 2AO,∴ AO = 2 ,CO = 2 2 ,∴ OH = 2 2 OA = 1, OG= 2 2 OC= 2,∴ OM ON =OH OG = 1 2 . 拓展设问题解图 3. 4　 【解析】如解图,∵ AB = AD,∠BAD = 60°,∴ 将△ADC 绕点 A 顺时针旋转 60°得到△ABE. ∵ 四边形的内角和为 360°,∠BAD = 60°,∠BCD = 120°,∴ ∠D+∠ABC = 180°. ∴ ∠ABE+∠ABC= 180°,∴ E,B,C 三点共线. 根据旋转性 质可知∠EAC = ∠BAD = 60°,AE = AC,∴ △AEC 是等边三 角形,四边形 ABCD 的面积等于 △AEC 的面积, 等边 △AEC 的面积为 3 4 AC2 = 4 3 ,解得 AC= 4(负值已舍) . 第 3 题解图 4. 1　 【解析】解法一:如解图①,过点 D 作 DG∥BC 交 AB 于 点 G,∵ D 为 AC 的中点,∴ GD 为△ABC 的中位线,∴ G 为 AB 的中点,∴ BG = 1 2 AB = 2,又∵ △ABC 是等边三角形, ∴ ∠GDC= ∠EDF = ∠DGE = ∠DCF = 120°,DG = 1 2 BC = 1 2 AC = DC = 2. ∵ ∠GDE + ∠EDC = ∠EDC + ∠CDF, ∴ ∠GDE= ∠CDF,∴ △GDE≌△CDF( ASA),∴ GE = CF. 又∵ BE= 1,∴ GE= 1,∴ CF= 1. 图① 　 　 图② 第 4 题解图 解法二:如解图②,过点 D 分别作 DM⊥AB 于点 M,DN⊥ BC 于点 N,连接 BD,∵ D 是 AC 的中点,△ABC 是等边三 角形,∴ AD = 1 2 AC = 2,BD 是∠ABC 的平分线,∴ DM= DN,∵ ∠ABC = 60°,∴ ∠MDN = 120°, ∵ ∠EDF = 120°, ∴ ∠MDE+∠NDE = ∠NDE + ∠NDF = 120°, ∴ ∠MDE = ∠NDF, ∵ ∠DME = ∠DNF = 90°, ∴ △DME ≌ △DNF(ASA),∴ ME =NF,在 Rt△ADM 中,AD = 2,∠A = 60°,∴ AM= 1,同理可得 CN = 1,∴ ME = AB-AM-BE = 2, ∴ NF= 2,∴ CF= 1. 专题六　 半角模型 例　 解:(1)EF=BE+DF;【解析】由旋转可得 GB =DF,AF = AG,∠BAG= ∠DAF,∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ ∠BAD = 90°,∵ ∠EAF = 45°, ∴ ∠BAE + ∠DAF = 45°, ∴ ∠BAG + 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 56 专项培优练·山东数学 模 型 方 法 专题五　 对角互补模型 一阶 模型初探 例　 (1)【感知】如图①,四边形 ABCD 为对角互补四边形, ∠BAD = ∠BCD = 90°, AB = AD. 求 证: CA 平 分∠BCD. 小红的思路:延长 CD 至 M,使得 DM = BC,连接 AM,即可证明. 小星的思路:过点 A 分别作 AQ⊥CD 于 Q,AP⊥CB 例题图① 交 CB 的延 长 线 于 P,即可证明. ①请你选择一个同学的思路进行 证明; 证明:见本册 P. ②通过证明过程,请直接写出 CB,CD,CA 之间的 数量关系　 CD+CB= 2CA　 ; (2)【应用】如图②,将直角三角板放在正方形 ABCD 上, 使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC 上,三角 板的一边交边 CD 于点 F,另一边交 CB 的延长线于 点 G. 求证:EF=EG; 例题图② (3)多解法 ∙∙∙ 【拓展】如图③,将(2)中的“正方形 ABCD”改 为“矩形 ABCD”,且使三角板的一边经过点 B,其他 条件不变,若 AB= 3,BC= 5,则EF EB = 　 　 　 . 例题图③ 模型解读 条件:∠ABC+∠ADC= 180° 图示、作法及结论: 注:常见的对角互补有:“90°对角 互补”, “60°对角互补” (全等型时,对角 线平分 120°的角. 构图时由 60° 角的顶点作垂线或旋转), “120°对角互补” (全等型时,对 角线 平 分 60° 的 角. 构 图 时 由 120°角的顶点作垂线或旋转) . “60°对角互补” 与“ 120°对角互 补”的区别与联系可通过练习二 阶第 3,4 题体会. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 51 专项培优练·山东数学 模 型 方 法 二阶 对接中考 1. 多解法 ∙∙∙ [2024 武汉]如图,四边形 ABCD 内接于☉O,∠ABC = 60°,∠BAC = ∠CAD= 45°,AB+ AD= 2,则☉O 的半径是 (　 A　 ) A. 　 6 3 　 　 　 　 　 　 　 B. 2 　 2 3 　 　 　 　 　 　 　 C. 　 3 2 　 　 　 　 　 　 　 D. 　 2 2 第 1 题图 2. 90°对角互补　 如图,正方形 ABCD 的边长为 3,O 是对角线 AC 上一点,且 CO= 2AO,E 是边 CD 上一点,连接 OE,过点 O 作 OF⊥OE,交 BC 于点 F,则四边形 CEOF 的面积为　 4　 . 第 2 题图 拓展设问 　 如图,延长 OE 交 AD 的延长线于点 M,延长 OF 交 DC 的延长线于点 N, 则 OM ON = 　 　 　 . 拓展设问题图 3. 60°对角互补 [2024 东营二模改编]如图,在四边形 ABCD 中,已知 AB = AD,∠BAD = 60°, ∠BCD= 120°,若四边形 ABCD 的面积为 4 3 ,则 AC= 　 4　 . 第 3 题图 4. 120°对角互补　 多解法 ∙∙∙ 如图,等边三角形 ABC 的边长为 4,D 是边 AC 的中点,E 在边 AB 上, BE= 1,点 F 在边 BC 的延长线上,且∠EDF= 120°,则 CF 的长为　 1　 . 第 4 题图 61