信息必刷卷04（河北专用）（新中考题型）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（河北专用） 考情速递 中考·新动向：25年中考试题结构进行了调整，选择题变为12题，填空题4个，解答题增加变成8个。 中考·新考法：25年河北省中考试卷将继续延续试题的创新性，通过融入古典文化、跨学科、融合时事、时政等方面进一步增加试题的情境背景，为了即满足毕业考试的基本要求又升学试卷的区分度，将增加试题的文字量，将难点前置，往年中档题目的最后一问的难度将增加，而基础题和中档题的难度和数量保持不变。代数、几何压轴题前边问题的保持低起点增加考生得房率。 命题·大预测：解答题按着各部分分值比例，应该是代数部分4题，为避免考查方向重复，可能代数计算、式的运算、一次函数和二次函数，几何部分3题，考查方向可能为直线型计算、圆和解直角三角形的应用，从往年试题结构和有利于阅卷角度，几何证明的问法出现较少。统计与概率部分设置1题。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．为计算方便，某果园以每筐水果为准，超过的质量记作正数，不足的质量记作负数．记作“”表示该筐水果的重量是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 3．将“科技引领未来”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，则在原正方体上，与“来”字所在面相对的面上的汉字是（　　） A．科 B．技 C．引 D．领 4．如图所示的并联电路总电阻是，总电阻与的关系是，若，则的值分别是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在三角形中，，将三角形在平面内绕点A旋转到三角形的位置，若则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 6．点O、A、B、C在数轴上的位置如图所示，点O为原点，，若点B所表示的数为b，则点C所表示的数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，将正五边形纸片沿折叠，得到，点C的对应点为点，的延长线交于点F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．若（，都为正整数，则m的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 9．小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（    ） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确； C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确． 10．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是如图所示的轴对称图形，是一个矩形，若以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（    ）      A． B． C． D． 11．已知关于x，y的方程组，当-3≤a≤1时，下列命题正确的个数为（   ） ①当时，方程组的解x，y的值互为相反数； ②无论a取什么实数，的值始终不变； ③x，y都为自然数的解有4对； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为13，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中 介于整数和之间，则的值是 ． 14．已知是2、3、4、5中的一个数，则关于的方程有解的概率为 ． 15．．如图一段抛物线：，记为，它与轴交于点和；将绕旋转得到，交轴于；将绕旋转得到，交轴于，如此进行下去，直至得到，若点在第11段抛物线上，则m的值为 ． 16．某一公路单向隧道由一弧形拱与矩形组成，为了确定大货车通过公路隧道的最大高度，道路交通学习小组展开了以下研究．如图1，经测量得，，为了确定与弧形拱半径的长度，学习小组找到一根长的笔直杆子，将杆子一端置于点C处，另一端置于上点E处，．如图2，调整杆子位置，直至一端在上的点G处，另一端在圆弧上点F处，，如图3，某一集装箱大货车宽为，则该大货车的最大高度（包括货物） ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分7分） 数学课上，老师给出如下运算程序： 运算规则：如果结果不大于0，就把结果作为输入的数进行第二次运算，依此运行，直到结果大于0输出结果，运算程序停止． (1)当输入的数是时，需要经过几次运算才能输出结果，并求出输出的结果； (2)当输入后，经过一次运算，结果即符合要求，求出x的非正整数值． 18．（本小题满分8分） 综合与实践【数学背景】幻方是一种中国传统益智游戏，它是将数字安排在正方形格子中使每行、每列及对角线上的数字和都相等的方法． 【问题提出】 （1）如图①，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到3×3的方格内，使每行、每列及对角线上的数字和都相等，则这个和是_____． 【模型迁移】 （2）图②是显示部分式子的幻方，用含b的式子表示a． （3）图③是显示部分式子的幻方，求x的值． 19．（本小题满分8分） 综合与实践 【项目背景】无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员的指导下，测量每个柑橘的直径作为样本数据，柑橘的直径用x（单位：）表示． 将收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： (1)填空： ． (2)下列结论正确的是 （填序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． (3)结合市场情况，将D，E两组的柑橘认定为一级，C组的柑橘认定为二级，其他组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 20．（本小题满分8分） 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 图①是宁宁家安装的户外遮阳篷．图②是其侧面示意图，已知该遮阳篷安装在垂直于地面BC的墙面上，篷面安装点A离地面4米，篷面与墙面的夹角，篷面宽米．除此之外，为了保障遮阳篷的稳定性，还加装了支架MN稳定篷面．支架MN的安装方式如下：点M固定在墙面上，位于点A的正下方，即点A，M，B共线；点N固定在篷面上离A点1米处（点A，N，D共线），即米，支架MN与墙面的夹角． 素材2 宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 角的正切值 4 3 2.5 2 素材3 宁宁养了一株龙舌兰（图③），该植物喜阳，所以宁宁经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的地方，以保证龙舌兰有充足的光照，如图②，这株龙舌兰摆放的位置记为点E． 任务1 确定安装点 请求出支架的固定点M与A点的距离的长． 任务2 确定影子长 请求出这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度． 任务3 判断能否照射到 这天14点，宁宁将龙舌兰摆放到点E处，为了保证龙舌兰能被太阳光照射到，请求出此时摆放点离墙角距离的取值范围． 21．（本小题满分9分） 2022年北京冬奥会的成功举办让更多的人参与到了冰雪运动中来!如图①是某处滑雪大跳台的实景图，建立如图②所示的平面直角坐标系，其中段可以近似的看作抛物线：的一部分，轴，点B在y轴上，点C在x轴上，且．某滑雪爱好者在一次滑雪比赛中沿斜坡加速至B处腾空而起，近似地沿抛物线运动，在空中完成翻滚动作，着陆在段上，已知当他运行的水平距离为2米时，达到离地面的最大高度为9米． (1)点B的坐标为 ； (2)求该滑雪爱好者腾空后的抛物线的表达式； (3)若此次滑雪评分细则规定：当运动员的腾空高度与DC段之间的竖直最大距离不少于6米时，则该运动员在“腾空高度分”就可以给满分．请通过计算说明该滑雪爱好者的“腾空高度分”是否能得到满分． 22．（本小题满分9分） 筒车亦称为“水转筒车”，是一种以水流作为动力，取水灌田的工具，据史料记载筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是中国古代人民的杰出发明．这种靠水力自动的筒车，在家乡郁郁葱葱的山涧、溪流间构成了一幅幅优美的田园春色图，下面是一个筒车灌田的示意图． 如图所示，筒车在水流的动力作用下将水沿筒车运送到点处，在点处人们修筑了一条木制水道，将水流从处引导至与在同一水平线的处的田地，由于水在筒车上做圆周运动，速度方向与圆相切，为了便于水流的输送，木制水道也与圆相切．小花在查阅资料后发现，如图所示的筒车灌田系统，筒车半径为5米，点到的距离为42米，筒车上的盛水桶在水面之下的最大深度为2米，请你解答下列问题： (1)若连接和，求证：； (2)求木制水道的长度． 23．（本小题满分11分） 在函数的学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整． (1)列表： 0 1 0 2 0 2 4 6 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象． (2)研究函数并结合图象，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，则　　，　　（填“”，“ ”或“” ； ②在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，则的值为 　　；（注：直线为经过且垂直轴的直线） ③当时，的取值范围是 ． (3)设该分段函数的图象与轴交于点，点和点分别是平面内的定点和动点，点是函数图象上的一点，横坐标为，以为边向右作正方形．当时，若正方形相邻两边与线段只有两个交点，直接写出的取值范围． 24．（本小题满分12分） 综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． (1)【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了． 根据以上信息，请填空： ①； ②线段，，之间的数量关系为__________； (2)【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立，若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明； (3)【拓展应用】如图3，已知，，，小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长． 试卷第34页，共34页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（河北专用） 考情速递 中考·新动向：25年中考试题结构进行了调整，选择题变为12题，填空题4个，解答题增加变成8个。 中考·新考法：25年河北省中考试卷将继续延续试题的创新性，通过融入古典文化、跨学科、融合时事、时政等方面进一步增加试题的情境背景，为了即满足毕业考试的基本要求又升学试卷的区分度，将增加试题的文字量，将难点前置，往年中档题目的最后一问的难度将增加，而基础题和中档题的难度和数量保持不变。代数、几何压轴题前边问题的保持低起点增加考生得房率。 命题·大预测：解答题按着各部分分值比例，应该是代数部分4题，为避免考查方向重复，可能代数计算、式的运算、一次函数和二次函数，几何部分3题，考查方向可能为直线型计算、圆和解直角三角形的应用，从往年试题结构和有利于阅卷角度，几何证明的问法出现较少。统计与概率部分设置1题。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．为计算方便，某果园以每筐水果为准，超过的质量记作正数，不足的质量记作负数．记作“”表示该筐水果的重量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：某果园以每筐水果为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．“”表示该筐水果的重量是：， 故选：C． 2．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加、减、除法及乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数加、减、除法及乘方的运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A. ，计算正确，不符合题意； B. ，计算正确，不符合题意； C. ，计算正确，不符合题意； D. ，计算错误，符合题意； 故选D． 3．将“科技引领未来”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，则在原正方体上，与“来”字所在面相对的面上的汉字是（　　） A．科 B．技 C．引 D．领 【答案】A 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键． 根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“”字两端是对面，即可解答． 【详解】在原正方体中，与“来”字所在面相对的面上的汉字是科， 故选：A． 4．如图所示的并联电路总电阻是，总电阻与的关系是，若，则的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程．根据题意将，是代入中解出，进而再求出即可． 【详解】解：∵是，， ∴将，是代入中得：，解得：， 经检验：为分式方程的解， ∴， 故选：D． 5．如图，在三角形中，，将三角形在平面内绕点A旋转到三角形的位置，若则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可求旋转角的度数． 【详解】解：∵将在平面内绕点A旋转到的位置， ∴旋转角的度数， 故选：D． 6．点O、A、B、C在数轴上的位置如图所示，点O为原点，，若点B所表示的数为b，则点C所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点表示的数，两点间的距离；根据，得出点A表示的数为，再根据数轴上两点之间的距离公式进行计算即可． 【详解】解：因为， 所以点A表示的数为， 所以， 所以， 所以点C表示的数为， 故选：B． 【点评】本题主要考查了数轴，根据线段的和差关系及各数的取值是解答本题的关键． 7．如图，将正五边形纸片沿折叠，得到，点C的对应点为点，的延长线交于点F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和，折叠的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正多边形的内角和，折叠的性质，三角形内角和定理是解题的关键．由正五边形纸片，可得，由，可得，由折叠的性质可知，，，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵正五边形纸片， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， 故选：B． 8．若（，都为正整数，则m的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是是理解题意，明确幂的形式．根据所给的式子的特点，结合幂的运算的相应的法则进行分析即可． 【详解】 解：（，都为正整数， 则k是可以转为以2为底数的幂的形式的数， ∴的最小值为：， ， ∴， ∴的最小值为：4 故选：B 9．小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（    ） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确； C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确． 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的相似和垂直平分线的性质，分别作上下底的垂直平分线即可判定结论1正确；连接两腰与其垂直平分线的交点即可判定结论2错误． 【详解】解：如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确； 如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确； 故选：B． 10．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是如图所示的轴对称图形，是一个矩形，若以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用——火电厂的双曲线型冷却塔．熟练掌握矩形性质，冷却塔的对称性，待定系数法求反比例函数解析式，根据自变量的值求函数值，是解决问题的关键． 设的解析式为，根据y轴垂直平分，，得到，根据，得到，得到，，根据和冷却塔的对称性得到点F的横坐标为8，得到，即得整个冷却塔高度为． 【详解】设的解析式为， ∵四边形是矩形， ∴， ∵y轴垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点F的横坐标为8， ∴， ∴整个冷却塔高度为． 故选：A． 11．已知关于x，y的方程组，当-3≤a≤1时，下列命题正确的个数为（   ） ①当时，方程组的解x，y的值互为相反数； ②无论a取什么实数，的值始终不变； ③x，y都为自然数的解有4对； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，一元一次方程的解，解不等式组等知识点，①先求出方程组的解，把代入求出x、y即可；②把代入进行计算即可；③方程组变形为，再确定方程的解即可；④根据和求出，求出，再求出的范围即可． 【详解】解：解方程组得：， ①当时，， 所以x、y互为相反数，故①正确； ②∵， ， ∴无论a取什么实数，的值始终不变；故②正确； ③将方程组可变形为， ∴x，y都为自然数的解为，，共2对，故③错误； ④∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴，故④正确； 综上，正确的结论有3个， 故选：C 12．在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为13，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质；证明两三角形全等并得到是解题的关键；证明，根据全等三角形的性质得到，从而推出，根据勾股定理得到，由，两边平方得①；由空白部分面积为13，得，即②；解①、②组成的方程组消去即可求得． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， 在与中， ， ， ； ； 在中，，则， ， ， ①； ， 即②； 得：， ； 故选：C． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中 介于整数和之间，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法可得，即得，进而得，据此即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．已知是2、3、4、5中的一个数，则关于的方程有解的概率为 ． 【答案】/0.75 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、简单概率计算等知识，准确确定使方程有解的的取值范围是解题关键．首先根据一元二次方程的根的判别式确定的取值范围，然后根据简单概率计算公式求解即可． 【详解】解：若关于的方程有解， 则有，解得， ∴当或3或4时，方程有解， 当时，方程无实数解， ∴使方程有解的概率为． 故答案为：． 15．．如图一段抛物线：，记为，它与轴交于点和；将绕旋转得到，交轴于；将绕旋转得到，交轴于，如此进行下去，直至得到，若点在第11段抛物线上，则m的值为 ． 【答案】或32 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的变化确定函数图象的变化更简便，旋转性质，平移的规律：左加右减，上加下减．求出抛物线与轴的交点坐标，根据旋转性质，得出抛物线的形状大小不变，相当于把抛物线向右平移得出抛物线、抛物线……，同理把抛物线向右平移得出抛物线、抛物线……，然后求出到抛物线平移的距离，表示出抛物线的解析式，然后把点的坐标代入计算即可得解． 【详解】解：令，则， 解得，， ， ∵11是奇数 ∴由图可知，抛物线在轴上方， 相当于抛物线向右平移个单位， 抛物线的解析式为， ∵在第11段抛物线上， 解得或32 故答案为：或32． 16．某一公路单向隧道由一弧形拱与矩形组成，为了确定大货车通过公路隧道的最大高度，道路交通学习小组展开了以下研究．如图1，经测量得，，为了确定与弧形拱半径的长度，学习小组找到一根长的笔直杆子，将杆子一端置于点C处，另一端置于上点E处，．如图2，调整杆子位置，直至一端在上的点G处，另一端在圆弧上点F处，，如图3，某一集装箱大货车宽为，则该大货车的最大高度（包括货物） ． 【答案】 【分析】如图1所示，过点E作于T，则四边形是矩形，可得，利用勾股定理可得，则；如图2所示，设所在圆的圆心为O，过点作交于点，交于点，过点O作于K，则四边形是矩形，四边形是矩形，可得，，则，设，则，，由勾股定理可得方程，解得，则，进而可得；如图3所示，构造，且，过点作于点，于E，延长交于L，连接，由垂径定理得到，则，由图2可知，，证明四边形是矩形，得到，，则大货车的最大高度（包括货物）为． 【详解】解：如图1所示，过点E作于T， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 如图2所示， 设所在圆的圆心为O，过点作交于点，交于点，过点O作于K，则四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴； 如图3所示，    构造，且，过点作于点，于E，延长交于L，连接， ∴， ∴， 由图2可知，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴大货车的最大高度（包括货物）为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形和矩形，从而求出所在圆的半径以及线段的长是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分7分） 数学课上，老师给出如下运算程序： 运算规则：如果结果不大于0，就把结果作为输入的数进行第二次运算，依此运行，直到结果大于0输出结果，运算程序停止． (1)当输入的数是时，需要经过几次运算才能输出结果，并求出输出的结果； (2)当输入后，经过一次运算，结果即符合要求，求出x的非正整数值． 【答案】(1)次，输出的结果是 (2)的值为， 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，解一元一次不等式，根据上述运算规则和顺序进行求解是解题的关键． （1）根据运算顺序和规则逐步计算即可； （2）根据题意，可得，求解即可． 【详解】（1）解：第一次运算得：， 第二次运算得：， 第三次运算得：， ∴需要经过次运算才能输出结果，输出的结果是； （2）解：根据题意可得， 解得：， ∵为非正整数， ∴x的值为，． 18．（本小题满分8分） 综合与实践【数学背景】幻方是一种中国传统益智游戏，它是将数字安排在正方形格子中使每行、每列及对角线上的数字和都相等的方法． 【问题提出】 （1）如图①，将1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数填入到3×3的方格内，使每行、每列及对角线上的数字和都相等，则这个和是_____． 【模型迁移】 （2）图②是显示部分式子的幻方，用含b的式子表示a． （3）图③是显示部分式子的幻方，求x的值． 【答案】（1）15；（2）；（3）15 【分析】本题主要考查了列代数式及整式的加减，解题关键是理解幻方中每行、每列及对角线上的数字和都相等． （1）先求出这几个数的和，再把它平均分成3份，求出每份即可； （2）观察幻方可知每行、每列及对角线上的数字和都相等，列出关于，的等式，并把用含的式子表示即可； （3）观察幻方可知每行、每列及对角线上的数字和都相等，列出关于的等式，求出，再列出含有和的等式，求出即可． 【详解】解：（1）由题意得：， 这个和是15， 故答案为：15； （2）由题意得： ， ， ； （3）由题意得： ， ， ， ， ， ， ． 19．（本小题满分8分） 综合与实践 【项目背景】无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员的指导下，测量每个柑橘的直径作为样本数据，柑橘的直径用x（单位：）表示． 将收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： (1)填空： ． (2)下列结论正确的是 （填序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． (3)结合市场情况，将D，E两组的柑橘认定为一级，C组的柑橘认定为二级，其他组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 【答案】(1)40 (2)① (3)乙园的柑橘品质更优，理由见解析 【分析】本题主要考查了频数（率）分布直方图、用样本估计总体、中位数、众数、极差等知识点， （1）用200分别减去其它各组的频数可得a的值； （2）分别根据中位数、众数和极差的定义解答即可； （3）根据统计图数据判断即可； 熟练掌握读懂图象信息进行解题是解决此题的关键． 【详解】（1）由题意得，， 故答案为：40； （2）由统计图可知，两园样本数据的中位数均在C组，故①正确，符合题意； 甲园的众数在B组，乙园的众数在C组，故②结论错误，不符合题意； 两园样本数据的最大数与最小数的差不一定相等，故③结论错误，不符合题意； 故答案为：①； （3）乙园的柑橘品质更优．理由如下： 由频数分布直方图可知， 甲园一级柑橘的占比为， 二级柑橘的占比为， 乙园一级柑橘的占比为， 二级柑橘的占比为， ∵，， ∴乙园的柑橘品质更优． 20．（本小题满分8分） 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 图①是宁宁家安装的户外遮阳篷．图②是其侧面示意图，已知该遮阳篷安装在垂直于地面BC的墙面上，篷面安装点A离地面4米，篷面与墙面的夹角，篷面宽米．除此之外，为了保障遮阳篷的稳定性，还加装了支架MN稳定篷面．支架MN的安装方式如下：点M固定在墙面上，位于点A的正下方，即点A，M，B共线；点N固定在篷面上离A点1米处（点A，N，D共线），即米，支架MN与墙面的夹角． 素材2 宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 角的正切值 4 3 2.5 2 素材3 宁宁养了一株龙舌兰（图③），该植物喜阳，所以宁宁经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的地方，以保证龙舌兰有充足的光照，如图②，这株龙舌兰摆放的位置记为点E． 任务1 确定安装点 请求出支架的固定点M与A点的距离的长． 任务2 确定影子长 请求出这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度． 任务3 判断能否照射到 这天14点，宁宁将龙舌兰摆放到点E处，为了保证龙舌兰能被太阳光照射到，请求出此时摆放点离墙角距离的取值范围． 【答案】任务1：米；任务2： 米，任务3：大于米． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 任务1：过作于， 解三角形即可求出，，进而可得， 任务2：过作于，过作于，得四边形为矩形，再解三角形求出米，米，进而求出米，米，根据13点时，太阳高度角，由即可完成任务2， 任务3：由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小，当14时，此时的长度就是龙舌兰摆放位置与墙壁的最大距离，求出此时米，即可完成任务3． 【详解】解：任务1：如图，过作于，   ， ∴， 又∵，， ∴（米）， （米）， （米）， ∴（米）， 任务2：如解图2，过作于，过作于，   ， 则， 四边形为矩形， ，， ∵米，， ∴（米）， （米）， （米）， ∵由题意可知：米， ∴（米） ∴（米），（米）， ∵13点时，太阳高度角， ∴， ∴（米） ∴13点时遮阳篷落在地面上影子的长度（米） 任务3： 由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小， 当14时，此时的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离， 如解图3，在中，， 即（米）， （米）， 答：龙舌兰能被太阳光照射到，此时摆放点离墙角距离的大于米． 21．（本小题满分9分） 2022年北京冬奥会的成功举办让更多的人参与到了冰雪运动中来!如图①是某处滑雪大跳台的实景图，建立如图②所示的平面直角坐标系，其中段可以近似的看作抛物线：的一部分，轴，点B在y轴上，点C在x轴上，且．某滑雪爱好者在一次滑雪比赛中沿斜坡加速至B处腾空而起，近似地沿抛物线运动，在空中完成翻滚动作，着陆在段上，已知当他运行的水平距离为2米时，达到离地面的最大高度为9米． (1)点B的坐标为 ； (2)求该滑雪爱好者腾空后的抛物线的表达式； (3)若此次滑雪评分细则规定：当运动员的腾空高度与DC段之间的竖直最大距离不少于6米时，则该运动员在“腾空高度分”就可以给满分．请通过计算说明该滑雪爱好者的“腾空高度分”是否能得到满分． 【答案】(1) (2) (3)该滑雪爱好者的“腾空高度分”能得到满分，见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数图象上的点，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求解析式是关键． （1）先求出D点坐标，再求出B点坐标； （2）用待定系数法求解析式即可； （3）设抛物线上一点P，作轴，交抛物线于Q，设，则，从而得出，由函数性质求出的最大值与6比较即可． 【详解】（1）解：， 当时，，， 轴， ， 故答案为：； （2）由题意知，顶点E为， 设抛物线的表达式为， 把代入得，， 解得， 抛物线的表达式为；, （3）设抛物线上一点P，作轴，交抛物线于Q， 设，则， ， ， 当时，最大，最大值为，， 该滑雪爱好者的“腾空高度分”能得到满分． 22．（本小题满分9分） 筒车亦称为“水转筒车”，是一种以水流作为动力，取水灌田的工具，据史料记载筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是中国古代人民的杰出发明．这种靠水力自动的筒车，在家乡郁郁葱葱的山涧、溪流间构成了一幅幅优美的田园春色图，下面是一个筒车灌田的示意图． 如图所示，筒车在水流的动力作用下将水沿筒车运送到点处，在点处人们修筑了一条木制水道，将水流从处引导至与在同一水平线的处的田地，由于水在筒车上做圆周运动，速度方向与圆相切，为了便于水流的输送，木制水道也与圆相切．小花在查阅资料后发现，如图所示的筒车灌田系统，筒车半径为5米，点到的距离为42米，筒车上的盛水桶在水面之下的最大深度为2米，请你解答下列问题： (1)若连接和，求证：； (2)求木制水道的长度． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了圆的切线定理，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，并灵活应用． （1）构造辅助线，利用圆的切线定理和圆周角定理，即可证明出相等角； （2）构造辅助线，利用垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质即可求出线段长度． 【详解】（1）证明： 如图，连接 并延长交 于点 ， 连接， 则 ， ， 为 的切线， ， ， ， 又 ， ． （2）解：连接 ，，过点 作 于点 ， 则 ， ，由垂径定理得， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ， 由（1）知 ， 又 ， ， ， ， ． ∴水槽 的长度为 米． 23．（本小题满分11分） 在函数的学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整． (1)列表： 0 1 0 2 0 2 4 6 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象． (2)研究函数并结合图象，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，则　　，　　（填“”，“ ”或“” ； ②在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，则的值为 　　；（注：直线为经过且垂直轴的直线） ③当时，的取值范围是 ． (3)设该分段函数的图象与轴交于点，点和点分别是平面内的定点和动点，点是函数图象上的一点，横坐标为，以为边向右作正方形．当时，若正方形相邻两边与线段只有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2)①，．②；③ (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数得图象和性质、正方形的性质等内容，数形结合是解题的关键． （1）根据表格中数据描点连线即可； （2）①根据图象观察或者求出值、值比较即可； ②根据对称性可知这两点关于直线对称，进而即可得解； ③根据图象找到对应范围，进而即可得解； （3）根据图象画出符合题意的图形，找出临界值，进而即可得解． 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据描点连线作图如下． （2）解：①由题意，点，在函数图象上， 根据图象可得，，． ． 又令，结合图象， 有三种情形，且均大于， 又令， 结合图象，． ． 故答案为：，． ②由图象可知，当时，能满足值相等的两个点是在这一段， 且这两点关于直线对称， ， ， 故答案为：； ③如图，当时，取值为黑色加粗这段， 此时最小值为0，最大值为6， 所以， 故答案为：； （3）解：设直线解析式为，将和坐标代入得， ，解得， 直线解析式为， 设直线于线段交于点，则， ， 当时，， ， 设与交点为点，则， 根据图象可知，当点运动到点右边时，此时正方形与没有交点， ； ①当时，如图所示，此时点在上， ， ， ， 此时， 若点与点重合，则此时正方形只有一个交点， 即， ， 解得， 由图很明显可知，当点向右移动，变长，则也变长， 此时正方形的相邻两边和与线段各有一个交点， ； ②当时，如图所示，点在直线上，并且在点下方，则， ， 若，则，此时点，，满足两个交点，符合题意， 同①方法讨论1个交点情况，找出临界值， 若点与点重合，则此时正方形只有一个交点， 即， ， 解得， ； ③当时，此时点在直线上且在点上方，则， ， 由点和点坐标可知直线解析式为， 若点在线段上，此时正方形与线段只有一个交点， ， ， 此时， ， ， 解得， 由图很明显可知可知，当点向右移动，变长，则也变长， 此时正方形的相邻两边和与线段各有一个交点，直到点与点重合， ； 综上，的取值范围为或． 24．（本小题满分12分） 综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． (1)【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了． 根据以上信息，请填空： ①； ②线段，，之间的数量关系为__________； (2)【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立，若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明； (3)【拓展应用】如图3，已知，，，小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①；② (2)仍然成立，证明见解析 (3)或 【分析】（1）①根据旋转的性质得到，由等腰直角三角形的性质，继而得到，即可得解； ②根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，然后根据线段的和差求解即可； （2）将绕点旋转顺时针得，与重合，根据题意证明出，得到，进而求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论：和，首先根据旋转的性质构造全等三角形，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵绕点顺时针旋转得到，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②绕点顺时针旋转得到，， ∴，，， ∴，即，，三点共线， ∵，， ∴， 在和中， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）仍然成立． 证明：∵， ∴如图所示，将绕点旋转顺时针得，与重合， ∴，，，， 又∵， ∴，即，，三点共线， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图所示，当时， ∵，， ∴，， ∴，， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 如图所示，当时， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，则， 由（1）得， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是旋转变换综合题，考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理是解题的关键． 试卷第34页，共34页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（河北专用） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D A D D B B B B A C A 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13． 14． 15．或32 16． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分7分） 【答案】(1)次，输出的结果是 (2)的值为， 【详解】（1）解：第一次运算得：， 第二次运算得：， 第三次运算得：， ∴需要经过次运算才能输出结果，输出的结果是； （2）解：根据题意可得， 解得：， ∵为非正整数， ∴x的值为，． 18．（本小题满分8分） 【答案】（1）15；（2）；（3）15 【详解】解：（1）由题意得：， 这个和是15， 故答案为：15； （2）由题意得： ， ， ； （3）由题意得： ， ， ， ， ， ， ． 19．（本小题满分8分） 【答案】(1)40 (2)① (3)乙园的柑橘品质更优，理由见解析 【详解】（1）由题意得，， 故答案为：40； （2）由统计图可知，两园样本数据的中位数均在C组，故①正确，符合题意； 甲园的众数在B组，乙园的众数在C组，故②结论错误，不符合题意； 两园样本数据的最大数与最小数的差不一定相等，故③结论错误，不符合题意； 故答案为：①； （3）乙园的柑橘品质更优．理由如下： 由频数分布直方图可知， 甲园一级柑橘的占比为， 二级柑橘的占比为， 乙园一级柑橘的占比为， 二级柑橘的占比为， ∵，， ∴乙园的柑橘品质更优． 20．（本小题满分8分） 【答案】任务1：米；任务2： 米，任务3：大于米． 【详解】解：任务1：如图，过作于， ∴， 又∵，， ∴（米）， （米）， （米）， ∴（米）， 任务2：如解图2，过作于，过作于，   ， 则， 四边形为矩形， ，， ∵米，， ∴（米）， （米）， （米）， ∵由题意可知：米， ∴（米） ∴（米），（米）， ∵13点时，太阳高度角， ∴， ∴（米） ∴13点时遮阳篷落在地面上影子的长度（米） 任务3： 由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小， 当14时，此时的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离， 如解图3，在中，， 即（米）， （米）， 答：龙舌兰能被太阳光照射到，此时摆放点离墙角距离的大于米． 21．（本小题满分9分） 【答案】(1) (2) (3)该滑雪爱好者的“腾空高度分”能得到满分，见解析 【详解】（1）解：， 当时，，， 轴， ， 故答案为：； （2）由题意知，顶点E为， 设抛物线的表达式为， 把代入得，， 解得， 抛物线的表达式为；, （3）设抛物线上一点P，作轴，交抛物线于Q， 设，则， ， ， 当时，最大，最大值为，， 该滑雪爱好者的“腾空高度分”能得到满分． 22．（本小题满分9分） 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）证明： 如图，连接 并延长交 于点 ， 连接， 则 ， ， 为 的切线， ， ， ， 又 ， ． （2）解：连接 ，，过点 作 于点 ， 则 ， ，由垂径定理得， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ， 由（1）知 ， 又 ， ， ， ， ． ∴水槽 的长度为 米． 23．（本小题满分11分） 【答案】(1)详见解析 (2)①，．②；③ (3)或 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据描点连线作图如下． （2）解：①由题意，点，在函数图象上， 根据图象可得，，． ． 又令，结合图象， 有三种情形，且均大于， 又令， 结合图象，． ． 故答案为：，． ②由图象可知，当时，能满足值相等的两个点是在这一段， 且这两点关于直线对称， ， ， 故答案为：； ③如图，当时，取值为黑色加粗这段， 此时最小值为0，最大值为6， 所以， 故答案为：； （3）解：设直线解析式为，将和坐标代入得， ，解得， 直线解析式为， 设直线于线段交于点，则， ， 当时，， ， 设与交点为点，则， 根据图象可知，当点运动到点右边时，此时正方形与没有交点， ； ①当时，如图所示，此时点在上， ， ， ， 此时， 若点与点重合，则此时正方形只有一个交点， 即， ， 解得， 由图很明显可知，当点向右移动，变长，则也变长， 此时正方形的相邻两边和与线段各有一个交点， ； ②当时，如图所示，点在直线上，并且在点下方，则， ， 若，则，此时点，，满足两个交点，符合题意， 同①方法讨论1个交点情况，找出临界值， 若点与点重合，则此时正方形只有一个交点， 即， ， 解得， ； ③当时，此时点在直线上且在点上方，则， ， 由点和点坐标可知直线解析式为， 若点在线段上，此时正方形与线段只有一个交点， ， ， 此时， ， ， 解得， 由图很明显可知可知，当点向右移动，变长，则也变长， 此时正方形的相邻两边和与线段各有一个交点，直到点与点重合， ； 综上，的取值范围为或． 24．（本小题满分12分） 【答案】(1)①；② (2)仍然成立，证明见解析 (3)或 【详解】（1）解：①∵绕点顺时针旋转得到，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②绕点顺时针旋转得到，， ∴，，， ∴，即，，三点共线， ∵，， ∴， 在和中， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）仍然成立． 证明：∵， ∴如图所示，将绕点旋转顺时针得，与重合， ∴，，，， 又∵， ∴，即，，三点共线， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图所示，当时， ∵，， ∴，， ∴，， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 如图所示，当时， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，则， 由（1）得， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为或． 试卷第34页，共34页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$