专题一 遇到中点，咋思考-【一战成名新中考】2025山东中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·山东数学 二、山东中考培优———模型方法　 　 模 型 方 法 专题一　 遇到中点,咋思考 (统考卷 9 题) 一阶 模型初探 类型 1　 巧用斜边中线 例 1　 如图,将两个含 30°角的直角三角板摆放在一起,E 为 AB 的 中 点, 连 接 DE. 若 AC = 2, 则 DE 的 长 为　 7 　 . 例 1 题图 模型解读 条件:直角三角形斜边上遇中点,连 接直角顶点与中点构造斜边中线. 图示(D 是 BC 边的中点): 结论:AD 是 Rt△ABC 斜边 BC 上的 中线,即 AD=BD=CD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 类型 2　 巧构中位线(统考卷 9 题) 例 2　 多解法 ∙∙∙ 如图,在 Rt△ABC 中,∠B= 90°,AB= 2,D 是 AC 的中点,点 E 在边 BC 上,且∠DEC = 45°,则 DE 的 长为　 2 　 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思路剖析】解法一:见[模型解读]情形 1,D 为 AC 的中点,考 虑过点 D 作 AB 的平行线构造中位线; 解法二:见[模型解读]情形 2,D 为 AC 的中点,逆向思考将 DE 看作中位线,考虑过点 A 作 DE 的平行线构造三角形. 例 2 题图 模型解读 情形 1:三角形边上遇中点,已知一 点,作平行线或取另一边中点并连 接构造中位线(图 1),已知两点,连 接(图 2)构造中位线. 图示(D 是 BC 边的中点): 图 1 图示(D,E 分别是 BC,AC 边的中点): 图 2 结论:DE= 1 2 AB,且 DE∥AB. 情形 2:有中点连线,倍长或作平行 线构造中位线. 图示(D 是 BC 的中点): 结论:CE= 2AD,且 CE∥AD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6 专项培优练·山东数学 模 型 方 法 类型 3　 巧构倍长(类)中线 例 3 　 多解法 ∙ ∙ ∙ 如图,在△ABC 中,点 D 为 BC 的中点,若 AB= 13,AC= 5,AD= 6,则△ABC 的面积为　 30　 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋【思路剖析】解法一:D 为 BC 的中点,考虑倍长 AD 作与△ADC 全 等的三角形; 解法二:见巧构中位线[模型解读]情形 2,D 为 BC 的中点,可将 AD 看作中位线构造三角形. 结合以上两种解法,大家思考还可以如何添加辅助线. 例 3 题图 模型解读 条件:遇见三角形中线或类中线, 倍长中线(图 1)或类中线(图 2) 构全等. 图示(D 是 BC 边的中点): 图 1 图 2 结论:图 1:△BDE≌△CDA; 图 2:△BDF≌△CDE. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 类型 4　 巧用“三线合一” 例 4　 如图,在△ABC 中,AB = AC = 5,BC = 6,M 为 BC 的中 点,MN⊥AC 于点 N,则 MN 的长度为 (　 D　 ) A. 3　 　 　 B. 3 2 　 　 　 C. 8 2 5 　 　 　 D. 12 5 例 4 题图 模型解读 情形 1:等腰三角形底边上遇中 点,连接顶点与中点,巧用“三线 合一” . 图示(D 是 BC 边的中点): 结论:BD=CD,AD⊥BC, ∠BAD= ∠CAD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 例 5　 [2024 枣庄滕州市月考改编]如图,在△ABC 中,∠C = 90°,∠B= 15°,AB 的垂直平分线交 BC 于点 D,交 AB 于 点 E,若 DB= 10 cm,则 CD 的长为 (　 D　 ) A. 10 cm　 　 B. 8 cm　 　 C. 5 cm　 　 D. 5 3 cm 例 5 题图 情形 2:垂线过中点,连接构等腰. 图示(D 是 BC 边的中点): 结论: △BEC 是等腰三角形,即 BE=CE. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7 专项培优练·山东数学 模 型 方 法 二阶 对接中考 1. 名师原创 如图,在平行四边形 ABCD 中,∠B = 45°,点 E 是边 BC 的中点,过点 E 作 EF⊥ BC 交 AB 于点 F. 若 AF= 1,EF= 2 ,则对角线 AC= 　 5 　 . 第 1 题图 2. [2024 泰安宁阳县一模]如图,AC,BC 为☉O 的两条弦,D,G 分别为 AC,BC 的中点,☉O 的 半径为 2. 若∠C= 45°,则 DG 的长为　 2　 . 第 2 题图 3. [2024 济南莱芜区二模]如图,在平面直角坐标系中,点 P 在反比例函数 y = k x (x>0)的图象 上,点 A,B 在 x 轴上,且 PA⊥PB,PA 交 y 轴于点 C,AO=BO=BP. 若△ABP 的面积是 4,则 k 的值是　 2　 . 第 3 题图 4. 如图,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 上一点,且 BE=AC,延长 BE 交 AC 于点 F,若 AF= 2,则 EF= 　 2　 . 第 4 题图 5. 多解法 ∙∙∙ 如图,在矩形 ABCD 中,点 H 为对角线 AC 的中点,点 E,F 分别在边 AB,BC 上, FC= 8,AE= 6,点 G 为 EF 的中点,则 GH 的长为　 5　 . 第 5 题图 6. 多解法 ∙∙∙ [2023 烟台 23 题改编]如图,点 C 为线段 AB 上一点,分别以 AC,BC 为等腰三角形的 底边,在 AB 的同侧作等腰△ACD 和等腰△BCE,且∠A = ∠CBE. 在线段 EC 上取一点 F, 使 EF=AD,连接 BF,DE,BF 的延长线恰好经过 DE 的中点 G. 若 AD = 2,则 BE 的长 为　 2+2 2 　 . 第 6 题图 8 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 二、山东中考培优———模型方法 专题一　 遇到中点,咋思考 例 1 　 7 　 【解析】 如解图,连接 CE, ∵ 在 Rt △ABC 中, ∠ABC= 30°,AC= 2,∴ AB= 2AC= 4,BC = 3 AC = 2 3 . ∵ 在 Rt△BCD 中,∠CBD = 30°,∴ ∠BCD = 60°,CD = 1 2 BC = 3 . ∵ E 为 AB 的中点,∴ CE = BE = 1 2 AB = 2,∴ ∠BCE = ∠EBC = 30°, ∴ ∠DCE = ∠BCE + ∠BCD = 90°, ∴ DE = CD2 +CE2 = ( 3 ) 2 +22 = 7 . 例 1 题解图 例 2　 2 　 【解析】解法一:如解图①,过点 D 作 DF∥AB 交 BC 于点 F,∵ D 是 AC 的中点,∠B = 90°,∴ ∠DFE = 90°, DF= 1 2 AB = 1, ∵ 在 Rt△DFE 中, ∠DEC = 45°, ∴ DE = 2DF= 2 . 图① 　 图② 例 2 题解图 解法二:如解图②,过 A 作 DE 的平行线交 CB 的延长线于 点 F,∵ ∠DEC = 45°,∴ ∠AFC = 45°,又∵ ∠ABF = 90°, ∴ AF= 2AB= 2 2 ,又∵ D 是 AC 的中点,∴ DE 为△AFC 的中位线,∴ DE= 1 2 AF= 2 . 例 3　 30　 【解析】解法一:如解图①,延长 AD 至点 E,使 ED =AD,连接 BE,∵ D 为 BC 的中点,∴ CD=BD,在△ACD 和 △EBD 中, AD=ED, ∠ADC= ∠EDB, CD=BD, ì î í ïï ï ∴ △ACD ≌ △EBD ( SAS), ∴ AC=BE,S△ACD = S△EBD,∴ S△ABE = S△ABC,∵ AC = 5,AD = 6, ∴ BE= 5,AE = 12,∵ AB = 13,∴ AB2 = BE2 +AE2 ,∴ △ABE 为直角三角形,且∠E = 90°,∴ S△ABE = 1 2 AE·BE = 1 2 ×12 ×5 = 30,∴ △ABC 的面积是 30. 例 3 题解图① 解法二:如解图②,延长 BA 至点 F,使得 AF = AB,连接 CF,∵ D 为 BC 的中点,∴ AD 为△BCF 的中位线,∴ CF = 2AD= 12, ∵ AF = AB = 13, AC = 5, ∴ AC2 + CF2 = AF2 , ∴ △ACF 为直角三角形,且∠ACF = 90°,∴ S△ACF = 1 2 AC· CF= 1 2 ×5×12 = 30,∵ AF=AB,∴ S△ABC =S△ACF = 30. 例 3 题解图② 例 4　 D　 【解析】如解图,连接 AM,∵ AB=AC,M 为 BC 的中 点,∴ AM⊥BC,BM=CM,∵ AB = AC = 5,BC = 6,∴ BM= CM = 3,在 Rt△ABM 中,AB= 5,BM= 3,∴ 根据勾股定理得 AM = AB2 -BM2 = 52 -32 = 4,又 ∵ S△AMC = 1 2 MN· AC = 1 2 AM·CM,∴ MN= AM·CM AC = 12 5 . 例 4 题解图 例 5　 D　 【解析】如解图,连接 AD,∵ AB 的垂直平分线交 BC 于点 D,交 AB 于点 E, ∴ AD = BD = 10 cm, ∠DBA = ∠BAD= 15°,∴ ∠ADC = 30°,∴ AC = 1 2 AD = 5( cm),CD = AD2 -AC2 = 102 -52 = 5 3 (cm) . 例 5 题解图 1. 5 　 【解析】如解图,连接 CF,由题知 EF 垂直平分 BC, ∴ CF=BF,∵ 在 Rt△BEF 中,∠B= 45°,∴ BF= 2EF = 2, ∴ CF=BF= 2,∠FCB = ∠B = 45°,∴ ∠AFC = 90°,∴ AC = AF2 +CF2 = 12 +22 = 5 . 第 1 题解图 2. 2 　 【解析】 如解图, 连接 AO, BO, AB, ∵ ∠C = 45°, ∴ ∠AOB= 2∠C= 90°,∵ ☉O 的半径为 2,∴ AO = BO = 2, ∴ AB= 2 2 ,∵ 点 D,G 分别是 AC,BC 的中点,∴ DG 为 △ABC 的中位线,∴ DG= 1 2 AB= 2 . 第 2 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 95 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 3. 2　 【解析】 如解图, 连接 OP, 作 PD ⊥ x 轴于点 D, ∵ △ABP 的面积是 4,AO = BO, ∴ △OBP 的面积为 2, ∵ PA⊥PB,AO=BO=BP,∴ sin∠PAB = 1 2 ,∵ sin30° = 1 2 , ∴ ∠PAB= 30°,∴ ∠PBA = 60°,∴ △POB 为等边三角形, ∴ S△POD = 1 2 S△POB = 1,∴ k 2 = 1,∴ k = ±2,∵ 反比例函数 的图象位于第一象限,∴ k= 2. 第 3 题解图 4. 2　 【解析】如解图,延长 AD 到点 G,使得 DG = AD,连接 BG. ∵ AD 是 BC 边上的中线, ∴ DC = DB,在△ADC 和 △GDB 中, AD=DG, ∠ADC= ∠GDB, CD=DB, ì î í ïï ï ∴ △ADC≌ △GDB ( SAS), ∴ ∠CAD= ∠G, BG = AC, 又 ∵ BE = AC, ∴ BE = BG, ∴ ∠BED= ∠G, ∴ ∠BED = ∠CAD, ∵ ∠BED = ∠AEF, ∴ ∠AEF= ∠CAD,即∠AEF= ∠FAE,∴ EF=AF= 2. 第 4 题解图 5. 5　 【解析】解法一:如解图①,连接 EH 并延长交 CD 于点 M,∵ 点 H 是 AC 的中点,∴ AH=CH,∵ 四边形 ABCD 是矩 形,∴ AB∥CD,∴ ∠EAH = ∠MCH,又∵ ∠AHE = ∠CHM, ∴ △AEH≌△CMH,∴ AE=CM,EH =MH,∴ H 为 EM 的中 点,连接 FM,∵ 点 G 为 EF 的中点,∴ GH 为△EFM 的中 位线,∵ FC= 8,CM=AE= 6,∴ FM = 82 +62 = 10,∴ GH = 1 2 FM= 5. 图① 　 图② 第 5 题解图 解法二:如解图②,连接 AF,取 AF 的中点 O,连接 OH, OG,∵ H 为对角线 AC 的中点,点 G 为 EF 的中点,∴ OH, OG 分别为△AFC 和△AEF 的中位线,∴ OH = 1 2 FC = 4, OG= 1 2 AE = 3,OH∥BC,OG∥AB,又∵ BA⊥AD,∴ OG⊥ OH,∴ ∠HOG= 90°,∴ GH= 42 +32 = 5. 6. 2+2 2 　 【解析】解法一(构造中位线):∵ △ADC 是以 AC 为底的等腰三角形,∴ ∠A = ∠DCA,同理可得∠ECB = ∠CBE,∵ ∠A= ∠CBE,∴ ∠DCA = ∠EBC,∴ DC∥BE,如 解图①,作 GH∥CD,交 CE 于点 H,∴ GH∥BE,∵ G 为 DE 的中点,∴ DG=EG,∴ CH=EH,∵ AD = 2,AD =CD,∴ CD = 2,∴ GH= 1 2 CD = 1,设 CE = BE = m,∴ EH = 1 2 m,∵ EF = AD= 2,∴ FH = 1 2 m- 2,∵ GH∥BE,∴ △GHF∽ △BEF, ∴ GH BE =FH EF ,即 1 m = 1 2 m-2 2 ,解得 m = 2+2 2 或 m = 2-2 2 (舍去),∴ BE 的长为 2+2 2 . 图① 　 图② 第 6 题解图 解法二(倍长中线法):如解图②,延长 CD,BG 交于点 H, ∵ △ADC 是以 AC 为底的等腰三角形,∴ ∠A = ∠DCA, ∵ ∠A= ∠CBE, ∴ ∠DCA = ∠CBE, ∴ CH∥BE, ∴ ∠H = ∠EBG, 又 ∵ ∠HGD = ∠BGE, DG = EG, ∴ △HGD ≌ △BGE,∴ DH=BE,∴ CH = BE+2,∵ ∠H = ∠EBG,∠HFC = ∠BFE,∴ △HFC∽△BFE,∴ CH BE =CF EF ,即 BE+2 BE =BE -2 2 , 解得 BE= 2+2 2 (负值已舍去) . 专题二　 遇到角平分线,咋思考 例 1　 4　 【解析】如解图,过点 D 作 DF⊥AC 于点 F,∵ AD 是△ABC 的角平分线,DF⊥AC,DE⊥AB,∴ DF = DE = 2, ∴ S△ABC =S△ABD+S△ACD = 1 2 AB·DE+ 1 2 AC·DF = 1 2 ×6×2+ 1 2 AC×2 = 10,解得 AC= 4. 例 1 题解图 例 2　 2　 【解析】解法一:如解图①,在 AB 上截取 AE = AC, 连接 DE. ∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠BAD = ∠CAD,∵ AD = AD, ∴ △AED ≌ △ACD, ∴ DE = DC, ∠AED = ∠C, ∵ ∠C = 2∠B,∴ ∠AED = 2 ∠B, ∵ ∠AED 是 △BED 的 外 角, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 06