专题八 隐形图及圆中最值模型-【一战成名新中考】2025山东中考数学·二轮复习·专项培优练

参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 第 4 题解图 专题八　 隐形圆及圆中最值模型 例 1　 20 3 -16　 【解析】∵ 在▱ABCD 中,∠BCD = 120°,AB = 8,∴ ∠ABC = 60°,CD = 8,∵ E 为边 CD 的中点,F 为边 AD 上的一动点,将△DEF 沿 EF 翻折得△D′EF,∴ D′E = DE=CE= 1 2 CD = 4,∴ 点 D′是以 E 为圆心,CD 为直径的 圆周上的一点,作出☉E,如解图,过点 E 作 EH⊥AB 交直 线 AB 于点 H,交☉E 于点 G,过点 D′作 D′M⊥AB 于点 M, 连接 EM, ∵ △ABD′ 的 面 积 = 1 2 AB · D′ M, AB = 8, ∴ △ABD′的面积= 4D′M,要求△ABD′面积的最小值,只要 求 D′M 的最小值即可,∵ D′M=D′M+D′E-4≥EM-4≥EH -4,∴ D′M 的最小值为 EH-4,过点 C 作 CN⊥AB 于点 N, 则 EH =CN,在 Rt△BCN 中,∵ BC = 10,∠ABC = 60°,CN = BC·sin60° = 10× 3 2 = 5 3 ,∴ EH = 5 3 ,∴ D′M 的最小值 为5 3 -4,∴ △ABD′的面积= 4(5 3 -4)= 20 3 -16. 例 1 题解图 例 2　 2 π　 【解析】如解图,连接 BD,交 EF 于点 O,由题意 得 AE = CF. ∵ 四边形 ABCD 为正方形,∴ AD = BC,AD∥ BC,∴ ∠EDO= ∠FBO,∠DEO = ∠BFO,AD-AE = BC-CF, ∴ DE = BF. 在 △DEO 和 △BFO 中, ∠DEO= ∠BFO, DE=BF, ∠EDO= ∠FBO, { ∴ △DEO≌△BFO(ASA),∴ OD = OB,OE = OF,∴ O 为正 方形 ABCD 的中心. ∵ 在正方形 ABCD 中,AB = 4,∴ BC = CD=AD= 4,∴ DB = 2 BC = 4 2 ,∴ BO = 2 2 . ∵ BP⊥EF, ∴ ∠BPO= 90°,∴ 在整个运动过程中点 P 对 B,O 张开的 角度为 90°,∴ 整个运动过程中 P 点的运动轨迹为以 OB 为直径的半圆,∴ 整个运动过程中 P 点的运动轨迹为 1 2 × 2 2 π = 2 π. 例 2 题解图 例 3　 2　 【解析】∵ EF⊥BE,∴ ∠BEF = 90°,即∠BEO+∠2 = 90°,∵ 正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O, ∴ ∠BOE= 90°,∴ ∠BEO+ ∠1 = 90°,∴ ∠1 = ∠2,∵ 四边 形 ABCD 是正方形,∴ ∠BCD = 90°,∴ B,C,F,E 四点共 圆,如解图,连接 BF,∴ ∠2 = ∠3,∴ ∠1 = ∠3,∴ △BOE∽ △BCF,∴ OE CF = OB CB ,∵ AB = 4 2 ,∴ OB = 4,CD = BC = 4 2 , ∵ 点 F 为 CD 的中点,∴ CF = 1 2 CD = 2 2 ,∴ OE 2 2 = 4 4 2 , ∴ OE= 2. 例 3 题解图 例 4　 2 5 -2　 【解析】如解图,连接 OP,连接 OC 交半圆 O 于点 P′,OB = 1 2 AB = 2,在 Rt△OBC 中,OC = OB2 +BC2 = 2 5 ,CP≥OC-OP,∴ CP≥2 5 - 2,当点 P 与点 P′重合 时,CP 取得最小值 2 5 -2. 例 4 题解图 变式 　 C　 【解析】如解图,连接 AB,OB,OP,根据题意,得 BP=AP = CP = 10 2 cm,且 A,P,B 三点在同一直线上, ∴ OP 垂直平分 AB,∴ ∠OPB= 90°,∴ 当 O,P,D,C 四点共 线时,CD 最长,∵ OB = OD = 1 2 × 40 = 20( cm),PB = CP = 10 2 cm, ∴ 在 Rt△BOP 中, 由 勾 股 定 理 得 OP = OB2 -BP2 = 202 -(10 2 ) 2 = 10 2 ( cm),∴ DP = OD- OP= (20- 10 2 ) cm,∴ CD 的最大值为 CP-PD = 10 2 - (20-10 2 )= (20 2 -20)cm. 变式题解图 例 5　 8,32　 【解析】如解图,连接 OA,过点 O 作 AB 的垂线, 垂足为 D,延长 DO 交☉O 于点 C1 ,连接 AC1 ,BC1 ,∴ AD = 1 2 AB= 4,∴ 在 Rt△AOD 中,OD = AO2 -AD2 = 3,∴ C1D = OC1 +OD= 8,∴ 当点 C 与点 C1 重合时,点 C 到 AB 距离的 最大值为 8,∴ △ABC 面积的最大值为 1 2 AB·C1D = 1 2 ×8 ×8 = 32. 例 5 题解图 1. 7　 【解析】如解图,连接 AM,∵ EF = 6,M 是 EF 的中点, ∴ AM= 3,∴ 点 M 的轨迹是以点 A 为圆心,3 为半径的一 段弧. 连接 AC 交圆弧于点 M′,∵ AM+MC≥AC,∴ 当点 M 在 M′处时,CM 取得最小值. ∵ AB = 6,BC =AD = 8,∴ AC = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 86 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 AB2 +BC2 = 10,∴ CM′=AC-3 = 7,即 CM 的最小值为 7. 第 1 题解图 2. 3 　 【解析】 ∵ BD, CE 分别是 AC 与 AB 边上的高, ∴ ∠BEC= ∠BDC= 90°,∴ B,C,D,E 四点共圆,如解图, ∴ ∠BED+ ∠BCD = 180°, ∵ ∠BED + ∠AED = 180°, ∴ ∠AED= ∠ACB,∵ ∠A = ∠A,∴ △AED∽△ACB,∴ DE BC =AD AB . ∵ BD⊥AC,且∠A= 60°,∴ ∠ABD= 30°,AD= 1 2 AB, ∴ DE= 1 2 BC= 3. 第 2 题解图 3. 11　 【解析】如解图,连接 CP,∵ ∠ACB= 90°,AC = 8,BC = 6,∴ AB= AC2 +BC2 = 82 +62 = 10,∵ 将△ABC 绕点 C 旋转,得到△A′B′C,∴ A′B′ = AB = 10,∠A′CB′ = ∠ACB = 90°,∵ P 为 A′B′的中点,∴ CP= 1 2 A′B′= 5,∴ 在旋转的过 程中,点 P 在以 C 为圆心,5 为半径的圆上运动,∴ 当 B, C,P 三点共线时,BP 有最大值,∴ BP 的最大值为 6 + 5 = 11. 第 3 题解图 4. 2+2 2 　 【解析】如解图,连接 AC,BD 交于点 O,连接 PO, EO,∵ ∠AED= 45°,∠ACD = 45°,∴ A,C,E,D 四点共圆, ∵ 正方形 ABCD 的边长为 4,∴ OE = OD = 1 2 BD = 2 2 , ∵ P 为 AB 的中点,O 是 BD 的中点,∴ OP = 1 2 AD = 2, ∵ PE≤OP+OE= 2+2 2 ,∴ 当点 O 在线段 PE 上时,PE = OP+OE= 2+2 2 ,即线段 PE 的最大值为 2+2 2 . 第 4 题解图 　 　 　 第 5 题解图 5. 3 -1, 3 -1　 【解析】如解图,连接 BM 交☉M 于点 N1 , 连接 BD,CN1 ,∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AB = AD = 2,AD ∥BC,∵ ∠A= 60°,∴ △ABD 是等边三角形,∵ M 是 AD 的 中点,∴ BM⊥AD,∵ AD∥BC,∴ BM⊥BC,∴ 当点 N 与点 N1 重 合 时, 点 N 到 直 线 BC 的 距 离 最 小, ∵ BM = AB2 -AM2 = 3 ,∴ BN1 = 3 -1,∴ 点 N 到直线 BC 距离 的最小值为 3 -1,∴ △BCN 面积的最小值为 1 2 BC·N1B = 1 2 ×2×( 3 -1)= 3 -1. 6. B　 【解析】如解图,延长 BA,FE 交于点 K,连接 AH,AC, 以点 A 为圆心,AB 长为半径作圆,∵ 四边形 ABCD 是矩 形,∴ AE∥BF,CD = AB = 2,BC = AD = 2 3 , ∴ △KAE∽ △KBF,∴ AK ∶ BK = AE ∶ BF,∵ BF = 2AE, ∴ AK = 1 2 KB, ∴ AK=AB= 2,∴ BK 是☉A 的直径,∵ BH⊥EF,∴ ∠BHK = 90°,∴ 点 H 在☉A 上,∴ AH = 2,当 A,H,C 共线时,CH 最小,最小值为 AC-AH,在 Rt△ADC 中,由勾股定理得 AC = AD2 +CD2 = 4,∴ CH 的最小值为 4-2 = 2. 第 6 题解图 7. 29 -2　 【解析】如解图,设 AD 的中点为 O,以 AD 为直 径画圆,连接 OB,设 OB 与☉O 的交点为点 F′,∵ ∠ABC = ∠BAD= 90°,∴ AD∥BC,∴ ∠DAE = ∠AEB,∵ ∠ADF = ∠BAE,∴ ∠DFA= ∠ABE= 90°,∴ 点 F 在以 AD 为直径的 半圆上运动,∴ 当点 F 运动到 OB 与☉O 的交点 F′处时, 线段 BF 有最小值,∵ AD= 4,∴ AO=OF′= 1 2 AD = 2,∴ BO = 52 +22 = 29 ,BF 的最小值为 29 -2. 第 7 题解图 　 　 　 第 8 题解图 8. 1. 6　 【解析】点 B′在以点 E 为圆心,2 为半径的圆弧上, 如解图,过点 B′作 B′H⊥AC 于点 H,∴ 当 E,B′,H 三点共 线时,B′H 有最小值,在Rt△ABC 中,∵ AB = 6,BC= 8,∴ 根 据勾股定理可得 AC= 10,由折叠的性质得 EB′=BE = 2,在 Rt△ABC 中, sin∠ACB= AB AC = 6 10 = 3 5 , 在 Rt △ECH 中, sin∠ECH= EH EC = 3 5 ,∵ EC = BC-BE = 8- 2 = 6,∴ EH 6 = 3 5 , 解得 EH= 3. 6,∴ B′H=EH-EB′= 3. 6-2 = 1. 6,即点 B′到对 角线 AC 的最小值是 1. 6. 9. 2 　 【解析】∵ 在正方形 ABCD 中,AB = BC = 2,∠ABC = ∠DCF= 90°,∴ AC= AB2 +BC2 = 2 2 ,∵ AE=BF,∴ BE = CF,在 △DCF 和 △CBE 中, CD=BC, ∠DCF= ∠B CF=BE, { , ∴ △DCF ≌ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 96 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 △CBE(SAS),∴ ∠CDF= ∠BCE,∵ ∠DCE+∠BCE = 90°, ∴ ∠CDF+∠DCE = 90°,∴ ∠CGD = 90°,∴ 点 G 在以 DC 为直径的圆上. 如解图,取 CD 的中点 H,点 G 的运动路径 是以 H 为圆心,以 DC 为直径的一段弧,当点 E 与点 A 重 合,点 F 与点 B 重合时,点 G 与 AC,BD 的交点 O 重合, ∴ AG 的最小值为 AO= 1 2 AC= 2 . 第 9 题解图 10. 1 9 　 【解析】如解图,连接 AM,设 AE = a,则 AB = 3a, ∵ ∠ABD= 60°,∴ AD=AB·tan60° = 3 3 a,由矩形 ABCD 和 Rt△EFM 得∠EAF = ∠EMF = 90°,∴ A,E,M,F 四点 共圆,∴ ∠EMA= ∠EFA,∠FAM= ∠MEF = 30°,∴ 当 DM ⊥ AM 时, DM 最 小, 此 时 ∠AMD = 90° = ∠EMF, ∴ ∠FMD= ∠EMA = ∠EFA,∵ ∠EAM = 90° - 30° = 60°, ∠FDM= ∠AFM-∠FMD = ∠AFM-∠EFA = ∠EFM = 90° - 30° = 60°, ∴ ∠EAM = ∠FDM, ∴ △EMA ∽ △FMD, ∴ DF AE =DM AM = tan30° = 3 3 ,∴ DF= 3 3 a,∴ DF AD = 3 3 a 3 3 a = 1 9 . 第 10 题解图 　 　 第 11 题解图 11. 2+2 3 　 【解析】如解图,作△BFC 的外接圆,圆心为 O, 连接 OF,OB,OC,过点 O 作 OH⊥BC 于点 H,∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ BC = AB = 4,∠ABC = 90°,∠EBC = 1 2 ∠ABC= 45°, ∵ ∠BFC = 30°, ∴ ∠BOC = 2∠BFC= 60°,∴ △BOC 是等边三角形,∴ OB=OC=BC = 4,当点 F 是过点 E 的直径的端点时,EF 取最大值,此时,OE 的延 长线垂直 BC 于点 H,∴ BH = 2,∠BOH = 30°,∴ OF =OB = 4,OH= 2 3 . ∵ ∠EBC= 45°,∠EHB = 90°,∴ △BHE 是 等腰直角三角形,∴ HE=BH= 2,∴ EF=OH+OF-HE = 2+ 2 3 . 专题九　 几何中的其他最值模型 类型 1　 利用三角形三边关系及三点共线求最值 例　 ( 10 9 , 8 9 )　 【解析】根据三角形三边关系及三点共线可 知,PO+PC 的最小值就是线段 OC 的长,PA+PB 的最小值 就是线段 AB 的长,如解图,连接 OC,AB,交于点 P,∴ 到四 个顶点的距离之和 PA+PO+PB+PC 最小的点就是点 P,设 OC 所在直线的解析式为 y = kx( k≠0),AB 所在直线的解 析式为 y= ax+b(a≠0),∵ 点 C( 5,4) 在直线 OC 上,点 A( -1,3),B(3,-1)在直线 AB 上,∴ 4 = 5k, -a+b= 3, 3a+b= -1,{ 解 得 k= 4 5 , a= -1, b= 2,{ ∴ 直线 OC 的解析式为 y= 4 5 x,直线 AB 的解析式为 y= -x+2,联立得 y= 4 5 x, y= -x+2, { 解得 x= 10 9 , y= 8 9 , ì î í ï ï ïï ∴ 点 P 的坐标为( 10 9 , 8 9 ) . 例题解图 1. A　 【解析】如解图,连接 DE,在△DPE 中,DP+PE>DE, 当点 P 在 DE 上时,DP+PE = DE,∴ PD+PE 的最小值为 DE 的长,∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AO = CO = 3 3 ,BO = DO= 3,AC⊥BD,AB=AD,∴ tan∠ABO= AO BO = 3 ,∴ ∠ABO = 60°,∴ △ABD 是等边三角形,∵ 点 E 是 AB 的中点, ∴ DE⊥AB,∵ sin∠ABD = DE BD ,∴ DE 6 = 3 2 ,∴ DE = 3 3 . 即 PD+PE 的最小值为 3 3 . 第 1 题解图 2. A 　 【解析】 如解图,取 OB 中点 N,连接 MN, AN. 在 Rt△OCD 中,OD= 4 3 ,∠D = 30°,∴ OC = 4,∵ M,N 分别 是 BC,OB 的中点,∴ MN= 1 2 OC= 2,在 Rt△ABN 中,AB = 4,BN= 3,∴ AN= 5,在△AMN 中,AM>AN-MN,∴ 当 M 运 动到 AN 上时,AM = AN-MN,∴ AM≥AN-MN = 5- 2 = 3, ∴ 线段 AM 的最小值是 3. 第 2 题解图 3. 4+2 2 　 【解析】如解图,将△ABP 绕点 B 逆时针旋转 90° 得△CBE,连接 PE,则△BPE 是等腰直角三角形,AP = CE,∴ PE= 2 BP = 2 2 ,∵ CE≤CP+PE,∴ CE 的最大值 为 4+2 2 ,即 AP 的最大值为 4+2 2 . 第 3 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 07 专项培优练·山东数学 模 型 方 法 专题八　 隐形圆及圆中最值模型 (统考卷 21(1)题) 一阶 模型初探 (一)确定隐形圆模型 例 1　 定点定长 [2024 烟台 15 题 3 分]如图,在▱ABCD 中, ∠C= 120°,AB= 8,BC= 10,E 为边 CD 的中点,F 为边 AD 上的一动点,将△DEF 沿 EF 翻折得△D′EF,连接 AD′, BD′,则△ABD′面积的最小值为　 20 3 -16　 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思路剖析】在折叠过程中,D′E 为定值,故点 D′是以 E 为圆心, CD 为直径的圆周上一点. 在△ABD′中,AB = 8,故当点 D′到 AB 的 距离最小时,△ABD′的面积最小. 过点 E 作 EH⊥AB 交直线 AB 于 点 H,交☉E 于点 G,过点 D′作 D′M⊥AB 于点 M,连接 EM,D′M = D′M+D′E-4≥EM-4≥EH-4. 例 1 题图 例 2　 定弦定角 [2024 济南三模]如图,在正方形 ABCD 中, AB= 4,E 点沿线段 AD 由 A 向 D 运动(到 D 停止运动), F 点沿线段 CB 由 C 向 B 运动(到 B 停止运动),两点同 时出发,速度相同,连接 EF,作 BP⊥EF 于 P 点,则在整 个运动过程中 P 点的运动轨迹长为　 2π　 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思路剖析】连接 BD,交 EF 于点 O,利用全等三角形的判定与性 质得到点 O 为正方形的中心,利用 BP⊥EF 得到整个运动过程中 P 点的运动轨迹为以 OB 为直径的半圆. 例 2 题图 　 　 　 例 3 题图 例 3　 四点共圆 如图,在正方形 ABCD 中,AB = 4 2 ,对角线 AC,BD 相交于点 O. 点 E 是对角线 AC 上一点,连接 BE, 过点 E 作 EF⊥BE,交 CD 于点 F,若点 F 为 CD 的中点, 则 OE 的长为　 2　 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋【思路剖析】∠BCD = ∠BEF = 90°,即∠BCD+∠BEF = 180°,对角 互补,则 B,C,F,E 四点共圆. 模型解读 1.定点定长(统考卷 21(1)题) 2.定弦定角 常考定弦定角模型及辅助圆作法 　 　 3.四点共圆 情形 1:对角互补 　 情形 2:定线段同侧有等角 　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12 专项培优练·山东数学 模 型 方 法 (二)点圆最值、线圆最值模型 例 4　 点圆最值 如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 P 是以 AB 为直径的半圆 O上一点,则 CP 的最小值为　 2 5 -2　 . 例 4 题图 变式 真实情境 如图①,是一款带毛刷的圆形扫地机器人, 图②是它的俯视图,☉O 的直径为 40 cm,毛刷的一端为 固定点 P,另一端为点 C,CP = 10 2 cm,毛刷绕着点 P 旋转形成的圆弧交☉O 于点 A,B,且 A,P,B 三点在同一 直线上. 毛刷在旋转过程中,与☉O 交于点 D,则 CD 的 最大长度为 (　 C　 ) 图① 　 　 　 图② 变式题图 A. 20 2 cm　 　 　 　 　 　 　 B. (20-10 2 )cm C. (20 2 -20)cm D. 10 2 cm 模型解读 1.点圆最值 已知:☉O 的半径为 r,A 是平面 内一定点,P 是圆上一动点,确定 PA 的最值. 方法:“一箭穿心”定交点 P,“近 点”有最小值,“远点”有最大值. 原理:直径是圆内最长的弦􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 点 A 在圆内 最大值:r+OA(即 AP2) 最小值:r-OA(即 AP1) 点 A 在圆外 最大值:r+OA(即 AP2) 最小值:OA-r(即 AP1) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 例 5　 线圆最值 名师原创 如图,AB 是☉O 的弦,C 是☉O 上 一动点,连接 AC,BC,若☉O 的半径为 5,AB = 8,则点 C 到 AB 距离的最大值为 　 8 　 , △ABC 面积的最大值 为　 32　 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思路剖析】AB 为弦,即直线 AB 与☉O 相交,过点 O 作 AB 的垂线 并反向延长交☉O 于点 C1,此时点 C1 到 AB 的距离最大,△ABC 的面积也最大. 例 5 题图 2.线圆最值 已知:☉O 的半径为 r,圆心 O 到 定直线 AB 的距离为 d,点 P 是圆 上一动点,确定点 P 到直线 AB 的最值. 方法:过点 O 作 AB 的垂线,交 ☉O 于点 P,交直线 AB 于点 C. 　 　 相交　 　 　 　 　 相离 　 最大值:d+r 最大值:d+r 最小值: 0 最小值:d-r 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 22 专项培优练·山东数学 模 型 方 法 二阶 对接中考 1. 如图,在矩形 ABCD 中,AB = 6,AD = 8,点 E,F 分别在边 AB,AD 上,且 EF = 6,点 M 是 EF 的中点,连接 CM,则 CM 的最小值是　 7　 . 第 1 题图 2. 如图,在 △ABC 中,BD,CE 分别是 AC,AB 边上的高, ∠A = 60°,BC = 6,则 DE 的长 为　 3　 . 第 2 题图 3. [2024 东营一模]如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,AC= 8,BC= 6,将△ABC 绕点 C 旋转,得 到△A′B′C,点 A 的对应点为 A′,P 为 A′B′的中点,连接 BP. 在旋转的过程中,线段 BP 的 最大值为　 11　 . 第 3 题图 4. 如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 E 是正方形外一动点,且点 E 在 CD 的右侧,∠AED = 45°,P 为 AB 的中点,当 E 运动时,线段 PE 的最大值为　 2+2 2 　 . 第 4 题图 5. 名师原创 如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠A= 60°,M 是 AD 边的中点,☉M 经过点 A, 点 N 为☉M 上一动点,连接 BN,CN,则点 N 到直线 BC 距离的最小值为　 3 -1　 ,△BCN 面积的最小值为　 3 -1　 . 第 5 题图 6. [2024 泰安新泰市三模]如图,在矩形 ABCD 中,AB = 2,AD = 2 3 ,E 为边 AD 上的动点,F 为 边 BC 上的动点,BF= 2AE,连接 EF,作 BH⊥EF 于点 H,连接 CH,则线段 CH 的最小值为 (　 B　 ) 第 6 题图 A. 3 2 B. 2 C. 2 3 -2 D. 2 6 -2 32 专项培优练·山东数学 模 型 方 法 7. [2023 菏泽 14 题 3 分]如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC = ∠BAD = 90°,AB = 5,AD = 4,AD< BC,点 E 在线段 BC 上运动,点 F 在线段 AE 上,∠ADF = ∠BAE,则线段 BF 的最小值 为　 29 -2　 . 第 7 题图 8. 名师原创 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 6,BC= 8,点 E 在边 BC 上,BE= 2,点 F 为边 AB 上一 点,折叠矩形,使折痕经过点 E,F,点 B 落在点 B′处,则点 B′到对角线 AC 的最小值 是　 　 　 　 . 第 8 题图 9. 如图,E,F 分别是正方形 ABCD 的边 AB,BC 上的动点,满足 AE =BF,连接 CE,DF 交于点 G,连接 AG,若正方形的边长为 2,则线段 AG 的最小值为　 2 　 . 第 9 题图 10. [2024 济南历下区三模]如图,在矩形 ABCD 中,∠ABD = 60°,BE = 2AE,点 F 在 AD 边上运 动,以线段 EF 为斜边作 Rt△EFM,其中点 M 与点 A 位于 EF 两侧,∠MEF = 30°. 连接 DM,当 DM 最小时,DF AD = 　 　 　 . 第 10 题图 11. 如图,在正方形 ABCD 中,AB= 4,E 是对角线 BD 的中点,点 F 为 BC 所在直线上方一点, 连接 BF,CF,EF,若∠BFC= 30°,则 EF 长的最大值为　 2+2 3 　 . 第 11 题图 42