专题04 函数零点问题之分段分析法模型-2025年新高考数学函数与导数压轴小题专题突破

专题04 函数零点问题之分段分析法模型 【方法技巧总结】 函数零点问题的分段分析法模型解题，关键在于根据函数的不同表达式或定义域区间，将整体函数拆解为若干子函数段．针对每一段，分析其单调性、极值点、端点值等特性，判断该段内是否存在零点．结合函数连续性及零点存在定理，若某段函数在区间两端取值异号，则该区间内必存在零点．最终，汇总各段分析结果，确定函数整体零点的个数及位置．此方法有助于化繁为简，高效解决复杂函数的零点问题． 【典型例题】 例1．（2025·高二·浙江宁波·期末）若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3．（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4．（2025·福建厦门·一模）若至少存在一个实数，使得方程成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例5．（2025·高三·全国·专题练习）已知函数的图象上存在三个不同点，且这三个点关于原点的对称点在函数的图象上，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 例6．（2025·广西来宾·模拟预测）已知函数（）图象上存在点M，函数（e为自然对数的底数）图象上存在点N，且M，N关于点对称，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例7．（2025·高二·全国·假期作业）若存在两个正实数、，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【过关测试】 1．（2025·高三·全国·专题练习）若存在两个正实数，，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江西·模拟预测）若存在两个正实数使得等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南许昌·三模）若存在两个正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 4．（2025·高三·安徽滁州·期末）若存在两个正实数，使得等式成立其中，是以为底的对数，则实数的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·浙江宁波·期末）若存在正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北咸宁·一模）若存在两个正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则正实数的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 7．（2025·高二·江西·期末）函数 （，e是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·辽宁大连·二模）函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 9．（2025·湖南·一模）设函数 记若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是 ． 10．（2025·高二·天津滨海新·期中）设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是 ． 11．（2025·高三·上海浦东新·阶段练习）已知且，函数在上至少存在一个零点，则的取值范围为 ． 12．（2025·江苏·二模）若存在正数，使得（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是 ． 13．（2025·全国·模拟预测）若函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为 ． 14．（2025·高二·上海浦东新·阶段练习）已知函数存在4个零点，则实数的取值范围是 ． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数零点问题之分段分析法模型 【方法技巧总结】 函数零点问题的分段分析法模型解题，关键在于根据函数的不同表达式或定义域区间，将整体函数拆解为若干子函数段．针对每一段，分析其单调性、极值点、端点值等特性，判断该段内是否存在零点．结合函数连续性及零点存在定理，若某段函数在区间两端取值异号，则该区间内必存在零点．最终，汇总各段分析结果，确定函数整体零点的个数及位置．此方法有助于化繁为简，高效解决复杂函数的零点问题． 【典型例题】 例1．（2025·高二·浙江宁波·期末）若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数至少存在一个零点 所以有解 即有解 令， 则 因为，且由图象可知，所以 所以在上单调递减，令得 当时，单调递增 当时，单调递减 所以 且当时 所以的取值范围为函数的值域，即 故选：A 例2．若方程有根，则的范围即为函数的值域 例3．（2025·高三·湖南长沙·阶段练习）设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意得，函数至少存在一个零点，且， 可构造函数和， 因为，开口向上，对称轴为，所以为单调递减，为单调递增； 而，则，由于，所以为单调递减，为单调递增； 可知函数及均在处取最小值，所以在处取最小值， 又因为函数至少存在一个零点，只需即可，即： 解得：． 故选：D． 例4．（2025·福建厦门·一模）若至少存在一个实数，使得方程成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴，且， 设，则的取值范围即的值域． ， 当时，；当时，；当时，． ∴当时，取最大值， 当时，；当时，， ∴实数的取值范围为． 故选：D． 例5．（2025·高三·全国·专题练习）已知函数的图象上存在三个不同点，且这三个点关于原点的对称点在函数的图象上，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则由题意可得函数的图象与函数的图象有三个交点，即方程有三个不同的实数根．由可得，即，令，则直线与函数的图象有三个交点，易得，当或时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极小值为，极大值为．又，，所以当时，直线与函数的图象有三个交点，故实数的取值范围为．故选B． 例6．（2025·广西来宾·模拟预测）已知函数（）图象上存在点M，函数（e为自然对数的底数）图象上存在点N，且M，N关于点对称，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】与函数的图象关于点对称， 的图象上存在点M，图象上存在点N， 使得M，N关于点对称，则方程有解， 显然，所以问题转化为有解，设， 则为增函数，且，所以在上单调递减， 在上单调递增，且时，， 所以，所以实数a的取值范围是． 故选：C 例7．（2025·高二·全国·假期作业）若存在两个正实数、，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方程有解，原方程两边同除以，然后令，问题变为有解，即有解，引入函数，由导数求出它的最小值，解关于参数的不等式可得的范围．由得，设，， 则，则有解，设， 为增函数，， 当时，递增，当时，递减， 所以当时函数取极小值，，即， 若有解，则，即， 所以或， 故选：B． 【过关测试】 1．（2025·高三·全国·专题练习）若存在两个正实数，，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得， 即， 即设，则， 则条件等价为， 即有解， 设，则为增函数， ∵， ∴当时，， 当时，， 即当时，函数g（t）取得极小值，为， 即， 若有解， 则，即， 则或， 故选：C． 2．（2025·江西·模拟预测）若存在两个正实数使得等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先分离参数为，然后换元，设，用导数求得新函数的取值范围．由得，令，则，， 设，则， 时，，递增，，，递减，时． 时，， 所以的取值范围是，即的取值范围是． 故选：D． 3．（2025·河南许昌·三模）若存在两个正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】存在两个正实数，使得等式，设，则，设，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，故选C． 4．（2025·高三·安徽滁州·期末）若存在两个正实数，使得等式成立其中，是以为底的对数，则实数的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】可化为， 令，则，， 则，令，可得， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 则， 故． 故选：C． 5．（2025·高二·浙江宁波·期末）若存在正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意存在正实数x，y，使得等式成立， ， 当时，，不符合题意，所以 令，，， 构造函数，， 其中对数函数在上递增，反比例函数在上递增， 所以在上递增，且， 所以在区间，，单调递减；在区间，，单调递增． 所以的最小值为． 要使有解， 则，①， 当时，①成立；当时，． 所以的取值范围是． 故选：B． 6．（2025·湖北咸宁·一模）若存在两个正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则正实数的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0得x+a（y﹣2ex）ln=0， 即1+a（﹣2e）ln=0， 即设t=，则t＞0， 则条件等价为1+a（t﹣2e）lnt=0， 即（t﹣2e）lnt=﹣有解， 设g（t）=（t﹣2e）lnt， g′（t）=lnt+1﹣为增函数， ∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0， ∴当t＞e时，g′（t）＞0， 当0＜t＜e时，g′（t）＜0， 即当t=e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e， 即g（t）≥g（e）=﹣e， 若（t﹣2e）lnt=﹣有解，a＞0． 则﹣≥﹣e，即≤e， 则a≥， ∴正实数a的最小值为． 故答案为：D 7．（2025·高二·江西·期末）函数 （，e是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数存在唯一的零点， 等价于函数与函数的图象只有唯一的交点， 因为的最小正周期为 ，最大值为的函数， 所以两个函数图象如下图所示： 要使与函数的图象只有唯一的交点， 则，因为， 所以， 因为，所以 ， 所以，解得： ，又因为， 所以a的取值范围为： 故选：D 8．（2025·辽宁大连·二模）函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 为奇函数 又，知为的零点 若存在唯一的零点，则在上单调递增或单调递减 ①若单调递增，则恒成立 即恒成立 ，     又     ②若单调递减，则恒成立 即恒成立 ，，可知不恒成立，不合题意 综上所述： 本题正确选项： 9．（2025·湖南·一模）设函数 记若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】依题意，令，即， 设，求导得， 当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减， 因此当时，，因当时，的取值集合为，的取值集合为， 则当时，的取值集合为，当时，的取值集合为， 的取值集合为，即当时，的取值集合为， 所以函数至少存在一个零点，实数的取值范围是． 故答案为： 10．（2025·高二·天津滨海新·期中）设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由函数，可得， 令，可得， 当时，可得；当时，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数求得极小值，也是最小值， 因为至少1个零点，所以，即， 所以实数的范围． 11．（2025·高三·上海浦东新·阶段练习）已知且，函数在上至少存在一个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为函数在上至少存在一个零点， 所以且或 ， 即或 ， 其对应的平面区域如图所示： 或 平移直线，当直线在y轴上的截距最小值时，目标函数取得最大值，此时经过点，最大值为1， 当直线在y轴上的截距最大值时，目标函数取得最小值，此时经过点，最小值为0， 所以的取值范围为， 故答案为： 12．（2025·江苏·二模）若存在正数，使得（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由变量分离得﹣＝（﹣2e）ln＝（t﹣2e）lnt，（令t＝>0）， 令h（t）＝（t﹣2e）lnt，（t＞0）， 则h（t）＝lnt+ ，h（t）＝+ ＞0， 所以h（t）在t递增，且h′（e）＝0 h（t）在（0，e）上递减，在（e，+）上递增 ∴h（t）≥h（e）＝﹣e，∴﹣≥﹣e，解得z＜0或z≥． ∴实数z的取值范围是（﹣∞，0）∪[，+∞）． 故答案为：（﹣∞，0）∪[，+∞） 13．（2025·全国·模拟预测）若函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点等价于函数与函数的图像只有一个交点． ∵，， ∴函数与函数的图像的唯一交点为． 又∵，且，， ∴在上恒小于零，即在上为单调递减函数． 又∵，当且仅当，即时等号成立，且是最小正周期为2．最大值为的正弦型函数， ∴可得函数与函数的大致图像如图所示． ∴要使函数与函数的图像只有唯一一个交点，则． ∵，， ∴，解得． 对∵，∴实数的取值范围为． 故答案为：． 14．（2025·高二·上海浦东新·阶段练习）已知函数存在4个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】转化为有四个解， 即在范围内有四个解， 即在范围内有四个解， 即在范围内有四个解， 即在范围内有四个解， 令， 则， 令得， 所以当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 做出大致图像如下： 令， 则原方程转化为， 令， ， 令得， 当时，，当时，， 所以在递减，在递增， 做出大致图像如下： 所以时，对应解出两个值， 从而对应解出四个值， 故答案为：． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$