重难点题-2025年中考数学考前最新精选题

2025年中考数学考前最新精选题—重难点题 一．选择题（共10小题） 1．（2025•辽阳一模）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•庐阳区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A为x轴上的一点，将OA绕点O按顺时针旋转60°至OB，反比例函数y（k≠0）的图象经过点B，过A作AC∥BO交反比例函数图象于点C，若△BOC的面积为3，则k的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2025•凉州区模拟）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH的长为（　　） A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 4．（2025•射阳县一模）已知函数y1＝mx2+n，y2＝nx+m（mn≠0），则两个函数在同一坐标系中的图象可能为（　　） A． B． C．D． 5．（2025•河北模拟）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，EF⊥BD，垂足为点H，EF分别交AD、DC及BC的延长线于点E、M、F，且ED：CF＝1：2，则DH：DB的值为（　　） A． B． C． D． 6．（2025•任城区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　） A．1米 B．米 C．2米 D．米 7．（2025•埇桥区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠CDB＝42°，则∠ABC的度数是（　　） A．48° B．42° C．45° D．43° 8．（2025•中山市校级一模）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当四边形ABCD的周长最小时，点D的坐标为（　　） A．（4，3） B．（4，4） C．（4，5） D．（4，6） 9．（2025•鱼台县一模）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠C的度数是（　　） A．15° B．30° C．35° D．40° 10．（2025•银川校级一模）“某学校改造过程中整修门口3000m的道路，但是在实际施工时，…，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路x m，可得方程，则题目中用“…”表示的条件应是（　　） A．每天比原计划多修10m，结果延期20天完成 B．每天比原计划多修10m，结果提前20天完成 C．每天比原计划少修10m，结果延期20天完成 D．每天比原计划少修10m，结果提前20天完成 二．填空题（共5小题） 11．（2025•平塘县一模）2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为（2，1），（0，2），则点B的坐标为 　 　 ． 12．（2025•市中区一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在y轴上，M，N分别是边OA，OC的中点，若点M，N的纵坐标分别是3，2，则点B的坐标是 　 　 ． 13．（2025•柳州二模）如图，小睿同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树AB的高度为 　 　 m． 14．（2025•沈阳一模）如图，△ABC的顶点A，B在双曲线上，顶点C在y轴上，AB边过原点，BC边与双曲线交于点D，若BD＝3CD，△ABC的面积为50，则k的值为 　 　 ． 15．（2025•聊城模拟）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若，DE＝4，则BC的长是 　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．（2025•市中区一模）为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板CD长为1.6m，踏板CD与地面DE的坡比＝1：，支架AC长为0.8m，跑步机手柄为AB，且AB∥ED，A到地面的高度为h．支架与踏板的夹角（∠ACD）可以根据用户的舒适度需求在0°～90°调节． （1）求C到地面DE距离； （2）该人身高为1.8米，通过尝试h是身高0.8倍运动起来更加舒服． ①求此时点C到手柄AB的距离； ②求此时支架与踏板之间夹角的度数．（参考数据：cos50°≈0.64，cos37°≈0.8，sin50°＝cos40°≈0.76） 17．（2025•辽阳一模）某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，点B的垂直高度BE为130m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） （1）求索道AB的长（结果精确到1m）； （2）求山顶点D到水平地面的距离DF的长（结果精确到1m）． （参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.41） 18．（2025•金水区模拟）阅读以下材料，并完成相应的任务： 定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 下面是该定理的部分证明过程： 已知：如图，AB与⊙O相切于点A，点C，D在⊙O上，连接AC，CD，AD． 求证：∠CAB＝∠D． 证明：连接AO并延长，交⊙O于点E，连接CE． ∵AB与⊙O相切于点A， ∴∠EAB＝90°．（依据1） ∴∠EAC+∠CAB＝90°． ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ECA＝90°．（依据2） ∴∠E+∠EAC＝90°． 任务： （1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：　 　 ； 依据2：　 　 ． （2）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． （3）已知图中⊙O的半径2，弦切角∠CAB＝30°，直接写出AC的长． 19．（2025•柳州二模）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中AB，CD为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体A处，另一端固定在墙体D处，骨架最高点P到墙体AB的水平距离为2米，且点P离地面的高度为3.75米． 数学建模 （1）在图1中，以B为原点，水平直线BC为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为y（米），该处离墙体AB的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式； 问题解决 （2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装“丁”字形铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段AE，FG组成，其中点E，F在顶棚抛物线形骨架上，FG⊥AE于点G．为不影响耕作，将点E到地面的距离定为1.5米． ①点E的坐标为 　 　 ，AE的长为 　 　 ； ②请你计算做一个“丁”字形支架所需铝合金材料的最大长度．（结果精确到0.1米．参考数据：） 20．（2025•山东模拟）如图1，已知直线MN∥GH，且MN和GH之间的距离为1，小明同学制作了两个直角三角形硬纸板ACB和DEF，其中∠ACB＝90°，∠DFE＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝1．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： （1）如图1，点A在MN上，边BC在GH上，边DE在直线AB上． ①将直角三角形DEF沿射线BA的方向平移，当点F在MN上时，如图2，求∠AFE的度数； ②将直角三角形DEF从图2的位置继续沿射线BA的方向平移，当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，求∠FAN度数； （2）将直角三角形ABC如图3放置，若点A在直线MN上，点C在MN和GH之间（不含MN，GH上），边BC和AB与直线GH分别交于D，K．在△ABC绕着点A旋转的过程中，设∠MAK＝n°，∠CDK＝（4m﹣2n﹣10）°，则m的取值范围为　 　 ． 2025年中考数学考前最新精选题—重难点题 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C A D B A B C B 一．选择题（共10小题） 1．（2025•辽阳一模）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x人，生产茶壶的工人有y人，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】C 【分析】本题的等量关系为：生产茶杯人数+生产茶壶人数＝120；茶杯量＝8×茶壶量． 【解答】解：∵共有120个工人， ∴x+y＝120． ∵每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，8个茶杯和1个茶壶为一套， ∴200x＝8×50y． ∴． 故选：C． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组． 2．（2025•庐阳区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A为x轴上的一点，将OA绕点O按顺时针旋转60°至OB，反比例函数y（k≠0）的图象经过点B，过A作AC∥BO交反比例函数图象于点C，若△BOC的面积为3，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】D 【分析】过B点作BE⊥AO于E点，根据旋转的性质可得：OA＝OB，∠AOB＝60°，即有△OAB是等边三角形，则有，，根据AC∥BO，可得S△BCO＝S△BAO，即可得，解方程可得（负值舍去），则有，问题随之得解． 【解答】解：过B点作BE⊥AO于E点，如图， 根据旋转的性质可得：OA＝OB，∠AOB＝60°， ∴△OAB是等边三角形， ∵BE⊥AO， ∴， ∴在Rt△BEO中，， ∵AC∥BO， ∴S△BCO＝S△BAO， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴BE＝3， ∴， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，反比例函数的性质等知识，根据AC∥BO，得到S△BCO＝S△BAO，是解答本题的关键． 3．（2025•凉州区模拟）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH的长为（　　） A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 【考点】菱形的性质．版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AH，即可得出AH的长度． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴COAC＝3，BOBD＝4，AO⊥BO， ∴BC＝5， ∴S菱形ABCDAC•BD6×8＝24， ∵S菱形ABCD＝BC×AH， ∴BC×AH＝24， ∴AH4.8， 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分． 4．（2025•射阳县一模）已知函数y1＝mx2+n，y2＝nx+m（mn≠0），则两个函数在同一坐标系中的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的性质；一次函数的图象；二次函数的图象．版权所有 【专题】数形结合；函数的综合应用；推理能力． 【答案】A 【分析】可先根据一次函数的图象判断m的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，进而判断选项的正误． 【解答】解：A、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＜0，m＞0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，故选项符合题意； B、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＞0，m＜0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，故本选项不符合题意； C、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＜0，m＜0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向下，抛物线与y轴交于负半轴，故本选项不符合题意； D、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＞0，m＞0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象开口向上，抛物线与y轴交于正半轴，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】考查一次函数及二次函数的图象与性质．熟练运用函数图象与系数的关系是解题的关键． 5．（2025•河北模拟）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，EF⊥BD，垂足为点H，EF分别交AD、DC及BC的延长线于点E、M、F，且ED：CF＝1：2，则DH：DB的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．版权所有 【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】D 【分析】先由菱形的性质得到AD∥BC，AC⊥BD，AD＝BC，再证明AC∥EF，进而证明四边形AEFC是平行四边形，得到AE＝CF，由此可得到DE：BF＝1：5，再证明△DEH∽△BFH，得到，则． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AC⊥BD，AD＝BC， ∵EF⊥BD， ∴AC∥EF， ∴四边形AEFC是平行四边形， ∴AE＝CF， ∵ED：CF＝1：2， ∴ED：AE＝1：2， ∴ED：AD＝ED：BC＝1：3， ∴DE：BF＝1：5， ∵AD∥BC， ∴△DEH∽△BFH， ∴， ∴， 故选：D． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．（2025•任城区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【考点】垂径定理的应用；勾股定理．版权所有 【专题】与圆有关的计算；推理能力． 【答案】B 【分析】连接OC交AB于点E．利用垂径定理以及勾股定理求出OE，可得结论． 【解答】解：连接OC交AB于点E． 由题意OC⊥AB， ∴AE＝BEAB＝3（米）， 在Rt△AEO中，OE（米）， ∴CE＝OC﹣OE＝（4）（米）， 故选：B． 【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 7．（2025•埇桥区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠CDB＝42°，则∠ABC的度数是（　　） A．48° B．42° C．45° D．43° 【考点】圆周角定理．版权所有 【专题】与圆有关的计算；运算能力． 【答案】A 【分析】如图所示，连接OC，由圆周角定理得到∠BOC＝2∠CDB＝84°，由平角的定义可得∠AOC＝180°﹣∠BCO＝96°，则由圆周角定理可得． 【解答】解：如图所示，连接OC， ∵AB是⊙O的直径，∠CDB＝42°， ∴∠BOC＝2∠CDB＝84°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BCO＝96°， ∴， 故选：A． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆或等圆中，同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键． 8．（2025•中山市校级一模）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当四边形ABCD的周长最小时，点D的坐标为（　　） A．（4，3） B．（4，4） C．（4，5） D．（4，6） 【考点】抛物线与x轴的交点；轴对称﹣最短路线问题；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【答案】B 【分析】抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结AF交对称轴于D点，如图，先证明四边形CDFE为平行四边形得到CE＝DF，则CB＝DF，利用等线段代换得到四边形ABCD的周长＝AB+CD+AF，根据两点之间线段最短可判断此时四边形ABCD的周长最小，再解方程x2﹣4x+6＝0得E（6，0），从而确定抛物线的对称性为直线x＝4，F（6，3），接着确定A（0，6），然后利用待定系数法求出直线AF的解析式为yx+6，于是计算自变量为4对应的函数值得到D点坐标． 【解答】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结AF交对称轴于D点，如图， ∵CD＝EF＝3，CD∥EF， ∴四边形CDFE为平行四边形， ∴CE＝DF， ∵CB＝CE， ∴CB＝DF， ∴四边形ABCD的周长＝AB+CD+AD+BC＝AB+CD+DF+AD＝AB+CD+AF， ∴此时四边形ABCD的周长最小， 当y＝0时，x2﹣4x+6＝0， 解得x1＝2，x2＝6， ∴B（2，0），E（6，0）， ∴抛物线的对称性为直线x＝4，F（6，3）， 当x＝0时，yx2﹣4x+6＝6， ∴A（0，6）， 设直线AF的解析式为y＝kx+b， 把A（0，6），F（6，3）代入得， 解得， ∴直线AF的解析式为yx+6， 当x＝4时，yx+6＝4， ∴D（4，4）． 故选：B． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路线问题． 9．（2025•鱼台县一模）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠C的度数是（　　） A．15° B．30° C．35° D．40° 【考点】旋转的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可得∠AOD＝30°，AO＝DO，再求出∠COD，及∠A，即可知∠ODC的度数，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠C的度数． 【解答】解：∵△ODC是△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形， ∴∠AOD＝30°，AO＝DO， ∵∠AOC＝100°， ∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝100°﹣30°＝70°，∠A＝∠ADO（180°﹣∠AOD）（180°﹣30°）＝75°， ∴∠ODC＝∠A＝75°， ∴∠C＝180°﹣∠COD﹣∠ODC＝180°﹣70°﹣75°＝35°， 故选：C． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 10．（2025•银川校级一模）“某学校改造过程中整修门口3000m的道路，但是在实际施工时，…，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路x m，可得方程，则题目中用“…”表示的条件应是（　　） A．每天比原计划多修10m，结果延期20天完成 B．每天比原计划多修10m，结果提前20天完成 C．每天比原计划少修10m，结果延期20天完成 D．每天比原计划少修10m，结果提前20天完成 【考点】分式方程的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】由x代表的含义找出（x﹣10）代表的含义，再分析所列方程选用的等量关系，即可找出结论． 【解答】解：设实际每天整修道路x m，则（x﹣10）m表示：实际施工时，每天比原计划多修10m， ∵方程，其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间， ∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前20天完成． 故选：B． 【点评】本题考查了分式方程的应用，根据所列分式方程，找出选用的等量关系是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．（2025•平塘县一模）2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为（2，1），（0，2），则点B的坐标为 　（﹣1，﹣2）　 ． 【考点】坐标确定位置．版权所有 【专题】平面直角坐标系；几何直观． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据A，B两点的坐标建立好坐标系，即可确定点C的坐标． 【解答】解：∵A，C两点的坐标分别为（2，1），（0，2）， ∴建立坐标系如图所示： ∴点B的坐标为（﹣1，﹣2）． 故答案为：（﹣1，﹣2）． 【点评】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键． 12．（2025•市中区一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在y轴上，M，N分别是边OA，OC的中点，若点M，N的纵坐标分别是3，2，则点B的坐标是 　（2，10）．　 ． 【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】延长BC交x轴于Q，作NP⊥OQ于P，由菱形的性质得到BC∥AO，BC＝CO＝AO，由点M的纵坐标是3，得到OC＝BC＝6，由N的纵坐标是2，得到PN＝2，由三角形中位线定理得到QC＝4，即可求出BQ的长，由勾股定理求出OQ的长，即可得到B的坐标． 【解答】解：延长BC交x轴于Q，作NP⊥OQ于P， ∵四边形ABCO是菱形， ∴BC∥AO，BC＝CO＝AO， ∵AO⊥OQ， ∴BC⊥OQ， ∵点M，N的纵坐标分别是3，2， ∴OM＝3，PN＝2， ∵M是OA中点， ∴AO＝2OM＝6， ∴OC＝BC＝6， ∵PN∥CQ， ∴PO：PQ＝ON：NC， ∵ON＝NC， ∴OP＝PQ， ∴PN是△OCQ的中位线， ∴CQ＝2PN＝4， ∴OQ2， ∵BQ＝BC+CQ＝6+4＝10， ∴B的坐标是（2，10）． 故答案为：（2，10）． 【点评】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，掌握以上知识点是解题的关键． 13．（2025•柳州二模）如图，小睿同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树AB的高度为 　5.5　 m． 【考点】相似三角形的应用．版权所有 【专题】图形的相似；运算能力． 【答案】5.5． 【分析】证明△DEF∽△DCB可得结论． 【解答】解：由题意可得：∠DEF＝∠DCB＝90°， ∵∠EDF＝∠CDB， ∴△DEF∽△DCB， ∴，即， ∴BC＝4m， ∴AB＝BC+AC＝4+1.5＝5.5m， 故答案为：5.5． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，证明出△DEF∽△DCB是解此题的关键． 14．（2025•沈阳一模）如图，△ABC的顶点A，B在双曲线上，顶点C在y轴上，AB边过原点，BC边与双曲线交于点D，若BD＝3CD，△ABC的面积为50，则k的值为 　﹣10　 ． 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】﹣10． 【分析】设，则．设C（0，y1），则OC＝﹣y1，求出x1y1＝﹣50，根据BD＝3CD，求出，再根据直线BC 的斜率即可求得结果． 【解答】解：设，则． 设C（0，y1），则OC＝﹣y1， ， ∴x1y1＝﹣50， ∴， ∴， 变形得3x1y1＝15k． 又∵x1y1＝﹣50， ∴k＝﹣10． 故答案为：﹣10． 【点评】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，坐标与几何长度之间的转化是解题的关键． 15．（2025•聊城模拟）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若，DE＝4，则BC的长是 　2　 ． 【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．版权所有 【专题】与圆有关的计算；运算能力． 【答案】2． 【分析】由垂径定理得到，设OA＝OE＝r，则OD＝DE﹣OE＝4﹣r，在Rt△AOD中，由勾股定理得，解得r＝3，由AB是⊙O的直径得到AB＝2r＝6，∠ACB＝90°，则． 【解答】解：∵OD⊥AC，， ∴， 设OA＝OE＝r，则OD＝DE﹣OE＝4﹣r， 在Rt△AOD中，由勾股定理得OD2+AD2＝OA2， ∴， 解得r＝3， ∵AB是⊙O的直径， ∴AB＝2r＝6，∠ACB＝90°， ∴， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 三．解答题（共5小题） 16．（2025•市中区一模）为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板CD长为1.6m，踏板CD与地面DE的坡比＝1：，支架AC长为0.8m，跑步机手柄为AB，且AB∥ED，A到地面的高度为h．支架与踏板的夹角（∠ACD）可以根据用户的舒适度需求在0°～90°调节． （1）求C到地面DE距离； （2）该人身高为1.8米，通过尝试h是身高0.8倍运动起来更加舒服． ①求此时点C到手柄AB的距离； ②求此时支架与踏板之间夹角的度数．（参考数据：cos50°≈0.64，cos37°≈0.8，sin50°＝cos40°≈0.76） 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）过C作CG⊥DE于G，由坡度坡角的关系求出∠CDG＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）①延长GC交AB于F，则CF⊥AB，求出h＝FG＝1.44（m），由（1）得CG＝0.8m，然后求出CF的长即可； ②由锐角三角函数定义求出∠ACF≈37°，再由（1）得∠DCG＝90°﹣∠CDG＝60°，然后求出∠ACD的度数即可． 【解答】解：（1）过C作CG⊥DE于G， ∵踏板CD与地面DE的坡比＝1：，CD＝1.6m， ∴tan∠CDG， ∴∠CDG＝30°， ∴CGCD＝0.8（m）， 即C到地面DE距离为0.8m； （2）①延长GC交AB于F， 则CF⊥AB， ∵该人身高为1.8米，通过尝试h是身高0.8倍运动起来更加舒服， ∴h＝FG＝1.8×0.8＝1.44（m）， 由（1）得：CG＝0.8m， ∴CF＝FG﹣CG＝1.44﹣0.8＝0.64（m）， 即此时点C到手柄AB的距离为0.64m； ②在Rt△ACF中，AC＝0.8m，cos∠ACF0.8， ∴∠ACF≈37°， 由（1）得：∠DCG＝90°﹣∠CDG＝60°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACF﹣∠DCG≈180°﹣37°﹣60°＝83°． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 17．（2025•辽阳一模）某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，点B的垂直高度BE为130m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） （1）求索道AB的长（结果精确到1m）； （2）求山顶点D到水平地面的距离DF的长（结果精确到1m）． （参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.41） 【考点】解直角三角形的应用．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】（1）AB的长约为500m； （2）DF的长为483m． 【分析】（1）通过解Rt△ABE可求得AB的长； （2）延长BC交DF于G，证明四边形BEFG是矩形，可得FG＝BE，∠CGD＝∠BGF＝90°，再解Rt△CDG可求解DG的长，进而可求解． 【解答】解：（1）在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠A＝15°，BE＝130m， ∴AB500（m）， 即AB的长约为500m； （2）延长BC交DF于G， ∵BC∥AE， ∴∠CBE＝90°， ∵DF⊥AF， ∴∠AFD＝90°， ∴四边形BEFG为矩形， ∴BG⊥DF，FG＝BE＝130m， ∴∠DGC＝90°， ∵CD＝AB＝500m，∠DCG＝45°， ∴DG＝CD•sin∠DCG＝500×sin45°＝500250（m）， ∴DF＝DG+FG＝130+250483（m）， 即DF的长为483m． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握三角函数的概念是解题的关键． 18．（2025•金水区模拟）阅读以下材料，并完成相应的任务： 定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 下面是该定理的部分证明过程： 已知：如图，AB与⊙O相切于点A，点C，D在⊙O上，连接AC，CD，AD． 求证：∠CAB＝∠D． 证明：连接AO并延长，交⊙O于点E，连接CE． ∵AB与⊙O相切于点A， ∴∠EAB＝90°．（依据1） ∴∠EAC+∠CAB＝90°． ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ECA＝90°．（依据2） ∴∠E+∠EAC＝90°． 任务： （1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：　圆的切线垂直于过切点的半径　 ； 依据2：　直径所对的圆周角是直角　 ． （2）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． （3）已知图中⊙O的半径2，弦切角∠CAB＝30°，直接写出AC的长． 【考点】切线的性质；圆周角定理．版权所有 【专题】圆的有关概念及性质；运算能力． 【答案】（1）依据1：圆的切线垂直于过切点的半径；依据2：直径所对的圆周角是直角； （2）∴∠E＝∠CAB，∵，∴∠E＝∠D，∴∠CAB＝∠D； （3）2． 【分析】（1）利用圆切线的性质及圆周角定理的推论即可解决； （2）通过根据同角的余角相等得到∠E＝∠CAB，再利用说明∠E＝∠D即可； （3）在Rt△AEC中，先求出∠E＝∠D＝30°，利用30°角对的直角边等于斜边的一半即可解决． 【解答】（1）解：∵AB与⊙O相切于点A， ∴∠EAB＝90°（圆的切线垂直于过切点的半径）， ∴∠EAC+∠CAB＝90°， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ECA＝90°，（直径所对的圆周角是直角） 故答案为：圆的切线垂直于过切点的半径；直径所对的圆周角是直角； （2）证明：连接AO并延长，交⊙O于点E，连接CE． ∵AB与⊙O相切于点A， ∴∠EAB＝90°（圆的切线垂直于过切点的半径）， ∴∠EAC+∠CAB＝90°， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ECA＝90°，（直径所对的圆周角是直角） ∴∠E＝∠CAB， ∵， ∴∠E＝∠D， ∴∠CAB＝∠D； （3）解：∵弦切角∠CAB＝30°， 由（2）可知：∠CAB＝∠D＝30°， ∴∠E＝∠D＝30°， ∵AE为⊙O直径， ∴∠ACE＝90°， 在Rt△AEC中，AE＝2×2＝4， ∴． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质等知识点，熟记知识点是解题的关键． 19．（2025•柳州二模）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中AB，CD为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体A处，另一端固定在墙体D处，骨架最高点P到墙体AB的水平距离为2米，且点P离地面的高度为3.75米． 数学建模 （1）在图1中，以B为原点，水平直线BC为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为y（米），该处离墙体AB的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式； 问题解决 （2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装“丁”字形铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段AE，FG组成，其中点E，F在顶棚抛物线形骨架上，FG⊥AE于点G．为不影响耕作，将点E到地面的距离定为1.5米． ①点E的坐标为 　（8，1.5）　 ，AE的长为 　2　 ； ②请你计算做一个“丁”字形支架所需铝合金材料的最大长度．（结果精确到0.1米．参考数据：） 【考点】二次函数的应用．版权所有 【专题】二次函数的应用；运算能力． 【答案】（1）；（2）①（8，1.5），；②9.3米． 【分析】（1）根据题意得，抛物线的顶点P的坐标为（2，3.75），设y与x之间的函数关系式为y＝a（x﹣2）2+3.75，然后用待定系数法即可求解； （2）①当y＝1.5时，，解得：x＝8即可求出E（8，1.5），再用两点之间的距离公式求出AE； ②过点E作EH⊥AB于点H，过点F作FM⊥BC于点M，交AE于点N，求出AE所在直线的函数表达式，设点F的横坐标为m，则，当m＝4时，FN最大＝1，再根据，得出，最后根据线段和差即可求解． 【解答】解：（1）根据题意得，抛物线的顶点P的坐标为（2，3.75）， ∴设y与x之间的函数关系式为y＝a（x﹣2）2+3.75， 由题意得，点A的坐标为（0，3.5）， 将A（0，3.5）代入y＝a（x﹣2）2+3.75， 得4a+3.75＝3.5，解得， ∴， 即y与x之间的函数关系式为， （2）①由（1）得， 当y＝1.5时，，解得：x＝8或x＝﹣4（舍去）， ∴E（8，1.5）， ∵A（0，3.5）， ∴， 故答案为：（8，1.5），； ②过点E作EH⊥AB于点H，过点F作FM⊥BC于点M，交AE于点N， 设AE所在直线的函数表达式为y＝kx+b， 将A（0，3.5），E（8，1.5）分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴AE所在直线的函数表达式为， 设点F的横坐标为m， ∵点F在抛物线的图象上， ∴，， ∴， ∵，且0≤x≤9， ∴FM有最大值，当m＝4时，FN最大＝1， ∵FN∥y轴， ∴∠HAE＝∠MNE＝∠FNG， 又∵∠FGN＝∠AHE＝90°，HE＝8，HA＝AB﹣BH＝2， ∴， ∴， ∵当m＝4时，FN有最大值1， ∴当m＝4时，FG有最大值， 此时，米． ∴需要铝合金材料的最大长度约为9.3米． 【点评】本题考查了二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 20．（2025•山东模拟）如图1，已知直线MN∥GH，且MN和GH之间的距离为1，小明同学制作了两个直角三角形硬纸板ACB和DEF，其中∠ACB＝90°，∠DFE＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝1．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： （1）如图1，点A在MN上，边BC在GH上，边DE在直线AB上． ①将直角三角形DEF沿射线BA的方向平移，当点F在MN上时，如图2，求∠AFE的度数； ②将直角三角形DEF从图2的位置继续沿射线BA的方向平移，当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，求∠FAN度数； （2）将直角三角形ABC如图3放置，若点A在直线MN上，点C在MN和GH之间（不含MN，GH上），边BC和AB与直线GH分别交于D，K．在△ABC绕着点A旋转的过程中，设∠MAK＝n°，∠CDK＝（4m﹣2n﹣10）°，则m的取值范围为　70＜m＜92.5　 ． 【考点】几何变换综合题．版权所有 【专题】三角形；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）①由直角三角形的性质和外角性质可求解； ②分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解； （2）由平行线的性质和四边形内角和定理可得n＝4m﹣235°，由边BC和AB与直线GH分别交于D，K，可得45°＜n＜135°，即可求解． 【解答】解：（1）①∵∠DFE＝90°， ∴∠DEF+∠EDF＝90°， ∵∠EDF＝30°， ∴∠DEF＝60°， ∵∠DEF＝∠EAF+∠AFE， ∴∠AFE＝∠DEF﹣∠EAF＝60°﹣45°＝15°； （2）由题意可知，∠AFD＝90°或∠FAD＝90°， ①如图2﹣1，当∠AFD＝90°时， ∵∠AFD＝90°， ∴∠FAD+∠ADF＝90°， ∵∠ADF＝30°， ∴∠FAD＝60°， ∴∠FAN＝∠FAD﹣∠BAN＝60°﹣45°＝15°； ②如图2﹣2，当∠FAD＝90°时， ∠FAN＝∠FAD﹣∠BAN＝90°﹣45°＝45° ∴∠FAN度数为15°或45°； （2）∵MN∥GH， ∴∠MAK＝∠AKH＝n°， ∵∠CAB+∠ACB+∠AKD+∠CDK＝360°， ∴45°+90°+n°+（4m﹣2n﹣10）°＝360°， ∴4m﹣n＝235， ∴n＝4m﹣235， ∵边BC和AB与直线GH分别交于D，K， ∴45＜n＜135， ∴45＜4m﹣235＜135， ∴70＜m＜92.5， 故答案为：70°＜m＜92.5． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了直角三角形的性质，三角形的外角性质，平行线的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 考点卡片 1．由实际问题抽象出二元一次方程组 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 2．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 3．坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 4．坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 5．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 6．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 7．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 8．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 9．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 10．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 11．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 12．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 13．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 14．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 15．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 16．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 17．菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 18．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 19．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 20．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 21．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 22．轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 23．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　 　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　 　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　 　　③旋转前、后的图形全等．　　 （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 24．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 25．几何变换综合题 这种题型主要考查旋转、平移以及动点问题，经常是四边形和圆的综合题目，难度大． 26．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 27．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 28．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 29．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$