思维训练一 分类讨论思想-【一战成名新中考】2025山东中考数学·二轮复习·专项培优练

参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 22. 解:(1)补全条形统计图如解图: 八年级(3)班 20 名学生成绩条形统计图 第 22 题解图 (2)91,92. 5; (3)我认为八年级(1)班成绩更好一些,理由:因为两个 班平均数相同,中位数和众数方面(1)班优于(3)班,方 差方面(3)班优于(1)班. 综上所述,八年级(1)班成绩 更好一些; (4)八年级(1)班三位满分同学记作 1,2,3,(3)班两位 满分同学记作 4,5, 列表如下: 1 2 3 4 5 1 — (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) — (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) — (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) — (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) — 由表格可知,共有 20 种等可能的情况,其中所抽取的 2 名学生恰好在同一个班级的情况有( 1,2),( 2,1), (1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(4,5),(5,4),共 8 种, ∴ P(所抽取的 2 名学生恰好在同一个班级)= 8 20 = 2 5 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 专项培优练 一、山东中考培优———思想方法 思维训练一　 分类讨论思想 1. C　 【解析】当 x>5x,即 x<0 时,可得 x= 2x+6,解得x= -6, 当 x<5x,即 x>0 时,可得 5x= 2x+6,解得 x = 2,综上所述, 该方程的解为 x= 2 或 x= -6. 2. D　 【解析】∵ y = x2 - 2mx+m2 + 2m+ 1 = ( x-m) 2 + 2m+ 1, ∴ 抛物线 y= x2 -2mx+m2 + 2m+ 1(m 是常数)的顶点坐标 为(m,2m+1),∵ 抛物线的顶点到 x 轴的距离为 2,∴ | 2m +1 | = 2,即 2m+ 1 = 2 或 2m+ 1 = - 2,解得 m = 1 2 或 m = - 3 2 . 3. D　 【解析】∵ 直线 y= x+a 不经过第二象限,∴ a≤0,当 a = 0 时,关于 x 的方程 ax2 +2x+1 = 0 是一元一次方程,解 为 x= - 1 2 ,当 a<0 时,关于 x 的方程 ax2 +2x+1 = 0 是一元 二次方程,∵ Δ = 22 - 4a > 0, ∴ 方程有两个不相等的实 数根. 4. 0 或 2 或-2　 【解析】∵ 函数 y=mx2 +(m+2) x+ 1 2 m+1 的 图象与 x 轴只有一个交点,∴ 当 m= 0 时,函数解析式为 y = 2x+1,其图象与 x 轴只有一个交点;当 m≠0 时,Δ = 0, 即(m+2) 2 -4m( 1 2 m+1)= 0,解得 m= ±2,∴ 当 m= 0 或 m = ±2 时,函数 y=mx2 +(m+2) x+ 1 2 m+1 的图象与 x 轴只 有一个交点. 5. A　 【解析】∵ 二次函数解析式为 y=mx2 -4m2x-3,∴ 该抛 物线的对称轴为直线 x= 2m,抛物线与 y 轴的交点坐标为 (0,-3),∵ 点 P(xp,yp)是该函数图象上一点,当 0≤xp≤ 4 时,yp≤-3,∴ ①当 m>0 时,对称轴 x= 2m>0,此时,当 x = 4 时,y≤-3,即 m·42 -4 m2 ·4-3≤-3,解得 m≥1 或 m≤0,∵ m>0,∴ m≥1;②当 m<0 时,对称轴 x = 2m<0,当 0≤x≤4 时,y 随 x 增大而减小,∴ 当 x = 0 时,y 取得最大 值-3,则当 0≤xp≤4 时,yp ≤-3 恒成立. 综上所述,m 的 取值范围是 m≥1 或 m<0. 6. 10或 26 　 【解析】当点 Q 在△ABC 内部时,如解图 ①,过点 Q 作 QG⊥AC 于点 G,则 QG= 1,根据旋转的性质 可知 CQ = CP = 2 ,在 Rt △QGC 中, CG= QC2 -QG2 = ( 2 ) 2 -12 = 1,∵ AC = BC = 4,∴ AG= AC-GC = 4- 1 = 3, 在 Rt△AQG 中,AQ = QG2 +AG2 = 12 +32 = 10 ;当点 Q 在△ABC 外部时,如解图②,过点 Q 作 QE⊥AC 于点 E, 根据旋转的性质可知 CQ = CP = 2 ,∵ QE = 1,∴ CE = 1, ∴ AE= 5,在 Rt △AQE 中,AQ = 52 +12 = 26 . 综上所 述,AQ 的长为 10或 26 . 图① 　 图② 第 6 题解图 7. 11 2 或 8- 5 3 3 　 【解析】分两种情况讨论:①如解图①,点 B′在过 AB 与 CD 中点 P,Q 的对称轴上,∵ PQ 是矩形 AB- CD 的对称轴,AB = 8,BC = 5,∴ CQ = 1 2 CD = 1 2 AB = 4 = AP,PQ=BC= 5,∠BPQ= 90°,∴ ∠EB′P+∠B′EP = 90°,根 据折叠的性质得 B′C = BC = 5,∠EB′C = 90°,∴ ∠EB′P+ ∠CB′Q= 90°,∴ ∠B′EP = ∠CB′Q,在 Rt△CQB′中,由勾 股定理得 B′Q = B′C2 -CQ2 = 52 -42 = 3,∴ PB′ = PQ- B′Q = 5 - 3 = 2, ∵ ∠EPB′ = ∠B′ QC = 90°, ∠B′ EP = ∠CB′Q,∴ △EPB′∽ △B′QC, ∴ EP B′Q = PB′ QC ,即 EP 3 = 2 4 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 65 参考答案与重难题解析·山东数学　 专 项 培 优 练 ∴ EP= 3 2 ,∴ AE=AP+PE= 4+ 3 2 = 11 2 ;②如解图②,点 B′ 在过 AD 与 BC 中点 M,N 的对称轴上,∵ MN 是矩形的对 称轴,BC= 5,∴ NC= 1 2 BC= 5 2 ,根据折叠的性质得 B′C = BC = 5, ∠ECB = ∠ECB′, ∴ sin ∠CB′ N = NC B′C = 1 2 , ∴ ∠CB′N= 30°, ∴ ∠B′ CD = 30°, ∴ ∠ECB = ∠ECB′ = 30°,在Rt△ECB 中,tan∠ECB = BE BC ,即 tan30° = BE 5 ,∴ BE = 5 3 3 ,∴ AE=AB-BE= 8- 5 3 3 . 综上所述,AE 的长为 11 2 或 8- 5 3 3 . 图① 　 　 　 图② 第 7 题解图 8. B　 【解析】由已知可得,点 P 从 A 到 D 需 12 s,点 Q 从 C 到 B(或从 B 到 C)需 4 s,设 P,Q 运动时间为 t s,①当 0 ≤t≤4 时,如解图①,过点 Q 作 QH⊥AD 于点 H,过点 C 作 CG⊥AD 于点 G,易得四边形 QHGC 为矩形,AP = t cm, GH=CQ= 3t cm,∵ PD∥CQ,PQ = CD,∴ 四边形 CQPD 是 等腰梯形, ∴ ∠QPH = ∠D = ∠B = 60°,PQ = CD = AB = 6 cm,∴ PH= 1 2 PQ= 3( cm),DG = 1 2 CD = 3(cm),∵ AP+ PH+GH+DG=AD=BC = 12 cm,∴ t+3+3t+3 = 12,解得 t = 1. 5;当四边形 CQPD 是平行四边形时,如解图②,此时 PD=CQ= 3t cm,∴ t+3t= 12,解得 t= 3,∴ t 为 1. 5 或 3 时, PQ=CD;②当 4<t≤8 时,若四边形 CQPD 是平行四边形, 如解图③,此时 BQ= 3( t-4) cm,AP = t cm,∵ AD =BC,PD =CQ,∴ AP=BQ,∴ t= 3( t-4),解得 t = 6;由①知,若四边 形 CQPD 是以 CD,PQ 为腰的等腰梯形,则 t+3+(24-3t) +3 = 12,解得 t= 9,这种情况在 4<t≤8 时不存在,∴ t 为 6 时,PQ=CD;③当 8<t≤12 时,若四边形 CQPD 是平行四 边形,如解图④,此时 CQ = 3( t- 8) cm,PD = (12- t)cm, ∴ 3( t-8)= 12-t,解得 t= 9;由①知,若四边形 CQPD 是以 CD,PQ 为腰的等腰梯形,则 t+3+(3t-24) +3 = 12,解得 t = 7. 5,这种情况在 8< t≤12 时不存在,∴ t 为 9 时,PQ = CD,∴ 在此运动过程中,线段 PQ=CD 出现的次数是 4. 图① 　 　 图② 图③ 　 　 图④ 第 8 题解图 9. 6 或 4　 【解析】当腰长为 6 时,则底边长为 4,此时三边长 满足三角形三边关系;当底边长为 6 时,则另两边长为 5、 5,此时三边长满足三角形三边关系,故该等腰三角形的 底边长为 6 或 4. 10. 2 或 10 或 2 　 【解析】∵ 在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC= 3,AE=BE = BF,∴ AE = BE = BF = 1 2 AB = 1,∴ ∠BEF = ∠BFE= 45°,CF= BC-BF = 3- 1 = 2, ∴ EF= 2 BE = 2 . ①当点 E 为直角顶点时,如解图 ①, ∵ ∠BEF = 45°, ∠PEF= 90°,∴ ∠AEP = 45°,∴ △AEP 是等腰直角三角 形,∴ EP= 2 AE = 2 ,∴ PF = EP2 +EF2 = 2;②当点 F 为直角顶点时,如解图②,∵ ∠BFE = 45°,∴ ∠PFC = 45°,∴ △FPC 是等腰直角三角形,∴ PC =CF = 2,∴ 点 P 与点 D 重合,∴ FP = 2 PC = 2 2 ,∴ EP = EF2 +FP2 = 10;③当点 P 为直角顶点时,点 P 在以 EF 为直径的圆 上,易知此时点 P 与点 B 重合,如解图③,斜边 EF = 2 . 综上,当△EFP 为直角三角形时,斜边长为 2 或 10 或 2 . 图① 　 　 　 　 图② 图③ 第 10 题解图 11. 4 或 9 4 　 【解析】∵ P 是 AC 的中点,∴ AP = 1 2 AC = 3,当 △AQP∽△ABC 时, AQ AB = AP AC ,即 AQ 8 = 3 6 ,解得 AQ = 4;当 △AQP∽△ACB 时, AQ AC =AP AB ,即 AQ 6 = 3 8 ,解得 AQ = 9 4 . 故 AQ 的长为 4 或 9 4 . 12. 1 或 7　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ CD = AB = 4, BC=AD= 6,∠B = ∠BCD = ∠A = 90°,当 P 在 BC 上时, ∵ AB=DC, ∠B = ∠DCE = 90°, ∴ 当 BP = CE = 2 时, △ABP≌△DCE(SAS),∴ 2t = 2,∴ t = 1;当 P 在 CD 上 时,不存在以 A,B,P 为顶点的三角形和△DCE 全等;当 P 在 AD 上时,∵ AB = DC,∠A = ∠DCE = 90°,∴ 当 AP = EC= 2 时,△ABP≌△CDE(SAS),∴ 2t = 6×2+4-2,∴ t = 7,∴ 当 t 是 1 或 7 秒时,以 A,B,P 为顶点的三角形和 △DCE 全等. 思维训练二　 转化思想 1. A　 【解析】原式=a2 -2a+1+a2 -4 = 2a2 -2a-3 = 2(a2 -a) - 3,∵ a2 -a-2 = 0,∴ a2 -a= 2,∴ 原式= 2×2-3 = 1. 2. 2 029　 3. A　 4. C　 5. A　 6. C　 拓展设问 C 7. 6　 【解析】设 a2 +b2 = t,则 t( t-4) = 12,整理得( t-6) ( t+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 75 专项培优练·山东数学 一、山东中考培优———思想方法　 　 思 想 方 法 思维训练一　 分类讨论思想 (统考样卷 23(2)题) 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 答题技 巧 1. 代数中遇到去绝对值符号、到数轴原点(坐标轴、直线)的距离、含参数的方程、函数自变量取值 范围不确定等情况时需要思考是否分情况讨论,再进行计算; 2. 当题目遇到动点,动线,动图时考虑分类讨论,做题时不要盲目开始解题,应按以下步骤作答: 第一步:根据题目要求进行分类讨论; 第二步:根据分类情况画出草图; 第三步:每种情况下根据所画草图将动图转化为定图,再按照常规静态几何题进行作答; 3. 几何中遇到“全等”“相似”对应关系不确定、等腰三角形中底边不确定、直角三角形中斜边不确 定、平行四边形中边和对角线不确定、圆的大小不确定、折叠位置不确定等情况时需要思考是否 分情况讨论,再进行计算. 类型 1　 代数中含参问题引起的分类讨论 1. 新定义 对于两个不相等的有理数 a,b,我们规定符号 max{a,b}表示 a,b 两数中较大的 数,例如 max{2,4} = 4,max{ -2,-4} = -2. 若按照这个规定,则方程 max{x,5x} = 2x+6 的 解为 (　 C　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x= 2 B. x= 3 或 x= -6 C. x= 2 或 x= -6 D. x= 3 2. 若抛物线 y=x2-2mx+m2+2m+1(m 是常数)的顶点到 x 轴的距离为 2,则m的值为 (　 D　 ) A. - 1 2 B. 3 2 C. - 1 2 或 3 2 D. - 3 2 或 1 2 3. 直线 y= x+a 不经过第二象限,则关于 x 的方程 ax2 +2x+1 = 0 实数解的个数是 (　 D　 ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 1 或 2 4. 若函数 y=mx2+(m+2)x+ 1 2 m+1 的图象与 x 轴只有一个交点,则m的值为　 0或 2或-2　 . 5. [2024 济南南山区模拟]已知二次函数 y=mx2 -4m2x-3(m 为常数,m≠0),点 P(xp,yp)是该 函数图象上一点,当 0≤xp≤4 时,yp≤-3,则 m 的取值范围是 (　 A　 ) A. m≥1 或 m<0 B. m≥1 C. m≤-1 或 m>0 D. m≤-1 1 专项培优练·山东数学 思 想 方 法 类型 2　 几何中位置、方向不确定引起的分类讨论 6. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,AC =BC = 4,点 P 在 BC 上,CP = 2 ,将线段 CP 绕点 C 旋转得线段 CQ,连接 AQ. 当点 Q 在直线 AC 上方,且到直线 AC 的距离为 1 时,AQ 的长 为　 10或 26 　 . 第 6 题图 　 　 　 　 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 7. [2024 泰安岱岳区二模]如图,在矩形 ABCD 中,AB = 8,BC = 5,点 E 在边 AB 上,连接 CE,将 △EBC 沿 CE 折叠, 当点 B 的对应点 B′落在矩形 ABCD 的对称轴上时, AE 的长 为　 　 　 　 　 　 . 8. [2024 自贡]如图,在▱ABCD 中,∠B = 60°,AB = 6 cm,BC = 12 cm. 点 P 从点 A 出发,以 1 cm / s 的速度沿 A→D 运动,同时点 Q 从点 C 出发,以 3 cm / s 的速度沿 C→B→C→…往 复运动,当点 P 到达端点 D 时,点 Q 随之停止运动. 在此运动过程中,线段 PQ =CD 出现 的次数是 (　 B　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 类型 3　 几何中形状、大小不确定引起的分类讨论(统考样卷 23(2)题) 9. [2024 德州齐河县模拟]等腰三角形的周长为 16,其一边长为 6,则该等腰三角形的底边长 为　 6 或 4　 . 10. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC= 3,点 E,F 分别在 AB,BC 上,AE =BE =BF,P 为矩形 边上一点,连接 PE,PF,当△EFP 为直角三角形时,斜边长为　 2 或 10或 2 　 . 第 10 题图 　 　 　 　 第 11 题图 　 　 　 　 第 12 题图 类型 4　 几何中对应关系不确定引起的分类讨论 11. [2024 菏泽东明县一模]如图,在△ABC 中,AB= 8,AC= 6,P 是 AC 的中点,过 P 点的直线交 AB 于点 Q,若以 A,P,Q 为顶点的三角形和以 A,B,C 为顶点的三角形相似,则 AQ 的长 为　 　 　 　 . 12. [2024 菏泽郓城县三模]如图,在矩形 ABCD 中,AB= 4,AD= 6. 延长 BC 到点 E,使 CE= 2,连 接 DE,动点 P 从点 B 出发,以每秒 2 个单位的速度沿 BC-CD-DA 向终点 A 运动,设点 P 的运动时间为 t 秒,当 t 为　 1 或 7　 秒时,以 A,B,P 为顶点的三角形和△DCE 全等. 2