精品解析：江西省新余市第五中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024－2025学年上学期新余五中初三年级期中考试 数学试卷 考试范围：第21章－第23章 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，逐个进行判断即可．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：根据题意可得： 是中心对称图形的是“”， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是掌握中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．熟练掌握一元二次方程的定义判断是解题的关键． 【详解】解：A、缺少条件，故本选项不符合题意； B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，则平移后的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象向左平移加，向上平移加，可得答案． 【详解】解：将抛物线y=-x2向左平移3个单位，再向上平移5个单位，平移后抛物线的解析式是y=-（x+3）2+5， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移的规律是左加右减，上加下减． 4. 已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．逐一排除． 【详解】解：A、由二次函数的图象可知，由直线可知，矛盾，故A可排除； B、由二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，由直线应经过二、三、四象限可知，，矛盾，故B可排除； C、由二次函数的图象可知，由直线可知，矛盾，故C可排除； D、由二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，由直线应经过一、三、四象限可知，，一致，故D符合题意． 故选：D． 5. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，且设平均每月的增长率为，进而列式即可作答． 【详解】解：由题意，一月份工业产值达50亿元，平均每月的增长率为，则二月份工业产值为亿元，三月份工业产值为亿元， ∵一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元， ∴， 故选：D 6. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（－2，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－2，x2＝6；③12a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－2≤x＜2；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为(6， 0)，则可对②进行判断；由对称轴方程得到b =－2a，然后根据x =－1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，顶点在x轴上方， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴△= b2－4ac>0， 即4ac<b2， ∴①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为(－2，0)， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=2，x2=6， ∴②正确； ∵， ∴b=－4a， ∵x=－2时，y=0， ∴4a－2b+c=0， ∴4a+8a+c=0， 即12a+c=0， ∴③错误； 当－2<x<6时，y>0， ∴④错误； 当x<0时，y随x的增大而增大， ∴⑤正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a >0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时( 即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0，c)；抛物线与x轴交点个数由△决定：△= b2－4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△= b2－4ac=0时，拋物线与x轴有1个交点；△=b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知点与点关于原点对称，则__ ． 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质即可得出答案． 【详解】解：点与点关于原点对称， ． 故答案为：3 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键． 8. 已知是方程的一个根，则实数的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将，代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 9. 设、是方程的两个根，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，由此代值计算即可；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：1. 10. 如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则_______度． 【答案】22 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：把绕点逆时针旋转，得到， ，，， ， ， ∴， 故答案为：22． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，解题的关键是掌握旋转的性质得到相等的线段与旋转角． 11. 如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2,4），B（1,1），则不等式ax2＞bx+c的解集是_________. 【答案】x＜-2或x＞1 【解析】 【分析】根据图形抛物线与直线的两个交点情况可知，不等式的解集为抛物线的图象在直线图象的上方对应的自变量的取值范围． 【详解】如图所示： ∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为， ∴二次函数图象在一次函数图象上方时，即不等式的解集为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式组．解答此题时，利用了图象上的点的坐标特征来解不等式． 12. 抛物线与x轴的负半轴交于点，与轴交于点，连接，点D，E分别是直线与拋物线上的点，若点围成的四边形是平行四边形，则点的坐标为_____________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合题，主要考查了特殊点的坐标的确定，平行四边形的性质，解本题的关键是数形结合和分类讨论．根据二次函数与x轴的负半轴交于点，与轴交于点.先求出，的坐标，再根据平行四边形的性质和平移分情况求出点E的坐标. 【详解】解：当时，解得， ∴抛物线与x轴的负半轴交于点， 当时，， ∴抛物线与轴交于点， 由题意知当为平行四边形的边时，，且， ∴线段可由线段平移得到. ∵点在直线上， ①当点的对应点为时，如图，需先将向左平移2个单位长度， 此时点的对应点的横坐标为，将代入， 得， ∴.； ②当点的对应点为时，同理，先将向右平移1个单位长度，可得点的对应点的横坐标为1， 将代入得， ∴； ③当为平行四边形的对角线时，可知的中点坐标为， ∵在直线上， ∴根据对称性可知的横坐标为，将代入 得， ∴ 综上所述，点的坐标为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，公式法，以及直接开方法． （1）利用直接开方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， 解得：； 【小问2详解】 解： ， ， ， 解得：． 14. 抛物线经过点． （1）求的值； （2）写出该抛物线顶点坐标，对称轴． 【答案】（1） （2）顶点坐标为，对称轴为直线 【解析】 【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，直接把（1，-1）代入可求出a=-1； （2）根据顶点式可直接写出顶点坐标与对称轴． 【小问1详解】 解：把（1，-1）代入得=-1， 解得； 【小问2详解】 ∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握顶点式是解题的关键． 15. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△的三个顶点，，均在格点上． （1）画出△关于轴对称的△，并写出点的坐标； （2）画出△绕原点顺时针旋转后的△，并写出点的坐标． 【答案】 （1）作图如图所示， 点的坐标是； （2）作图如图所示， 点的坐标是． 【解析】 【分析】（1）先作出点A、B关于y轴对称的点，然后依次连接即可，最后根据图像得出点的坐标； （2）根据旋转的性质可直接作图，然后由图像得出点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的旋转与对称，熟练掌握图形的旋转与对称是解题的关键． 16. 如图，D为等边内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点G，与交于点F．求证：． 【答案】 证明：∵线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判定与性质，根据旋转的性质可得，，结合已知条件可得，进而证明≌，即可证明． 【详解】略 17. 如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为，求道路的宽度． 【答案】道路的宽为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．耕地的面积矩形耕地的面积三条道路的面积道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽，可根据此关系列出方程求出的值，然后将不合题意的舍去即可． 【详解】解：设道路宽为， 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 经检验，是原方程的解，但，不符合题意，舍去； 答：道路的宽为． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围． （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程；有两个实数根，则，列出关于k的不等式求解即可； （2）先由根与系数的关系得到，，再根据得到． 【小问1详解】 解：． ∵原一元二次方程有两个实数根， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴． ∴． 解得，． 又∵， ∴． 19. 如图，P是等边内的一点，且，，，若将绕点A逆时针旋转后，得到， （1）求点P与之间的距离； （2）求的度数. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，旋转角，所以为等边三角形，即可求得答案； （2）由为等边三角形，得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出，可求的度数． 【小问1详解】 解：∵将绕点A逆时针旋转后，得到， ∴， ∴，，， ∵， ∴． ∴为等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴为直角三角形，， ∵为等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理逆定理，注意：旋转前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变． 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x的图象与二次函数y=-x2+bx（b为常数）的图象相交于O，A两点，点A坐标为（3，m）． （1）求m的值以及二次函数的表达式； （2）若点P为抛物线的顶点，连结OP，AP，求△POA的面积． 【答案】（1）m的值为3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x； （2）△POA的面积为3． 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标为（3，m）代入y=x可求出m的值，然后再把A点坐标代入二次函数表达式即可解答； （2）过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，然后把△OPD的面积与△APD的面积相加即可． 【小问1详解】 解：把点A坐标为（3，m）代入一次函数y=x中可得： m=3， ∴A（3，3）， 把点A坐标为（3，3）代入二次函数y=-x2+bx中可得： 3=-9+3b， 解得：b=4， ∴y=-x2+4x， 答：m的值为3，二次函数的表达式为：y=-x2+4x； 【小问2详解】 解：过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交OA于点D，过点A作AE⊥PC，垂足为E， ∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4， ∴顶点P（2，4）， 把x=2代入y=x中得： y=2， ∴D（2，2）， ∴PD=4-2=2， ∵△POA的面积=△OPD的面积+△APD的面积， ∴△POA的面积=PD•OC+PD•AE =PD（OC+AE） =×2×3 =3， 答：△POA的面积为3． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，正比例函数的图象，把△POA的面积分成△OPD的面积与△APD的面积之和是解题的关键． 五、（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 杭州亚运会期间，某商店销售一批亚运会吉祥物挂件，每个进价13元，规定销售单价不低于20元．试销售期间发现，当销售单价定为20元时，每月可售出200个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，现商店决定提价销售． （1）涨价多少时，利润为1620元； （2）将亚运会吉祥物挂件销售单价定为多少元时，商店每天销售亚运会吉祥物挂件获得的利润y最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）涨价11元或2元时，利润为1620元 （2）售单价定为元时，商店每天销售亚运会吉祥物挂件获得的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用． （1）设上涨x元，则每个纪念品利润为元，销售量为个，根据“总利润每个纪念品利润销售量”列出关于x的方程，解之可得； （2）依据（1）中的相等关系列出函数解析式，配方成顶点式，再依据二次函数的性质求解可得． 【小问1详解】 解：设上涨x元，则每个纪念品利润为元，销售量为个， 由题意得：， 整理得：，即， 解得：， 答：涨价11元或2元时，利润为1620元； 【小问2详解】 解：由（1）知当上涨x元，则每个纪念品利润为元，销售量为个， 则，即， ， 当时，y有最大值，最大值为， 售单价定为元时，商店每天销售亚运会吉祥物挂件获得的利润最大，最大利润是元． 22. 如图1，将一把含角的三角尺放在边长为2的正方形上，并使它的直角顶点始终与点重合，其一条直角边与的延长线交于点，另一条直角边与交于点． （1）在三角尺绕着点A旋转的过程中． ①请判断与的数量关系，并加以证明． ②四边形AECF的面积是否为定值？如果是，求出这个值；如果不是，试说明理由． （2）如图2，将这把三角尺角的顶点始终与点重合，角的一边与交于点，另一边与交于点．在旋转的过程中，求点到线段的距离． 【答案】（1） ①；理由如下： ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②四边形的面积的值始终保持不变，值为4；理由如下： ∵正方形的边长为2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 即四边形的面积的值始终保持不变，值为4； （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识： （1）①由四边形为正方形可以得到，又，而由此可以推出，，进一步得到，由证明，即可得出结论；②由，得出，那么它们都加上四边形的面积，即可四边形的面积=正方形的面积，从而求出其面积； （2）延长至G，使，连接，作于M，由证明，得出，，证出，由证明，得出全等三角形对应边上的高相等即可． 【小问1详解】 解：①略 ②略 【小问2详解】 解：延长至G，使，连接，作于M，如图2所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即点A到线段的距离为2． 六、（本大题12分） 23. 如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作 轴于点F，交直线 于点E，连接 、 ，能否使 与 的面积之比为 ？若能，请求出点D的坐标和 的面积；若不能，请说明理由． （3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得 为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1） （2）D的坐标为，的面积为 （3），，， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，求出D点横坐标为2，再根据三角形面积公式作答即可； （3）先确定抛物线的对称轴，如图，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论，从而可得到满足条件的M点坐标． 【小问1详解】 将，代入， 得：， 解得， 则抛物线解析式为； 【小问2详解】 能． 当=时， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 所以直线的解析式为. ∵为公共边，， ∴D点横坐标为2， ∴， ∴D的坐标为，的面积=； 【小问3详解】 抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵，， ∴， ， ， 当时，为直角三角形，， 即， 解得， 此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 即， 解得， 此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 即， 解得，， 此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为，，，． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理，以及二次函数与几何综合，学会运用分类讨论的数学思想解决问题是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年上学期新余五中初三年级期中考试 数学试卷 考试范围：第21章－第23章 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，则平移后的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（－2，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－2，x2＝6；③12a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－2≤x＜2；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知点与点关于原点对称，则__ ． 8. 已知是方程的一个根，则实数的值是_________． 9. 设、是方程的两个根，则_________． 10. 如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则_______度． 11. 如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2,4），B（1,1），则不等式ax2＞bx+c的解集是_________. 12. 抛物线与x轴的负半轴交于点，与轴交于点，连接，点D，E分别是直线与拋物线上的点，若点围成的四边形是平行四边形，则点的坐标为_____________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 14. 抛物线经过点． （1）求的值； （2）写出该抛物线顶点坐标，对称轴． 15. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△的三个顶点，，均在格点上． （1）画出△关于轴对称的△，并写出点的坐标； （2）画出△绕原点顺时针旋转后的△，并写出点的坐标． 16. 如图，D为等边内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点G，与交于点F．求证：． 17. 如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为，求道路的宽度． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围． （2）若，求的值． 19. 如图，P是等边内的一点，且，，，若将绕点A逆时针旋转后，得到， （1）求点P与之间的距离； （2）求的度数. 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x的图象与二次函数y=-x2+bx（b为常数）的图象相交于O，A两点，点A坐标为（3，m）． （1）求m的值以及二次函数的表达式； （2）若点P为抛物线的顶点，连结OP，AP，求△POA的面积． 五、（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 杭州亚运会期间，某商店销售一批亚运会吉祥物挂件，每个进价13元，规定销售单价不低于20元．试销售期间发现，当销售单价定为20元时，每月可售出200个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，现商店决定提价销售． （1）涨价多少时，利润为1620元； （2）将亚运会吉祥物挂件销售单价定为多少元时，商店每天销售亚运会吉祥物挂件获得的利润y最大？最大利润是多少元？ 22. 如图1，将一把含角的三角尺放在边长为2的正方形上，并使它的直角顶点始终与点重合，其一条直角边与的延长线交于点，另一条直角边与交于点． （1）在三角尺绕着点A旋转的过程中． ①请判断与的数量关系，并加以证明． ②四边形AECF的面积是否为定值？如果是，求出这个值；如果不是，试说明理由． （2）如图2，将这把三角尺角的顶点始终与点重合，角的一边与交于点，另一边与交于点．在旋转的过程中，求点到线段的距离． 六、（本大题12分） 23. 如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作 轴于点F，交直线 于点E，连接 、 ，能否使 与 的面积之比为 ？若能，请求出点D的坐标和 的面积；若不能，请说明理由． （3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得 为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $