精品解析：内蒙古自治区赤峰市元宝山第一中学2024-2025学年高一上学期数学阶段性测试一

2024—2025学年第一学期高一阶段性测试一 数学 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 函数f(x)＝的定义域为（ ） A. (－∞，3] B. (1，＋∞) C. (1，3] D. [3，＋∞) 4. 命题“”的否定是 A. B. C. D. 5. 已知集合，，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设集合，，记，则集合的真子集个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 7. 若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设正实数、、满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中是真命题的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，都有”的否定是“，使得” C. 不等式成立的一个充分不必要条件是或 D. 当时，方程组有无穷多解 10. 下列选项中，正确的是（ ） A. 不等式的解集为或 B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. 设，则“”是“”的充分不必要条件 11. 奇函数在的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 函数在上单调递减 C. D. 方程有6个根 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则=_______. 13. 若关于的不等式的解集为，则实数的值为______ 14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时的的解析式是______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知命题，，命题，． （1）若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 17. 已知. （1）求的值和满足的实数a的值； （2）求的定义域和值域. 18. 设是定义在上的奇函数 且对任意实数，恒有，当时，． （1）求证：是周期函数； （2）计算 （3）当时，求的解析式 19. 根据要求完成下列问题： （1）若、、． ①求证：； ②求证：； ③在②中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由． （2）设x、，求证：成立的充要条件是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期高一阶段性测试一 数学 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，利用交集的定义直接求解即得. 【详解】依题意，集合，而， 所以. 故选：C 2. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，结合命题，直接求解即可. 【详解】命题的否定为：. 故选：A. 3. 函数f(x)＝的定义域为（ ） A. (－∞，3] B. (1，＋∞) C. (1，3] D. [3，＋∞) 【答案】C 【解析】 【详解】解析：依题意log (x－1)＋1≥0，即log (x－1)≥－1，∴解得1<x≤3．故选C． 4. 命题“”的否定是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“”的否定是，选C. 考点：全称命题与存在性命题. 5. 已知集合，，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解法求得，结合中有且仅有一个元素，即可求解. 【详解】由不等式，即，解得，即， 因为，要使得中有且仅有一个元素，则或， 即实数的取值范围为. 故选：B. 6. 设集合，，记，则集合的真子集个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】可求出集合，然后进行并集的运算即可求出集合，然后根据真子集个数的计算公式求 的真子集个数即可. 【详解】. 集合的真子集个数是：. 故选：C. 7. 若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用在区间上的单调性，即可求解. 【详解】当时，由可得， 又关于的不等式在区间上有解，则， 令，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又时，，时，，所以， 故选：D. 8. 设正实数、、满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出取最小值时的关系，再利用二次函数求出最大值. 【详解】依题意，由，得， 当且仅当，即时等号成立，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. 故选：D 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中是真命题的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，都有”的否定是“，使得” C. 不等式成立的一个充分不必要条件是或 D. 当时，方程组有无穷多解 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用充要条件的定义与全称命题的否定结合一元二次不等式和分式不等式得解法逐项判断即可. 【详解】解：对A，“”可以推出“”，而“”推出或者，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对B，命题“，都有”的否定是“，使得”，故B错误； 对C，不等式成立，即或，所以不等式成立的一个充分不必要条件是或，故C正确； 对D，当时，方程组等价于，即两条直线重合，所以方程组有无穷多解，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列选项中，正确的是（ ） A. 不等式的解集为或 B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. 设，则“”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】解出各选项中的不等式后可判断． 【详解】A选项，或，A正确； B选项，，B正确； C选项，或，即或，C错误； D选项，，，而是的真子集，D正确． 故选：ABD． 11. 奇函数在的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 函数在上单调递减 C. D. 方程有6个根 【答案】AB 【解析】 【分析】结合的图象，根据奇函数的对称性，分析函数的性质，由此得解. 【详解】根据图象可知，当时，，在上递减，在上递增， 所以根据奇函数性质可，当时，，故A正确； 当时，在上递减，在上递增，故B正确； 由于在上递增，所以，故C错误； 当时，由图象可知有两个根， 所以在上，也有两个根，又， 所以方程在上有5个根，根据对称性可知，只能有奇数个根，故D错误. 故选：AB. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则=_______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出集合A,然后根据交集的定义求得答案. 【详解】由题意，，所以. 故答案为：. 13. 若关于的不等式的解集为，则实数的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】 不等式可转化为不等式，然后结合题中条件可得，且，解得a即可. 【详解】不等式即等价于不等式 ，即， 令，解得，，， 因为不等式的解集为， 所以，且，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查分式不等式的解法，考查逻辑思维能力和计算能力，考查转化思想，属于常考题. 14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时的的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求解. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，且当时，， 当时， ，∴． 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义域即可求解； （2）根据得到即可求解. 【小问1详解】 由题意得，所以， 所以； 【小问2详解】 若，所以， ①当集合不为空集时，， 解得； ②当集合为空集时，，解得， 综上所述，实数a的取值范围为. 16. 已知命题，，命题，． （1）若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出命题、为真时参数的取值范围，再分类讨论，分别计算可得； （2）首先求出命题和命题都为假命题时参数的取值范围，再取其补集即可得解. 【小问1详解】 解：若命题为真命题，即命，，所以，所以， 若命题为真命题，即，，所以，解得， 因为命题和命题有且只有一个为假命题， 当命题为假，命题为真时，解得； 当命题为真，命题为假时，所以； 所以； 【小问2详解】 解：若命题和命题都为假命题，则，即； 因为命题和命题至少有一个为真命题，所以或，即； 17. 已知. （1）求的值和满足的实数a的值； （2）求的定义域和值域. 【答案】（1）， （2）的定义域为，值域为 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式直接计算即可，分类讨论，分别解方程即可求解a的值； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，再利用一次函数、二次函数的性质求解值域即可. 【小问1详解】 ， 故. 由或，解得. 【小问2详解】 的定义域为， 由可知当时，函数， 当时，函数单调递减，， 综上，即的值域为. 18. 设是定义在上的奇函数 且对任意实数，恒有，当时，． （1）求证：是周期函数； （2）计算 （3）当时，求的解析式 【答案】（1）是周期为的周期函数， 证明：因为，所以． 所以是周期为的周期函数； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据条件可得即得证； （2）当时，可知，将代入，再由即可求出，当时，结合周期性即可求， （3）先计算的值，利用函数的周期性即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为当时，． 所以，，， 因为是周期为的周期函数， 所以，， ， 所以. 【小问3详解】 当，，所以， 所以， 又， 所以， 即，． 当时，， ， 综上所述： 【点睛】关键点点睛：证明函数的周期性用定义即可，求周期函数在某一区间的解析式，一般求哪个区间的解析式就把设在哪个区间，再利用周期性和奇偶性即可求解. 19. 根据要求完成下列问题： （1）若、、． ①求证：； ②求证：； ③在②中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由． （2）设x、，求证：成立的充要条件是. 【答案】（1）①证明:∵，且、， ∴，∴； ②证明:∵，∴， 又，∴， ∴， ∴， ∵、， ∴，由①知， ∴， ∴； ③能找到， （2）证明:①充分性：如果，则有和两种情况， 当时，当时，则、，等式成立， 当时，则、，等式成立， 当时，等式成立， 当时，即、或、， 当、时，、，等式成立， 当、时，、，等式成立， ∴当时，等式成立， ∴当时，成立， ②必要性：若且，则， 即，则，故， 综上所述，是等式成立的充要条件. 【解析】 【分析】（1）①根据的符号去绝对值即可证不等式成立； ②根据同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性质可证明不等式成立； ③在的两边同时乘以得，在的两边同时乘以得，即可证明. （2）证明充分性：如果，则有和两种情况，分别证明即可；证明必要性：若且，则，化简即可. 【小问1详解】 ①略； ②略； ③∵，， ∴或（只要写出其中一个即可）； 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $