专题十 主从联动模型(瓜豆模型)-【一战成名新中考】2025山东中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·山东数学 模 型 方 法 专题十　 主从联动模型(瓜豆模型) 一阶 模型初探 类型 1　 直线型 例 1　 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 4,∠DCA= 30°,点 F 是对角线 AC 上的一个动点,连接 DF, 以 DF 为斜边作∠DFE= 30°的直角三角形 DEF,使点 E 和点 A 位于 DF 两侧,点 F 从点 A 到点 C 的运动过程中,点 E 的运动路径长是　 　 　 　 . 例 1 题图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思路剖析】点 F 从点 A 到点 C,运动轨迹为线段,∠DFE 是定值,且DF DE 是定值,则 点 E 的轨迹也是一条线段,起点为点 F 与点 A 重合时点 E 的位置,终点为点 F 与 点 C 重合时点 E 的位置,再通过解直角三角形求得轨迹长. 模型解读 问题 (1)如图 1,点 A 是直线 l 外一定点,点 P 是直 线 l 上一动点,连接 AP,取 AP 的中点 Q, 当点 P 在直线 l 上运动时,点 Q 的轨迹是 什么图形? 图 1 (2)如图 2,点 A 是直线 l 外一定点,点 P 是直 线 l 上一动点,连接 AP,以 AP 为腰作等 腰三角形 APQ,且∠PAQ =α,当点 P 在直 线 l 上运动时,点 Q 的轨迹是什么图形? 图 2 思路 (1)定点到定直线的距离相等 (2)定角等比构造全等 作法 (1)如图 3,过点 A,Q 分别作直线 l 的垂线 AC,QB,则 QB∥AC,且 QB = 1 2 AC,∵ AC 是定值,∴ QB 是定值,即点 Q 到直线 l 的 距离始终相等,∴ 点 Q 的轨迹是平行于直 线 l 的一条直线 图 3 (2)如图 4,当点 P 运动到点 P′时,以 AP′为腰 作等腰三角 形 AP′ Q′, 且 ∠P′ AQ′ = α, ∴ ∠PAP′= ∠QAQ′,∵ AP=AQ,AP′=AQ′, ∴ △APP′≌ △AQQ′ ( SAS),∴ ∠APP′ = ∠AQQ′ = 1 2 ( 180° - α ), ∴ ∠PQQ′ = ∠AQP+∠AQQ′ = 180° -α,∴ 直线 QQ′与 直线 l 的夹角为 α,即点 Q 的轨迹为直 线 QQ′ 图 4 总结 定点 A 为直线(线段)外一点,主动点 P 为直线上一点,从动点 Q 为任意一点,若∠PAQ 为定 角,AQ AP 为定值,则从动点 Q 的轨迹为一条直线(线段) . 如问题(1)中定角为 0,定值为 1 2 ;问题 (2)中定角为 α,定值为 1 33 专项培优练·山东数学 模 型 方 法 类型 2　 曲线型 例 2　 多解法 ∙∙∙ 如图,点 A 的坐标为(4,3),AB⊥x 轴于点 B,点 C 为坐标平面内一点,OC = 2,D 为线段 AC 的中点,连接 BD,则 BD 的最大值为　 　 　 　 . 例 2 题图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思路剖析】解法一(一般解法):主动点(C)的轨迹为圆,由于该圆心是确定的, 连接定点(A)与主动点轨迹的圆心(O),通过从动点(D)与主动点(C)的位置, 确定从动点轨迹的圆心的位置. 解法二(特殊解法):由 D 是 AC 的中点,可联想构造中位线,作点 A 关于 x 轴的 对称点 E(或延长 AB 至点 E,使得 BE=AB),连接 CE,则 BD 为△ACE 的中位线, 则 BD= 1 2 CE,当 CE 取得最大值时,BD 可取得最大值. 模型解读 问题 (1)如图 1,点 A 是☉O 外一定点,点 P 是 半径为 r 的☉O 上一动点,连接 AP,取 AP 的中点 Q,当点 P 在 ☉O 上运动 时,点 Q 的运动轨迹是什么图形? 图 1 (2)如图 2,点 A 是☉O 外一定点,点 P 是半径为 r 的☉O 上一动点,连接 AP,点 Q 是平面内 一点,且∠PAQ = α,AQ AP = k,当点 P 在☉O 上 运动时,点 Q 的运动轨迹是什么图形? 图 2 思路 (1)定点到定圆上动点的距离比相等 (2)定角等比构造相似 作法 (1)如图 3,连接 OA,取 OA 的中点 M,连接 QM,则 QM∥PO,且 QM = 1 2 PO = 1 2 r, ∵ 点 A,O 是定点,∴ 点 M 是定点,即 为圆心,∵ QM PO = AM AO = 1 2 ,∴ QM 为定 长,即为半径,∴ 点 Q 的运动轨迹是以 M 为圆心, 1 2 r 为半径的圆 图 3 (2)如图 4,连接 OA,OP,以 O 为顶点,作∠OAM =α,且AM AO = k,∵ ∠PAQ= ∠OAM,∴ ∠MAQ = ∠OAP,∵ AM AO =AQ AP = k,∴ △AQM∽△APO,∴ MQ OP = k,为定值,∴ MQ = kr,∴ 点 Q 的运动轨 迹为以 M 为圆心,kr 为半径的圆. 当 α = 0,k = 1 2 时即为问题(1)的情况 图 4 总结 1. 定点 A 为☉O 外一点,主动点 P 为☉O 上一点,从动点 Q 为任意一点,若∠PAQ 为定角,AQ AP 为定值,则从动点 Q 的运动轨迹为圆. 如问题(1)中,定角为 0,定值为 1 2 ;问题(2)中定角 为 α,定值为 k. 2. 从动点轨迹的确定方法:连接定点 A 与圆心 O,以定点 A 为顶点,OA 为一边作∠OAM 等于 定角 α,且AM AO =AQ AP = k,则点 M 为运动轨迹所在圆的圆心,k 乘定圆半径长即为运动轨迹所 在圆的半径长 43 专项培优练·山东数学 模 型 方 法 二阶 对接中考 1. [2022 日照 16 题改编]如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(0,1) ,点 P 是 x 轴 上一动点,把线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 90°,得到线段 AQ. 连接 OQ,则线段 OQ 长度的 最小值是　 1　 . 第 1 题图 2. [2024 大庆]如图,在矩形 ABCD 中,AB = 10,BC = 6,点 M 是 AB 边的中点,点 N 是 AD 边 上任意一点,将线段MN 绕点M 顺时针旋转 90°,点 N 旋转到点 N′,则△MBN′周长的最 第 2 题图 小值为 ( 　 B　 ) A. 15 B. 5+5 5 C. 10+5 2 D. 18 3. [2024 菏泽郓城县模拟]如图,等边△ABC 的边长为 4,点 D 是边 AC 上的一动点,连接 BD,以 BD 为斜边向上作等腰 Rt△BDE,连接 AE,则 AE 的最小值为 (　 B　 ) 第 3 题图 A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2 -1 4. [2024 龙东地区]如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,tan∠BAC = 1 2 ,BC = 2,AD = 1,线段 AD 绕点 A 旋转,点 P 为 CD 的中点,则 BP 的最大值是　 　 　 　 . 第 4 题图 5. 如图,M 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点,P 是正方形内一点,连接 BP,MP,线段 BP 以 B 为中心逆时针旋转 90°得到线段 BQ,连接 MQ. 若 AB = 4,MP = 1,则 MQ 的最小值 为　 2 10 -1　 . 第 5 题图 53 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 图① 　 　 图② 第 1 题解图 2. 3 　 【解析】如解图,将△BQC 绕点 B 顺时针旋转 60°得 到△BNM,连接 QN,∴ BQ=BN,BC=BM,QC=NM,∠QBN = ∠CBM = 60°, ∴ △BQN 是等边三角形, ∴ BQ = QN, ∠BQN= 60°,∴ QA+QB+QC = AQ+QN+MN,∴ 当点 A,Q, N,M 共线时,QA+QB+QC 的值最小,如解图②,连接 MC, ∵ BC=BM,∠CBM= 60°,∴ △BCM 是等边三角形,∴ MB =MC,∵ AB=AC,∴ AM 垂直平分 BC,∵ PD⊥BC,∴ 点 P 与点 A 重 合, ∵ AB = AC, ∠BAC = 90°, AD ⊥ BC, 在 Rt△BQD 中,∠BQD= 60°,∴ BD= 3 2 BQ= 3 ,∴ PD= 3 . 图① 　 　 图② 第 2 题解图 专题十　 主从联动模型(瓜豆模型) 例 1　 4 3 3 　 【解析】如解图①,连接 EE′,由题知,在运动过 程中∠DFE = ∠DF′E′ = 30°, DF DE = DF′ DE′ = 2,又∵ ∠FDF′ = ∠EDE′,∴ △DFF′∽△DEE′,∴ ∠DF′F = ∠DE′E,∵ F,F′ 都在线段 AC 上,∴ E,E′也在同一条线段上. 如解图②,连 接 EE′,点 E 的运动轨迹为线段 EE′的长. ∵ AB = 4,∠DCA = 30°,AB∥DC,∴ ∠CAB= ∠DCA= 30°,∴ BC =AB·tan30° = 4 3 3 ,当点 F 与点 A 重合时,在 Rt△ADE 中,AD = BC = 4 3 3 ,∠DAE = 30°,∴ ∠ADE = 60°,∴ DE = 1 2 AD = 2 3 3 , ∠CDE= 30° ; 当点 F′ 与点 C 重合时, ∠E′DC = 60°, ∴ ∠E′DE= 90°,∵ ∠DE′E= ∠DF′F = 30°,∴ 在 Rt△DEE′ 中,EE′= 2DE= 4 3 3 . 故点 E 的运动路径长是 4 3 3 . 图① 　 　 图② 例 1 题解图 例 2　 7 2 　 【解析】解法一:如解图①,连接 AO,取 AO 的中 点 M,连接 MD,∵ D 为 AC 的中点,∴ MD 为△AOC 的中位 线,∴ MD= 1 2 OC= 1,∵ 点 A 的坐标为(4,3),∴ 点 M 的坐 标为(2, 3 2 ),∴ 点 D 为以 M 为圆心,MD 长为半径的圆上 一点,∴ 当 B,M,D 三点共线时,BD 有最大值,此时 BD = BM+DM,∵ A(4,3),AB⊥x 轴于点 B,∴ B(4,0),∴ BM = (4-2) 2 +(0- 3 2 ) 2 = 5 2 ,∴ BD 的最大值为 1+ 5 2 = 7 2 . 图① 　 　 　 　 图② 例 2 题解图 解法二:如解图②,作点 A(4,3)关于 x 轴的对称点 E(4, -3),则 B 是 AE 的中点,BE = 3,又∵ D 是 AC 的中点, ∴ BD 是△AEC 的中位线,∴ BD = 1 2 EC,∴ 当 EC 最大时, BD 最大,∵ 点 C 为坐标平面内一点,且 OC = 2,∴ 点 C 在 以 O 为圆心,2 为半径的圆上运动,∴ 当 EC 经过圆心 O 时,EC 最大. ∵ E(4,-3),∴ OE= 5,∴ CE 的最大值为 5+2 = 7,∴ BD 的最大值为 7 2 . 1. 1　 【解析】如解图,取 B(1,1),连接 AB,QB,过点 B 作 BC ⊥AB 交 x 轴于点 C,∵ A( 0,1),B( 1,1),∴ OA = AB = 1, AB⊥y 轴,∴ ∠OAB = 90°,由旋转的性质可得 AP = AQ, ∠PAQ = 90°, ∴ ∠OAP = ∠BAQ, ∴ △OAP ≌ △BAQ (SAS),∴ ∠ABQ= ∠AOP= 90°,∴ 点 Q 在垂直于 AB 且经 过点 B 的直线上运动,∴ 当 OQ⊥BQ 时,OQ 最小,此时点 Q 与点 C 重合,∵ ∠AOP = ∠OAB = ∠ABC = 90°,OA = AB, ∴ 四边形 ABCO 为正方形,∵ AB= 1,∴ OC = 1,∴ 线段 OQ 长度的最小值为 1. 第 1 题解图 2. B　 【解析】如解图,过点 N′作 EF∥AB,分别交 AD,BC 于 点 E,F,过点 M 作 MG⊥EF 于点 G,∵ 四边形 ABCD 是矩 形,∴ AB∥CD,∴ AB∥EF∥CD,∴ 四边形 AMGE 和四边形 BMGF 都是矩形,∴ ∠A= ∠AMG= ∠BMG= 90°,由旋转的 性质得∠NMN′= 90°,MN =MN′,∴ ∠GMN′= 90°-∠NMG = ∠AMN,∴ △GMN′≌△AMN( AAS),∴ GM = AM = 1 2 AB = 5,∴ 点 N′在平行于 AB,且与 AB 的距离为 5 的直线上 运动. 作点 M 关于 EF 的对称点 M′,连接 M′B 交直线 EF 于点 N′,此时△MBN′的周长取得最小值,最小值为 BM+ BM′,∵ BM= 1 2 AB = 5,MM′ = 5+ 5 = 10,∴ BM+BM′ = 5 + 52 +102 = 5+5 5 ,即△MBN′周长的最小值为 5+5 5 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 47 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 第 2 题解图 　 　 第 3 题解图 3. B　 【解析】如解图,过点 B 作 BH⊥AC 于点 H,作射线 HE,∵ △ABC 是边长为 4 的等边三角形,BH⊥AC,∴ AH = CH= 1 2 AC= 2,∵ ∠BED= ∠BHD = 90°,∴ B,D,H,E 四点 共圆,∴ ∠BHE = ∠BDE = 45°,∴ ∠AHE = 45°,∴ 点 E 在 ∠AHB 的平分线上运动,∴ 当 AE⊥EH 时,AE 的长度取 得最小值,∵ ∠AHE = 45°,∴ AEmin = 2 2 AH = 2 ,即 AE 的 最小值为 2 . 4. 2 2 + 1 2 　 【解析】如解图,取 AC 的中点 Q,连接 PQ,∵ P 是 CD 的中点,Q 是 AC 的中点,∴ PQ 是△ACD 的中位 线,∴ PQ= 1 2 AD = 1 2 ,∴ 线段 AD 绕点 A 旋转时,点 P 在 以 Q 为圆心、PQ 为半径的圆上运动,∴ 当 BP 经过点 Q 时,BP 的值最大,最大值为 BQ+QP. ∵ BC= 2,tan∠BAC = 1 2 ,∴ AC= 4,∴ AQ=CQ= 2. ∵ ∠ACB = 90°,∴ BQ2 =BC2 + CQ2 = 8,∴ BQ= 2 2 (负值不合题意,舍去),∴ BP 的最大 值为 2 2 + 1 2 . 第 4 题解图 5. 2 10 -1　 【解析】如解图,连接 BM,将△BCM 绕点 B 逆 时针旋转 90°得△BEF,连接 MF,QF, ∵ ∠CBE = 90°, ∠ABC= 90°,∴ ∠ABC+ ∠CBE = 180°,∴ A,B,E 三点共 线,∵ ∠PBM= ∠PBQ-∠MBQ = 90°-∠MBQ = ∠QBF,由 旋转性质得 QB=PB,FB=MB,∴ △BQF≌△BPM( SAS), ∴ FQ=MP= 1,∴ 点 Q 的运动轨迹是以点 F 为圆心,1 为 半径的弧,∵ BC=CD=AB= 4,M 是边 CD 的中点,∴ CM = 1 2 CD= 2,∴ BM = BC2 +CM2 = 2 5 ,∵ ∠MBF = 90°,BM =BF,∴ MF = 2 BM = 2 10 ,∵ MQ≥MF-QF,∴ MQ≥ 2 10 -1,∴ MQ 的最小值为2 10 -1. 第 5 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三、山东中考培优———重难专题 专题一　 规律探索 1. D　 【解析】第 n 个式子是( - 1) n+1 n2 +1 xn ,则第 10 个式子 是- 101 x10 . 2. 45,2　 【解析】由数表中排列规律可知,当 a( i,j) = k2 时,若 k 为奇数,则 k2 在第 k 行、第 1 列,下一个数在第 k+1 行、 第 1 列,上一个数在第 k 行、第 2 列;若 k 为偶数,则 k2 在 第 1 行、第 k 列,下一个数在第 1 行、第 k+1 列,上一个数 在第 2 行、第 k 列. ∵ a(m,n) = 2 024 = 2 025- 1 = 452 - 1,而 452 在第 45 行、第 1 列,∴ 2 024 在第 45 行、第 2 列,∴ m = 45,n= 2. 3. 2　 【解析】a1 = 2,a2 = 1+2 1-2 = -3,a3 = 1-3 1+3 = - 1 2 ,a4 = 1- 1 2 1+ 1 2 = 1 3 ,a5 = 1+ 1 3 1- 1 3 = 2,…,由此可见,这一列数按 2, - 3, - 1 2 , 1 3 循环出现,∵ 2 025÷4 = 506……1,∴ a2 025 = 2. 4. 199　 【解析】每个正方形左上角的数依次为 1,2,3,4, …,∴ 第 n 个正方形的左上角数可表示为 n;每个正方形 左下角的数字依次为 2,3,4,5,…,∴ 第 n 个正方形左下 角的数可表示为 n+1;每个正方形右上角的数字依次为 1,3,5,7,…,∴ 第 n 个正方形右上角的数可表示为 2n-1. 当 2n-1 = 19 时,n= 10,则 n+1 = 11,∴ a= 10,b = 11. 又∵ 1 = 1×2- 1;7 = 3 × 3 - 2;17 = 4 × 5 - 3;…,∴ x = 11 × 19 - 10 = 199. 5. 10 10 11 　 【解析】 ∵ 　 1+1+ 1 4 = 　 9 4 = 3 2 = 1 + 1 1×2 , 　 1+ 1 4 + 1 9 = 　 49 36 = 7 6 = 1+ 1 2×3 , 　 1+ 1 9 + 1 16 = 　 169 144 = 13 12 = 1+ 1 3×4 ,…,∴ S1 = 1+ 1 1×2 = 1+1- 1 2 = 2- 1 2 ,S2 = 1+ 1 1×2 +1+ 1 2×3 = 2+ 1- 1 2 + 1 2 - 1 3 = 3- 1 3 ,S3 = 1+ 1 1×2 + 1+ 1 2×3 +1+ 1 3×4 = 3+1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 = 4- 1 4 ,…,∴ S10 = 11- 1 11 = 10 10 11 . 6. D　 【解析】第 1 次构造得 a1 = 2+6+4 = 12,k= 1 = 21 -1,第 2 次构造得 a2 = 2+8+6+10+4 = 30 =a1 +18 = a1 +6×31 ,k = 3 = 22 -1,第 3 次构造得 a3 = 2+10+8+14+6+16+10+14+4 = 84 =a2 +54 =a2 +6×32 ,k= 7 = 23 -1,故 A 选项正确;第 n 次 构造为 an =an-1 +6×3n -1 ,则 an -an-1 = 6×3n -1 ,an-1 -an-2 = 6× 3n-2 ,an-2 -an-3 = 6×3n -3 ,…,a2 -a1 = 6×31 ,相加得 an -a1 = 6 ×3n-1 +6×3n-2 +6×3n-3 +…+ 6×31 = 6×(3n-1 +3n-2 +…+31 ), 令 S= 3n-1 +3n-2 +…+31 = 31 +32 +…+3n-2 +3n-1 ①,则 3S = 32 +33 +…+3n ②,②-①,得 2S= -3+3n ,∴ S= 3n -3 2 ,即 an -a1 = 3n +1 -9,∴ an = 3n +1 + 3,∴ an+1 = 3n +2 + 3,即 an +1 = 3an - 6, 故 C 选项正确; an 3 = 3n +1 为偶数,故 B 选项正确;第 n 次 构造为 an =an-1 +6×3n -1 ,k= 2n -1,故 D 选项错误. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 57