精品解析：四川省眉山车城中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

四川省眉山车城中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷 命题人：张浩秋 校对人：秦洪远 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单选题（每小题5分） 1. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 记为等差数列的前项和．若，则（ ） A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 3. 在正项等比数列中，是的等差中项，则（ ） A. 16 B. 27 C. 32 D. 54 4. 若数列{an}满足，则的值为（ ） A. 2 B. －3 C. D. 5. 已知数列 的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 设等差数列的前n项和为，若，则（　　） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 7. 我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少?你的答案是( ) A. B. 1 C. D. 8. 已知数列{}满足（n∈N*），则=（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，答错得0分） 9. 若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，斐波那契数列被誉为是最美的数列．则下列关于斐波那契数列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设等差数列前项和为，公差，若，则下列结论中正确的有（ ） A. B. 当时，取得最小值 C. D. 当时，的最小值为29 11. 2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球．有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个边长为1的正六边形进行线性分形．如图，图（n）中每个正六边形的边长是图中每个正六边形的边长的．记图（n）中所有正六边形的边长之和为，则下列说法正确的是（ ） A. 图（4）中共有294个正六边形 B. C. 是一个递增的等比数列 D. 记为数列的前n项和，则对任意的且，都有 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分) 12. 已知数列的前项和，则__________． 13. 《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、小寒、大寒的日影子长的和是43.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长为_________尺. 14. 一件家用电器，现价2000元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款______元．（参考数据：，，，） 四、解答题（写出解答过程或证明过程) 15. 等差数列的前项和记为，已知. （1）求的通项公式： （2）求，并求为何值时的值最大. 16. 已知公差为2的等差数列中，，，成等比数列. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知等差数列的前n项和为，且满足． （1）求的通项公式； （2）记，求的前n项和． 18. 已知数列，为的前n项和，，，. （1）证明：是等比数列； （2）设，求数列的前n项和为. 19. 已知数列中，，． （1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和； （3）若存在，使得成立，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省眉山车城中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷 命题人：张浩秋 校对人：秦洪远 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单选题（每小题5分） 1. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，求出的值，可得出，代值计算即可得解. 【详解】设等比数列的公比为，则，所以，. 故选：D. 2. 记为等差数列的前项和．若，则（ ） A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出． 【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 故选：C. 3. 在正项等比数列中，是的等差中项，则（ ） A. 16 B. 27 C. 32 D. 54 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得，进而可得，即得. 【详解】设数列的公比为，则， ∴，解得，（舍去）， ∴. 故选：D. 4. 若数列{an}满足，则的值为（ ） A. 2 B. －3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 分别求出，得到数列是周期为4的数列，利用周期性即可得出结果. 【详解】由题意知，，，，，，…， 因此数列是周期为4的周期数列， ∴. 故选D. 【点睛】本题主要考查的是通过观察法求数列的通项公式，属于基础题. 5. 已知数列 的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用与关系求得通项关系，判断数列为等比数列即可求得. 【详解】当时，，∴，当时，，两式相减可得，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴． 故选:D． 6. 设等差数列的前n项和为，若，则（　　） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差中项的性质以及通项公式计算即可. 【详解】由等差中项的性质得 ， ，即 ， ， 故选：C. 7. 我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少?你的答案是( ) A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知该女子每天织布的尺数成等比数列，根据等比数列通项公式和前n项和公式即可求解. 【详解】根据题意可知该女子每天织布的尺数成等比数列，设该等比数列为，公比q＝2， 则第1天织布的尺数为，第5天织布的尺数为，前5天共织布为， 则，∴. 故选：D. 8. 已知数列{}满足（n∈N*），则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，应用作差法可得，进而求得数列{}的通项公式，注意验证是否满足通项公式. 【详解】由题设，①，则②， ①-②得：， 所以，由①知也满足上式，故（n∈N*）. 故选：C. 二、多选题（每小题6分，答错得0分） 9. 若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，斐波那契数列被誉为是最美的数列．则下列关于斐波那契数列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由递推公式，利用累加法得到AB选项，计算出前6项，从而判断CD选项. 【详解】当时，由可得，，…，． 又由，，可得，即， 累加可得， ， 故A正确； 又，，，…，， 累加可得 ，故B错误； ∵，，， 所以，，，， 所以C正确； 又， 所以D正确； 故选：ACD． 10. 设等差数列前项和为，公差，若，则下列结论中正确的有（ ） A. B. 当时，取得最小值 C. D. 当时，的最小值为29 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合该数列的单调性逐一判断即可. 【详解】解：根据题意， 由.故A正确； 因为，故当时，，，当时，，当或时，取得最小值，故B正确； 由于，故C正确； 因为，，所以由，可得：，因此n的最小值为，故D错误. 故选：ABC 11. 2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球．有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个边长为1的正六边形进行线性分形．如图，图（n）中每个正六边形的边长是图中每个正六边形的边长的．记图（n）中所有正六边形的边长之和为，则下列说法正确的是（ ） A. 图（4）中共有294个正六边形 B. C. 是一个递增的等比数列 D. 记为数列的前n项和，则对任意的且，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式的计算以及等比数列的性质求解即可. 【详解】对于A，由图可知，图至图中正六边形的个数构成以为首项， 为公比的等比数列，故图中共有个正六边形，A错误； 对于B，由题可知，图中每个正六边形的边长为， ，，B正确； 对于C，是底数大于的指数型函数， 是一个递增的等比数列，C正确； 对于D，，，， ， 当且时， 对任意的且，都有，D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分) 12. 已知数列的前项和，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：当时，求得；当时，类比写出，由求出，再将代入检验，即可求出答案. 详解：当时， 当时，由，得， 两式相减，， 将代入上式，， 通项公式为 故答案为. 点睛：本题主要考查已知数列的前项和，求数列的通项公式的方法.其求解过程分为三步： （1）当时， 求出； （2）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式； （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写． 13. 《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、小寒、大寒的日影子长的和是43.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长为_________尺. 【答案】12.5 【解析】 【分析】由题意构造等差数列，进而得出和d关系，求出和d，结合等差数列的通项公式求出即可. 【详解】从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这12个节气的日影长依次成等差数列， 由题意知，，解得， 所以立春的日影长为尺 故答案为：12.5 14. 一件家用电器，现价2000元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款______元．（参考数据：，，，） 【答案】176 【解析】 【分析】设每期应付款x元，第n期付款后欠款元，则由题意得，解方程可求得答案 【详解】设每期应付款x元，第n期付款后欠款元， 则， ，… ． 因为，所以， 解得， 即每期应付款176元． 故答案为：176 四、解答题（写出解答过程或证明过程) 15. 等差数列的前项和记为，已知. （1）求的通项公式： （2）求，并求为何值时的值最大. 【答案】（1）； （2）当或时，的值最大. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列前项和公式，结合等差数列的通项公式进行求解即可； （2）根据等差数列的性质进行求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为， 所以有， 即； 【小问2详解】 由（1）可知，所以该数列是递减数列， 而，当时，解得：， 因此当或时，的值最大. 16. 已知公差为2的等差数列中，，，成等比数列. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，用表示，求解即可； （2）结合等差、等比求和公式，分组求和即可. 【小问1详解】 因为，，成等比数列，所以， 又因为等差数列的公差为2， 所以， 解得， 所以； 【小问2详解】 由题意， 由于，故为以为首项，公比为4的等比数列， 所以 . 17. 已知等差数列的前n项和为，且满足． （1）求的通项公式； （2）记，求的前n项和． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知条件列方程组求出，从而可求出的通项公式； （2）由（1）可知，然后分和两种情况求解即可 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 则 ， 解得 故 （2） 当时， ， 当时，， … 所以． 18. 已知数列，为的前n项和，，，. （1）证明：是等比数列； （2）设，求数列的前n项和为. 【答案】（1）当时，， 当时， 由， 可得， 两式相减可得，， 即有， 即为数列为第二项起为等比数列, 又 数列为以为首项，等比数列为的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义得数列 为第二项起为等比数列，由等比数列的通项公式可得答案； （2）由（1）得 运用错位相减法可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得 ，， 可得， 则,, 即有前项和为， ，, 两式相减可得，， 化简可得. 19. 已知数列中，，． （1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和； （3）若存在，使得成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再两边取倒数整理得，即可得到数列表示首项为，公差为的等差数列，再根据等差数列的通项公式求出，即可得解； （2）由（1）可得，再利用错位相减法求和即可； （3）由（1）可得，利用累乘法求出，则问题转化为存在，使成立，令，利用作差法说明单调性，求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为，可得 可得，所以 即 又因为，可得， 所以数列表示首项为，公差为的等差数列， 所以，所以. 【小问2详解】 解：因为，所以， 故①， 所以②， 两式相减可得， 所以； 【小问3详解】 解：由，可得， 则， 存在，使得成立， 即存在，使成立，即存在，使成立， 设，则， 令， 当时，，即， 当时，，即， 当时，可得，即的最小值为3， 所以，即实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $