易错题-2025年中考数学考前最新精选题

2025年中考数学考前最新精选题—易错题 一．选择题（共10小题） 1．（2025•象州县一模）反比例函数的图象一定经过（　　） A．一二象限 B．一三象限 C．二三象限 D．二四象限 2．（2025•中山市校级一模）抛物线y＝﹣x2+2x+3有三点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 3．（2025•河南一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标（4，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①抛物线过原点； ②a﹣b+c＞0； ③4a+2b+c＝0； ④抛物线的顶点坐标为（2，b）； ⑤当x＜4时，y随x增大而增大． 其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③④⑤ 4．（2025•辽阳一模）若一个数用科学记数法表示为3.96×105，则这个数是（　　） A．39600 B．396000 C．0.0000396 D．0.00000396 5．（2025•丰满区校级模拟）若等式a3+□＝3a3成立，则“□”中填写的单项式是（　　） A．2 B．2a3 C．﹣2a3 D．4 6．（2025•莱芜区一模）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．水温从20℃加热到100℃，需要4min B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午10点接通电源，可以保证当天10：30水温为40℃ D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为8min 7．（2025•湖州一模）如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），ME与AB交于点E，反射光线DN与AC交于点F，DK⊥BC，且反射光线和入射光线满足∠NDK＝∠MDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 8．（2025•雁塔区校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 n ﹣1 m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线x＝1；③m＝n；④图象不经过第三象限；⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（　　） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 9．（2025•福州校级模拟）如图，在△ABC中，BC＝36，AB边的垂直平分线和AC边的垂直平分线与BC边分别相交于点E，F，连接AE，AF，则△AEF的周长为（　　） A．36 B．18 C．32 D．不能确定 10．（2025•九龙坡区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，以点A为圆心，长为半径画弧，交AD于点M，交AB于点N，连接CM、CN、AC，若∠DAC＝30°，AB＝3，则图中阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 11．（2025•岳塘区校级一模）已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）满足反比例函数，当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为0.5m，则k＝ 　 　 ． 12．（2025•铁西区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝40°，AB＝6，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若BE＝BC时，的长为 　 　 （结果保留π）． 13．（2025•兴宾区一模）全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国等个别国家采用华氏温标，小明同学通过查阅资料，得到了相关数据，如表： 摄氏温度值x/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度值y/℉ 32 50 68 86 104 122 小军看到小明表格中的数据后，认为相应的y值一直大于x值，小明不认同这个观点，并运用所学数学知识计算得出，当x的取值范围是 　 　 时，y值小于x值． 14．（2025•湖州一模）如图，在平行四边形ABCD中，B'是点B关于对角线AC的对称点，连结AB'交CD于点E，连结BB'交CD于点F，交AC于点G．AB＝13，AG＝2CG＝12，则△B′EF的面积是 　 　 ． 15．（2025•南山区一模）如图，一同学进行单摆运动实验，从A点出发，在右侧达到最高点B．实验过程中在O点正下方的P处有一个钉子．已知在O点测得起始位置A的俯角是45°，B点的俯角是60°，B点测得钉子P的仰角是45°，且OP长为4，则摆绳OA长为 　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．（2025•乾县校级一模）新中国成立以来，几代人逢山开路、遇水架桥，正在加快建设交通强国．如图1是某地高速公路上修建的两个隧道，如图2是其横截面示意图． 素材一：隧道L1与L2均呈抛物线型．已知隧道L2底部C与隧道L1底部A相距2m，以直线AC为x轴，线段AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，点D、B都在x轴上． 素材二：L1所在抛物线与L2所在抛物线关于y轴对称，L1底部宽AB为12m，L1所在抛物线的最高点P与路面AB的距离为8m． （1）求隧道L1所在抛物线的表达式； （2）现需在隧道L1、L2内壁上分别安装摄像头N、M，如图2所示，即N、M均在各自抛物线对称轴左侧的抛物线上．已知点M，N到路面AC的竖直距离均为6m，求M，N两点间的距离． 17．（2025•象州县一模）为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面10m的点A和15m的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流从C点射出恰好到达点A处，且水流的最大高度为16m，水流的最高点到高楼的水平距离为4m，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与出水点到高楼的水平距离x（m）之间满足二次函数关系． （1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； （2）待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D（水流从D点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点B处，并说明理由． 18．（2025•市中区一模）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣8m（m≠0）． （1）当y＝0时，求x的值； （2）点Q（a，b）是抛物线上一点，若m＜0，且a≥0时b≤6，求m的值； （3）当m＝﹣1时，把抛物线G向下平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线H，设抛物线H与x轴的一个交点的坐标为（x1，0），且﹣1＜x1＜2，请求出n的取值范围． 19．（2025•中山市校级一模）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人识别身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，行人即可通过，图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”成轴对称，BC和EF均垂直于地面，∠ABC＝∠DEF＝30°，半径BA＝ED＝60cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm． （1）求闸机通道的宽度即BC与EF之间的距离； （2）经调查，一个智能闸机平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 20．（2025•榆社县一模）如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个重物（质量mA固定），在右边可左右移动的托盘B中放置一定质量的砝码（质量记为mB），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘B与点O之间的距离x/cm，记录相应的托盘B中的砝码质量y/g，得到如下表格： 托盘B与点O的距离x/cm 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10 （1）y与x之间的函数表达式为 　 　 ． （2）当砝码的质量为24g时，求托盘B与点O之间的距离． （3）当托盘B向左移动（不能移动到点O）时，应往托盘B中添加砝码还是减少砝码？并说明理由． 2025年中考数学考前最新精选题—易错题 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B B D A C A B 一．选择题（共10小题） 1．（2025•象州县一模）反比例函数的图象一定经过（　　） A．一二象限 B．一三象限 C．二三象限 D．二四象限 【考点】反比例函数的性质．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】B 【分析】依据题意，根据反比例函数y，当k＞0时，图象分布在第一、第三象限，进而可以得解． 【解答】解：由题意，∵反比例函数为y， ∴k＝12＞0． ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限． 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 2．（2025•中山市校级一模）抛物线y＝﹣x2+2x+3有三点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 【考点】二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】D 【分析】依据题意，根据抛物线的性质得抛物线y＝﹣x2+2x+3的开口向下，对称轴为直线x＝1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【解答】解：由题意得，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1． ∵A（﹣2，y1）离直线x＝1最远，C（1，y2）离直线x＝1最近， ∴y1最小，y2最大． ∴y1＜y3＜y2． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，熟练的掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 3．（2025•河南一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标（4，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①抛物线过原点； ②a﹣b+c＞0； ③4a+2b+c＝0； ④抛物线的顶点坐标为（2，b）； ⑤当x＜4时，y随x增大而增大． 其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③④⑤ 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】B 【分析】依据题意，根据轴对称的性质求得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（0，0），可判断①；当x＝﹣1时，y值为正，可判断②；根据对称轴为直线x＝2，结合图象可得，y＝4a+2b+c＜0，进而可判断③；求出顶点坐标，可判断④；利用二次函数的增减性，可判断⑤． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标（4，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（0，0），故①正确． ∵抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴当x＝﹣1和x＝5时，y值相同，且均为正， ∴a﹣b+c＞0，故②正确． ∵抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴结合图象可得，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误． 又∵抛物线的对称轴是直线x2，且过原点， ∴b＝﹣4a，c＝0， ∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝b，则顶点为（2，b），故④正确． 观察函数图象可知：当x＜2时，y随x增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有：①②④． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象，性质，增减性，对称性，顶点，熟练掌握二次函数的相关知识，灵活运用数形结合思想是解题的关键． 4．（2025•辽阳一模）若一个数用科学记数法表示为3.96×105，则这个数是（　　） A．39600 B．396000 C．0.0000396 D．0.00000396 【考点】科学记数法—原数；科学记数法—表示较大的数．版权所有 【专题】实数；数感． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：3.96×105＝396000． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法，关键是掌握n的值的确定方法，当原数大于等于10时，n等于原数的整数数位减1． 5．（2025•丰满区校级模拟）若等式a3+□＝3a3成立，则“□”中填写的单项式是（　　） A．2 B．2a3 C．﹣2a3 D．4 【考点】合并同类项；单项式．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】B 【分析】根据题意可得：“□”中填写的单项式＝3a3﹣a3，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：3a3﹣a3＝2a3， ∴“□”中填写的单项式是2a3， 故选：B． 【点评】本题考查了合并同类项，单项式，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键． 6．（2025•莱芜区一模）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．水温从20℃加热到100℃，需要4min B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午10点接通电源，可以保证当天10：30水温为40℃ D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为8min 【考点】反比例函数的应用．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】D 【分析】A．根据“从20℃加热到100℃水温升高的温度÷加热时每分钟上升的温度”计算即可； B．利用待定系数法求出y与x的函数关系式即可； C．求出将水温从20℃加热到100℃，再降到20℃一处循环需要的时间，写出这个过程中y与x的函数关系式并据此计算即可； D．根据x的取值范围对应的函数关系式，分别计算当y＝40时对应的x的值，求出两个x值的差即为在一个加热周期内水温不低于40℃的时间． 【解答】解：水温从20℃加热到100℃，需要的时间为（100﹣20）÷20＝4（min）， ∴A正确，不符合题意； 设水温下降过程中，y与x的函数关系式是y， 将坐标（4，100）代入y， 得100， 解得k＝400， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y， ∴B正确，不符合题意； 当y＝20时，得20， 解得y＝20， ∴水温从20℃加热到100℃，再降到20℃所用时间为20min，即一个循环是20min， ∴水温y与通电时间x之间的函数关系式为y， 上午10点到10：30共30分钟，则30﹣20＝10（分钟）， 当x＝10时，得y40， ∴上午10点接通电源，可以保证当天10：30水温为40℃， ∴C正确，不符合题意； 当0≤x≤4时，当y＝40时，得20x+20＝40， 解得x＝1， 当4＜x≤20时，当y＝40时，得40， 解得x＝10， 10﹣1＝9（min）， ∴在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min， ∴D不正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查反比例函数的应用，理解题意、掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． 7．（2025•湖州一模）如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），ME与AB交于点E，反射光线DN与AC交于点F，DK⊥BC，且反射光线和入射光线满足∠NDK＝∠MDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【考点】等边三角形的性质；函数的图象．版权所有 【专题】函数及其图象；等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识． 【答案】A 【分析】依据题意，先根据△ABC是边长为2的等边三角形及ME⊥AB，分别用x表示出BD、CD；再证明∠DFC＝90°，进而用含x的式子表示出FC和FD，则可得出y关于x的函数关系式，观察图象即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC是边长为2的等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，BC＝2， ∵ME⊥AB， ∴∠BED＝90°， ∴∠BDE＝30°， 又∵BE＝x，ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合）， ∴0＜x＜1， ∴BD＝2x，CD＝2﹣2x． ∵∠MDK＝∠FDK，DK与BC垂直， ∴∠CDF＝∠BDE＝30°， ∴∠DFC＝180°﹣∠CDF﹣∠C＝90°， ∴FCCD（2﹣2x）＝1﹣x，FD＝CD•sin60°＝（2﹣2x）（1﹣x）， ∴yFC•FD （1﹣x）（1﹣x） （1﹣x）2． ∴函数图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线x＝1． 故选：A． 【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，用含x的式子分别表示出△DFC的边长从而得出y关于x的函数解析式是解题的关键． 8．（2025•雁塔区校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 n ﹣1 m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线x＝1；③m＝n；④图象不经过第三象限；⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（　　） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【考点】二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】C 【分析】依据题意，根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 【解答】解：由表格可知，抛物线的对称轴是直线x1，故②正确， ∴抛物线的顶点坐标是（1，﹣1），有最小值，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，故①错误； 由题意抛物线的对称轴是直线x＝1，点（0，n），（2，m）关于对称轴对称，故m＝n，故③正确； ∵抛物线开口向上，顶点在第四象限，抛物线与x轴的交点为（0，0）和（2，0）， ∴抛物线不经过第三象限，故④正确； ∵抛物线的对称轴是直线x＝1，抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上， ∴当x＞1时，抛物线呈上升趋势，故⑤错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 9．（2025•福州校级模拟）如图，在△ABC中，BC＝36，AB边的垂直平分线和AC边的垂直平分线与BC边分别相交于点E，F，连接AE，AF，则△AEF的周长为（　　） A．36 B．18 C．32 D．不能确定 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】A 【分析】利用线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，FA＝FC，然后利用等量代换可得△AEF的周长＝BC，即可解答． 【解答】解：∵AB边的垂直平分线和AC边的垂直平分线与BC边分别相交于点E，F， ∴EA＝EB，FA＝FC， ∵BC＝36， ∴△AEF的周长＝AE+EF+AF ＝BE+EF+FC ＝BC ＝36， 故选：A． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 10．（2025•九龙坡区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，以点A为圆心，长为半径画弧，交AD于点M，交AB于点N，连接CM、CN、AC，若∠DAC＝30°，AB＝3，则图中阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【考点】扇形面积的计算；菱形的性质．版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算；运算能力． 【答案】B 【分析】连接BD，交AC于点O；连接MN，交AC于点E，利用菱形的性质和特殊角的三角形函数求出AC、ME，由三角形面积公式求出△AMC的面积，从而求得四边形AMCN的面积；由扇形的面积公式求出扇形MAN的面积，进而由阴影部分的面积＝四边形AMCN的面积﹣扇形MAN的面积计算即可． 【解答】解：如图，连接BD，交AC于点O；连接MN，交AC于点E． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝3，BD⊥AC，∠BAC＝∠DAC＝30°， ∴AMAD3＝2，∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝30°+30°＝60°， ∵AM＝AN， ∴△AMN是等腰三角形， ∴ME＝NE，AE⊥MN， ∵AO＝AD•cos∠DAC＝3， ∴AC＝2AO＝23， ∵ME＝AM•sin∠DAC＝21， ∴S△AMCAC•ME31， ∴S△ABC， ∴S四边形AMCN＝S△AMC+S△ABC3， ∵S扇形MANπ×22， ∴S阴影＝S四边形AMCN﹣S扇形MAN＝3． 故选：B． 【点评】本题考查扇形面积的计算、菱形的性质，掌握菱形的性质、特殊角的三角函数值、扇形面积计算公式是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．（2025•岳塘区校级一模）已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）满足反比例函数，当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为0.5m，则k＝ 　100　 ． 【考点】反比例函数的应用．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】100． 【分析】将x和y的值代入y并求出k的值即可． 【解答】解：将x＝0.5，y＝200代入y， 得200， 解得k＝100． 故答案为：100． 【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握用代入法求反比例函数中k的值是解题的关键． 12．（2025•铁西区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝40°，AB＝6，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若BE＝BC时，的长为 　　 （结果保留π）． 【考点】弧长的计算；圆周角定理．版权所有 【专题】与圆有关的计算；运算能力． 【答案】． 【分析】连接OC，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明点A、B、C三点共圆，由等腰三角形的性质求出∠BCD的度数，再由圆周角定理求出∠BOD的度数，最后根据弧长公式求出的长即可． 【解答】解：如图，连接OC． ∵斜边AB是半圆O的直径， ∴点O是AB的中点， ∴OA＝OB＝OCAB＝3， ∴点C在⊙O上， ∵BE＝BC，∠ABC＝40°， ∴∠BCD（180°﹣∠ABC）（180°﹣40°）＝70°， ∴∠BOD＝2∠BCD＝2×70°＝140°， ∴2π×3． 故答案为：． 【点评】本题考查弧长的计算、圆周角定理，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、弧长的计算公式、圆周角定理是解题的关键． 13．（2025•兴宾区一模）全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国等个别国家采用华氏温标，小明同学通过查阅资料，得到了相关数据，如表： 摄氏温度值x/℃ 0 10 20 30 40 50 华氏温度值y/℉ 32 50 68 86 104 122 小军看到小明表格中的数据后，认为相应的y值一直大于x值，小明不认同这个观点，并运用所学数学知识计算得出，当x的取值范围是 　x＜﹣40　 时，y值小于x值． 【考点】一次函数的应用．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】x＜﹣40． 【分析】根据变量之间的变化规律写出x与y之间的函数关系式，令y＜x，得到关于x的一元一次方程并求其解集即可． 【解答】解：由表格可知，摄氏温度值增加10℃，华氏温度值增加18℉，即摄氏温度值增加1℃，华氏温度值增加1.8℉， ∴x与y之间的函数关系式为y＝1.8x+32， 当y＜x时，得1.8x+32＜x， 解得x＜﹣40， ∴当x＜﹣40时，y值小于x值． 故答案为：x＜﹣40． 【点评】本题考查一次函数的应用，根据变量之间的变化规律写出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 14．（2025•湖州一模）如图，在平行四边形ABCD中，B'是点B关于对角线AC的对称点，连结AB'交CD于点E，连结BB'交CD于点F，交AC于点G．AB＝13，AG＝2CG＝12，则△B′EF的面积是 　　 ． 【考点】平行四边形的性质；轴对称的性质；三角形的面积．版权所有 【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力． 【答案】． 【分析】依据题意，由翻折得：BG⊥AC，BG＝BG，由勾股定理得，可证明△FGC∽△BGA，则求出，则，由于，BG＝BG，则S△ABB'＝2S△ABG＝60可得△BEF∽△BAB，则 （）2＝（）2，即可求解面积． 【解答】解：由题意，由翻折可得，BG⊥AC，BG＝BG． ∵平行四边形ABCD， ∴DC∥AB． ∵AB＝13，AG＝2CG＝12， ∴． ∵DC∥AB， ∴△FGC∽△BGA． ∴． ∴． ∴． ∵，BG＝BG， ∴S△ABB'＝2S△ABG＝60， ∵DC∥AB， ∴△B'EF∽△B′AB， ∴（）2＝（）2． ∴S△B'EF60． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点，解题时要熟练掌握并能灵活运用相似三角形的性质是关键． 15．（2025•南山区一模）如图，一同学进行单摆运动实验，从A点出发，在右侧达到最高点B．实验过程中在O点正下方的P处有一个钉子．已知在O点测得起始位置A的俯角是45°，B点的俯角是60°，B点测得钉子P的仰角是45°，且OP长为4，则摆绳OA长为 　4+22　 ． 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；运算能力． 【答案】4+22． 【分析】过点B作BH⊥OP，交OP的延长线于点H，根据题意可得：OA＝OP+PB，∠BHP＝90°，∠PBH＝45°，∠FOB＝60°，EF∥BH，从而可得∠OBH＝∠FOB＝60°，然后设BH＝x，在Rt△PHB中，利用锐角三角函数的定义求出PH，PB的长，从而求出OH的长，再在Rt△OBH中，利用锐角三角函数的定义求出OH的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：过点B作BH⊥OP，交OP的延长线于点H， 由题意得：OA＝OP+PB，∠BHP＝90°，∠PBH＝45°，∠FOB＝60°，EF∥BH， ∴∠OBH＝∠FOB＝60°， 设BH＝x， 在Rt△PHB中，PH＝BH•tan45°＝x， PBx， ∵OP＝4， ∴OH＝OP+PH＝x+4， 在Rt△OBH中，OH＝BH•tan60°x， ∴x＝x+4， 解得：x＝22， ∴PBx＝22， ∴OA＝OP+PB＝4+22， 故答案为：4+22． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．（2025•乾县校级一模）新中国成立以来，几代人逢山开路、遇水架桥，正在加快建设交通强国．如图1是某地高速公路上修建的两个隧道，如图2是其横截面示意图． 素材一：隧道L1与L2均呈抛物线型．已知隧道L2底部C与隧道L1底部A相距2m，以直线AC为x轴，线段AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，点D、B都在x轴上． 素材二：L1所在抛物线与L2所在抛物线关于y轴对称，L1底部宽AB为12m，L1所在抛物线的最高点P与路面AB的距离为8m． （1）求隧道L1所在抛物线的表达式； （2）现需在隧道L1、L2内壁上分别安装摄像头N、M，如图2所示，即N、M均在各自抛物线对称轴左侧的抛物线上．已知点M，N到路面AC的竖直距离均为6m，求M，N两点间的距离． 【考点】二次函数的应用；待定系数法求二次函数解析式．版权所有 【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）；（2）14m． 【分析】（1）依据题意，由AC＝2m，AB＝12m，从而可得A（1，0），B（13，0），顶点P（7，8），故可设隧道L1所在抛物线的表达式为y＝a（x﹣7）2+8，又抛物线过A（1，0），则0＝a×（1﹣7）2+8，求出a即可判断得解； （2）依据题意，由L1所在抛物线与L2所在抛物线关于y轴对称，故结合（1），可得L2所在抛物线的表达式为，又令y＝6，则，可得x1＝﹣10，x2＝﹣4，又M在抛物线对称轴左侧，则M（﹣10，6），从而M关于抛物线L2的对称轴对称的点的坐标为 （﹣4，6），再由对称易得点N的坐标为（4，6），进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵AC＝2m，AB＝12m， ∴A（1，0），B（13，0），顶点P（7，8）． 设隧道L1所在抛物线的表达式为y＝a（x﹣7）2+8， ∵抛物线过A（1，0）， ∴0＝a×（1﹣7）2+8． ∴． ∴L1所在抛物线的表达式为． （2）由题意，∵L1所在抛物线与L2所在抛物线关于y轴对称， ∴结合（1），可得L2所在抛物线的表达式为． 又令y＝6， ∴． ∴x1＝﹣10，x2＝﹣4． ∵M在抛物线对称轴左侧， ∴M（﹣10，6）． ∴M关于抛物线L2的对称轴对称的点的坐标为 （﹣4，6）． ∴由对称易得点N的坐标为（4，6）． ∴M，N两点间的距离为 4﹣（﹣10）＝14（m）． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式，解题时要能读懂题意，灵活运用待定系数法是关键． 17．（2025•象州县一模）为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面10m的点A和15m的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流从C点射出恰好到达点A处，且水流的最大高度为16m，水流的最高点到高楼的水平距离为4m，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与出水点到高楼的水平距离x（m）之间满足二次函数关系． （1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； （2）待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D（水流从D点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点B处，并说明理由． 【考点】二次函数的应用．版权所有 【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）y（x﹣4）2+16；（2）水流不能到达B（0，15）处，理由见解析． 【分析】（1）依据题意，抛物线的顶点为（4，16），从而可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+16，再将点A（0，10）代入求出a，进而可以判断得解； （2）依据题意，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移2个单位得到的，故可得消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式y（x﹣2）2+16，再令x＝0，可得y16＝14.5＜15，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，抛物线的顶点为（4，16）， ∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+16． 将点A（0，10）代入， ∴10＝a（0﹣4）2+16． ∴a． ∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为y（x﹣4）2+16． （2）不能．理由如下： 由题意，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移2个单位得到的， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式y（x﹣4+2）2+16（x﹣2）2+16． 令x＝0， ∴y16＝14.5＜15． ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线不过B（0，15）． ∴水流不能到达B（0，15）处． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 18．（2025•市中区一模）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣8m（m≠0）． （1）当y＝0时，求x的值； （2）点Q（a，b）是抛物线上一点，若m＜0，且a≥0时b≤6，求m的值； （3）当m＝﹣1时，把抛物线G向下平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线H，设抛物线H与x轴的一个交点的坐标为（x1，0），且﹣1＜x1＜2，请求出n的取值范围． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】（1）x＝4或x＝﹣2；（2）m；（3）5＜n≤9． 【分析】（1）依据题意，由mx2﹣2mx﹣8m＝m（x2﹣2x﹣8）＝0，结合m≠0，从而可以判断得解； （2）依据题意，y＝mx2﹣2mx﹣8m＝m（x2﹣2x﹣8）＝m（x﹣1）2﹣9m，又m＜0，从而当x＝1时，函数y＝m（x﹣1）2﹣9m有最大值为﹣9m，又此时点Q（a，b）是抛物线上一点，a≥0时，都有b≤6，进而﹣9m＝6，故可以得解； （3）依据题意，当m＝﹣1时，抛物线G为y＝﹣（x﹣1）2+9，从而表示出H为y＝﹣（x﹣1）2+9﹣n，抛物线H与x轴的一个交点的坐标为（x1，0），且﹣1＜x1＜2，从而若当x1＝﹣1时，y＝5﹣n＝0，结合二次函数的性质，n＞5，又抛物线H与x轴有交点，故9﹣n≥0，进而可以得解． 【解答】解：（1）由题意，y＝mx2﹣2mx﹣8m＝m（x2﹣2x﹣8）＝0， 又∵m≠0， ∴x2﹣2x﹣8＝0． ∴（x﹣4）（x+2）＝0． ∴x＝4或x＝﹣2． （2）由题意，y＝mx2﹣2mx﹣8m＝m（x2﹣2x﹣8）＝m（x﹣1）2﹣9m． ∵m＜0， ∴当x＝1时，函数y＝m（x﹣1）2﹣9m有最大值为﹣9m． 又此时点Q（a，b）是抛物线上一点，a≥0时，都有b≤6， ∴﹣9m＝6． ∴m． （3）由题意，当m＝﹣1时，抛物线G为y＝﹣（x﹣1）2+9． ∴把抛物线G向下平移n（n＞0）个单位长度得到新抛物线H为y＝﹣（x﹣1）2+9﹣n． ∵抛物线H与x轴的一个交点的坐标为（x1，0），且﹣1＜x1＜2， 又若当x1＝﹣1时，y＝5﹣n＝0， ∴n＝5． ∵开口向下， ∴n＞5． 又抛物线H与x轴有交点， ∴9﹣n≥0． ∴n≤9． ∴5＜n≤9． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键． 19．（2025•中山市校级一模）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人识别身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，行人即可通过，图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”成轴对称，BC和EF均垂直于地面，∠ABC＝∠DEF＝30°，半径BA＝ED＝60cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm． （1）求闸机通道的宽度即BC与EF之间的距离； （2）经调查，一个智能闸机平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【考点】含30度角的直角三角形；分式方程的应用．版权所有 【专题】分式方程及应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】（1）70cm； （2）60人． 【分析】（1）连接AD，延长DA交BC于点G；延长AD交EF于点H，则GH⊥BC，GH⊥EF，根据“在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”分别求出AG、DH，再由GH＝AG+AD+DH计算闸机通道的宽度即BC与EF之间的距离即可； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人，则一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为2x人，根据题意列关于x的分式方程并求解，再计算2x的值即可． 【解答】解：（1）如图，连接AD，延长DA交BC于点G；延长AD交EF于点H． 由题意可知，GH⊥BC，GH⊥EF， ∵BA＝ED＝60cm，∠ABC＝∠DEF＝30°， ∴AGBA＝30cm，DHED＝30cm， ∵AD＝10cm， ∴GH＝AG+AD+DH＝30+10+30＝70（cm）， ∴闸机通道的宽度即BC与EF之间的距离为70cm． （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人，则一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为2x人． 根据题意，得3， 解得x＝30， 经检验，x＝30是所列分式方程的解， 2×30＝60（人）． 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人． 【点评】本题考查含30°角的直角三角形、分式方程的应用，掌握“在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”、列分式方程并求解是解题的关键． 20．（2025•榆社县一模）如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个重物（质量mA固定），在右边可左右移动的托盘B中放置一定质量的砝码（质量记为mB），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘B与点O之间的距离x/cm，记录相应的托盘B中的砝码质量y/g，得到如下表格： 托盘B与点O的距离x/cm 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10 （1）y与x之间的函数表达式为 　　 ． （2）当砝码的质量为24g时，求托盘B与点O之间的距离． （3）当托盘B向左移动（不能移动到点O）时，应往托盘B中添加砝码还是减少砝码？并说明理由． 【考点】反比例函数的应用．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识． 【答案】（1）；（2）当砝码的质量为24g时，托盘B与点﹣O之间的距离是12.5cm；（3）应往托盘B中添加砝码，理由见解析． 【分析】（1）依据题意，设y，又结合表格数据，图象过（10，30），从而可得k＝10×30＝300，进而可以判断得解； （2）依据题意，把 y＝24 代入，故，求出x后即可判断得解； （3）依据题意，由300＞0，故该函数图象在第一象限内，y的值随x值的增大而减小，又当托盘B向左移动（不能移动到点O）时，x减小，故y增大，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，设y， 又结合表格数据，图象过（10，30）， ∴k＝10×30＝300． ∴y与x的函数表达式为． 故答案为：． （2）由题意，把 y＝24 代入， ∴． ∴x＝12.5． 答：当砝码的质量为24g时，托盘B与点﹣O之间的距离是12.5cm． （3）由题意得，应往托盘B中添加砝码．理由如下： ∵300＞0， ∴该函数图象在第一象限内，y的值随x值的增大而减小． 又∵当托盘B向左移动（不能移动到点O）时，x减小， ∴y增大． ∴应往托盘B中添加砝码． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 考点卡片 1．科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 2．科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 3．合并同类项 （1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项． （2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． （3）合并同类项时要注意以下三点： ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 4．单项式 （1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义． （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 5．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 6．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 7．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 8．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 9．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 10．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 11．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 12．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 13．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 14．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 15．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 16．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 17．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 18．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 19．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 20．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 21．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 22．菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 23．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 24．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 25．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 26．轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 27．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$