专题二 遇到角平分线，咋思考-【一战成名新中考】2025山东中考数学·二轮复习·专项培优练

参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 3. 2　 【解析】 如解图, 连接 OP, 作 PD ⊥ x 轴于点 D, ∵ △ABP 的面积是 4,AO = BO, ∴ △OBP 的面积为 2, ∵ PA⊥PB,AO=BO=BP,∴ sin∠PAB = 1 2 ,∵ sin30° = 1 2 , ∴ ∠PAB= 30°,∴ ∠PBA = 60°,∴ △POB 为等边三角形, ∴ S△POD = 1 2 S△POB = 1,∴ k 2 = 1,∴ k = ±2,∵ 反比例函数 的图象位于第一象限,∴ k= 2. 第 3 题解图 4. 2　 【解析】如解图,延长 AD 到点 G,使得 DG = AD,连接 BG. ∵ AD 是 BC 边上的中线, ∴ DC = DB,在△ADC 和 △GDB 中, AD=DG, ∠ADC= ∠GDB, CD=DB, ì î í ïï ï ∴ △ADC≌ △GDB ( SAS), ∴ ∠CAD= ∠G, BG = AC, 又 ∵ BE = AC, ∴ BE = BG, ∴ ∠BED= ∠G, ∴ ∠BED = ∠CAD, ∵ ∠BED = ∠AEF, ∴ ∠AEF= ∠CAD,即∠AEF= ∠FAE,∴ EF=AF= 2. 第 4 题解图 5. 5　 【解析】解法一:如解图①,连接 EH 并延长交 CD 于点 M,∵ 点 H 是 AC 的中点,∴ AH=CH,∵ 四边形 ABCD 是矩 形,∴ AB∥CD,∴ ∠EAH = ∠MCH,又∵ ∠AHE = ∠CHM, ∴ △AEH≌△CMH,∴ AE=CM,EH =MH,∴ H 为 EM 的中 点,连接 FM,∵ 点 G 为 EF 的中点,∴ GH 为△EFM 的中 位线,∵ FC= 8,CM=AE= 6,∴ FM = 82 +62 = 10,∴ GH = 1 2 FM= 5. 图① 　 图② 第 5 题解图 解法二:如解图②,连接 AF,取 AF 的中点 O,连接 OH, OG,∵ H 为对角线 AC 的中点,点 G 为 EF 的中点,∴ OH, OG 分别为△AFC 和△AEF 的中位线,∴ OH = 1 2 FC = 4, OG= 1 2 AE = 3,OH∥BC,OG∥AB,又∵ BA⊥AD,∴ OG⊥ OH,∴ ∠HOG= 90°,∴ GH= 42 +32 = 5. 6. 2+2 2 　 【解析】解法一(构造中位线):∵ △ADC 是以 AC 为底的等腰三角形,∴ ∠A = ∠DCA,同理可得∠ECB = ∠CBE,∵ ∠A= ∠CBE,∴ ∠DCA = ∠EBC,∴ DC∥BE,如 解图①,作 GH∥CD,交 CE 于点 H,∴ GH∥BE,∵ G 为 DE 的中点,∴ DG=EG,∴ CH=EH,∵ AD = 2,AD =CD,∴ CD = 2,∴ GH= 1 2 CD = 1,设 CE = BE = m,∴ EH = 1 2 m,∵ EF = AD= 2,∴ FH = 1 2 m- 2,∵ GH∥BE,∴ △GHF∽ △BEF, ∴ GH BE =FH EF ,即 1 m = 1 2 m-2 2 ,解得 m = 2+2 2 或 m = 2-2 2 (舍去),∴ BE 的长为 2+2 2 . 图① 　 图② 第 6 题解图 解法二(倍长中线法):如解图②,延长 CD,BG 交于点 H, ∵ △ADC 是以 AC 为底的等腰三角形,∴ ∠A = ∠DCA, ∵ ∠A= ∠CBE, ∴ ∠DCA = ∠CBE, ∴ CH∥BE, ∴ ∠H = ∠EBG, 又 ∵ ∠HGD = ∠BGE, DG = EG, ∴ △HGD ≌ △BGE,∴ DH=BE,∴ CH = BE+2,∵ ∠H = ∠EBG,∠HFC = ∠BFE,∴ △HFC∽△BFE,∴ CH BE =CF EF ,即 BE+2 BE =BE -2 2 , 解得 BE= 2+2 2 (负值已舍去) . 专题二　 遇到角平分线,咋思考 例 1　 4　 【解析】如解图,过点 D 作 DF⊥AC 于点 F,∵ AD 是△ABC 的角平分线,DF⊥AC,DE⊥AB,∴ DF = DE = 2, ∴ S△ABC =S△ABD+S△ACD = 1 2 AB·DE+ 1 2 AC·DF = 1 2 ×6×2+ 1 2 AC×2 = 10,解得 AC= 4. 例 1 题解图 例 2　 2　 【解析】解法一:如解图①,在 AB 上截取 AE = AC, 连接 DE. ∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠BAD = ∠CAD,∵ AD = AD, ∴ △AED ≌ △ACD, ∴ DE = DC, ∠AED = ∠C, ∵ ∠C = 2∠B,∴ ∠AED = 2 ∠B, ∵ ∠AED 是 △BED 的 外 角, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 06 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 ∴ ∠AED= ∠B+∠EDB,∴ ∠B = ∠EDB,∴ BE = DE,∴ AB =AE+BE=AC+CD,∵ AB= 5,AC= 3,∴ CD= 2. 图① 　 图② 例 2 题解图 解法二:如解图②,延长 AC 至点 F,使得 AF = AB,连接 DF. ∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠BAD = ∠FAD,∵ AB = AF,AD = AD,∴ △ABD ≌ △AFD, ∴ ∠F = ∠B, ∵ ∠ACB = 2∠B, ∠ACB= ∠F+∠CDF,∴ ∠CDF = ∠F,∴ CD = CF,∴ CD = AF-AC=AB-AC= 2. 例 3　 40　 【解析】如解图,延长 BC 交 AD 的延长线于点 F, 在△ABC 和△AFC 中, ∠BAC= ∠FAC, AC=AC, ∠ACB= ∠ACF, { ∴ △ABC≌△AFC (ASA),∴ BC=FC,∠F= ∠ABC = 50°,∴ ∠CAF = 40°,∵ E 是 BD 的中点, ∴ EC 是 △BDF 的中位线, ∴ EC∥AF, ∴ ∠ACE= ∠CAF= 40°. 例 3 题解图 例 4　 5 3 　 【解析】解法一:如解图①,过点 D 作 DE∥AB 交 AC 于点 E,∴ ∠BAD= ∠ADE ,∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠BAD = ∠CAD, ∴ ∠ADE = ∠CAD, ∴ DE = AE, ∵ DE∥AB, ∴ △CDE∽△CBA,∴ CE CA =DE BA ,设 DE=AE= x,则 CE= 3-x, ∴ 3-x 3 = x 5 ,解得 x = 15 8 , ∴ AE = 15 8 ,CE = 3 - 15 8 = 9 8 , ∵ DE∥AB,∴ BD CD = AE CE = 15 8 9 8 = 5 3 . 图① 　 　 　 图② 图③ 例 4 题解图 解法二:如解图②,过点 C 作 CF∥AD 交 BA 的延长线于点 F. ∵ CF∥AD,∴ ∠F = ∠BAD,∠DAC = ∠ACF,∵ AD 平分 ∠BAC,∴ ∠BAD = ∠CAD,∴ ∠ACF = ∠F,∴ AF = AC = 3, ∵ CF∥AD,∴ BD CD =AB AF = 5 3 . 解法三:如解图③,过点 B 作 BG∥AC 交 AD 的延长线于点 G,∴ ∠G = ∠CAD,∵ ∠GDB = ∠ADC,∴ △GDB∽△ADC, ∴ BG AC = BD CD ,∵ AD 是∠BAC 的平分线,∴ ∠BAD = ∠DAC, ∴ ∠BAD= ∠G,∴ AB=BG,∴ BD CD =BG AC =AB AC = 5 3 . 1. 50　 【解析】如解图,过点 D 作 DE⊥BA 交 BA 的延长线于 点 E, ∵ BD 平分 ∠ABC, ∠BCD = 90°, ∴ ED = CD. 在 Rt△BCD 中,CD= BD2 -BC2 = 132 -122 = 5,∴ ED = 5, ∴ S四边形ABCD =S△ABD+S△BCD = 1 2 AB·DE+ 1 2 BC·CD = 1 2 ×8 ×5+ 1 2 ×12×5 = 20+30 = 50. 第 1 题解图 2. C　 【解析】如解图,延长 AP 交 BC 于点 E,∵ BP 平分 ∠ABC,∴ ∠ABP= ∠EBP,∵ AP⊥BP,∴ ∠APB = ∠EPB = 90°,在△ABP 和△EBP 中, ∠ABP= ∠EBP, PB=PB, ∠APB= ∠EPB, { ∴ △ABP≌ △EBP( ASA),∴ AP = PE,∴ S△ABP = S△EBP,S△ACP = S△ECP, ∴ S△PBC = 1 2 S△ABC = 1 2 ×9 = 4. 5(cm2 ) . 第 2 题解图 3. D　 【解析】如解图,过点 D 作 DF∥OB 交 OA 于点 F, ∵ OD 平分∠AOB,∴ ∠AOD = ∠BOD = 1 2 ∠AOB = 15°. ∵ DF∥OB,∴ ∠BOD = ∠ODF,∴ ∠ODF = ∠AOD = 15°, ∴ OF=DF,∠DFC= 30°. ∵ DC⊥OA,DC = 4,∴ OF =DF = 2CD= 8,CF= 3CD= 4 3 ,∴ OC=OF+CF= 8+4 3 . 第 3 题解图 4. 110°　 【解析】如解图,在 AB 上截取 AE = AC,连接 ED, ∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠EAD = ∠CAD,在△AED 与△ACD 中, AE=AC, ∠EAD= ∠CAD, AD=AD, { ∴ △AED≌ △ACD ( SAS), ∴ ED = CD,∠AED= ∠C,∵ AB = AC+CD,AB = AE+BE,∴ CD = BE =ED, ∴ ∠B = ∠EDB, ∵ ∠B + ∠EDB = ∠AED = ∠C, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 16 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 ∴ 2∠B= ∠C,∵ ∠BAC = 60°,∴ ∠B+∠C = 3∠B = 120°, ∴ ∠B= 40°,∴ ∠ADB= 180°-30°-40° = 110°. 第 4 题解图 5. A　 【解析】如解图,过点 F 作 FG⊥AB 于点 G,∵ ∠ACB= 90°,CD⊥AB, ∴ ∠CAF + ∠CFA = 90°, ∠FAD + ∠AED = 90°,又 ∵ AF 平分 ∠CAB, ∴ FC = FG, ∠CAF = ∠FAD, ∴ ∠CFA= ∠AED = ∠CEF,∴ CE = CF,解法一:∵ ∠B = ∠B,∠FGB= ∠ACB= 90°,∴ △BFG∽△BAC,∴ BF BA = FG AC , ∵ AC = 3,AB = 5,∠ACB = 90°,∴ BC = 4, ∴ 4-FC 5 = FG 3 , ∵ FC=FG,∴ 4-FC 5 =FC 3 ,解得 FC= 3 2 ,∴ CE 的长为 3 2 . 第 5 题解图 解法二: ∵ AC = 3, AB = 5, ∠ACB = 90°, ∴ BC= 4, 在 Rt△AFC 和 Rt △AFG 中, FC=FG, AF=AF,{ ∴ Rt △AFC ≌ Rt△AFG(HL),∴ AG = AC = 3,∴ 设 FG = x,则 BF = 4-x, BG=AB-AG= 5-3 = 2,在 Rt△BFG 中,FG2 +BG2 = BF2 ,即 x2 +22 = (4-x) 2 ,解得 x= 3 2 ,∴ CE 的长为 3 2 . 6. 3 15 2 　 【解析】如解图,延长 DC,AE 交于点 G,∵ E 是 BC 的中点,∴ BE = EC,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AB = CD, AB∥CD, ∠D = 90°, ∴ ∠BAE = ∠G, 在 △ABE 和 △GCE 中, ∠AEB= ∠GEC, ∠BAE= ∠G, BE=CE, { ∴ △ABE≌ △GCE ( AAS), ∴ AB=CG,AE=EG,∵ AE 是∠BAF 的平分线,∴ ∠BAE = ∠EAF,∴ ∠G= ∠EAF,∴ AF = FG,∴ EF⊥AG,设 DF = x, 则 FG=AF= 5x,∴ AB=CD=CG=FG-CF= 5x-3,CD =DF+ CF= x+3,∴ 5x-3 = x+3,解得 x= 1. 5,∴ FG =AF = 5×1. 5 = 7. 5,∵ ∠D = 90°, ∴ AD = AF2 -DF2 = 7. 52 -1. 52 = 3 6 ,在 Rt△ADG 中,DG = DF+FG = 1. 5+ 7. 5 = 9,∴ AG = AD2 +DG2 = (3 6 ) 2 +92 = 3 15 , ∴ AE = EG = 1 2 AG = 3 15 2 . 第 6 题解图 专题三　 一线三等角模型(含弦图) 例　 (1)证明:∵ ∠ADC= ∠CEB= ∠ACB= 90°, ∴ ∠CAD+∠ACD= 90°,∠BCE+∠ACD= 90°, ∴ ∠CAD= ∠BCE, 在△ADC 与△CEB 中, ∠CAD= ∠BCE, ∠ADC= ∠CEB, AC=BC, { ∴ △ADC≌△CEB(AAS),∴ CE=AD,CD=BE, ∴ DE=CE+CD=AD+BE; (2)证明:∵ ∠ADC = ∠CEB = ∠ACB = α,∠BCE+∠ACD = 180°-α,∠ACD+∠CAD= 180°-α, ∴ ∠BCE= ∠CAD. 在△ADC 和△CEB 中, ∠ADC= ∠CEB, ∠CAD= ∠BCE, AC=BC, { ∴ △ADC≌△CEB(AAS),∴ AD=CE,DC=BE. ∴ DE=CE+CD=AD+BE; (3) 7;【解法提示】 ∵ ∠A = ∠B = ∠EDF, ∠ADF = ∠B + ∠DFB= ∠ADE+ ∠EDF,∴ ∠DFB = ∠ADE,在△ADE 和 △BFD 中, ∠A= ∠B, ∠ADE= ∠BFD, DE=FD, { ∴ △ADE≌ △BFD ( AAS), ∴ BD=AE= 2,AD=BF= 5,∴ AB=AD+DB= 5+2 = 7. (4)5. 【解法提示】 ∵ ∠EFD = 45°, ∠B = ∠ADE = 45°, ∴ ∠B+ ∠BAD = ∠ADF = ∠ADE + ∠FDE, ∴ ∠BAD = ∠FDE,∴ △ABD∽△DFE,∴ AB DF = AD DE ,∵ △ADE 是等腰直 角三角形,∴ DE = 2 AD,∵ AB = 2 2 ,∴ DF = 2 AB = 4, ∵ ∠EFD= 45°,∠AED = 45°,∴ ∠EFC = ∠DEC = 135°,又 ∵ ∠C= ∠C,∴ △EFC∽△DEC,∴ FC EC =EC CD ,∵ EC= 5 ,CD =DF+FC= 4 +FC,∴ EC2 = FC·CD = FC·( 4 +FC) = 5, ∴ FC= 1(负值已舍去),∴ CD=DF+FC= 5. 1. 5 4 　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°,AB=AC=BC = 6,由折叠的性质可知,∠EDF = ∠C = 60°,EC= ED,FC = FD,∵ ∠BDF+ ∠EDF = ∠A+ ∠AED, ∴ ∠AED= ∠BDF,∴ △AED∽△BDF,∴ DF DE =BD +DF+BF AE+AD+DE = 10 8 = 5 4 ,∴ CF CE =DF DE = 5 4 . 2. 10　 【解析】∵ 四边形 ABCD 与四边形 EFGH 均为正方 形,∴ EH=EF,∠A = ∠EBF = 90°,∠HEF = 90°,∴ ∠EHA = ∠FEB= 90°-∠AEH,∴ △AEH≌△BFE( AAS),∴ AE = FB,AH=BE,∵ AE= 2,AH = 6,∴ FB = 2,BE = 6,∴ AB = AE +BE= 8,∵ FB∥AH,∴ △FBP∽△HAP,∴ FB AH =BP AP ,即 2 6 = BP BP+8 ,∴ BP= 4,∴ EP=BE+BP = 10,∴ S△EFP = 1 2 EP·FB = 10. 3. 3 2 　 【解析】 在 Rt △C′ BM 中, C′ M = C′B2 +BM2 = 42 +32 = 5,由折叠的性质可得 CM = C′M = 5,又∵ 四边 形 ABCD 是矩形,∴ ∠D′C′M = ∠D′ = ∠D = ∠C = ∠A = ∠B= 90°,∴ ∠BC′M+ ∠AC′E = ∠AEC′+ ∠AC′E = 90°, ∴ ∠BC′M= ∠AEC′, 又 ∵ BM = AC′ = 3, ∴ △BC′ M ≌ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 26 专项培优练·山东数学 模 型 方 法 专题二　 遇到角平分线,咋思考 一阶 模型初探 类型 1　 构造全等三角形 例 1 题图 例 1 　 如 图, 在 △ABC 中, AD 平 分 ∠BAC,DE⊥AB 于点 E,△ABC 的面 积为 10,AB = 6,DE = 2,则 AC 的长 是　 4　 . 例 2 题图 例 2 　 多解法 ∙∙∙ 如图,在△ABC 中, ∠C = 2 ∠B,AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D,若 AB = 5,AC= 3,则 CD 的长为　 2　 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思路剖析】见[模型解读]情形 2,已知 AD 平分∠BAC,AB= 5, AC= 3,考虑在 AB 上截取 AC 的等长(截长)或 AC 的延长线上 截取 AB 的等长(补短)构造全等三角形. 模型解读 情形1:已知线段垂直于角的一边(PA⊥ OM),作另一边的垂线(PB⊥ON)构全等. 图示(OP 是∠MON 的平分线): 结论:PA=PB,△OPA≌△OPB. 情形 2:角平分线及边上一点连线,截取 等长(OB=OA)构全等(截长补短法). 图示(OP 是∠MON 的平分线): 结论:△OPA≌△OPB. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 类型 2　 构造等腰三角形 例 3 题图 例 3　 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°, D 为 △ABC 外 一 点, 且 ∠DAC= ∠BAC,连接 BD,E 为 BD 的中点,连接 CE,若∠ABC = 50°, 则∠ACE= 　 40　 °. 例 4 题图 例 4 　 多解法 ∙∙∙ 如图,AD 是△ABC 的 角平分线,交 BC 于点 D,AB = 5, AC= 3,则BD CD = 　 　 　 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思路剖析】见[模型解读]情形 2,AD 平分∠BAC,解法一:过 点 D 作 AB 的平行线;解法二:过点 C 作 AD 的平行线与 BA 的 延长线相交;解法三:过点 B 作 AC 的平行线与 AD 的延长线 相交. 再结合相似三角形求解. 结合以上 3 种解法,大家思考还可以 如何添加辅助线. 模型解读 情形 1:垂直角平分线(AP⊥OP),延 长构等腰三角形. 图示(OP 是∠MON 的平分线): 结论:OA=OB. 情形 2:作一边(图 1)或角平分线的 平行线(图 2)构等腰三角形. 图示(OP 是∠MON 的平分线): 图 1 图 2 结论:图 1:AO=AP,∠PAN= ∠OPA+􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍∠POA= 2∠OPA= 2∠POA􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍; 图 2: OA = OB, ∠MON = ∠OAB +􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍∠OBA= 2∠OBA= 2∠OAB􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍. 注:三角形中两角出现 2 倍关系,可构 造等腰三角形建立两角之间的关系. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9 专项培优练·山东数学 模 型 方 法 二阶 对接中考 1. 如图,在四边形 ABCD 中,∠BCD= 90°,BD 平分∠ABC,AB = 8,BD = 13,BC = 12,则四边形 ABCD 的面积为　 50　 . 第 1 题图 2. [2024 济南高新区二模]如图,△ABC 的面积为 9 cm2,BP 平分∠ABC,AP⊥BP 于点 P,连接 PC,则△PBC 的面积为 (　 C　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 3 cm2 B. 4 cm2 C. 4. 5 cm2 D. 5 cm2 第 2 题图 3. 如图,∠AOB= 30°,OD 平分∠AOB,DC⊥OA 于点 C,DC= 4,则线段 OC 的长为 (　 D　 ) A. 4 3 B. 4+4 3 C. 8 D. 8+4 3 第 3 题图 4. 如图,在△ABC 中,∠BAC= 60°,AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D,若 AB=AC+CD,则∠ADB 的 度数为　 110°　 . 第 4 题图 5. 多解法 ∙∙∙ [2024 泰安泰山区一模]如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,CD⊥AB,垂足为 D,AF 平 分∠CAB,交 CD 于点 E,交 CB 于点 F. 若 AC= 3,AB= 5,则 CE 的长为 (　 A　 ) A. 3 2 B. 4 3 C. 5 3 D. 8 5 第 5 题图 6. 如图,在矩形 ABCD 中,E 为 BC 的中点,F 在 CD 上,连接 EF,AE 平分∠BAF,若 AF = 5DF,FC= 3,则线段 AE 的长为　 　 　 . 第 6 题图 01