精品解析：福建省福州市鼓楼区福州文博中学2024-2025学年上学期八年级期中考数学试卷

6学科网命组卷网 福州文博中学2024-2025学年第一学期 初二年级期中考数学科考试（题目卷） (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出四个选项中，只有一项 是符合要求的) 1.在以下文、博、中、学四个字中，是轴对称图形的是( 文 a博 。中 。学 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图 形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴， 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意： B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意： C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意： 故选C 2.下列运算错误的是（) A.a.a=a B.a8÷a2=a c（-a2）3=a5 D.(-3a)2=9a2 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方，积的乘方的运算法则分别计算，然后判断即可。 【详解】解：A.ad=a,故此选项计算正确，不符合题意； B.a÷a2=a5 故此选项计算正确，不符合题意： 第1页/共30页 6学科网命组卷网 C. （-2）=-a,故此选项计算错误，符合题意： D. (-3a)2=9a2 故此选项计算正确，不符合题意。 故选：C 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方，熟知相关运算公式和法则 是解题的关键。 3.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是( ) A.x(x+1)=x2+x Bx+y-3=x(x+y)-3 C.x2+6x+4=(x+3)}2-5 D.x2+2x+1=(x+1)2 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，据此进行判断即 可. 【详解】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意： B、不是因式分解，故本选项不符合题意； C、不是因式分解，故本选项不符合题意： D、是因式分解，故本选项符合题意： 故选：D. 4.下列各式中，能用完全平方公式计算的是() A.(a-b)(-a+b) B.(a-b)(b+a) C.(a-b)(-a-b) D.（-b-a(a-b) 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键.利用平方差公式， 及完全平方公式判断即可. 【详解1解：A.(a-b(-a+b)=-(6-(6-)=-(b-a=-b2+2ab-a,此项符合题意： 第2页/共30页 命学科网命组卷网 B.(a-b)(b+a)=a2-b ，此项不符合题意： c.(a-b(-a-b)=-(a-b(a+b)=6-a ,此项不符合题意： D.（-h-a(a-b)=-(a+ba-b)=B-d,此项不符合题意. 故选：A. BC=BD △ABC≌△ABD 5.如图， ,那么添加下列一个条件后，仍无法判定 的是() ∠ABC=∠ABD A. B∠C=∠D=900 ∠CAB=∠DAB C D.AC=AD 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解. 【详解】解：根据题意得：BC=BD,AB=BA, ∠ABC=∠ABD △ABC≌△ABD A.若添加 ，满足边角边，能判定 故该选项不符合题意： ∠C=∠D=90° △ABC≌△ABD B.若添加 满足斜边直角边对应相等，能判定 故该选项不符合题 意； ∠CAB=∠DAB △ABC≌△ABD C.若添加 ,满足边边角，不能判定 ，故该选项符合题意： AC=AD △ABC≌△ABD D.若添加 ，满足边边边，能判定 ， 故该选项不符合题意； 故选：C 第3页/共30页 命学科网命组卷网 x2 +mx+4 6.已知 是完全平方式，则”的值为() A.2 B.42 C.4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式.由题意知， x2+mx+4=(x±2)2=x2±4x+4,则mx=士4x,计 算求解即可， 【详解】解：由题意知，r+mx+4=(x±2=x2±4x+4 ∴.mx=±4x,解得m=±4， 故选：D 7.己知△ABC的三边a,b,c满足 b(a-b)+c(b-a)=0 则△ABC是( A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，解题的关键是能够对题目提供的式子进行因式 分解.先提取公因式，得到(6-ca-b)=0 进而得出b-c=0或a-b=0,即可判断△ABC的形状. 【详解】解：b(a-b)+c(b-a)=0 :b(a-b)-c(a-b)=(b-c(a-b)=0 .b-c=0或a-b=0, .b=C或a=b, ∴AABC 的形状为等腰三角形， 故选：B 第4页/共30页 命学科网命组卷网 8.某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB 的平分线的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质 和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可 【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，OP为∠AOB的平分线： OC=OD,OA=OB 第二个图，由作图可知： .AC=BD. .∠AOD=∠BOC. .△AOD≌ABOC, ∴.∠OAD=∠OBC, :AC=BD,∠BPD=∠APC, ∴.△BPD≌△APC, .AP=BP, OA=OB,OP=OP .△AOP≌△BOP .∠AOP=∠BOP, 第5页/共30页 6学科网 命组卷网 .OP为∠AOB的平分线： ∠ACP=∠AOB,OC=CP 第三个图，由作图可知 .CP∥BO.∠COP=∠CPO. ∴.∠CPO=∠BOP .∠COP=∠BOP, .OP为∠AOB的平分线： 第四个图，由作图可知：OP⊥CD,OC=OD, .OP为∠AOB的平分线： 故选D. 9.已知实数a,b满足+ab+=l,且‘=h-d-b 则t的取值范围是() A.t≥3 B.1s、 3 c-31s 3 D.-3sK 3 【答案】C 【解析】 【分析】先利用完全平方公式求出巾的取值范固，再将=h-d-分变形为2b-l即可解答. 【i详解】解：：+ab+b2-】 :(a+b)2=1+ab≥0，(a-b)}=1-3ab≥0 :-Isabs! 3， 1=ab-a2-b2=ab-(（1-ab)=2ab-1 第6页/共30页 6学科网命组卷网 1 -3≤2ab-1≤- 3,即 3s1s- 3」 故选：C. 【点睛】本题主要考查配方法的应用、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式解决问题是解题的 关键 10.如图，△ABC中，AC=DC=4,AD是∠BAC的角平分线，且AD⊥BD于D,E为AC的中点， 则图中两个阴影部分面积之差的最大值() D A.4 B.4.5 C.6 D.8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，延长BD交AC 于点H.设AD交BE于点O,根据垂直定义得到∠ADB=∠ADH=90°，求得∠ABD=∠H,得到 AB=AH 根据等医=角形的性质得到BD=DH,轮出一DH=∠刀，求符CD=CH=AC ，推出 当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为2 ×4×4=8 【详解】解：延长BD交延长线AC于点H.设AD交BE于点O, 第7页/共30页 6学科网组卷网 B .AD⊥BD, .∠ADB=∠ADH=90°， .∠ABD+∠BAD=90°，∠H+∠HAD=90°， .∠BAD=∠HAD(角平分线的定义)， .∠ABD=∠H, .AB=AH, .AD⊥BH, .BD=DH, DC=CA. .∠CDA=∠CAD. .∠CAD+∠H=90°，∠CDA+∠CDH=90°， .∠CDH=∠H, .CD=CH=AC, E为AC的中点， .AE=EC, 1 4 第8页/共30页 6学科网6组卷网 S.ORD-S,40E=S.ADB-SABE=SDM-S.CDM=S4CD AC=DC=4, 1 ×4×4=8 ∴.当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为2 ∴图中两个阴影部分面积之差的最大值为8， 故选：D, 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1.点P1,-3)关于x轴对称的点的坐标为 【答案】 (1,3) 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，掌握关于x轴对称点的坐标特点“横坐标不变，纵 坐标互为相反数”成为解题的关键. 直接利用关于x轴对称点的坐标特点解答即可. 【详解】解：点P(,-3)关于x轴对称的点的坐标为，3) 故答案为： (1,3) 12.若a=3,d-4,则d*= 【答案】12 【解析】 【分析】同底数幂的乘法的逆用。(=a口，再整体代入计算即可。 【详解】解：=3，d=4, .a+y=a'.a'=3×4=12. 故答案为：12 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法的逆用，掌握“同底数幂的乘法及其逆应用”是解本题的关键 第9页/共30页 6学科网命组卷网 20242-4048×2025+20252-1= 13.计算： 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，观察可知，所求式子的前三项刚好是一个完全平方式，据此求解 即可 【详解】解： 20242-4048×2025+20252-1 =20242-2×2024×2025+20252-1 =(2024-2025)2-1 =(-1)2-1 =1-1 =0 故答案为：0。 14等腰三角形的两边4、b满足口+h2-60-14h+58=0 则这个三角形的周长为一 【答案】17 【解析】 【分析】已知等式配方变形后，利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出等腰三角形周长. 【详解】解：a+b2-6a-146+58=0 a2-6a+9+b2-14b+49=0 (a-3)2+(b-7)2=0 .a-3=0,b-7=0, 第10页/共30页 6学科网 命组卷网 a=3,b=7, 当3是腰时，三边长为3,3,7，不符合三角形三边关系； 当3是底边时，三边长为3,7,7，符合三角形三边关系，周长为3+7+7=17. 则这个三角形的周长为17. 故答案为：17. 【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟 练掌握完全平方公式是解本题的关键. 15.如图，△ABC中，AB=AC=4,P是BC上任意一点，过P作PD⊥AC于D,PE⊥AB于E,若 S.AnC =12 ,则PE+PD= P 【答案】6 【解析】 【分折】连接AP,由Sa=8m+Sa0,代入数值，解答即可。 【详解】解：连接AP, 由图可得， SAARC SAABP +SAACP 第11页/共30页 命学科网命组卷网 :PDLAC于D,PE⊥AB于E,S,=I2 ABxPE+4CxPD-x4xPEx4xPD-2(PE+PD)-12 .2 .'PE+PD=6. 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体 现了转化思想. 16在△ABC中，∠A=45°，∠B=75°，BC=a,AC=b,点P、MN分别是边BC、AB、AC上 的动点，当△PMN周长最小时，BP的值为一（用a,b的式子表示） b 【答案】 2 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和 定理，作点B关于ABAC的对称点，E、F,连接AE,AF,EM,FN,AP,则由轴对称的性质可得 AP=AE=AF,∠EAF=90°，MN+PM+PN=MN+EM+FN ,再由 得到当M、NE、F四点共 线时， aPMN周长最小，最小值为EF的长，由勾股定理得BF=V2AE=V5AP,则当4PLBC时， △PMW ∠PAC=30° CP BP 周长最小，求出此时 ,则可求出的长，进而求出的长。 第12页/共30页 6学科网可组卷网 【详解】解；如图所示，作点B关于AB,AC的对称点，E、F,连接AE,AF,EM,FN,AP, E B 由轴对称的性质可得AE=AF=AP,EM=PM,FN=PN,∠EAB=∠PAB,∠CAF=∠CAP, :.∠EAF=∠EAB+∠PAB+∠CAF+∠CAP=2∠PAB+2∠PAC=2∠BAC=90°： ..MN+PM+PN =MN+EM+FN ∴当M、NE、F四点共线时，MN+EM+FN有最小值，则此时MN+PM+PN有最小值，即此时 △PMW EF 周长最小，最小值为的长， 在RtAEF中，由勾股定理得EF=√AE+AF2=V2AE=V2AP, 当AP最小时，△PMN周长最小， ∴当AP⊥BC时，△PMN周长最小， .∠BAC=45°，∠B=75°， .∠C=60°， .∠PAC=30° .CP-14C-1b 第13页/供30页 6学科网 组卷网 BP=BC-CP=a-1b , 1 a- b 故答案为： 2 三、解答题（本题共9小题，共86分.解答应有文字说明、证明过程或演算步骤） 17.计算： 1(2y29-(y: (2)(x+3)(0x-2)-x(x-1） 【答案】(1)7少 (2)2x-6 【解析】 【分析】(1)先计算乘方，然后合并同类项即可： (2)直接利用多项式乘多项式、单项式乘多项式的法则计算即可， 【小问1详解】 解：(2y-0) =8y5-y% =7y6 【小问2详解】 解：(x+3x-2)-x(x-) =x2+3x-2x-6-x2+x =2x-6 【点睛】本题考查了整式的乘法运算，熟记法则是解决此题的关键。 第14页/共30页 可学科网丽组卷网 18.因式分解： 1)3xy-27y (2)a+b2-9+2ab 3y(x+3)(x-3) 【答案】(1) (a+b+3)(a+b-3) (2) 【解析】 3y 【分析】(1)先提公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解： (2)先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解。 【小问1详解】 解：原式=3y(x2-9列 =3y(x+3)(x-3) 【小问2详解】 解：原式=(a+2ab+b2）-9 =(a+b)2-32 =(a+b+3)(a+b-3) 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键. 1 q=- 19.先化简，再求值：(a+3)2-(a+1)(a-1)-2(2a+4),其中“= 2」 【答案】1 【解析】 【分析】注意到 a+3) 可以利用完全平方公式进行展开，（a+D(rD 利润平方差公式可化为 第15页/供30页 学科网命组卷网 1 a=- (α2-1)，则将各项合并即可化简，最后代入2进行计算. 【详解】解：原式=4+6a+9-(a2-D-4a8 =2a+2 1 1 将a= 2代入原式=2× -2 +2=1 【点睛】考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时， 在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变 20.如图， AB=CDDE⊥AC,BF⊥A ,E,P是垂足，DE=BF.求证： AD∥CB 【答案】 ·DE⊥AC,BF⊥AC 证明： ∴.∠DEA=∠BFC=90° .在Rt△CDE和Rt△ABF中 CD=AB DE=BF ∴.△CDE≌△ABF(HL) ∴.∠DCE=∠BAF ,AB‖CD 即四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC. 第16页/共30页 6学科网 组卷网 Rt△ADE Rt△CBF 在 和 中 AD=BC DE=BF ∴.AADE≌ACBF(HL) ·.∠EAD=∠FCB .AD∥CB 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定方法.证明 △CDB≌AMBF(H)得四边形ABCD是平行四边形，进而证明△MDB≌△CBF(HL), 进而可证 AD∥CB 【详解】略 21.如图，在△ABC中，∠ACB=3∠A (1)尺规作图：在AB上求作一点P,使得∠PCA=∠PAC: (要求：保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，求证：△PBC是等腰三角形. 【答案】(1) 如图，点P即为所求 第17页/共30页 6学科网6组卷网 (2) 证明：设∠PCA=∠A=x, 则∠ACB=3∠A=3x, ∠BPC=∠A+∠PCA, .∠BPC=2x, .∠BCP=∠ACB-∠PCA=2x, ∠BPC=∠BCP, :BC=BP, ∴.△PBC是等腰三角形. 【解析】 【分析】本题考查作图一复杂作图、等腰三角形的判定、三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，灵 活运用所学知识解答问题. (I)作线段AC的垂直平分线，交AB于点P,则点P即为所求. (2)由题意得可得∠BCP=2∠A,根据三角形外角的性质可得∠BPC=∠A+∠PCA=2∠A,即 ∠BPC=∠BCP BC=BP△PBC ,则 ,可得 是等腰三角形. 【小问1详解】 解：作线段AC的垂直平分线，交AB于点P,连接CP, 第18页/共30页 6学科网6组卷网 则AP=CP, .∠PCA=∠PAC, 则点P即为所求。 【小问2详解】 略 22.已知a,b为实数. (1)若a+b=13,ab=36,求(a-b}, 1-a=2 1. ,分别求a2和a6 -+a (2)若a （3)若+ab=8,2+ab=l,分别求a,b的值. 【答案】(1)25 (2)6;t2V2 1 02术0=-2’b=、 3)a=3?b= 3 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，化简二次根式，因式分解的应用，熟知完全平方公式 及其变形是解题的关键。 （1)根据(a-b)=(a+b'-4ab进行求解即可， 1 (2)根据a --a 2国+女值进到+口++2位，经器 (3)把两个已知条件式相加得到(a+b=9,则a+h=3,再由a(a+b)=8讨论求解即可. 【小问1详解】 第19页/共30页 6学科网命组卷网 解：，a+b=13,ab=36, :.(a-b)2=(a+b)2-4ab=132-4×36=169-144=25 【小问2详解】 1 解：a -a=2 日j-2-2-4 1 +a2=6 .a2 +a=2 ..a 【小问3详解】 解：·a+ab=8P+ab=l, :a+2ab+b2=9 :(a+b)=9 .a+b=±3， :a2+ab=8 :a(a+b)=8 8 当a+h=3时，a= ,当a+6-3所，==月 1 3 第20页/共30页 6学科网6组卷网 8,b=3 1 a= 8,b= a= 1 综上所述， 3 03或0=3 3 23.如图，△ABC和△ADE是等边三角形，CE、BD交于点F,连接AF, B (1)求证：CE=BD: (2)求证：∠AFC=60°： (3)判断线段AF、BF、CF的数量关系，并说明理由. 【答案】(1) 证明：·△ABC和△ADE是等边三角形， .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°， :.∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠BAD, ÷△BMD≌aCAE(SMS) .CE BD: (2) 证明：如图所示，过点A分别作CF,DF的垂线，垂足分别为G、H,设AB,CF交于M, .∠AGC=∠AHB=90°， ·△BAD≌△CAE 第21页/供30页 6学科网命组卷网 .∠ACG=∠ABH, 又，AC=AB, :△ACG≌aABH(AAS) .AG=AH 又，AF=AF, :.RtAAFGS≌RtAFH(H) .∠AFC=∠AFD, .∠MBF=∠MCA,∠BMF=∠AMC, :.∠BFM=∠CAM=60°， ,∠AFC=∠AFD-180°-∠BFM=60 B E G (3) CF=AF+BF 理由如下： 如图所示，在CF上取一点N使得CN=BF,连接AW, 第22页/供30页 6学科网6组卷网 :△BAD≌△CAE .∠ACN=∠ABF, 又：AC=AB,BF=AN, :△ACW≌aABF(SAS) .AN =AF, 又.∠AFN=60°， :.△AWF是等边三角形， .AF=NF. .CF=CN+NF, .CF=AF+BF 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质与 判定定理是解题的关键. (I)根据等边三角形的性质得到AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°，再证明∠CAE=∠BAD, △BAD≌△CAE 进而证明 ,则可证明 CE=BD (2)过点A分别作CF,DF的垂线，垂足分别为G、H,设AB,CF交于M,由全等三角形的性质得到 第23页/共30页 6学科网命组卷网 ∠ACG=∠ABH △ACG≌△ABH AG=AH Rt△AFG≌Rt△AFH ,再证明 ,得到 ,进而证明 得 到∠AFC=∠AFD,导角证明∠BFM=∠CAM=60°，则由平角的定义可证明结论： (3)在CF上取一点N使得CN=BF,连接AN,证明△ACN≌△ABF,得到AN=AF,再证明 △ANF AF=NF 是等边三角形，得到 ,据此根据线段的和差关系可得结论， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24.数和形是数学研究客观物体的两个方面，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结 论，在解决整式运算问题时经常运用 -a b ab b2 a b 3 ab 图1 图2 【问题探究】 (a+b) 探究1：如图1所示，大正方形的边长是 ,它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形 的面积等于这四个图形的面积之和.根据等积法，我们可以得出结论：(a+b)=Q+2b+ 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探充出(a+h+的结果」 第24页/共30页 6学科网命组卷网 【形成结论】(1)探究2中(a+b+c)?= 【应用结论】(2)利用(1)的结论求解：已知a+b+c=0,a2+b2+c2=4,求ab+bc+ca的值： ab2+bc+c'a2 【拓展应用】(3)在(2)的条件下，求a+ab+b2的值. 【答案】1)。+b2+c+2ah+2c+2ac:(2b+hc+ca=-2 a2b2+b2c2+c2a2 (3)a2+ab+b2 =2 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式，采用数形结合的思 想，准确进行计算是解此题的关键。 (1)根据大正方形的面积为大正方形边长的平方，也可以表示为几个小正方形和长方形的面积之和，由 此即可得出答案： (2)结合(1)中的公式进行计算即可； (3)先求出a6+bc2+ca2=4 再结合cs-a-b ,进行计算即可得出答案。 【详解】解：(1)由图可得： 大正方形的边长为(a+h+c),枚大正方形的面积为(a+b+c, a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 大正方形的面积还可以表示为 :.(a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 故答案为：d+b2+c2+2ab+2bc+2ac (2)a+b+c=0,a2+b2+c2=4, .2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2-(a2+b2+c2）=0-4=-4 第25页/供30页 6学科网6组卷网 ..ab+bc+ca=-2 (3)(ab+bc+ca)=d'b+bc+e'd+2ab'c+2abc'+2abc :.a2b2+b2c2+c2a2 =(ab+bc+ca)-2ab2c-2abc2-2a2bc =(-2-2abc(a+b+c) =4-2abc×0 =4, ,a+b+c=0 ∴.c=-a-b .a2+b2+c2=4 a2+b2+(-a-b)=4,即2a2+2b2+2ab=4, .a2+b2+ab=2 2 25.如图，△ADB与△BCA均为等腰三角形，AD=AB=CB,且∠ABC=90°，E为DB延长线上一点 ∠DAB=2∠EAC (1)若∠EAC=20°，求∠CBE的度数： 第26页/共30页 6学科网 命组卷网 (2)求证：AE⊥EC: (3)若BE=a,AE=b,CE=C,求△ABC的面积（用含a,b,C的式子表示）， 【答案】(1)20°(2) 证明：过点A作AF⊥DE于点F,过点C作CG⊥DE于点G, B :.∠AFB=∠ABC=∠CGB=90°， 又：AD=AB=CB, ·∠BAC=乙ACB=450, ∠FAB=∠DAB=∠CAE 2 .∠FAB+∠FBA=∠FBA+∠CBG=90°」 .∠FAB=∠CBG=∠CAE, ∴在△BAF和△CBG中， ∠BAF=∠CBG ∠AFB=∠CGB AB=BC :.△BAF≌aCBG(AAS) .AF=BG.BF=CG. .∠CBG=∠CAE, 第27页/供30页 6学科网 命组卷网 设AE、BC交于点O,则∠AEF=180°-∠CBG-∠BOE ∠ACB=180°-∠CAE-∠AOC 又∠BOE=∠AOC. ∠AEF=∠ACB=45°， .AF=EF=BG,BF=CG. .BF=EG=CG. .∠CEG=∠AEF=45°， .∠AEC=90°. .AE⊥EC (3)22 【解析】 【分析】(1)先，是等腰三角形性质与三角形内角和定理求出∠D=∠DBA=70°，即可由 ∠CBE=18O°-∠DBA-∠ABC 求解： (2)过点A作MF1DE于点F,过点C作CG1DE于点G,证明△BMF≌aCBG(AAS),得出 AF=BG BF=CG ∠AEF=∠ACB=45°∠CEG=∠AEF=45° ,进而求得 ,即可得出 ∠AEC=90° 从而得出结论： (3)由(2)可知CG=BF,AF=EF,从而有CG=BF=EF-BE=AF-BE,再根据 第28页/共30页 6学科网列组卷网 又=及a+SouS,则有5m-EA+6aC-E.CG 2 (AF-CG)+EC--E+AE-EC ,即可求解， 【小问1详解】 解：：∠EAC=20°，∠DAB=2∠EAC, .∠BAD=40°， AD=AB, D=∠DBA=)180-∠BAD)=80°-40）=70 又.∠ABC=90°. .∠CBE=180°-70°-90°=20° 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由(2)可知CG=BF,AF=EF, .CG=BF=EF-BE=AF-BE SAANC=SAEC 片SmE4+4B-BC-EG -BE(AF-CG)+AE.EC-BE.BE+AE.EC-d+be 2 2 2 2 【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质， 第29页/共30页 6学科网6组卷网 全等三角形的判定与性质，三角形面积，属三角形综合题目，难度适中， 第30页/共30页 福州文博中学2024-2025学年第一学期 初二年级期中考数学科考试（题目卷） （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 在以下文、博、中、学四个字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　 　） A. B. C. D. 4. 下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A. B. C. D. 5. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是完全平方式，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 已知的三边a，b，c满足，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 已知实数a，b满足，且，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，是的角平分线，且于D，E为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（ ） A. 4 B. 4.5 C. 6 D. 8 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 点关于x轴对称的点的坐标为______． 12. 若ax=3，ay=4，则ax+y=________． 13. 计算：______． 14. 等腰三角形的两边满足，则这个三角形的周长为______． 15. 如图，中，，P是上任意一点，过P作于D，于E，若，则_________ 16. 在中，，，，，点P、M、N分别是边、、上的动点，当周长最小时，的值为______（用a，b的式子表示） 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应有文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 因式分解： （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，，，E，F是垂足，．求证： ． 21. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上求作一点P，使得； （要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：是等腰三角形． 22. 已知a，b为实数． （1）若，，求； （2）若，分别求和的值； （3）若，，分别求a，b的值． 23. 如图，和是等边三角形，、交于点F，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）判断线段、、的数量关系，并说明理由． 24. 数和形是数学研究客观物体的两个方面，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：． 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． 【形成结论】（1）探究2中_________； 【应用结论】（2）利用（1）的结论求解：已知，，求的值； 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，求的值． 25. 如图，与均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，． （1）若，求的度数； （2）求证：； （3）若，，，求的面积（用含，，的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $