广东省深圳市建文外国语学校两学部2025届高三第一次模拟数学试题

绝密★启用前 2025年广东省深圳市建文外国语学校高三年级第一次模拟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.已知函数，对任意实数、都满足，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.阿基米德在他的著作关于圆锥体和球体中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为，则椭圆的短半轴长为(    ) A. B. C. D. 4.命题“，”的否定是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5.样本数据，，，，，，，，，的第百分位数为(    ) A. B. C. D. 6.某地区教研机构对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了分到分之间的名学生的成绩，并根据这些学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在内的学生人数为(    ) A. B. C. D. 7.已知双曲线一条渐近线的斜率为，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 8.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点，为双曲线的右顶点，且为正三角形设点为抛物线上的动点，点在轴上的投影为点，点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列命题是真命题的有(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 10.已知函数的最大值为，则的值可能为(    ) A. B. C. D. 11.已知函数，则(    ) A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.学校举办运动会时，高一班共有名同学参加比赛，有人参加径赛，有人参加田赛，有人参加球类比赛，有人同时参加参加径赛和田赛，有人同时参加径赛和球类比赛，没有人同时参加三项比赛只参加球类比赛的人数为______． 13.不等式的解集为______． 14.已知，则在 ______时，取得最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 若不等式的解集是， 求的值； 求不等式的解集； 求不等式的解集． 16.本小题分 年全国田径冠军赛暨全国田径大奖赛总决赛于月日在山东省日照市落幕四川田径队的吴艳妮以秒分的成绩打破了米女子跨栏的亚洲纪录，并夺得了年全国田径冠军赛女子米跨栏决赛的冠军，通过跑道侧面的高清轨道摄像机记录了该运动员时间单位：与位移单位：之间的关系，得到如下表数据： 画出散点图观察可得与之间近似为线性相关关系． 求出关于的线性回归方程； 记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求前项残差的和． 参考数据：，参考公式：． 17.本小题分 已知内角，，所对的边分别为，，，的面积为，且，求： 求角的大小； 求边中线长的最小值． 18.本小题分 如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，动点在直线上，且． 是否存在点，使得？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由； 当取何值时，直线与平面所成角的正弦值为； 求动点到直线的距离的取值范围． 19.本小题分 已知函数，． 求的最小值； 记为的导函数，设函数有且只有一个零点，求的取值范围． 1.【答案】  【解析】解：集合，，且， 集合在集合当中没有元素， 或，故的取值范围 故选：． 首先求出集合，然后由得出集合在集合当中没有元素，从而得出或． 考查集合之间的关系，通过数轴进行集合包含关系的运算，要注意端点的“开闭”． 2.【答案】  【解析】解：由题意可得函数在上单调递增， 所以，解得． 故选：． 由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可． 本题考查了利用函数的单调性求参数的范围，考查了指数函数、二次函数的性质，属于基础题． 3.【答案】  【解析】解：依题意，则，由椭圆对称性，得线段，互相平分于原点， 则四边形为平行四边形， 由椭圆的定义得，解得， 所以椭圆的短半轴长． 故选：． 根据题意，可得，再利用椭圆定义即可得． 本题考查椭圆的性质，属于基础题． 4.【答案】  【解析】解：命题“，”的否定是，． 故选：． 由特称命题的否定是存在改任意并否定原结论，即可得答案． 本题主要考查存在量词命题的否定，属于基础题． 5.【答案】  【解析】解：数据从小到大排列为：，，，，，，，，，， 因为， 所以第百分位数为． 故选：． 根据百分位数的定义求解． 本题主要考查了百分位数的定义，属于基础题． 6.【答案】  【解析】解：由频率分布直方图可得，， 解得， 所以成绩在内的学生人数为． 故选：． 根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为求出的值，进而求出结果． 本题主要考查了频率分布直方图的性质，属于基础题． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查双曲线的简单几何性质，属于基础题． 由题意可知，再利用离心率公式即可求得结果． 【解答】 解：双曲线一条渐近线的斜率为， ， 该双曲线的离心率， 故选A． 8.【答案】  【解析】解：双曲线的渐近线方程为， 因为抛物线的准线方程为，且为正三角形， 可求得点坐标为， 所以 ， 得， 所以抛物线方程为， 如图，由已知，轴，延长交抛物线的准线于点， 则， 当且仅当，，三点共线时取等号， 即的最小值为． 故选：． 先根据为正三角形求出抛物线的方程，利用抛物线的定义对距离进行转化，可求出最小值． 本题考查了抛物线的方程，重点考查了抛物线的定义，属中档题． 9.【答案】  【解析】解：当时，，故A正确，B错误； 由，得为无理数，不存在，使得，故C错误； 因为，故D正确． 故选：． 根据不等式的性质判断、、，解方程，即可判断． 本题主要考查了命题真假的判断，属于基础题． 10.【答案】  【解析】【分析】由题意得到的图象与的图象的上方相切．分直线与相切，和直线与相切求解即可． 【详解】因为的最大值为，所以的图象与的图象的上方相切． 第一种情况，直线与在上的图象相切， 设切点为，，所以， 解得，，又， 所以． 取，得，取，得， 第二种情况，直线与在上的图象相切， 设切点为，，所以， 解得，，又， 所以． 取，得， 故选：． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二倍角余弦公式，判断余弦型函数的单调性，属于中档题． 化简得，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得正确选项． 【解答】 解：， 对于选项A，由，得， 则在上先单调递减再单调递增， 所以函数在上先单调递增后单调递减，故 A错误； 对于选项B，由，得， 则在上单调递增， 所以在上单调递减，故B正确； 对于，由，得， 则在上单调递增， 所以在上单调递减，故 C正确； 对于，由，得， 则在上单调递增， 所以在上单调递减，故 D错误， 故选：． 12.【答案】  【解析】解：设全班参加比赛的同学为全集，参加径赛的同学为集合， 参加田赛的同学为集合，参加球类比赛的同学为集合， 设同时参加田赛和球类比赛的有人， 根据题意，画出韦恩图如图所示， 在相应的位置填上数字，则， 解得， 所以同时参加田赛和球类比赛的有人， 所以只参加球类比赛的人数为人． 故答案为：． 利用韦恩图求解即可． 本题考查了集合交并补关系的应用，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：由恒成立， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 由一元二次不等式的解法求解即可． 本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题． 14.【答案】    【解析】解：因，，当且仅当时等号成立，即在时，取得最小值为． 故答案为：；． 由条件知，可用基本不等式求其最小值． 本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题． 15.【答案】解：依题意可得；的两个实数根为和， 由书达定理得：， 解得：； 不等式可化为，， 分解因式可得， 解得：， 所以所求不等式的解集为； 不等式，即， 等价于， 解得， 即不等式的解集为或  【解析】由已知不等式的解集得到的两个实数根为和，利用书达定理即可求出的值； 将的值代入不等式中求解即可； 将的值代入不等式中，解分式不等式即可． 本题主要考查了已知一元二次不等式的解求参数的值，解一元二次不等式和分式不等式，属于中档题． 16.【答案】解：依题意可得， ， ， ， 所以关于的线性回归方程为 根据得到； ； ， 所以．  【解析】本题主要考查线性回归方程，残差的求法，考查运算求解能力，属于中档题． 根据已知条件求得回归方程的系数，即可得回归方程； 结合题中数据和计算公式即可求得． 17.【答案】解：   ， 由余弦定理可得 ， 即  ，                                       由正弦定理可得  ，    ，   ，   ，即  ， 又  ，所以              由知， 的面积为  ， 所以  ，解得  ， 由平面向量知识可知  ， 所以   ， 当且仅当  时取等号， 故  边中线长的最小值为       【解析】本题考查利用余弦定理解三角形，利用正弦定理解三角形，向量的数量积的概念及其运算，以及由基本不等式求最值，属于中档题． 由余弦定理可得，再由正弦定理可得，，所以，可得角的大小； 由知，，由的面积为，得，由平面向量可知，结合向量的数量积和基本不等式可得长的最小值． 18.【答案】解：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 即，， 因为，所以， 所以不存在点，使得； 设平面的一个法向量为， 则有，取，得， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以 ，解得或， 所以当或时，直线与平面所成角的正弦值为； 由知，，． 设点到直线的距离为， 则 当且仅当时取等号， 所以动点到直线的距离的取值范围为．  【解析】建立空间直角坐标系，根据直线方向向量的数量积不为，得出结论； 求得平面的一个法向量，利用向量的夹角公式列出方程即可解得； 利用向量法求得点到直线的距离为，再根据二次函数配方法求得距离的取值范围． 本题考查线线垂直的判定，直线与平面所成角的正弦值求法及点到直线距离的求法，属中档题． 19.【答案】解：， 时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增． 时，；时，函数的最小值为． 由题意，可得， 则， 时，，函数在单调递增． 又，函数有且只有一个零点，满足题意． 时，令，， 函数在单调递增． 又时，；时，． 存在唯一实数，使得，即， 时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增． 是函数的最小值点，又， 当函数有且只有一个零点时，，即． 综上，的取值范围是．  【解析】，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得出函数的最小值． 由题意，可得，，对分类讨论，利用导数研究函数的单调性与极值及最值，再求出的取值范围． 本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 学科网（北京）股份有限公司 $$