专题七 十字模型-【一战成名新中考】2025山东中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·山东数学 模 型 方 法 专题七　 十字模型 一阶 模型初探 例　 (1)【感知】如图①,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是 AB,AD 上的两点,且 AE=DF,连接 DE,CF 交于点 P. 求证:CF⊥DE; 例题图① 证明:∵四边形 ABCD 为正方形, ∴AD=DC,∠EAD=∠FDC=90°, 又∵AE=DF,∴△AED≌△DFC(SAS), ∴∠DFC=∠AED, ∴∠DFC+∠ADE=∠AED+∠ADE=90°, ∴∠DPF=90°,∴CF⊥DE; (2)【变式】如图①,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是 AB,AD 上的两点,连接 DE,CF,DE⊥CF,则DE CF 的值 为　 　 1　 ; (3)【拓展】如图②,在矩形 ABCD 中,AD= 7,CD= 4,点 E 是 AD 上的一点,连接 CE,BD,且 CE⊥BD,则CE BD 的 值为　 　 　 . 例题图② 模型解读 条件:四边形 ABCD 为正方形, AE⊥BF(或 BE=CF) . 图示、作法及结论: 注:矩形中的十字模型,辅助线作 法一致,但得到的是相似三角形. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 91 专项培优练·山东数学 模 型 方 法 二阶 对接中考 1. [2024 青岛即墨区一模]如图,在正方形 ABCD 中,AC= 2 ,E,F 分别是边 AD,CD 上的点,且 AE=DF,AF,BE 交于点 O,P 为 AB 的中点,则 OP= 　 　 　 . 第 1 题图 变式 [2024 枣庄滕州市二模]如图,在正方形 ABCD 中,AB = 12,点 E,F 分别在边 BC,CD 上, AE 与 BF 相交于点 G,若 BE=CF= 5,则 FG 的长为　 　 　 . 变式题图 2. 如图,点 E,F,G,H 分别是矩形 ABCD 四条边上的点,EF⊥GH,AB= 4,BC = 6. 若 AG =CH= 1,则 EF 的长为　 　 　 . 第 2 题图 3. 如图,点 E,F,G 分别是正方形 ABCD 的边 AD,BC,AB 上的点,连接 DG,EF,GF,且 EF = DG,DE= 2AG,∠ADG 的度数为 α,则∠EFG 的度数为 (　 C　 ) A. α　 　 　 　 　 　 　 　 B. 2α　 　 　 　 　 　 　 　 C. 45°-α　 　 　 　 　 　 　 　 D. 45°+α 第 3 题图 4. 如图,在正方形 ABCD 中,点 E 为 CD 的中点,点 F,G 分别在 BC,AD 上,且 GF⊥BE,若四 边形 BFEG 的面积为 5,则 AB 的长为　 2 2 　 . 第 4 题图 02 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 4. 4　 【解析】如解图,将△BDM 绕点 D 顺时针旋转 120°,得 到 △CDP, ∴ △BDM ≌ △CDP, ∴ MD = PD, CP = BM, ∠MBD= ∠DCP,∠MDB = ∠PDC,∵ △BDC 是等腰三角 形,且∠BDC = 120°, ∴ BD = CD, ∠DBC = ∠DCB = 30°, 又∵ △ABC 是等边三角形, ∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°, ∴ ∠MBD= ∠ABC+∠DBC = 90°,同理可得∠NCD = 90°, ∴ ∠PCD= ∠NCD = ∠MBD = 90°, ∴ ∠DCN + ∠DCP = 180°,∴ N,C,P 三点共线, ∵ ∠MDN = 60°, ∴ ∠MDB + ∠NDC = ∠PDC + ∠NDC = ∠BDC - ∠MDN = 60°, 即 ∠MDN= ∠PDN = 60°,又∵ DN = DN,∴ △NMD≌△NPD (SAS),∴ MN= PN = NC+CP = NC+BM,∴ △AMN 的周长 为 AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC= 2+2 = 4. 第 4 题解图 　 　 　 第 5 题解图 5. 3 2 　 【解析】如解图,过点 P 作 PE⊥OA 于点 E,PF⊥OB 于点 F,∵ ∠AOB = 90°,∴ 四边形 OEPF 为矩形,又∵ OP 平分∠AOB,∴ PE=PF,∴ 四边形 OEPF 为正方形,∴ OE =OF = PE = PF = 2 2 OP = 3 2 2 ,∠EPF = ∠PFO = 90°,把 △PEC 绕点 P 逆时针旋转 90°得到△PFG, ∴ ∠CPG= 90°,PC=PG,∠PFG = ∠PEC = 90°,FG = EC,∴ FG 在 OF 的延长线上,∴ DG = DF+FG,∵ ∠CPD = 45°, ∴ ∠DPG= 45°,在△CPD 和△GPD 中, PC=PG, ∠CPD= ∠GPD, PD=PD, { ∴ △CPD≌ △GPD(SAS),∴ CD = DG,∴ △COD 的周长为 OC+OD+ CD=OC+OD+DG = OC+OD+DF+FG = OC+OD+DF+EC = OE+OF= 2OE= 3 2 . 专题七　 十字模型 例　 (1)证明:∵ 四边形 ABCD 为正方形, ∴ AD=DC,∠EAD= ∠FDC= 90°, 又∵ AE=DF,∴ △AED≌△DFC(SAS), ∴ ∠DFC= ∠AED, ∴ ∠DFC+∠ADE= ∠AED+∠ADE= 90°, ∴ ∠DPF= 90°,∴ CF⊥DE; (2)1;【解法提示】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AD = CD, ∠A= ∠CDF = 90°,∵ DE⊥CF,∴ ∠DCF = 90° - ∠EDC = ∠ADE,∴ △ADE≌△DCF(ASA),∴ DE=CF,∴ DE CF = 1. (3) 4 7 . 【解法提示】 ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ ∠A = ∠CDE= 90°,∴ ∠ADB+∠BDC= 90°,∵ CE⊥BD,∴ ∠DCE +∠BDC = 90°, ∴ ∠DCE = ∠ADB, ∴ △DCE ∽ △ADB, ∴ CE BD =CD AD ,∵ AD= 7,CD= 4,∴ CE BD = 4 7 . 1. 1 2 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AD = AB,∠D = ∠EAB= 90°,AC = 2 AB,∴ AB = 2 2 AC = 2 2 × 2 = 1,在 △ADF 和 △BAE 中, AD=BA, ∠D= ∠EAB, DF=AE, { ∴ △ADF ≌ △BAE (SAS), ∴ ∠DAF = ∠ABE, ∵ ∠DAF + ∠BAO = 90°, ∴ ∠ABE+∠BAO = 90°,∴ ∠AOB = 90°,∵ P 为 AB 的中 点,∴ OP= 1 2 AB= 1 2 . 变式 　 109 13 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB =BC, ∠ABE = ∠BCF = 90°, 又 ∵ BE = CF, ∴ △BAE ≌ △CBF (SAS),∴ ∠BAE = ∠CBF, BF = AE = AB2 +BE2 = 13, ∴ ∠BAE+∠ABG = ∠CBF+ ∠ABG = 90°,∴ ∠BGE = 90°, ∴ ∠BGE= ∠BCF, 又 ∵ ∠EBG = ∠FBC, ∴ △BGE ∽ △BCF,∴ BG BC = BE BF ,即 BG 12 = 5 13 ,解得 BG = 60 13 ,∴ FG = BF- BG= 109 13 . 2. 4 10 3 　 【解析】如解图,过点 H 作 HM⊥AB,垂足为 M,过 点 F 作 FN ⊥ AD, 垂足为 N, 设 HM, FE 交于点 O, ∴ ∠ENF= ∠GMH = 90°, ∵ 四边形 ABCD 为矩形,易得 NF=AB= 4,MH = BC = 6,∵ EF⊥GH,∴ ∠GHM+∠HOE = ∠EFN+∠FOM = 90°,又∵ ∠HOE = ∠FOM,∴ ∠GHM = ∠EFN,∴ △MHG∽△NFE,∴ EF ∶ GH = NF ∶ MH = 2 ∶ 3. ∵ AG=CH= 1,∴ MB = 1,∴ GM = 2,∴ 在 Rt△HGM 中,GH = GM2 +MH2 = 2 10 ,∴ EF= 2 3 GH= 4 10 3 . 第 2 题解图 　 　 　 第 3 题解图 3. C　 【解析】如解图,过点 F 作 FH⊥AD 于点 H,则 FH=CD =AD,在 Rt△FHE 和 Rt△DAG 中, EF=GD, FH=DA,{ ∴ Rt△FHE ≌Rt△DAG(HL),∴ EH = AG,∠HFE = ∠ADG = α,∵ DE = 2AG,∴ DE= 2EH,即点 H 为 DE 的中点,∴ EH =DH =AG = CF,∴ AB-AG=BC-CF,即 BG =BF,∴ △BFG 为等腰直角 三角形,∴ ∠BFG= 45°,∴ ∠EFG = 90° -∠BFG-∠HFE = 90°-45°-α= 45°-α. 4. 2 2 　 【解析】如解图,过点 F 作 FH⊥AD 于点 H,BE 与 GF 交于点 O,易得四边形 FHDC 为矩形, ∴ FH = DC, ∠HFC = 90°, ∴ FH = BC, ∠BFH = 90°, ∵ GF ⊥ BE, ∴ ∠BOF= 90°,∴ ∠EBC+∠BFO = ∠BFO+∠GFH = 90°, ∴ ∠EBF = ∠GFH, ∵ ∠GHF = ∠C = 90°, ∴ △GFH ≌ △EBC(ASA),∴ GF = BE. ∵ 四边形 BFEG 的面积为 5, GF⊥BE,∴ 1 2 GF·BE= 5,即 1 2 BE2 = 5,∴ BE2 = 10,∵ 点 E 为 CD 的中点,∴ CE= 1 2 CD = 1 2 BC. ∵ BC2 +CE2 =BE2 , ∴ BC2 +( 1 2 BC) 2 = 10,解得 BC = 2 2 ( 负值已舍去), ∴ AB= 2 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 76 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 第 4 题解图 专题八　 隐形圆及圆中最值模型 例 1　 20 3 -16　 【解析】∵ 在▱ABCD 中,∠BCD = 120°,AB = 8,∴ ∠ABC = 60°,CD = 8,∵ E 为边 CD 的中点,F 为边 AD 上的一动点,将△DEF 沿 EF 翻折得△D′EF,∴ D′E = DE=CE= 1 2 CD = 4,∴ 点 D′是以 E 为圆心,CD 为直径的 圆周上的一点,作出☉E,如解图,过点 E 作 EH⊥AB 交直 线 AB 于点 H,交☉E 于点 G,过点 D′作 D′M⊥AB 于点 M, 连接 EM, ∵ △ABD′ 的 面 积 = 1 2 AB · D′ M, AB = 8, ∴ △ABD′的面积= 4D′M,要求△ABD′面积的最小值,只要 求 D′M 的最小值即可,∵ D′M=D′M+D′E-4≥EM-4≥EH -4,∴ D′M 的最小值为 EH-4,过点 C 作 CN⊥AB 于点 N, 则 EH =CN,在 Rt△BCN 中,∵ BC = 10,∠ABC = 60°,CN = BC·sin60° = 10× 3 2 = 5 3 ,∴ EH = 5 3 ,∴ D′M 的最小值 为5 3 -4,∴ △ABD′的面积= 4(5 3 -4)= 20 3 -16. 例 1 题解图 例 2　 2 π　 【解析】如解图,连接 BD,交 EF 于点 O,由题意 得 AE = CF. ∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ AD = BC,AD∥ BC,∴ ∠EDO= ∠FBO,∠DEO = ∠BFO,AD-AE = BC-CF, ∴ DE = BF. 在 △DEO 和 △BFO 中, ∠DEO= ∠BFO, DE=BF, ∠EDO= ∠FBO, { ∴ △DEO≌△BFO(ASA),∴ OD = OB,OE = OF,∴ O 为正 方形 ABCD 的中心. ∵ 在正方形 ABCD 中,AB = 4,∴ BC = CD=AD= 4,∴ DB = 2 BC = 4 2 ,∴ BO = 2 2 . ∵ BP⊥EF, ∴ ∠BPO= 90°,∴ 在整个运动过程中点 P 对 B,O 张开的 角度为 90°,∴ 整个运动过程中 P 点的运动轨迹为以 OB 为直径的半圆,∴ 整个运动过程中 P 点的运动轨迹为 1 2 × 2 2 π = 2 π. 例 2 题解图 例 3　 2　 【解析】∵ EF⊥BE,∴ ∠BEF = 90°,即∠BEO+∠2 = 90°,∵ 正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O, ∴ ∠BOE= 90°,∴ ∠BEO+ ∠1 = 90°,∴ ∠1 = ∠2,∵ 四边 形 ABCD 是正方形,∴ ∠BCD = 90°,∴ B,C,F,E 四点共 圆,如解图,连接 BF,∴ ∠2 = ∠3,∴ ∠1 = ∠3,∴ △BOE∽ △BCF,∴ OE CF = OB CB ,∵ AB = 4 2 ,∴ OB = 4,CD = BC = 4 2 , ∵ 点 F 为 CD 的中点,∴ CF = 1 2 CD = 2 2 ,∴ OE 2 2 = 4 4 2 , ∴ OE= 2. 例 3 题解图 例 4　 2 5 -2　 【解析】如解图,连接 OP,连接 OC 交半圆 O 于点 P′,OB = 1 2 AB = 2,在 Rt△OBC 中,OC = OB2 +BC2 = 2 5 ,CP≥OC-OP,∴ CP≥2 5 - 2,当点 P 与点 P′重合 时,CP 取得最小值 2 5 -2. 例 4 题解图 变式 　 C　 【解析】如解图,连接 AB,OB,OP,根据题意,得 BP=AP = CP = 10 2 cm,且 A,P,B 三点在同一直线上, ∴ OP 垂直平分 AB,∴ ∠OPB= 90°,∴ 当 O,P,D,C 四点共 线时,CD 最长,∵ OB = OD = 1 2 × 40 = 20( cm),PB = CP = 10 2 cm, ∴ 在 Rt△BOP 中, 由 勾 股 定 理 得 OP = OB2 -BP2 = 202 -(10 2 ) 2 = 10 2 ( cm),∴ DP = OD- OP= (20- 10 2 ) cm,∴ CD 的最大值为 CP-PD = 10 2 - (20-10 2 )= (20 2 -20)cm. 变式题解图 例 5　 8,32　 【解析】如解图,连接 OA,过点 O 作 AB 的垂线, 垂足为 D,延长 DO 交☉O 于点 C1 ,连接 AC1 ,BC1 ,∴ AD = 1 2 AB= 4,∴ 在 Rt△AOD 中,OD = AO2 -AD2 = 3,∴ C1D = OC1 +OD= 8,∴ 当点 C 与点 C1 重合时,点 C 到 AB 距离的 最大值为 8,∴ △ABC 面积的最大值为 1 2 AB·C1D = 1 2 ×8 ×8 = 32. 例 5 题解图 1. 7　 【解析】如解图,连接 AM,∵ EF = 6,M 是 EF 的中点, ∴ AM= 3,∴ 点 M 的轨迹是以点 A 为圆心,3 为半径的一 段弧. 连接 AC 交圆弧于点 M′,∵ AM+MC≥AC,∴ 当点 M 在 M′处时,CM 取得最小值. ∵ AB = 6,BC =AD = 8,∴ AC = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 86