精品解析：2025届上海市奉贤区高考二模数学试卷

2025年上海市奉贤区二模数学试卷 一、填空题（本题共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分．） 1. 等差数列首项为1，公差是3，则第5项等于_____________． 2. 已知为虚数单位，复数满足，则=______________． 3. 假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是、、，则该部件的总体良品率是______________． 4. 在的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答） 5. 直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是______________． 6. 已知是斜率为的直线的倾斜角，计算______________． 7. 已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的_______________条件． 8. 抛物线的准线与圆相切，将圆绕直径所在直线旋转一周形成一个几何体，则该几何体的表面积为______________． 9. 通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数______________．（精确到）线性相关系数公式 10. 盒子中有大小与质地均相同的个红球和个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球个（大小与质地均相同），再从中随机取1个球，计算此次取到白球的概率是______________． 11. 中企联合大厦是奉贤区的第一高楼，是奉贤美奉贤强的一个缩影．某数学建模兴趣小组的同学们去实地进行测量，经过多次的测量，最终在平行于地面的同一水平面上选取三个点：点、点、点作为测量基点．设大厦的最高点为，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，又测得米，，（见图）．现作出以下几个假设： ①直线垂直于平面； ②平面到地面的距离等于测角仪高度，在计算过程中测角仪高度忽略不计； ③其它次要因素等忽略不计．根据以上信息估算奉贤第一高楼的高度约______________米．（结果保留整数） 12. 内一点（见图1），式子可以写成，这个式子中、、的系数均为，以三个系数作为边长可构造一个等边三角形，因此我们尝试把绕点顺时针旋转，得到（见图2），所以等于，显然，当、、、四点共线时（见图3），最小． 试用类似的方法解决下面这道题目： 已知是平面内的任意一个向量，向量、满足，且，，则的最小值为______________． 二、选择题（本题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 13. 下列有关排列组合数的计算公式，错误的是（ ） A. （，是正整数，且） B. （，是正整数，且） C. （，是正整数，且） D. （，是正整数，且） 14. 如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（ ） A. B. 、、三点共线 C. 与是异面直线 D. 15. 函数导函数为，若存在实数，使得成立，则称函数具有性质，下列函数具有性质的函数是（ ） A B. C. D. 16. 若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病 的关系，测得数据如表所示： 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 283 患慢性气管炎者 总计 134 339 （1）估算样本中吸烟者中患慢性支气管炎的百分比； （2）有多少把握认为患慢性支气管炎与吸烟有关？ 附：，其中，，，． 18. 函数，其中． （1）若函数是偶函数，当时，求的值； （2）求函数值域并证明对任意的正实数和实数，不等式恒成立． 19. 将一块边长为的正方形铁片制作一个正四棱锥的容器罩．同学们设计了甲、乙、丙三个不同的方案，各自裁下阴影部分，用余下的制作成正四棱锥容器罩，形如最右边的图．甲和丙是去制作有盖的容器罩，乙是去制作无盖的容器罩．假设加工过程中铁片损失忽略不计．设甲、乙、丙中白色的四个等腰三角形的底边分别是、、． （1）请你选择其中的某一个方案，而且只需选一个方案（选择超过一个方案的，按第一个方案处理）．你选择的方案是______，求解以下个问题： ①求出所选方案相对应棱锥的侧面积、、； ②求出所选方案相对应棱锥的体积、、的最大值． （2）假设三个方案中相应的体积最大值分别记作、、，请直接写出三者的大小关系．（不写判断理由与过程） 20. 如图1，曲线是与组合． （1）过点，求的渐近线方程； （2），设，，曲线上找一个点，使得达到最小； （3）若，如图2，存在过点的两条直线，与曲线的交点分别是点、点、点、点，点在第二象限，点在第一象限．是否存在非零实数使得成立，请说明理由． 21. 函数，其中，定义域是一切实数． （1）计算的值并指出其几何意义； （2）当时，方程只有一个解，求实数的取值范围； （3）设，，，，，．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海市奉贤区二模数学试卷 一、填空题（本题共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分．） 1. 等差数列首项为1，公差是3，则第5项等于_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】设首项为1，公差是3的等差数列为， 则， 故. 故答案为： 2. 已知为虚数单位，复数满足，则=______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相等复数，结合模长公式，可得答案. 【详解】设，由， 则，即，所以. 故答案为：. 3. 假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是、、，则该部件的总体良品率是______________． 【答案】 【解析】 【分析】由全概率公式即可求解. 【详解】由题意可知该部件的总体良品率是： ， 故答案为： 4. 在的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理求其通项，即可计算其常数项. 【详解】通项为， 故当时，常数项为. 故答案为： 5. 直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】直线和直线互相平行， 故点与点之间距离的最小值即两条直线间的距离， 且两条直线间的距离：. 故答案为： 6. 已知是斜率为的直线的倾斜角，计算______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数值求出角进而得出正弦值即可. 【详解】因为是斜率为的直线的倾斜角，所以， 所以， 所以． 故答案为：. 7. 已知，“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”_______________条件． 【答案】充要 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差、等比数列的定义，结合正余弦定理及充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】在中，由、、成等差数列，得，而，则， 由、、成等比数列，得，由正弦定理得， 由余弦定理得，即，解得，因此是正三角形； 若是正三角形，则，， 因此、、成等差数列且、、成等比数列， 所以“、、成等差数列且、、成等比数列”是“是正三角形”的充要条件. 故答案为：充要. 8. 抛物线的准线与圆相切，将圆绕直径所在直线旋转一周形成一个几何体，则该几何体的表面积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的性质求准线，利用相切求半径，即可用球的表面积求解. 【详解】因为抛物线方程为，可知准线方程为， 又由圆与准线相切，可知：， 将圆绕直径旋转一周所成的球的表面积为：， 故答案为： 9. 通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数______________．（精确到）线性相关系数公式 【答案】 【解析】 【分析】利用相关系数公式计算即可. 【详解】由题意可得， ， 所以 ， , 所以. 故答案为：. 10. 盒子中有大小与质地均相同的个红球和个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球个（大小与质地均相同），再从中随机取1个球，计算此次取到白球的概率是______________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，根据古典概型求得概率，结合全概率公式，可得答案. 【详解】由题意可设{第一次取得红球}，{第一次取得白球}， {第二次取得红球}，{第二次取得白球}， 易知，，，， 所以. 故答案为：. 11. 中企联合大厦是奉贤区的第一高楼，是奉贤美奉贤强的一个缩影．某数学建模兴趣小组的同学们去实地进行测量，经过多次的测量，最终在平行于地面的同一水平面上选取三个点：点、点、点作为测量基点．设大厦的最高点为，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，又测得米，，（见图）．现作出以下几个假设： ①直线垂直于平面； ②平面到地面的距离等于测角仪高度，在计算过程中测角仪高度忽略不计； ③其它次要因素等忽略不计．根据以上信息估算奉贤第一高楼的高度约______________米．（结果保留整数） 【答案】 【解析】 【分析】在以及中，根据三角形正弦定理用高度表示，，在中，由余弦定理列出等式，解出即可. 【详解】设高度为，在中，根据正弦定理有：，即， 在中，根据正弦定理有：，即， 由余弦定理可知： ， 解得：. 故答案为： 12. 内一点（见图1），式子可以写成，这个式子中、、的系数均为，以三个系数作为边长可构造一个等边三角形，因此我们尝试把绕点顺时针旋转，得到（见图2），所以等于，显然，当、、、四点共线时（见图3），最小． 试用类似的方法解决下面这道题目： 已知是平面内的任意一个向量，向量、满足，且，，则的最小值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设、、，不妨设，，，可得，将绕点逆时针旋转得到，可得出，即可得解. 【详解】在如下图所示的平面直角坐标系中，设、、， 不妨设，，， 由题意可得， 将绕点逆时针旋转得到，则，， 其中点， 故 ， 当且仅当点与点重合时，此时，点也与点重合，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 二、选择题（本题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 13. 下列有关排列组合数的计算公式，错误的是（ ） A. （，是正整数，且） B. （，是正整数，且） C. （，是正整数，且） D. （，是正整数，且） 【答案】A 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BCD：根据排列数、组合数公式运算求解即可. 【详解】对于选项A：例如，则， 即，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为 ， 所以，故D正确； 故选：A. 14. 如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（ ） A B. 、、三点共线 C. 与是异面直线 D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为基底结合图形，利用空间向量线性运算推理作答. 【详解】在平行六面体中，令，，， 则，， ， ，因为不共线所以与不平行，故A错误. ， ，即有，，有公共点， 所以、、三点共线，B选项正确. 因为点在直线上，点也在直线上所以与是相交直线， 故C选项错误. 因为，所以，故D选项错误. 故选：B 15. 函数的导函数为，若存在实数，使得成立，则称函数具有性质，下列函数具有性质的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的导函数，然后逐个选项验证是否成立即可得出结果.根据指数的运算法则计算可判断选项A；根据二倍角正弦公式和三角函数的有界性可判断选项B；解出方程的根可判断选项C；根据题意令，整理得 ，分正负分析，并结合放缩法可知此方程无解，从而否定D. 【详解】对于选项A：因为函数的导函数为，所以，故选项A错误； 对于选项B：因为函数的导函数为， 所以， 而， 所以，，故选项B错误； 对于选项C：因为函数的导函数为， 所以. 令，解得：，， 即存在实数，使得成立， 所以函数具有性质，故选项C正确； 对于选项D：因为函数的导函数为， 所以. 令，显然，化简得：. 下面证明方程（*）无解. 当时，，方程（*）无解 当时，，而： 令，， 则，所以单调递减. 又因为，所以，即，所以. 综上，方程(*)无解. 所以不存在实数，使得成立，故选项D错误. 故选：C. 16. 若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期的定义以及三角函数诱导公式，由正整数以及因数，可得答案. 【详解】由题意可得 ， 则，，，， 或，，，， 解得，，，，① 或，，，，② ①由为正整数，且的因数为， 则的取值可能有， 此时的可能取值有， 由，则为的倍数，故的可能取值有. ②由为正整数，且的因数为， 则奇数的取值只可能有， 此时的可能取值有，由，则奇数，所以此时无取值. 故选：B. 三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病 的关系，测得数据如表所示： 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 283 患慢性气管炎者 总计 134 339 （1）估算样本中吸烟者中患慢性支气管炎的百分比； （2）有多少把握认为患慢性支气管炎与吸烟有关？ 附：，其中，，，． 【答案】（1）20.98% （2）有把握 【解析】 【分析】（1）计算可得吸烟者为，吸烟者中患有慢性支气管炎的人数为， （2）利用表格中的数据计算的观测值，再与临界值比对得解. 【小问1详解】 因为，解得，，解得， 所以吸咽者为，吸烟者中患有慢性支气管炎的人数为， 所以， 所以，估算样本中吸烟者约有20.98%患有慢性支气管炎. 【小问2详解】 零假设：假设患慢性支气管炎与吸烟无关， 计算， ， ，从而不成立， 所以我们有把握认为患慢性支气管炎与吸烟有关. 18. 函数，其中． （1）若函数是偶函数，当时，求的值； （2）求函数的值域并证明对任意的正实数和实数，不等式恒成立． 【答案】（1） （2）值域为，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由偶函数定义可求得，进而利用指数函数的单调性可求得； （2）由题意可得，由基本不等式可得，可证结论. 【小问1详解】 由已知，函数的定义域为 函数是偶函数，对任意的，都有， ， ， ，，， 是上的严格增函数，， ，； 【小问2详解】 又是上的严格增函数，， ，当且仅当时等号成立，的最小值为2， ，对任意的正实数和实数，恒成立. 19. 将一块边长为的正方形铁片制作一个正四棱锥的容器罩．同学们设计了甲、乙、丙三个不同的方案，各自裁下阴影部分，用余下的制作成正四棱锥容器罩，形如最右边的图．甲和丙是去制作有盖的容器罩，乙是去制作无盖的容器罩．假设加工过程中铁片损失忽略不计．设甲、乙、丙中白色的四个等腰三角形的底边分别是、、． （1）请你选择其中的某一个方案，而且只需选一个方案（选择超过一个方案的，按第一个方案处理）．你选择的方案是______，求解以下个问题： ①求出所选方案相对应的棱锥的侧面积、、； ②求出所选方案相对应棱锥的体积、、的最大值． （2）假设三个方案中相应的体积最大值分别记作、、，请直接写出三者的大小关系．（不写判断理由与过程） 【答案】（1）选项见解析，①答案见解析；②答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据所选方案，确定正四棱锥的底面边长和斜高，可得出正四棱锥的侧面积的表达式； ②根据所选方案，确定正四棱锥的底面面积和高，可得出正四棱锥体积的表达式，然后结合导数求其最大值； （2）根据（1）中的结果可得出结论. 【小问1详解】 选择甲方案：①； ②该正四棱锥的高， ， 设， 则， 当时，；当时，. ∴函数在区间上严格增，在区间上严格减， ∴当时，. 选择乙方案：①； ②该正四棱锥的高， ， 设， 则， 当时，；当时，. ∴函数在区间上严格增，在区间上严格减 ∴当时，. 选择丙方案：①， ②该正四棱锥的高， ， 令，则， 当时，；当时，. 所以函数在区间上严格增，在区间上严格减， 所以当时，. 【小问2详解】 甲乙丙中总面积一样，由于乙的方案是不需要盖，所以相应的侧面积多了， 因此凭直觉猜想乙的体积最大，可以猜想：. 20. 如图1，曲线是与组合的． （1）过点，求的渐近线方程； （2），设，，曲线上找一个点，使得达到最小； （3）若，如图2，存在过点的两条直线，与曲线的交点分别是点、点、点、点，点在第二象限，点在第一象限．是否存在非零实数使得成立，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）答案见解析，理由见解析 【解析】 【分析】（1）将点代入即可求出，再计算渐近线即可； （2）分和两种情况，设点坐标，利用消元法将问题转化为求一元二次函数在区间上的最小值问题； （3）设直线和直线方程，联立方程组求四个点的坐标，再化简即可. 【小问1详解】 将点代入，得，得， 所以，渐近线方程：. 【小问2详解】 因，则，， ①当时，取到最小值时，点一定在上， 设点，则， 则， 当时，则或时，取最小值，此时或， 当时，当时，取最小值，此时； ②当时，取到最小值时，点一定在上， 设点，则， 则 ， 因，则， 故当时， 取最小值，此时. 综上可知，曲线上存在点，使得达到最小. 【小问3详解】 设，， 设 由，得，则 ， 由 ，得，则 ， 由，得，则 ， 由，得，则 ， 则 ， 同理可得，， 若存在非零实数使得成立，则，即， 即，则或， 若，则或，此时直线或的方程为，不符合题意， 故当且、均不为零时，存在非零实数使得成立 21. 函数，其中，定义域是一切实数． （1）计算的值并指出其几何意义； （2）当时，方程只有一个解，求实数的取值范围； （3）设，，，，，．求证：． 【答案】（1），几何意义是函数在点处切线的斜率是； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据极限的计算方法求值，并理解导数的几何意义； （2）分离参数得，设，利用利用导数分析函数的单调性，求其值域即可； （3）结合（2）中的结论，先得到，进一步类推，即可证明结论. 【小问1详解】 因为， 所以 ， 几何意义是函数在点处切线的斜率是. 【小问2详解】 变形得到， 令，， 又，所以函数在内恒小于零， 所以函数在单调递减 ，又， 所以值域为，所以的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知函数在单调递减，且存在唯一的零点使得，即， ， 根据函数单调性知， 即，依次类推，得到， 同理， 即， ， 因为，所以， ，所以得到 ， ， ， ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$