专题九 几何中的其他最值模型-【一战成名新中考】2025山东中考数学·二轮复习·专项培优练

参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 △CBE(SAS),∴ ∠CDF= ∠BCE,∵ ∠DCE+∠BCE = 90°, ∴ ∠CDF+∠DCE = 90°,∴ ∠CGD = 90°,∴ 点 G 在以 DC 为直径的圆上. 如解图,取 CD 的中点 H,点 G 的运动路径 是以 H 为圆心,以 DC 为直径的一段弧,当点 E 与点 A 重 合,点 F 与点 B 重合时,点 G 与 AC,BD 的交点 O 重合, ∴ AG 的最小值为 AO= 1 2 AC= 2 . 第 9 题解图 10. 1 9 　 【解析】如解图,连接 AM,设 AE = a,则 AB = 3a, ∵ ∠ABD= 60°,∴ AD=AB·tan60° = 3 3 a,由矩形 ABCD 和 Rt△EFM 得∠EAF = ∠EMF = 90°,∴ A,E,M,F 四点 共圆,∴ ∠EMA= ∠EFA,∠FAM= ∠MEF = 30°,∴ 当 DM ⊥ AM 时, DM 最 小, 此 时 ∠AMD = 90° = ∠EMF, ∴ ∠FMD= ∠EMA = ∠EFA,∵ ∠EAM = 90° - 30° = 60°, ∠FDM= ∠AFM-∠FMD = ∠AFM-∠EFA = ∠EFM = 90° - 30° = 60°, ∴ ∠EAM = ∠FDM, ∴ △EMA ∽ △FMD, ∴ DF AE =DM AM = tan30° = 3 3 ,∴ DF= 3 3 a,∴ DF AD = 3 3 a 3 3 a = 1 9 . 第 10 题解图 　 　 第 11 题解图 11. 2+2 3 　 【解析】如解图,作△BFC 的外接圆,圆心为 O, 连接 OF,OB,OC,过点 O 作 OH⊥BC 于点 H,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ BC = AB = 4,∠ABC = 90°,∠EBC = 1 2 ∠ABC= 45°, ∵ ∠BFC = 30°, ∴ ∠BOC = 2∠BFC= 60°,∴ △BOC 是等边三角形,∴ OB=OC=BC = 4,当点 F 是过点 E 的直径的端点时,EF 取最大值,此时,OE 的延 长线垂直 BC 于点 H,∴ BH = 2,∠BOH = 30°,∴ OF =OB = 4,OH= 2 3 . ∵ ∠EBC= 45°,∠EHB = 90°,∴ △BHE 是 等腰直角三角形,∴ HE=BH= 2,∴ EF=OH+OF-HE = 2+ 2 3 . 专题九　 几何中的其他最值模型 类型 1　 利用三角形三边关系及三点共线求最值 例　 ( 10 9 , 8 9 )　 【解析】根据三角形三边关系及三点共线可 知,PO+PC 的最小值就是线段 OC 的长,PA+PB 的最小值 就是线段 AB 的长,如解图,连接 OC,AB,交于点 P,∴ 到四 个顶点的距离之和 PA+PO+PB+PC 最小的点就是点 P,设 OC 所在直线的解析式为 y = kx( k≠0),AB 所在直线的解 析式为 y= ax+b(a≠0),∵ 点 C( 5,4) 在直线 OC 上,点 A( -1,3),B(3,-1)在直线 AB 上,∴ 4 = 5k, -a+b= 3, 3a+b= -1,{ 解 得 k= 4 5 , a= -1, b= 2,{ ∴ 直线 OC 的解析式为 y= 4 5 x,直线 AB 的解析式为 y= -x+2,联立得 y= 4 5 x, y= -x+2, { 解得 x= 10 9 , y= 8 9 , ì î í ï ï ïï ∴ 点 P 的坐标为( 10 9 , 8 9 ) . 例题解图 1. A　 【解析】如解图,连接 DE,在△DPE 中,DP+PE>DE, 当点 P 在 DE 上时,DP+PE = DE,∴ PD+PE 的最小值为 DE 的长,∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AO = CO = 3 3 ,BO = DO= 3,AC⊥BD,AB=AD,∴ tan∠ABO= AO BO = 3 ,∴ ∠ABO = 60°,∴ △ABD 是等边三角形,∵ 点 E 是 AB 的中点, ∴ DE⊥AB,∵ sin∠ABD = DE BD ,∴ DE 6 = 3 2 ,∴ DE = 3 3 . 即 PD+PE 的最小值为 3 3 . 第 1 题解图 2. A 　 【解析】 如解图,取 OB 中点 N,连接 MN, AN. 在 Rt△OCD 中,OD= 4 3 ,∠D = 30°,∴ OC = 4,∵ M,N 分别 是 BC,OB 的中点,∴ MN= 1 2 OC= 2,在 Rt△ABN 中,AB = 4,BN= 3,∴ AN= 5,在△AMN 中,AM>AN-MN,∴ 当 M 运 动到 AN 上时,AM = AN-MN,∴ AM≥AN-MN = 5- 2 = 3, ∴ 线段 AM 的最小值是 3. 第 2 题解图 3. 4+2 2 　 【解析】如解图,将△ABP 绕点 B 逆时针旋转 90° 得△CBE,连接 PE,则△BPE 是等腰直角三角形,AP = CE,∴ PE= 2 BP = 2 2 ,∵ CE≤CP+PE,∴ CE 的最大值 为 4+2 2 ,即 AP 的最大值为 4+2 2 . 第 3 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 07 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 类型 2　 利用垂线段最短求最值 例　 B　 【解析】如解图,连接 AF,∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AB=BC= 2 3 ,∵ G,H 分别为 AE,EF 的中点,∴ GH 是 △AEF 的中位线,∴ GH = 1 2 AF,当 AF⊥BC 时,AF 最小, GH 得到最小值,则∠AFB = 90°,∵ ∠B = 45°,∴ △ABF 是 等腰直角三角形,∴ AF= 2 2 AB= 2 2 ×2 3 = 6 ,∴ GH = 6 2 , 即 GH 的最小值为 6 2 . 例题解图 1. B　 2. 3. 5 3. D　 【解析】如解图,连接 OP,∵ 四边形 ABCD 是菱形,AC = 20,BD= 10,∴ AC⊥BD,AO = 1 2 AC = 10,BO = 1 2 BD = 5, ∴ ∠AOB = 90°, 在 Rt △ABO 中, 由勾股定理得 AB = AO2 +BO2 = 102 +52 = 5 5 ,∵ PE⊥OA 于点 E,PF⊥ OB 于点 F,∴ ∠OEP= ∠OFP= 90°,∴ 四边形 OEPF 是矩 形,∴ EF=OP,当 OP 取最小值时,EF 的值最小,∴ 当 OP ⊥AB 时,OP 最小,此时,S△ABO = 1 2 OA·OB = 1 2 AB·OP, ∴ OP= 10×5 5 5 = 2 5 ,∴ EF 的最小值为 2 5 . 第 3 题解图 类型 3　 “将军饮马”与“造桥选址” 例 1　 3 　 【解析】如解图,连接 PC,AC,CQ. ∵ 四边形 ABCD 是菱 形, ∴ ∠ABP = ∠PBC, 在 △ABP 和 △CBP 中, BA=BC, ∠ABP= ∠CBP, BP=BP, { ∴ △ABP ≌ △CBP ( SAS), ∴ PA = PC, ∵ AB∥CD,∴ ∠ABC+∠BCD = 180°,∴ ∠ABC = 180° -120° = 60°,∵ AB = BC,∴ △ABC 是等边三角形, ∵ AQ = QB, ∴ CQ⊥AB,CQ= BC·sin60° = 3 ,∵ PA+PQ = PC+PQ≥ CQ,∴ PA+PQ≥ 3 ,∴ PA+PQ 的最小值为 3 . 例 1 题解图 　 　 例 2 题解图 例 2　 13 　 【解析】如解图,将点 A 向上移动 1 个单位长度 得点 M,连接 AM,CM,∵ CD = AM = 1,且 CD∥AM,∴ 四边 形 AMCD 是平行四边形,∴ MC = AD,∴ BC+AD 的最小值 即为 BC+MC 的最小值. 作点 M 关于直线 x = 1 的对称点 N,连接 BN,则 BC+MC 的最小值即为 BN 的长. ∵ 点 M 的 坐标为 ( - 1, 1 ), ∴ 点 N 的 坐 标 为 ( 3, 1 ), ∴ BN = (3-0) 2 +(1-3) 2 = 13 ,∴ BC+AD 的最小值为 13 . 1. 41 　 【解析】如解图,作点 A 关于直线 BC 的对称点 A′, 连接 AA′交 BC 于点 H,连接 A′D 交 BC 于点 M′,连接 AM′,则 AH = A′H,AH⊥BC,AM′ = A′M′,∴ 当 M,M′重合 时,MA+MD 最小,最小值为 A′D 的长,∵ AB = 4,∠ABC = 30°,∴ AH = 1 2 AB = 2,∴ AA′ = 2AH = 4,∵ 在▱ABCD 中, AD∥BC,∴ AA′⊥AD,∵ AD= 5,∴ A′D= 42 +52 = 41 . 第 1 题解图 2. 13　 【解析】如解图,连接 AD,∵ △ABC 是等腰三角形,点 D 是 BC 边的中点,∴ AD⊥BC,∴ S△ABC = 1 2 BC·AD = 1 2 × 6AD= 30,解得 AD= 10,∵ EF 是线段 AC 的垂直平分线, ∴ 点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A,∴ AD 的长为 CM+ MD 的最小值,∴ △CDM 的周长最小值 = (CM+MD) 最小 + CD=AD+ 1 2 BC= 10+ 1 2 ×6 = 10+3 = 13. 第 2 题解图 3. 15 4 　 【解析】∵ ∠BAD= 90°,AD∥BC,∴ ∠B = 90°,∵ AB = 3,BC= 4,AE= 1,∴ BE=AB-AE= 3-1 = 2,在 Rt△EBC 中, 由勾股定理得 EC = BE2 +BC2 = 22 +42 = 2 5 ,∵ FG = 1,∴ 四边形 CGFE 的周长=CG+FG+EF+EC =CG+EF+1+ 2 5 ,∴ 四边形 CGFE 的周长最小时,只要 CG+EF 最小即 可. 如解图,过点 F 作 FC′∥GC 交 BC 于点 C′,延长 BA 到 E′,使 AE′=AE= 1,连接 E′F,E′C′,E′C′交 AD 于点 G′,可 得 AD 垂直平分 E′E,∴ E′F = EF,∵ AD∥BC,∴ 四边形 C′CGF 是平行四边形,∴ C′F=CG,CC′=FG = 1,∴ CG+EF =C′F+E′F≥E′C′,即 CG+EF 最小时,CG =C′G′,∵ E′B = AB+AE′= 3+1 = 4,BC′=BC-CC′ = 4-1 = 3,由勾股定理得 E′C′= E′B2 +BC′2 = 42 +32 = 5,∵ AG′∥BC′,∴ C′G′ E′C′ = AB E′B ,即 C′G′ 5 = 3 4 ,解得 C′G′= 15 4 ,即四边形 CGFE 的周长 最小时,CG 的长为 15 4 . 第 3 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 17 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 4. A　 【解析】如解图,作点 C( - 2,0) 关于 y 轴的对称点 G(2,0),作点 C( -2,0)关于直线 y = x+4 的对称点 D,连 接 AD,连接 DG 交 AB 于点 E,交 y 轴于点 F,∴ DE =CE, CF=GF,∴ CE+CF+EF=DE+GF+EF =DG,此时△CEF 周 长最小,由 y = x+ 4 得 A( - 4,0),B( 0,4), ∴ OA = OB, △AOB 是等腰直角三角形,∴ ∠BAC= 45°,∵ C、D 关于直 线 AB 对称, ∴ ∠DAB = ∠BAC = 45°, ∴ ∠DAC = 90°, ∵ C( -2,0),∴ AC = OA - OC = 2 = AD, ∴ D ( - 4, 2), 由 D( -4,2),G(2,0) 可得直线 DG 的解析式为 y = - 1 3 x+ 2 3 ,在 y= - 1 3 x+ 2 3 中,令 x= 0 得 y= 2 3 ,∴ F(0, 2 3 ) . 第 4 题解图 5. 16　 【解析】如解图,作 PE⊥l1 于点 E,交 l2 于点 F,将点 P 沿 PE 方向平移到点 C,使得 PC = AB,连接 QC 交 l2 于 点 B,作 BA⊥l1 于点 A,此时 PA+AB+BQ 最小. 作 QD⊥ PF 交 PF 的延长线于点 D. 在 Rt△PQD 中,∵ ∠D = 90°, PQ= 4 30 ,PD= 18,∴ DQ2 =PQ2 -PD2 = 156,∵ AB = PC = 8,AB∥PC,∴ 四边形 ABCP 是平行四边形,∴ PA =BC,CD = 10,∴ PA+BQ =CB+BQ =QC = DQ2 +CD2 = 156+100 = 16. 第 5 题解图 6. 2+2 13 　 【解析】如解图,作点 E 关于 BC 的对称点 E′, 点 A 关于 DC 的对称点 A′,连接 A′E′,交 CD 于点 Q,交 BC 于点 P,∴ 四边形 AEPQ 的周长为 AQ+QP+PE+AE = A′Q+QP+PE′+AE=A′E′+AE,∴ 此时四边形 AEPQ 的周长 最小,∵ A′D=AD= 3,BE′=BE = 1,∴ AE = 2,AA′= 6,AE′= 4,∴ A′E′ = AE′2 +AA′2 = 42 +62 = 2 13 , ∴ 四边形 AEPQ 周长的最小值为 AE+A′E′= 2+2 13 . 第 6 题解图 7. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AC⊥BD,OB =OD, OC=OA,∵ AC = 6,BD = 8,∴ OA = 3,OB = 4,如解图,作点 F 关于 BD 的对称点 F′,过点 E 作 EE′⊥OA 于点 E′,连接 E′F′交 BD 于点 H,过点 E 作 EG∥E′H 交 BD 于点 G,此时 FH+EG 最小,过点 F′作 F′ I⊥AC 于点 I, ∵ EE′⊥OA, ∴ EE′∥OD,即 EE′∥HG,∵ EG∥E′H,∴ 四边形 EE′HG 是 平行四边形. ∵ EE′∥OD,∴ △AE′E∽△AOD,∴ AE′ AO = EE′ OD = AE AD = 1 1+3 = 1 4 ,∵ OD =OB = 4,AO = 3,∴ AE′ = 3 4 ,E′O = 9 4 ,E′E= 1,∵ F 是 AB 的中点,∴ F′是 BC 的中点,∵ F′I ⊥AC,∴ F′I∥BO, ∴ △CIF′∽△COB,∴ IC OC = F′I OB = CF′ CB = 1 2 ,∴ OI= IC= 1 2 OC= 3 2 ,F′I = 1 2 OB = 2,∴ E′I = 9 4 + 3 2 = 15 4 ,∵ F′I= 2,∴ 在 Rt△E′F′I 中,E′F′ = ( 15 4 ) 2 +22 = 17 4 ,故 FH+EG 的最小值为 17 4 . 第 7 题解图 类型 4　 “胡不归”与“阿氏圆” 例 1　 A　 【解析】如解图,在 OB 下方作∠BON= 30°,过点 D 作 DC⊥ON 于点 C,∴ CD =OD·sin∠BON = 1 2 OD,∴ MD + 1 2 OD=MD+CD,∴ 要求 MD+ 1 2 OD 的最小值,即求 MD+ CD 的最小值,过点 M 作 MC′⊥ON 于点 C′,交 OB 于点 D′,当点 C 与点 C′重合,点 D 与点 D′重合时,MD+CD 取 得最小值,最小值是 C′M 的长,在 Rt△OC′M 中,∠MOC′ = 60°,OM= 2,∴ C′M=OM·sin∠MOC′= 3 ,∴ MD+ 1 2 OD 的最小值为 3 . 例 1 题解图 1. 7 3 2 　 【解析】如解图,过点 P 作 PE⊥BC 于点 E,过点 M 作 ME′⊥BC 于 E′,∵ 四边形 ABCD 是菱形,AB = AC = 10, ∴ AB=BC= AC = 10,∠ABD = ∠CBD,∴ △ABC 是等边三 角形,∴ ∠ABC= ∠ACB= 60°,∴ ∠CBD= 30°,∵ PE⊥BC, ∴ PE= 1 2 PB,∴ MP+ 1 2 PB=PM+PE,∴ 当点 M,P,E 三点 共线且 ME⊥BC,即点 E 与点 E′重合时,PM+PE 有最小 值为 ME′,∵ AM = 3,∴ MC = 7,∵ sin∠ACB = ME′ MC = 3 2 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 27 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 ∴ ME′= 7 3 2 ,∴ MP+ 1 2 PB 的最小值为 7 3 2 . 第 1 题解图 2. 5 2 　 【解析】如解图,过点 P 作 PE⊥AB 于点 E,过点 C 作 CE′⊥AB 于点 E′,∵ ∠A = 45°,BD⊥AC,∴ ∠ABD = 45°. ∴ PE= 2 2 BP,∴ 2 2 BP+PC =PE+PC. 当 C,P,E 三点 共线,即点 E 与点 E′重合时, 2 2 BP+PC 的值最小,最小值 为 CE′的长. ∵ ∠A= 45°,AC = 10,CE′⊥AB,∴ CE′ = AC· sin45° = 10× 2 2 = 5 2 ,故 2 2 BP+PC 的最小值为 5 2 . 第 2 题解图 例 2　 5　 【解析】如解图,连接 PB,在 BC 上取一点 E,使得 BE = 1 2 PB = 1 2 r = 1, 连接 PE, DE, ∴ PB BC = BE PB = 1 2 , ∵ ∠PBE= ∠CBP, ∴ △PBE∽ △CBP, ∴ PE PC = PB BC = 1 2 , ∴ PE= 1 2 PC,∴ PD+ 1 2 PC = PD+PE,∵ PE+PD≥DE,在 Rt△DCE 中,DE = 32 +42 = 5, ∴ PD + 1 2 PC 的最小值 为 5. 例 2 题解图 3. 4 10 3 　 【解析】如解图,以 C 为圆心,CD 长为半径作四 分之一圆,在 CB 上取一点 M,使得 CM CD = 2 3 ,连接 AM, DM, ∵ CD CB = 2 3 , ∠DCM = ∠BCD, ∴ △CDM ∽ △CBD, ∴ DM BD =CD CB = 2 3 ,即 DM= 2 3 BD,∴ AD+ 2 3 BD=AD+DM. 当 A,D,M 三点共线时,AD+MD 的值最小,AM 交☉C 于 D′, 此时,AD +DM 的最小值为 AM 的长,在 Rt △AMC 中, ∵ CM= 2 3 CD = 4 3 , AC = 4, ∴ AM = CM2 +AC2 = ( 4 3 ) 2 +42 = 4 10 3 ,即 AD+ 2 3 BD 的最小值为 4 10 3 . 第 3 题解图 4. 41 　 【解析】令 y= 0,则 x2 -6x+5 = 0,解得 x= 1 或 x= 5, ∴ A(1,0),B(5,0),∴ AB = 4,令 x = 0,则 y = 5,∴ C( 0, 5) . 如解图,在 AB 上取点 F,使 BF = 1,连接 CF,PF,PB, ∵ PB= 2, ∴ BF PB = 1 2 , ∵ PB AB = 2 4 = 1 2 , ∴ BF PB = PB AB ,又∵ ∠PBF= ∠ABP,∴ △PBF∽△ABP,∴ PF PA =BF PB = 1 2 ,即 PF = 1 2 PA,∴ PC+ 1 2 PA =PC+PF≥CF,∴ 当 C,P,F 三点共 线时,PC+ 1 2 PA 有最小值,即为线段 CF 的长,∵ OC = 5, OF=OB-BF = 5 - 1 = 4,∴ CF = OC2 +OF2 = 52 +42 = 41 ,∴ PC+ 1 2 PA 的最小值为 41 . 第 4 题解图 类型 5　 费马点 例题解图 例　 4 3 　 【解析】如解图,将△BPC 绕点 B 顺时针旋转 60°得到△BHG, 连接 PH,AG, ∴ BP = BH, ∠PBH = 60°,HG = PC,BC = BG = 4,∠ABC = ∠GBC, ∴ △PBH 是等边三角形, ∴ PH=BP,∴ PA+PB+PC =PA+PH+ HG,∴ 当点 A,点 P,点 H,点 G 共线 时,PA+PH+HG 有最小值,最小值为 AG 的长,∵ AB=BC=BG,且∠ABC = ∠GBC,∴ BC ⊥ AG, ∴ AG = 2AH = 2AB·sin60° = 2AB· 3 2 = 4 3 ,∴ PA+PB+PC 的最小值是 4 3 . 1. 4+3 3 　 【解析】如解图①,将△AMD 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△AM′D′,连接 MM′,DD′,由旋转的性质可知,MD =M′D′,△ADD′和△AMM′均为等边三角形,∴ AM =MM′, ∴ MA+MD+ME=MM′+D′M′+ME,∴ 当点 D′,M′,M,E 共 线且 D′E⊥BC 时,MA+MD+ME 最小,如解图②,此时易 求得 D′E=EG+GD′= 4+3 3 ,∴ MA+MD+ME 的最小值为 4+3 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 37 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 图① 　 　 图② 第 1 题解图 2. 3 　 【解析】如解图,将△BQC 绕点 B 顺时针旋转 60°得 到△BNM,连接 QN,∴ BQ=BN,BC=BM,QC=NM,∠QBN = ∠CBM = 60°, ∴ △BQN 是等边三角形, ∴ BQ = QN, ∠BQN= 60°,∴ QA+QB+QC = AQ+QN+MN,∴ 当点 A,Q, N,M 共线时,QA+QB+QC 的值最小,如解图②,连接 MC, ∵ BC=BM,∠CBM= 60°,∴ △BCM 是等边三角形,∴ MB =MC,∵ AB=AC,∴ AM 垂直平分 BC,∵ PD⊥BC,∴ 点 P 与点 A 重 合, ∵ AB = AC, ∠BAC = 90°, AD ⊥ BC, 在 Rt△BQD 中,∠BQD= 60°,∴ BD= 3 2 BQ= 3 ,∴ PD= 3 . 图① 　 　 图② 第 2 题解图 专题十　 主从联动模型(瓜豆模型) 例 1　 4 3 3 　 【解析】如解图①,连接 EE′,由题知,在运动过 程中∠DFE = ∠DF′E′ = 30°, DF DE = DF′ DE′ = 2,又∵ ∠FDF′ = ∠EDE′,∴ △DFF′∽△DEE′,∴ ∠DF′F = ∠DE′E,∵ F,F′ 都在线段 AC 上,∴ E,E′也在同一条线段上. 如解图②,连 接 EE′,点 E 的运动轨迹为线段 EE′的长. ∵ AB = 4,∠DCA = 30°,AB∥DC,∴ ∠CAB= ∠DCA= 30°,∴ BC =AB·tan30° = 4 3 3 ,当点 F 与点 A 重合时,在 Rt△ADE 中,AD = BC = 4 3 3 ,∠DAE = 30°,∴ ∠ADE = 60°,∴ DE = 1 2 AD = 2 3 3 , ∠CDE= 30° ; 当点 F′ 与点 C 重合时, ∠E′DC = 60°, ∴ ∠E′DE= 90°,∵ ∠DE′E= ∠DF′F = 30°,∴ 在 Rt△DEE′ 中,EE′= 2DE= 4 3 3 . 故点 E 的运动路径长是 4 3 3 . 图① 　 　 图② 例 1 题解图 例 2　 7 2 　 【解析】解法一:如解图①,连接 AO,取 AO 的中 点 M,连接 MD,∵ D 为 AC 的中点,∴ MD 为△AOC 的中位 线,∴ MD= 1 2 OC= 1,∵ 点 A 的坐标为(4,3),∴ 点 M 的坐 标为(2, 3 2 ),∴ 点 D 为以 M 为圆心,MD 长为半径的圆上 一点,∴ 当 B,M,D 三点共线时,BD 有最大值,此时 BD = BM+DM,∵ A(4,3),AB⊥x 轴于点 B,∴ B(4,0),∴ BM = (4-2) 2 +(0- 3 2 ) 2 = 5 2 ,∴ BD 的最大值为 1+ 5 2 = 7 2 . 图① 　 　 　 　 图② 例 2 题解图 解法二:如解图②,作点 A(4,3)关于 x 轴的对称点 E(4, -3),则 B 是 AE 的中点,BE = 3,又∵ D 是 AC 的中点, ∴ BD 是△AEC 的中位线,∴ BD = 1 2 EC,∴ 当 EC 最大时, BD 最大,∵ 点 C 为坐标平面内一点,且 OC = 2,∴ 点 C 在 以 O 为圆心,2 为半径的圆上运动,∴ 当 EC 经过圆心 O 时,EC 最大. ∵ E(4,-3),∴ OE= 5,∴ CE 的最大值为 5+2 = 7,∴ BD 的最大值为 7 2 . 1. 1　 【解析】如解图,取 B(1,1),连接 AB,QB,过点 B 作 BC ⊥AB 交 x 轴于点 C,∵ A( 0,1),B( 1,1),∴ OA = AB = 1, AB⊥y 轴,∴ ∠OAB = 90°,由旋转的性质可得 AP = AQ, ∠PAQ = 90°, ∴ ∠OAP = ∠BAQ, ∴ △OAP ≌ △BAQ (SAS),∴ ∠ABQ= ∠AOP= 90°,∴ 点 Q 在垂直于 AB 且经 过点 B 的直线上运动,∴ 当 OQ⊥BQ 时,OQ 最小,此时点 Q 与点 C 重合,∵ ∠AOP = ∠OAB = ∠ABC = 90°,OA = AB, ∴ 四边形 ABCO 为正方形,∵ AB= 1,∴ OC = 1,∴ 线段 OQ 长度的最小值为 1. 第 1 题解图 2. B　 【解析】如解图,过点 N′作 EF∥AB,分别交 AD,BC 于 点 E,F,过点 M 作 MG⊥EF 于点 G,∵ 四边形 ABCD 是矩 形,∴ AB∥CD,∴ AB∥EF∥CD,∴ 四边形 AMGE 和四边形 BMGF 都是矩形,∴ ∠A= ∠AMG= ∠BMG= 90°,由旋转的 性质得∠NMN′= 90°,MN =MN′,∴ ∠GMN′= 90°-∠NMG = ∠AMN,∴ △GMN′≌△AMN( AAS),∴ GM = AM = 1 2 AB = 5,∴ 点 N′在平行于 AB,且与 AB 的距离为 5 的直线上 运动. 作点 M 关于 EF 的对称点 M′,连接 M′B 交直线 EF 于点 N′,此时△MBN′的周长取得最小值,最小值为 BM+ BM′,∵ BM= 1 2 AB = 5,MM′ = 5+ 5 = 10,∴ BM+BM′ = 5 + 52 +102 = 5+5 5 ,即△MBN′周长的最小值为 5+5 5 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 47 专项培优练·山东数学 模 型 方 法 专题九　 几何中的其他最值模型 类型 1　 利用三角形三边关系及三点共线求最值 一阶 模型初探 例　 [2024 滨州 15 题 3 分]如图,四边形 AOBC 四个顶点的坐 标分别是 A( -1,3),O(0,0),B(3,-1),C(5,4),在该平 面内找一点 P,使它到四个顶点的距离之和 PA+PO+ PB+PC 最小,则 P 点坐标为　 　 　 　 . 例题图 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思路剖析】根据三角形三边关系及 三点共线可知,PO+PC 的最小值就 是线段 OC 的长,PA+PB 的最小值就 是线段 AB 的长,连接 OC,AB,交于 点 P,点 P 即为所求,求出直线 OC 和 AB 的解析式,再求交点即可. 模型解读 问题:平面上有三点 A,B,P,求 AP+BP 的最小值. 图示: 结论:由三角形三边关系得 AP+ BP>AB, ∴ 当 A,P,B 三点共线 时,AP+BP 取得最小值,最小值 为 AB 的长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 二阶 对接中考 1. [2024 菏泽成武县三模]如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC,BD 相交于点 O,AC = 6 3 , BD= 6,点 P 是 AC 上一动点,点 E 是 AB 的中点,则 PD+PE 的最小值为 (　 A　 ) 第 1 题图 A. 3 3 B. 6 3 C. 3 D. 6 2 2. [2023 泰安 12 题 4 分]如图,在平面直角坐标系中,Rt△AOB 的一条直角边 OB 在 x 轴上,点 A 的坐标为( -6,4);Rt△COD 中,∠COD = 90°,OD = 4 3 ,∠D = 30°,连接 BC,点 M 是 BC 中点,连接 AM. 将 Rt△COD 以点 O 为旋转中心按顺时针方向旋转,在旋转过程中,线段 第 2 题图 AM 的最小值是 (　 A　 ) A. 3 B. 6 2 -4 C. 2 13 -2 D. 2 第 3 题图 3. 如图,在△BCP 中,BP= 2,PC= 4,现以 BC 为边在 BC 的下方作正方形 ABCD 并连接 AP,则 AP 的最大值为　 4+2 2 　 . 52 专项培优练·山东数学 模 型 方 法 类型 2　 利用垂线段最短求最值 一阶 模型初探 例　 [2024 淄博沂源县二模]如图,在菱形 ABCD 中,∠B = 45°,BC= 2 3 ,E,F 分别是边 CD,BC 上的动点,连接 AE 和 EF,G,H 分别为 AE,EF 的中点,连接 GH,则 GH 的最 小值为 (　 B　 ) 例题图 A. 3 　 　 　 　 　 　 B. 6 2 C. 6 3 　 　 　 　 　 　 D. 1 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 【思路剖析】连接 AF,利用三角形中位线定理可知 GH = 1 2 AF,当 AF⊥BC 时,AF 最小,GH 也就最小. 模型解读 问题:点 P 是直线 l 外一点,求点 P 与直线 l 上点的距离最小值. 图示: 结论:由垂线段最短,过点 P 作 PH⊥直线 l,垂足为 H,则点 P 与 直线 l 上点的距离最小值为 PH 的长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 二阶 对接中考 1. 如图,OC 平分∠AOB,点 P 是 OC 上一点,PM⊥OB 于点 M,点 N 是射线 OA 上的一个动 点,若 PM= 3,则 PN 的最小值为 (　 B　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2　 　 　 　 　 　 B. 3　 　 　 　 　 　 　 　 C. 4　 　 　 　 　 　 　 　 D. 5 第 1 题图 2. 名师原创 如图,△ABC 中,AB= 8,∠B= 30°,线段 AD= 7. 5,线段 AD 绕点 A 旋转,交 BC 于 点 E,则 DE 的最大值为　 3. 5　 . 第 2 题图 3. [2024 青岛市南区二模]如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,点 P 为 AB 边上一动 点(不与点 A,B 重合),PE⊥OA 于点 E,PF⊥OB 于点 F. 若 AC= 20,BD= 10,则 EF 的最小 值为 (　 D　 ) 第 3 题图 A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5 62 专项培优练·山东数学 模 型 方 法 类型 3　 “将军饮马”与“造桥选址” 一阶 模型初探 (一)“将军饮马” 例 1　 如图,在菱形 ABCD 中,BC= 2,∠C = 120°,点 Q 为 AB 的中点,点 P 为对角线 BD 上的 任意一点,则 AP+PQ 的最小值为　 3 　 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋【思路剖析】根据菱形的对称性,连接 CP,则 CP = AP,∴ AP+PQ 的长即为 CP+PQ 的长,其最小值即为 CQ 的长. Q 为 AB 的中点,根据 60°菱形的性质即可求得 CQ 的长. 例 1 题图 模型解读 点的情况 问题 作法 图示 原理 两点在直线 同侧 (将军 饮马) 点 A, B 在直线 l 同侧,在直线 l 上 找一 点 P, 使 得 PA+PB 的值最小 作点 B 关于直线 l 的 对称点 B′,连接 AB′, 与直线 l 的交点即为 点 P 两 点 之 间, 线 段最短. AP+BP=AP+ B′P≥AB′ 一定点在角 内,两 动 点 在 角 的 两 边上 在直线 l1 和 l2 上 分别找点 M,N,使 得△PMN 的周长 最小 分别作点 P 关于直线 l1, l2 的 对 称 点 P′, P″,连 接 P′P″, 与 两 直线 的 交 点 即 为 点 M,N 两 点 之 间, 线 段最短. PM+MN+PN = P′M+MN+P″N ≥P′P″ 两定点在角 内,两 动 点 在 角 的 两 边上 在直线 l1 和 l2 上 分别找点 M,N,使 得 四 边 形 PQNM 的周长最小 分别作点 P,Q 关于 直线 l1, l2 的对称点 P′,Q′,连接 P′Q′,与 两直线的交点即为点 M,N 两 点 之 间, 线 段最短. PQ 为 定 值, PQ+PM + MN + QN =PQ+P′M+ MN + Q′ N ≥ PQ+P′Q′ 一定点在角 内,两 动 点 在 角 的 两 边上 点 P 是 ∠AOB 内 一点,在 OA 上确 定一点 M,在 OB 上确定一点 N,使 得 PM + MN 的值 最小 作点 P 关于 OA 的对 称点 P′, 过 点 P′ 作 P′N′⊥OB 于 点 N′, 交 OA 于点 M′,此时 PM + MN 的值最小, 即为 P′N′ 垂 线 段 最 短. PM+MN= P′M+MN≥ P′N′ 72 专项培优练·山东数学 模 型 方 法 (二)“造桥选址” 例 2 题图 例 2　 如图, CD 是直线 x = 1 上长度固定为 1 的一条动线段. 已知点 A( -1,0),B(0,3),则 BC+AD 的最小值是　 13 　 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋【思路剖析】CD 为定值,BC,AD 长度随 CD 的运动变化,可将点 A 向上平移 1 个单 位得点 M,转化为 BC+MC 的最小值,然后通过“将军饮马”模型求解. 模型解读 点的情况 问题 作法 图示 原理 两 定 点 在 河 的 两侧(造 桥选址) A,B 分别在河岸 l1, l2 两侧,现需要在河上建 造一座桥 MN(点 M,N 分别 在 l1, l2 上), 且 MN 垂直于河两岸,使 得从 A 到 B 的 路 径 AM+MN +NB 最小,已 知河宽为 b 将点 A 沿垂直于河岸 l1 的方向平移到 A′,使 得 AA′= b,连接 A′B,交 l2 于点 N,过点 N 作 NM⊥ l1 于点 M,则此 时 AM +MN +NB 有最 小值,即 AA′+A′B = b+ A′B 思维:去定求变 要点:平移 两点之间, 线段最短 两 定 点 在 定 直 线同侧, 在 定 直 线 上 找 定长(将 军遛马) 点 A,B 在直线 l 同侧, 在直线 l 上确定 PP′ = a,使得 AP +PP′+P′B 的值最小 作点 B 关于直线 l 的对 称点 B′,将点 A 向右平 移长度 a 至点 A′,连接 A′B′,交直线 l 于点 P′, 将点 P′向左平移长度 a 至点 P,则 此 时 AP + PP′+P′B 有最小值,即 AA′+A′B′=a+A′B′ 思维:去定求变 要点:平移 两点之间, 线段最短 二阶 对接中考 1. [2024 广安]如图,在▱ABCD 中,AB= 4,AD = 5,∠ABC = 30°,点 M 为直线 BC 上一动点,则 MA+MD 的最小值为　 41 　 . 第 1 题图 2. [2024 泰安泰山区一模]如图,等腰△ABC 的底边 BC 长为 6,面积是 30,腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC,AB 边于点 E,F,若点 D 为 BC 边的中点,点 M 为线段 EF 上一动点,则 △CDM 周长的最小值为　 13　 . 第 2 题图 82 专项培优练·山东数学 模 型 方 法 3. [2023 德州 18 题 4 分]如图,在四边形 ABCD 中,∠A= 90°,AD∥BC,AB= 3,BC= 4,点 E 在 AB 上,且 AE= 1. F,G 为边 AD 上的两个动点,且 FG= 1. 当四边形 CGFE 的周长最小时,CG 的 长为　 　 　 . 第 3 题图 4. [2022 聊城 12 题改编]如图,一次函数 y = x+ 4 的图象与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B,点 C( -2,0)是 x 轴上一点,点 E,F 分别为直线 y= x+4 和 y 轴上的两个动点,当△CEF 周长 最小时,点 F 的坐标为 (　 A　 ) 第 4 题图 A. (0, 2 3 ) B. (0,1) C. (0, 3 2 ) D. (0,2) 5. 如图,已知直线 l1∥l2,l1,l2 之间的距离为 8,点 P 到直线 l1 的距离为 6,点 Q 到直线 l2 的 距离为 4,PQ= 4 30 ,在直线 l1 上有一动点 A,直线 l2 上有一动点 B,满足 AB⊥l2,当 PA+ AB+BQ 最小时,PA+BQ 的值为　 16　 . 第 5 题图 6. 如图,已知正方形 ABCD 边长为 3,点 E 在 AB 边上且 BE = 1,点 P,Q 分别是边 BC,CD 的 动点(均不与顶点重合),则四边形 AEPQ 周长的最小值是　 2+2 13 　 . 第 6 题图 7. [2024 菏泽巨野县二模]如图,已知菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,AC = 6,BD = 8, 点 E 在 AD 上,AE DE = 1 3 ,点 F 为 AB 的中点,点 G,H 为 BD 上的动点,GH = 1,连接 FH,EG, 则 FH+EG 的最小值为 (　 B　 ) 第 7 题图 A. 4 B. 17 4 C. 19 4 D. 5 92 专项培优练·山东数学 模 型 方 法 类型 4　 “胡不归”与“阿氏圆” (一)“胡不归”问题 一阶 模型初探 例 1　 如图,∠AOB = 30°,OM = 2,D 为 OB 上一动点,则 MD+ 1 2 OD 的最小值为 (　 A　 ) A. 3 　 　 　 B. 2 3 　 　 　 　 C. 2　 　 　 D. 3 2 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 【思路剖析】构造长度为 1 2 OD 的线段:以 OD 为斜边在 OB 下方构 造直角三角形 ODC,且 DC= 1 2 OD(即 sin∠DOC= 1 2 ) . 例 1 题图 模型解读 问题:直线 MN 上有一定点 A,直 线 MN 外有一定点 B,在直线 MN 上确定一点 C,使得 BC+k·AC 的值最小. 思路:以点 C 为端点构造线段 CH,使得 CH= k·AC. 作法:在 AN 下方构造射线 AD,使 得 sin∠CAD = k,过点 C 作 CH⊥ AD 于 点 H, 即 CH AC = k, CH = k·AC,BC+k·AC=BC+CH,即需 BC+CH 的值最小即可,过点 B 作 BH′⊥AD 于点 H′,BH′的长即为 所求最小值. 图示: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 二阶 对接中考 1. [2024 威海模拟]如图,在菱形 ABCD 中,AB=AC= 10,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 M 在线 段 AC 上,且 AM= 3,点 P 为线段 BD 上的一个动点,则 MP+ 1 2 PB 的最小值是　 　 　 　 . 第 1 题图 2. 如图,△ABC 中,AB=AC= 10,∠A= 45°,BD 是△ABC 的边 AC 上的高,点 P 是 BD 上一动 点,则 2 2 BP+CP 的最小值是　 5 2 　 . 第 2 题图 03 专项培优练·山东数学 模 型 方 法 (二)“阿氏圆”问题 一阶 模型初探 例 2　 如图,四边形ABCD是边长为4 的正方形,☉B 的半径为 2,P 是☉B 上一动点,则 PD+ 1 2 PC 的最小值为　 5　 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思路剖析】题目中 PB= r= 2,BC= 4,系数 k = 1 2 ,故构造相似比为 1 2 的相似三角形,将 1 2 PC 进行转化. 可在 BC 上取一点 E,使得 BE= 1,则BE PB = 1 2 ,故△PBE∽△CBP,则PE PC = 1 2 ,再连接 DE,根据 “两点之间,线段最短”可确定取最小值时点 P 的位置. 例 2 题图 模型解读 问题:已知☉O 的半径为 r,点 A, B 是☉O 外两定点,P 为☉O 上 一动点,且 r OB = k ( k≠ 1),连接 PA,PB,PO,则当 PA+k·PB 的值 最小时,P 点的位置如何确定? 思路:构建相似三角形,将 k·PB 转化为 PC. 作法:在 OB 上截取 OC, 使得 OC= kr, ∵ r OB = k, ∠O = ∠O, ∴ △OPC∽△OBP,∴ PC PB =OP OB =k, ∴ PC= k·PB,∴ PA+k·PB 的值 最小转化为 PA+PC 的值最小,连 接 AC 交☉O 于点 P′,根据“两点 之间,线段最短” 可知最小值为 AC 的长,则 P′即为 P 点所在的 位置. 图示: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 二阶 对接中考 3. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,AC = 4,BC = 3,D 为△ABC 内一动点,满足 CD = 2,则 AD+ 2 3 BD 的最小值为　 　 　 　 . 第 3 题图 4. [2023 烟台 24 题改编]如图,抛物线 y= x2 -6x+5 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C. 以 点 B 为圆心, 画半径为 2 的圆, 点 P 为 ☉B 上一个动点, 则 PC + 1 2 PA 的最小值 为　 41 　 . 第 4 题图 13 专项培优练·山东数学 模 型 方 法 类型 5　 费马点 一阶 模型初探 例　 如图,等边三角形 ABC 的边长为 4,点 P 是三角形内的 一动点,则 PA+PB+PC 的最小值是　 4 3 　 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思路剖析】将△PBC 绕点 B 顺时针旋转 60°得到△HBG,连接 PH,AG,则△PBH 为等边三角形,PC =HG,当 A,P,H,G 四点共线 时,PA+PB+PC 的值最小,等于 AG 的长. 例题图 模型解读 问题:在△ABC 内找一点 P,使得 点 P 到三角形三个顶点的距离之 和 PA+PB+PC 最小. 思路:利用旋转变换,将点 P 与原 三角形一边组成的三角形绕原三 角形一顶点旋转 60°,构造 PA, PB,PC 共线时最短. 作法:将△APC 绕点 A 逆时针旋 转 60° 得到△AQE,连接 PQ,则 △APQ 为等边三角形,PA+PB + PC= PQ+PB+QE≥BE,即当 B, P,Q,E 四点共线时,PA+PB+PC 取得最小值 BE. 图示: 结论:当 PA+PB+PC 取得最小值 时,∠APB=∠BPC=∠CPA= 120° 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 二阶 对接中考 1. 如图,在矩形 ABCD 中,AB = 4,BC = 6,点 M 为矩形内一点,点 E 为 BC 边上任意一点,则 MA+MD+ME 的最小值为　 4+3 3 　 . 第 1 题图 2. 如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC= 90°,AB=AC,点 P 是 AB 边上一动点,作 PD⊥BC 于点 D,线 段 AD 上存在一点 Q,当 QA+QB+QC 的值取得最小值,且 QB= 2 时,PD= 　 3 　 . 第 2 题图 23