考前突破-2025年中考数学考前最新精选题

2025年中考数学考前最新精选题—考前突破 一．选择题（共10小题） 1．（2025•象州县一模）已知如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5m的位置上，则球拍击球的高度h应为（　　） A．2.7m B．1.8m C．0.9m D．6m 2．（2025•平塘县一模）做“抛掷一个质地均匀标有1，2，3，4四个数字的正四面体试验”，在大量重复试验中，对于事件“着地面为奇数”的频率和概率，下列说法正确的是（　　） A．概率等于频率 B．频率等于 C．当试验次数很多时，频率稳定在概率附近 D．试验得到的频率和概率不可能相等 3．（2025•辽阳一模）一个不透明的袋子里装有18个黄球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，小明从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4，则袋子里约有红球（　　） A．6个 B．12个 C．18个 D．24个 4．（2025•三门峡模拟）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（　　） A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D． 5．（2025•任城区校级模拟）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程1☆x＝2的根的情况为（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 6．（2025•凉州区模拟）如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（　　） A． B． C． D． 7．（2025•邯山区校级一模）已知图②为图①所示几何体的三视图，则观察几何体的主视方向是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 8．（2025•东港区校级模拟）一个旅游团50人到一家宾馆住宿，宾馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间的每人每晚100元，标准间每人每晚150元，单人间200元．如果该团住满了20间客房，最低总消费是多少？…（　　） A．5800元 B．5000元 C．5300元 D．5500元 9．（2025•银川校级一模）把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为x cm，另一条直角边的长为y cm，图②中的较小正方形面积为S cm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，反比例函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 10．（2025•乌鲁木齐校级二模）如图，一束光线与水平面成60°的角度照射地面，现在地面AB上支放一个平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线射出（∠1＝∠2），则平面镜CD与地面AB所成角∠DCA的度数等于（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 二．填空题（共5小题） 11．（2025•港南区一模）已知5a+8b＝3b+10，利用等式性质可求得a+b的值是 　 　 ． 12．（2025•陕西校级模拟）两个正方形的面积分别是63平方厘米和16平方厘米，则这两个正方形的边长的比值为 　 　 ． 13．（2025•东港区校级模拟）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　 　 度． 14．（2025•乌鲁木齐校级二模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是 　 　 ． 15．（2025•姑苏区校级模拟）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD，CD．由作法可得，△ABC≌△CDA的依据是 　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．（2025•余姚市一模）某市教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图． 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）教育局抽取的初中生有 　 　 人，扇形统计图中m的值是 　 　 ． （2）已知平均每天完成作业时长在“100≤x＜110“分的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是 　 　 ． （3）若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“70≤x＜80”分的初中生约有多少人？ 17．（2025•海口模拟）矩形ABCD中，AB＜BC，AB＝6，E是射线CD上一点，点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上． （1）如图，当点E在边CD上时，若BC＝10，DF的长为 　 　 ；若AF•DF＝9时，求DF的长； （2）作∠ABF的平分线交射线DA于点M，当时，求DF的长． 18．（2025•长清区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数交于点B（1，m）． （1）求反比例函数的表达式； （2）点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数y＝2x+b图象于点N，连接BM，若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，求△BMN的面积； （3）点P为反比例函数 图象上一点，连接PB，若∠PBA＝∠BAO，求点P的坐标． 19．（2025•崆峒区校级一模）某校的教学楼和宿舍楼之间隔了一个小湖，湖中有一观景平台，已知教学楼和宿舍楼高度均为20米．校庆来临之际，校团委想在两楼之间拉一条横幅，横幅长度准备做成42米．小亮所在的数学兴趣小组为核算横幅长度是否够用，对两楼之间的距离进行以下测量：如图，他们在观景平台F处测得教学楼楼顶A的仰角为35°，测得宿舍楼楼顶C的仰角为45°，已知测角仪的高度EF为1.5米，点B，F，D在同一水平线上，教学楼、宿舍楼与平台均在一个平面内．请你通过计算，说明校团委准备做的横幅长度是否够用．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，1.41） 20．（2025•滨海新区一模）在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F． （1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小； （2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长． 2025年中考数学考前最新精选题—考前突破 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B C D D C D C A 一．选择题（共10小题） 1．（2025•象州县一模）已知如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5m的位置上，则球拍击球的高度h应为（　　） A．2.7m B．1.8m C．0.9m D．6m 【考点】相似三角形的应用．版权所有 【答案】A 【分析】根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB，即， 则，∴h＝2.7m． 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 2．（2025•平塘县一模）做“抛掷一个质地均匀标有1，2，3，4四个数字的正四面体试验”，在大量重复试验中，对于事件“着地面为奇数”的频率和概率，下列说法正确的是（　　） A．概率等于频率 B．频率等于 C．当试验次数很多时，频率稳定在概率附近 D．试验得到的频率和概率不可能相等 【考点】利用频率估计概率；概率的意义．版权所有 【专题】概率及其应用；应用意识． 【答案】C 【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近． 【解答】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果． A、频率只能估计概率，故此选项错误； B、概率等于一，故此选项错误； C、大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，故此选项正确； D、试验得到的频率和概率不可能相等，故此选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查的是模拟实验，大量反复试验下频率稳定值即概率． 3．（2025•辽阳一模）一个不透明的袋子里装有18个黄球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，小明从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4，则袋子里约有红球（　　） A．6个 B．12个 C．18个 D．24个 【考点】利用频率估计概率．版权所有 【专题】概率及其应用；运算能力． 【答案】B 【分析】根据袋子里装有18个黄球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等即可求出答案． 【解答】解：设袋中红球有x个， 根据题意，可得：0.4， 解得：x＝12， 经检验：x＝12时，x+18≠0， 所以x＝12是原方程的解． 故选：B． 【点评】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． 4．（2025•三门峡模拟）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（　　） A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D． 【考点】相似三角形的判定．版权所有 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故A选项错误； B、∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故B选项错误； C、不能判定△ADE∽△ACB，故C选项正确； D、，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故D选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 5．（2025•任城区校级模拟）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程1☆x＝2的根的情况为（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【考点】根的判别式；实数的运算．版权所有 【答案】D 【分析】根据运算“☆”的定义将方程1☆x＝2转化为一般式，由根的判别式Δ＝9＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根． 【解答】解：∵1☆x＝2， ∴1•x2﹣1•x＝2， ∴x2﹣x﹣2＝0， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0， ∴方程1☆x＝2有两个不相等的实数根． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键． 6．（2025•凉州区模拟）如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的图象．版权所有 【答案】D 【分析】Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，所以很容易求得∠AOB＝∠A＝45°；再由平行线的性质得出∠OCD＝∠A，即∠AOD＝∠OCD＝45°，进而证明OD＝CD＝t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象． 【解答】解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3， ∴∠AOB＝∠A＝45°， ∵CD⊥OB， ∴CD∥AB， ∴∠OCD＝∠A， ∴∠AOD＝∠OCD＝45°， ∴OD＝CD＝t， ∴S△OCDOD×CD t2（0≤t≤3），即St2（0≤t≤3）． 故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为0≤t≤3、开口向上的二次函数图象； 故选：D． 【点评】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征． 7．（2025•邯山区校级一模）已知图②为图①所示几何体的三视图，则观察几何体的主视方向是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【考点】由三视图判断几何体．版权所有 【专题】投影与视图；空间观念． 【答案】C 【分析】直接根据主视图是从几何体的前面看到的形状，进而分析得出答案． 【解答】解：观察图形可知，观察几何体的主视方向是③． 故选：C． 【点评】本题主要考查由三视图确定几何体等相关知识，考查学生的空间想象能力． 8．（2025•东港区校级模拟）一个旅游团50人到一家宾馆住宿，宾馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间的每人每晚100元，标准间每人每晚150元，单人间200元．如果该团住满了20间客房，最低总消费是多少？…（　　） A．5800元 B．5000元 C．5300元 D．5500元 【考点】二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】应用题． 【答案】D 【分析】可根据题意设三人间，二人间，单人间分别住了x，y，z间，再根据三人间人每晚100元，二人间每人每晚150元，单人间每人每晚200元，旅游团共住20间客房，列出两个方程，再根据x，y，z都是自然数，求出费用最低的选择． 【解答】解：设三人间，二人间，单人间分别住了x，y，z间，其中x，y，z都是自然数，总的住宿费为W元， 则， 解得（2分） ∵x，y，z都是自然数 ∴，或，或，或，或，或（5分） ∴w＝300x+300y+200z＝6000﹣100z， ∴z越大w越小， ∴当z＝5时，即x＝15，y＝0，z＝5时，住宿的总费用最低为6000﹣500＝5500， 故选：D． 【点评】此题是一道比较新颖的应用题，它的答案不唯一，需要讨论一下，根据生活中的常时，x，y，z必须为自然是来求解，题不是很难，但是一道结合生活实际应用的一道好题． 9．（2025•银川校级一模）把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为x cm，另一条直角边的长为y cm，图②中的较小正方形面积为S cm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，反比例函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 【考点】二次函数的定义；全等图形；菱形的性质；一次函数的定义．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【答案】C 【分析】根据题意和图形，可以分别写出y与x的关系和S与x的关系，从而可以得到y与x满足的函数关系和S与x满足的函数关系． 【解答】解：∵x+y＝6， 则y＝6﹣x，y与x满足一次函数关系， ∵S＝x2+y2＝x2+（6﹣x）2＝2x2﹣12x+36， 则S与x满足二次函数关系， 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理，菱形的性质、一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式． 10．（2025•乌鲁木齐校级二模）如图，一束光线与水平面成60°的角度照射地面，现在地面AB上支放一个平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线射出（∠1＝∠2），则平面镜CD与地面AB所成角∠DCA的度数等于（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 【考点】平行线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质及三角形的外角定理即可求解． 【解答】解：如图， 由题意可知，∠ANM＝60°，OH∥AB， ∴∠1＝∠DCA，∠3+∠DCA＝∠ANM＝60°， ∵∠2＝∠3，∠1＝∠2， ∴2∠DCA＝60°， ∴∠DCA＝30°， 故选：A． 【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．（2025•港南区一模）已知5a+8b＝3b+10，利用等式性质可求得a+b的值是 　2　 ． 【考点】等式的性质；代数式求值．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据等式的性质，等式的两边同时减去3b，可得5a+5b＝10，再把等式的两边同时除以5即可． 【解答】解：5a+8b＝3b+10， 5a+8b﹣3b＝3b﹣3b+10， 5a+5b＝10， 5（a+b）＝10， a+b＝2． 给答案为：2． 【点评】本题主要考查的是等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 12．（2025•陕西校级模拟）两个正方形的面积分别是63平方厘米和16平方厘米，则这两个正方形的边长的比值为 　　 ． 【考点】算术平方根．版权所有 【专题】实数；数感；运算能力． 【答案】． 【分析】根据“正方形的面积比等于边长的平方比”进行计算即可． 【解答】解：两个正方形的面积分别是63平方厘米和16平方厘米，则这两个正方形的边长的比值为． 故答案为：． 【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义，掌握“正方形的面积比等于边长的平方比”是正确解答的前提． 13．（2025•东港区校级模拟）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　540　 度． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【专题】计算题． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接DG、AC．根据四边形的内角和定理以及三角形的内角和是180°进行分析求解． 【解答】解：连接DG、AC． 在四边形EFGD中，得∠E+∠F+∠EDG+∠DGF＝360°， 又∠1+∠2＝∠3+∠4，∠5+∠6+∠B＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°． 故答案为540． 【点评】此题要能够巧妙构造四边形，根据四边形的内角和定理以及三角形的内角和定理进行求解． 14．（2025•乌鲁木齐校级二模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是 　2　 ． 【考点】正多边形和圆．版权所有 【专题】正多边形与圆；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】连接OA，OB，根据等边三角形的性质可得⊙O的半径，进而可得出结论 【解答】解：连接OB，OC， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC＝60°， ∵OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝BC， ∵正六边形的周长是12， ∴BC＝2， ∴⊙O的半径是2， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键． 15．（2025•姑苏区校级模拟）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD，CD．由作法可得，△ABC≌△CDA的依据是 　SSS　 ． 【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定．版权所有 【专题】作图题；几何直观；推理能力． 【答案】SSS． 【分析】根据SSS判断三角形全等即可． 【解答】解：由作图可知AD＝BC，CD＝AB． 在△ADC和△CBA中， ， ∴△ADC≌△CBA（SSS）． 故答案为：SSS． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定方法． 三．解答题（共5小题） 16．（2025•余姚市一模）某市教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图． 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）教育局抽取的初中生有 　抽样调查　 人，扇形统计图中m的值是 　300　 ． （2）已知平均每天完成作业时长在“100≤x＜110“分的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是 　　 ． （3）若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“70≤x＜80”分的初中生约有多少人？ 【考点】概率公式；用样本估计总体；扇形统计图．版权所有 【专题】统计的应用；概率及其应用；应用意识． 【答案】（1）抽样调查； （2）； （3）3000． 【分析】（1）根据教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查即可得出答案； （2）根据概率公式求解； （3）根据样本中70≤t＜80的人数占抽样人数的30%估计全市人数即可． 【解答】解：（1）∵教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查， ∴教育局采取的调查方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查； （2）∵所有可能抽到的结果数为9，抽到男生的结果数为5，且每一名学生被抽到的可能性相同， ∴P（抽到男生）， 故答案为：； （3）10000×30%＝3000（人）， 故答案为：3000． 【点评】本题考查了概率公式，全面调查与抽样调查，扇形统计图，用样本估计总体，用样本中70≤t＜80的人数占抽样人数的30%估计全市人数是解题的关键． 17．（2025•海口模拟）矩形ABCD中，AB＜BC，AB＝6，E是射线CD上一点，点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上． （1）如图，当点E在边CD上时，若BC＝10，DF的长为 　2　 ；若AF•DF＝9时，求DF的长； （2）作∠ABF的平分线交射线DA于点M，当时，求DF的长． 【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；矩形的性质；轴对称的性质．版权所有 【专题】分类讨论；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】（1）2；3；（2）2或18． 【分析】（1）①利用轴对称的性质和勾股定理求得AF，则DF＝AD﹣AF； ②利用已知条件和相似三角形的平行于性质求得CE，EF，再利用勾股定理即可求得结论； （2）利用分类讨论的思想方法分点F在AD边上或点F在边DA的延长线上两种情况解答：①点F在AD边上时，过点M作MN⊥BF于点N，利用相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理解答即可；②点F在边DA的延长线上，利用①中方法解答即可． 【解答】解：（1）当点E在边CD上时， ∵点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上， ∴BF＝BC＝10． ∴AF8． ∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2． 故答案为：2； ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°， ∴∠AFB＝∠DEF． ∴△FAB∽△EDF， ∴． ∴AF•DF＝AB•DE． ∵AF•DF＝9，AB＝6， ∴DE． ∴CE＝CD﹣DE． ∵点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上， ∴EF＝CE． ∴DF3； （2）①点F在AD边上时， 过点M作MN⊥BF于点N，如图， ∵BM平分∠ABF，MA⊥AB，MN⊥BF， ∴MA＝MN． ∵∠A＝∠MNF＝90°，∠AFB＝∠NFM， ∴△FAB∽△FNM， ∴． ∵，BF＝BC， ∴． ∵AB＝6， ∴MN＝3． 在Rt△ABM和Rt△NBM中， ， ∴Rt△ABM≌Rt△NBM（HL）． ∴BN＝AB＝6． 设MF＝x，则BF＝BC＝2x， ∴FN＝2x﹣6， 在Rt△MNF中， ∵MN2+FN2＝MF2， ∴32+（2x﹣6）2＝x2， 解得：x＝5或x＝3（舍去）， ∴BC＝2x＝10， ∴AD＝BC＝10． ∴DF＝AD﹣AM﹣MF＝2； ②点F在边DA的延长线时， 过点M作MN⊥BF于点N，如图， 同①可得：AM＝MN＝3，BN＝AB＝6，BC＝AD＝10． ∵BF＝BC＝10， ∴FN＝BF﹣BN＝10﹣6＝4． ∴MF5， ∴DF＝AD+AM+MF＝18． 综上，当时，DF的长为2或18． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 18．（2025•长清区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数交于点B（1，m）． （1）求反比例函数的表达式； （2）点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数y＝2x+b图象于点N，连接BM，若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，求△BMN的面积； （3）点P为反比例函数 图象上一点，连接PB，若∠PBA＝∠BAO，求点P的坐标． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，则点B在MN的中垂线上，进而求解； （3）取AB的中点M，过点M作MH⊥AB交x轴于点H，点M是AB的中点且MH⊥AB，则∠PBA＝∠BAO，进而求解． 【解答】解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝﹣4+b， 解得：b＝4， 即一次函数的表达式为：y＝2x+4， 当x＝1时，y＝2x+4＝6，则点B（1，6）， 将点B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝1×6＝6， 即反比例函数表达式为：y； （2）设点N的坐标为（t，2t+4），则点M（t，）， 若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，则点B在MN的中垂线上， 则（2t+4）＝6， 解得：t＝1（舍去）或t＝3， 则点M、N的坐标分别为：（3，2）、（3，10）， 则S△BMNMN•（xM﹣xB）（10﹣2）×（3﹣1）＝8； （3）取AB的中点M，过点M作MH⊥AB交x轴于点H， ∵点M是AB的中点且MH⊥AB， 则∠PBA＝∠BAO， 由中点坐标公式得，点M（，3）， 在Rt△AMH中，由AB的表达式知，tan∠BAO＝2，则tan∠MHA， 则直线MH表达式中的k值为， 则直线MH的表达式为：y（x）+3， 令y（x）+3＝0，则x，即点H（，0）， 由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：yx， 联立yx和y并解得：x＝1（舍去）或， 则点P的坐标为：（，）． 【点评】本题考查了反比例函数综合题，涉及到一次函数和反比例函数的图象和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质等，综合性强，难度适中． 19．（2025•崆峒区校级一模）某校的教学楼和宿舍楼之间隔了一个小湖，湖中有一观景平台，已知教学楼和宿舍楼高度均为20米．校庆来临之际，校团委想在两楼之间拉一条横幅，横幅长度准备做成42米．小亮所在的数学兴趣小组为核算横幅长度是否够用，对两楼之间的距离进行以下测量：如图，他们在观景平台F处测得教学楼楼顶A的仰角为35°，测得宿舍楼楼顶C的仰角为45°，已知测角仪的高度EF为1.5米，点B，F，D在同一水平线上，教学楼、宿舍楼与平台均在一个平面内．请你通过计算，说明校团委准备做的横幅长度是否够用．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，1.41） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；几何直观． 【答案】见试题解答内容 【分析】过点E作EG⊥AB于点G，EH⊥CD于点H，可知AG＝CH＝20﹣1.5＝18.5（米），在Rt△AEG中，tan35°0.70，解得EG≈26.43，在Rt△CEH中，∠CEH＝45°，可得EH＝CH＝18.5米，则GH＝EG+HG＝44.93米，由42＜44.93，可知校团委准备做的横幅长度不够用． 【解答】解：过点E作EG⊥AB于点G，EH⊥CD于点H， 由题意得，AB＝CD＝20米，∠AEG＝35°，∠CEH＝45°，BG＝EF＝DH＝1.5米， ∴AG＝CH＝20﹣1.5＝18.5（米）， 在Rt△AEG中，tan35°0.70， 解得EG≈26.43， 在Rt△CEH中，∠CEH＝45°， ∴EH＝CH＝18.5米， ∴GH＝EG+EH＝44.93米， ∵42＜44.93， ∴校团委准备做的横幅长度不够用． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 20．（2025•滨海新区一模）在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F． （1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小； （2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长． 【考点】切线的性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）连接OD，由在△ABC中，∠C＝90°，BC是切线，易得OD∥AC，即可求得∠CAD＝∠BAD，继而求得答案； （2）首先连接OF，OD，由（1）得：OD∥AC，由点F为的中点，易得△AOF是等边三角形，继而求得答案． 【解答】解：（1）连接OD， ∵OA为半径的圆与BC相切于点D， ∴OD⊥BC， ∴∠ODB＝90°， ∵在△ABC中，∠C＝90°， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∴∠CAD＝∠ADO＝25°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA＝25°， ∴∠BOD＝2∠OAD＝50°， ∴∠B＝90°﹣∠BOD＝40°； （2）连接OF，OD， 由（1）得：OD∥AC， ∴∠AFO＝∠FOD， ∵OA＝OF，点F为的中点， ∴∠A＝∠AFO，∠AOF＝∠FOD， ∴∠A＝∠AFO＝∠AOF＝60°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝30°， ∵OA＝OD＝2， ∴OB＝2OD＝4， ∴AB＝OA+OB＝6． 【点评】此题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 考点卡片 1．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 2．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 3．代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． （2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 题型简单总结以下三种： ①已知条件不化简，所给代数式化简； ②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． 4．等式的性质 （1）等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （2）利用等式的性质解方程 利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化． 应用时要注意把握两关： ①怎样变形； ②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． 5．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 6．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 7．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 8．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 9．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 10．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 11．平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 12．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 13．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 14．全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 15．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 16．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 17．菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 18．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 19．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 20．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 21．作图—复杂作图 复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 22．轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 23．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 24．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 25．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 26．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 27．由三视图判断几何体 （1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． （2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析： ①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高； ②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线； ③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助； ④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法． 28．用样本估计总体 用样本估计总体是统计的基本思想． 1、用样本的频率分布估计总体分布： 从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）． 一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 29．扇形统计图 （1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数． （2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系． （3）制作扇形图的步骤 ①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．　　 ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数； ④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来． 30．概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 31．概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 32．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$