思维训练二 转化思想&思维训练三 数形结合思想-【一战成名新中考】2025山东中考数学·二轮复习·专项培优练

专项培优练·山东数学 思 想 方 法 思维训练二　 转化思想 (统考卷 9 题,18(2)题;统考样卷 9 题) 类型 1　 整体代入法 1. [2024 临沂临沭县一模]如果 a2 -a-2 = 0,那么代数式(a-1) 2 +(a+2)(a-2)的值为 (　 A　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知 x= 2 是方程 3x-m= x+2n 的解,则式子 m+2n+2 025 的值为　 2 029　 . 3. 已知有理数 x,y 满足方程组 3x-y= 3, 2y-x= -4,{ 则 2x+y 的值为 (　 A　 ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 4. [2024 淄博临淄区二模]若 m,n 是一元二次方程 x2 -6x-1 = 0 的两个根,则 m2n+mn2 的值是 (　 C　 ) A. -1 B. -5 C. -6 D. 6 类型 2　 消元法、换元法 5. 用代入消元法解方程组 y= 2x+1①, 5x-2y= 7②,{ 将①代入②可得 (　 A　 ) A. 5x-4x-2 = 7 B. 5x-2x-1 = 7 C. 5x-4x+1 = 7 D. 5x-4x+2 = 7 6. 用加减消元法解方程组 2x+3y= 1①, 3x-6y= 7②,{ 下列运算能消去 y 的是 (　 C　 ) A. ①×2-② B. ①×3-②×2 C. ①×2+② D. ①×3+②×2 拓展设问 消去未知数 y 后,得到的一元一次方程是 (　 C　 ) A. x= 6 B. 5x= 3 C. 7x= 9 D. 5x= 6 7. [2024 东营广饶县期末]已知(a2 +b2)(a2 +b2 -4)= 12,则 a2 +b2 = 　 6　 . 类型 3　 配方法 8. 对于任意实数 x,多项式-x2 +2x-3 的值是一个 (　 B　 ) A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 不能确定正负的数 9. 已知点 A(a,b),B(4,c)在直线 y= kx+3(k 为常数,k≠0)上,若 ab 的最大值为 9,则 c 的值 为 (　 B　 ) A. 5 2 B. 2 C. 3 2 D. 1 类型 4　 等量代换法(统考卷 9 题,18(2)题;统考样卷 9 题) 10. [2024 济南槐荫区二模]如图,正方形网格中,点 A,O,B,E 均在格点上. ☉O 过点 A,E 且与 AB 交于点 C,点 D 是☉O 上一点,则 tan∠CDE= 　 　 　 . 第 10 题图 3 专项培优练·山东数学 思 想 方 法 11. 如图,AB∥CD,E,F 分别为 AC,BD 的中点,若 AB= 6,CD= 4,则 EF 的长为　 ( 　 D　 ) A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 第 11 题图 　 　 　 第 12 题图 12. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,AC= 6,BC = 8,AD 是∠BAC 的平分线. 若 P,Q 分别是 AD 和 AC 上的动点,则 PC+PQ 的最小值是 (　 A　 ) A. 24 5 B. 4 C. 5 D. 12 5 类型 5　 等面积法 13. [2024 济宁梁山县月考]如图,在边长为 4 的等边△ABC 中,点 P 为 BC 边上任意一点, PE⊥AB 于点 E,PF⊥AC 于点 F,则 PE+PF 的长度和为　 2 3 　 . 第 13 题图 　 　 　 第 14 题图　 　 　 第 15 题图 14. [2024 济南莱芜区二模]如图,菱形 ABCD 的周长为 20,对角线 BD 长为 8,则 AD 边上的高 CF 为 (　 C　 ) A. 4 B. 5 C. 24 5 D. 48 5 15. 如图,正方形 ABCD 的边长为 2,对角线 AC,BD 相交于点 O,以点 B 为圆心,对角线 BD 的长为半径画弧,交 BC 的延长线于点 E,则图中阴影部分的面积为　 π　 . 类型 6　 割补法 16. 如图,是利用割补法求图形面积的示意图,下列公式中与之相对应的是 (　 A　 ) A. (a+b) 2 =a2 +2ab+b2 B. (a-b) 2 =a2 -2ab+b2 C. (a+b)(a-b)= a2 -b2 D. (ab) 2 =a2b2 第 16 题图 　 　 　 第 17 题图 17. 如图,在等腰三角形 ABC 中,∠B = 90°,D 为 AC 边的中点,过点 D 作 DE⊥DF,交 AB 于 点 E,交 BC 于点 F,若 S四边形BFDE = 9,则△ABC 的面积为 (　 D　 ) A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 4 专项培优练·山东数学 思 想 方 法 思维训练三　 数形结合思想 (统考卷 23 题;统考样卷 10 题,12 题,21(1)题,23(2)(3)题) 第 1 题图 1. 真实情境 [2024 资阳改编]已知小王的家和公司在一条笔直的公路 上,一天小王从家去公司,他先以某一速度步行一段时间,然后原 地休息了一会,再改骑共享单车匀速直达公司. 若小王距离家的路 程 s(单位:米)和他离开家的时间 t(单位:分)之间的函数关系如 图所示. 请结合图象写出你发现的信息. 图象中的直接信息 可推导出的信息 ①小王的家与公司的距离是　 2 000　 米; ②小王休息的地点与家的距离是　 800　 米; ③小王步行的时间是　 10　 分; ④小王从家到公司一共用了　 21　 分; ⑤表示小王骑共享单车的线段是　 BC　 ; ⑥线段 AB 表示的实际意义是　 小　 　 　 　 　 　 　 　 王在原地休息　 ⑦小 王 休 息 的 地 点 与 公 司 的 距 离 是　 1 200　 米; ⑧小王原地休息共用了　 5　 分; ⑨小王骑共享单车共用了　 6　 分; ⑩小王步行的速度是　 80　 米 / 分; 􀃊􀁉􀁓小王骑共享单车的速度是 　 200 　 米 / 分 2. 已知抛物线 y=ax2 -2ax+b(a<0)与 x 轴有两个交点,请在下面坐标系中画出该抛物线的 大致图象. 题中蕴含的信息 草图 ①二次项系数 a<0→抛物线开口向下; ②二次项系数为 a,一次项系数为-2a→抛物线的对称 轴为直线 x= 1; ③与 x 轴有两个不同的交点 第 2 题图 3. [2023 河南改编]已知点M 是矩形 ABCD 的对角线 BD 的中点,点 N 在边 AD 上,且 AN=AB. 若△DMN 是直角三角形,请结合题意画出草图. 题中蕴含的信息 草图 ①矩形 ABCD,点 M 是 BD 的中点→∠ADM< ∠ADC= 90°; ②点 N 在 AD 上,AN=AB; ③△DMN 为直角三角形→ ∠DNM = 90°或 ∠DMN= 90°→MN 是△DAB 的中位线或 MN 是 BD 的垂直平分线 5 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 ∴ EP= 3 2 ,∴ AE=AP+PE= 4+ 3 2 = 11 2 ;②如解图②,点 B′ 在过 AD 与 BC 中点 M,N 的对称轴上,∵ MN 是矩形的对 称轴,BC= 5,∴ NC= 1 2 BC= 5 2 ,根据折叠的性质得 B′C = BC = 5, ∠ECB = ∠ECB′, ∴ sin ∠CB′ N = NC B′C = 1 2 , ∴ ∠CB′N= 30°, ∴ ∠B′ CD = 30°, ∴ ∠ECB = ∠ECB′ = 30°,在Rt△ECB 中,tan∠ECB = BE BC ,即 tan30° = BE 5 ,∴ BE = 5 3 3 ,∴ AE=AB-BE= 8- 5 3 3 . 综上所述,AE 的长为 11 2 或 8- 5 3 3 . 图① 　 　 　 图② 第 7 题解图 8. B　 【解析】由已知可得,点 P 从 A 到 D 需 12 s,点 Q 从 C 到 B(或从 B 到 C)需 4 s,设 P,Q 运动时间为 t s,①当 0 ≤t≤4 时,如解图①,过点 Q 作 QH⊥AD 于点 H,过点 C 作 CG⊥AD 于点 G,易得四边形 QHGC 为矩形,AP = t cm, GH=CQ= 3t cm,∵ PD∥CQ,PQ = CD,∴ 四边形 CQPD 是 等腰梯形, ∴ ∠QPH = ∠D = ∠B = 60°,PQ = CD = AB = 6 cm,∴ PH= 1 2 PQ= 3( cm),DG = 1 2 CD = 3(cm),∵ AP+ PH+GH+DG=AD=BC = 12 cm,∴ t+3+3t+3 = 12,解得 t = 1. 5;当四边形 CQPD 是平行四边形时,如解图②,此时 PD=CQ= 3t cm,∴ t+3t= 12,解得 t= 3,∴ t 为 1. 5 或 3 时, PQ=CD;②当 4<t≤8 时,若四边形 CQPD 是平行四边形, 如解图③,此时 BQ= 3( t-4) cm,AP = t cm,∵ AD =BC,PD =CQ,∴ AP=BQ,∴ t= 3( t-4),解得 t = 6;由①知,若四边 形 CQPD 是以 CD,PQ 为腰的等腰梯形,则 t+3+(24-3t) +3 = 12,解得 t= 9,这种情况在 4<t≤8 时不存在,∴ t 为 6 时,PQ=CD;③当 8<t≤12 时,若四边形 CQPD 是平行四 边形,如解图④,此时 CQ = 3( t- 8) cm,PD = (12- t)cm, ∴ 3( t-8)= 12-t,解得 t= 9;由①知,若四边形 CQPD 是以 CD,PQ 为腰的等腰梯形,则 t+3+(3t-24) +3 = 12,解得 t = 7. 5,这种情况在 8< t≤12 时不存在,∴ t 为 9 时,PQ = CD,∴ 在此运动过程中,线段 PQ=CD 出现的次数是 4. 图① 　 　 图② 图③ 　 　 图④ 第 8 题解图 9. 6 或 4　 【解析】当腰长为 6 时,则底边长为 4,此时三边长 满足三角形三边关系;当底边长为 6 时,则另两边长为 5、 5,此时三边长满足三角形三边关系,故该等腰三角形的 底边长为 6 或 4. 10. 2 或 10 或 2 　 【解析】∵ 在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC= 3,AE=BE = BF,∴ AE = BE = BF = 1 2 AB = 1,∴ ∠BEF = ∠BFE= 45°,CF= BC-BF = 3- 1 = 2, ∴ EF= 2 BE = 2 . ①当点 E 为直角顶点时,如解图 ①, ∵ ∠BEF = 45°, ∠PEF= 90°,∴ ∠AEP = 45°,∴ △AEP 是等腰直角三角 形,∴ EP= 2 AE = 2 ,∴ PF = EP2 +EF2 = 2;②当点 F 为直角顶点时,如解图②,∵ ∠BFE = 45°,∴ ∠PFC = 45°,∴ △FPC 是等腰直角三角形,∴ PC =CF = 2,∴ 点 P 与点 D 重合,∴ FP = 2 PC = 2 2 ,∴ EP = EF2 +FP2 = 10;③当点 P 为直角顶点时,点 P 在以 EF 为直径的圆 上,易知此时点 P 与点 B 重合,如解图③,斜边 EF = 2 . 综上,当△EFP 为直角三角形时,斜边长为 2 或 10 或 2 . 图① 　 　 　 　 图② 图③ 第 10 题解图 11. 4 或 9 4 　 【解析】∵ P 是 AC 的中点,∴ AP = 1 2 AC = 3,当 △AQP∽△ABC 时, AQ AB = AP AC ,即 AQ 8 = 3 6 ,解得 AQ = 4;当 △AQP∽△ACB 时, AQ AC =AP AB ,即 AQ 6 = 3 8 ,解得 AQ = 9 4 . 故 AQ 的长为 4 或 9 4 . 12. 1 或 7　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ CD = AB = 4, BC=AD= 6,∠B = ∠BCD = ∠A = 90°,当 P 在 BC 上时, ∵ AB=DC, ∠B = ∠DCE = 90°, ∴ 当 BP = CE = 2 时, △ABP≌△DCE(SAS),∴ 2t = 2,∴ t = 1;当 P 在 CD 上 时,不存在以 A,B,P 为顶点的三角形和△DCE 全等;当 P 在 AD 上时,∵ AB = DC,∠A = ∠DCE = 90°,∴ 当 AP = EC= 2 时,△ABP≌△CDE(SAS),∴ 2t = 6×2+4-2,∴ t = 7,∴ 当 t 是 1 或 7 秒时,以 A,B,P 为顶点的三角形和 △DCE 全等. 思维训练二　 转化思想 1. A　 【解析】原式=a2 -2a+1+a2 -4 = 2a2 -2a-3 = 2(a2 -a) - 3,∵ a2 -a-2 = 0,∴ a2 -a= 2,∴ 原式= 2×2-3 = 1. 2. 2 029　 3. A　 4. C　 5. A　 6. C　 拓展设问 C 7. 6　 【解析】设 a2 +b2 = t,则 t( t-4) = 12,整理得( t-6) ( t+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 75 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 2)= 0,解得 t= 6 或 t= -2(不合题意,舍去),故 a2 +b2 = 6. 8. B 9. B　 【解析】 ∵ 点 A( a,b),B( 4,c) 在直线 y = kx+ 3 上, ∴ ak+3 = b①, 4k+3 = c②,{ 由①可得 ab = a( ak+ 3) = ka 2 + 3a = k( a+ 3 2k ) 2 - 9 4k ,∵ ab 的最大值为 9,∴ k< 0,- 9 4k = 9,解得 k = - 1 4 ,把k= - 1 4 代入②,得 4×( - 1 4 ) +3 = c,∴ c= 2. 10. 1 2 　 【解析】 根 据 圆 周 角 定 理 得 ∠CDE = ∠CAE, ∴ tan∠CDE= tan∠CAE= BE AE = 2 4 = 1 2 . 11. D 　 【解析】 如解图, 连接 DE 并延长交 AB 于 H, ∵ CD∥AB,∴ ∠C = ∠A,∵ E 是 AC 的中点,∴ CE = AE, 在 △DCE 和 △HAE 中, ∠C= ∠A, CE=AE, ∠CED= ∠AEH, { ∴ △DCE ≌ △HAE(ASA),∴ DE = HE,DC = AH,又 ∵ F 是 BD 的中 点,∴ EF 是△DHB 的中位线,∴ EF = 1 2 BH,∵ BH =AB- AH=AB-DC=6-4=2,∴ EF=1. 第 11 题解图 12. A　 【解析】如解图,过点 C 作 CM⊥AB 于点 M,交 AD 于 点 P,过点 P 作 PQ⊥AC 于点 Q,∵ AD 是∠BAC 的平分 线,∴ PQ = PM,此时 PC+PQ 有最小值,即 CM 的长, ∵ AC = 6, BC = 8, ∠ACB = 90°, ∴ AB = AC2 +BC2 = 62 +82 = 10. ∵ S△ABC = 1 2 AB·CM= 1 2 AC·BC,∴ CM = AC·BC AB = 6 ×8 10 = 24 5 ,即 PC+PQ 的最小值为 24 5 . 第 12 题解图 13. 2 3 　 【解析】如解图,连接 AP,过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,则 S△ABC = S△ABP +S△ACP,即 1 2 AB·CD = 1 2 AB·PE+ 1 2 AC·PF,∵ △ABC 为等边三角形,∴ AB = AC =BC = 4, ∴ CD=PE+PF,又∵ CD⊥AB,∴ AD = 1 2 AB = 1 2 × 4 = 2, ∴ CD= AC2 -AD2 = 42 -22 = 2 3 ,∴ PE +PF = CD = 2 3 . 第 13 题解图 　 　 　 第 14 题解图 14. C　 【解析】如解图,连接 AC 交 BD 于点 O,∵ 四边形 AB- CD 是菱形,周长为 20,BD = 8,∴ AC⊥BD,AO = 1 2 AC, BO= 1 2 BD= 4,AB=BC =CD = AD = 5,∴ AO = AB2 -BO2 = 3,∴ AC= 6,∴ S菱形ABCD = 1 2 AC·BD = AD·CF,即 1 2 ×6 ×8 = 5CF,∴ CF= 24 5 . 15. π 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ S△AOD = S△COB, ∠DBE=45°,∵ 正方形 ABCD 的边长为 2,∴ BC =CD = 2, ∴ BD= 22 +22 =2 2,∴ S阴影 =S扇形DBE = 45π·(2 2)2 360 =π. 16. A 17. D　 【解析】如解图,连接 BD. ∵ 在等腰△ABC 中,∠ABC = 90°,D 是 AC 的中点,∴ ∠ABD= ∠CBD= ∠C= 45°,BD =AD=CD,BD⊥AC,∴ ∠FDB+∠CDF = 90°,又∵ DE⊥ DF, ∴ ∠EDB + ∠FDB = 90°, ∴ ∠EDB = ∠FDC, 在 △BED 和 △CFD 中, ∠EBD= ∠C, BD=CD, ∠EDB= ∠FDC, { ∴ △BED ≌ △CFD(ASA),∴ S△BED =S△CFD,∵ S四边形BFDE = S△BED +S△BDF =S△CFD+S△BDF =S△BCD = 1 2 S△ABC = 9,∴ S△ABC = 18. 第 17 题解图 思维训练三　 数形结合思想 1. ①2 000;②800;③10;④21;⑤BC;⑥小王在原地休息; ⑦1 200;⑧5;⑨6;⑩80;􀃊􀁉􀁓200 2. 解:画图如解图. 第 2 题解图 3. 解:画图如解图. 图① 　 图② 第 3 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 85