常考题-2025年中考数学考前最新精选题

2025年中考数学考前最新精选题—常考题 一．选择题（共10小题） 1．（2025•介休市一模）下列运算中正确的是（　　） A．a5+a5＝2a10 B．3a3•2a2＝6a6 C．a6÷a2＝a3 D．（﹣2ab）2＝4a2b2 2．（2025•象州县一模）已知如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5m的位置上，则球拍击球的高度h应为（　　） A．2.7m B．1.8m C．0.9m D．6m 3．（2025•柳州二模）已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（　　） A．9π B．6π C．3π D．2π 4．（2025•伊通县校级模拟）智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”，多屏联动、舱内游戏、端侧AI…要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙8295，该芯片采用5nm工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，5nm相当于0.000000005m，数据0.000000005用科学记数法表示为（　　） A．5×10﹣10 B．5×10﹣9 C．5×10﹣6 D．5×109 5．（2025•辽阳一模）已知双曲线y，y的部分图象如图所示，P是y轴正半轴上一点，过点P作AB∥x轴，分别交两个图象于点A、B．若PB＝2PA，则k的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 6．（2025•辽阳一模）如图，将矩形ABCD对折，使AB与CD边重合，得到折痕MN，再将点A沿过点D的直线折叠到MN上，对应点为A′，折痕为DE，AB＝10，BC＝6，则A′N的长度为（　　） A． B．4 C． D．3 7．（2025•介休市一模）手机移动支付给生活带来便捷．如图是张老师2022年12月26日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是（　　） A．收入19.00元 B．支出10元 C．支出3.00元 D．支出22.00元 8．（2025•介休市一模）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离y cm与所挂物重x kg之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格： x/kg 1 2 3 … y/cm 8 13.5 19 若不挂重物时，秤跎到秤纽的水平距离是（　　） A．1cm B．2.5cm C．4cm D．5.5cm 9．（2025•介休市一模）不等式3x﹣2＞4的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（2025•雁塔区校级一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果抛物线y＝x2+2x+m+5只经过两个象限，那么m的取值范围是（　　） A．m≥﹣4 B．m＜﹣4 C．m＜﹣5 D．m≥﹣5 二．填空题（共5小题） 11．（2025•柳州二模）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正确的有　 　 （填番号） 12．（2025•市中区一模）规定：f（x）＝px3+qx+1．例如，当x＝3时，f（3）＝33•p+3q+1＝27p+3q+1；已知f（1）的值为202，则f（﹣1）的值为 　 　 ． 13．（2025•兴宁市一模）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝4cm，则PA＝　 　 cm． 14．（2025•市中区一模）如图，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成一个大五边形，则图中∠BAC＝　 　 °． 15．（2025•南山区校级一模）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣2，4），则不等式kx+b＞4的解集为　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．（2025•濉溪县一模）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上． （1）作△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标． （2）将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB2，求点B所走的路径的长度（结果保留π）． 17．（2025•介休市一模）如图，平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°． （1）求作：AB的垂直平分线MN，交AB于点M， 交BD延长线于点N（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）在（1）的条件下，设直线MN交AD于E，连接BE，且∠C＝22.5°，求证：NE＝AB． 18．（2025•淮安一模）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C＝90°，以OA为半径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π） 19．（2025•辽阳一模）某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，点B的垂直高度BE为130m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） （1）求索道AB的长（结果精确到1m）； （2）求山顶点D到水平地面的距离DF的长（结果精确到1m）． （参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.41） 20．（2025•市中区一模）为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板CD长为1.6m，踏板CD与地面DE的坡比＝1：，支架AC长为0.8m，跑步机手柄为AB，且AB∥ED，A到地面的高度为h．支架与踏板的夹角（∠ACD）可以根据用户的舒适度需求在0°～90°调节． （1）求C到地面DE距离； （2）该人身高为1.8米，通过尝试h是身高0.8倍运动起来更加舒服． ①求此时点C到手柄AB的距离； ②求此时支架与踏板之间夹角的度数．（参考数据：cos50°≈0.64，cos37°≈0.8，sin50°＝cos40°≈0.76） 2025年中考数学考前最新精选题—常考题 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B． D A C B B A 一．选择题（共10小题） 1．（2025•介休市一模）下列运算中正确的是（　　） A．a5+a5＝2a10 B．3a3•2a2＝6a6 C．a6÷a2＝a3 D．（﹣2ab）2＝4a2b2 【考点】整式的混合运算．版权所有 【答案】D 【分析】根据整式运算即可求出答案． 【解答】解：（A）a5+a5＝2a5，故A错误； （B）3a3•2a2＝6a5，故B错误； （C）a6÷a2＝a4，故C错误； 故选：D． 【点评】本题考查整式的运算，注意熟练运用公式进行计算． 2．（2025•象州县一模）已知如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5m的位置上，则球拍击球的高度h应为（　　） A．2.7m B．1.8m C．0.9m D．6m 【考点】相似三角形的应用．版权所有 【答案】A 【分析】根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB，即， 则，∴h＝2.7m． 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 3．（2025•柳州二模）已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（　　） A．9π B．6π C．3π D．2π 【考点】扇形面积的计算．版权所有 【答案】C 【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案． 【解答】解：S扇形3π． 故选：C． 【点评】本题考查了扇形的面积公式，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式：S． 4．（2025•伊通县校级模拟）智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”，多屏联动、舱内游戏、端侧AI…要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙8295，该芯片采用5nm工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，5nm相当于0.000000005m，数据0.000000005用科学记数法表示为（　　） A．5×10﹣10 B．5×10﹣9 C．5×10﹣6 D．5×109 【考点】科学记数法—表示较小的数．版权所有 【专题】实数；符号意识． 【答案】B． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.000000005＝5×10﹣9． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5．（2025•辽阳一模）已知双曲线y，y的部分图象如图所示，P是y轴正半轴上一点，过点P作AB∥x轴，分别交两个图象于点A、B．若PB＝2PA，则k的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】计算题． 【答案】D 【分析】根据PB＝2PA，设A点坐标为（a，y），则B点坐标为（﹣2a，y），根据纵坐标相同，列出方程，即可求出k的值． 【解答】解：设A点坐标为（a，y），则B点坐标为（﹣2a，y）， 分别代入双曲线y和y得，， 即k＝﹣4． 故选：D． 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 6．（2025•辽阳一模）如图，将矩形ABCD对折，使AB与CD边重合，得到折痕MN，再将点A沿过点D的直线折叠到MN上，对应点为A′，折痕为DE，AB＝10，BC＝6，则A′N的长度为（　　） A． B．4 C． D．3 【考点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；勾股定理．版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；展开与折叠；推理能力． 【答案】A 【分析】由折叠的性质得，AM＝DM，∠DMA'＝∠AMA'＝90°，AD＝A'D，由勾股定理求出A'M的长，再证四边形ABNM是矩形，即可求出A′N的长． 【解答】解：由折叠的性质得，AM＝DM，∠DMA'＝∠AMA'＝90°，AD＝A'D， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠A＝∠B＝90°， ∵BC＝6， ∴AD＝6， ∴DM＝3， 在Rt△DMA'中，由勾股定理得A'M， ∵∠A＝∠B＝∠AMA'＝90°， ∴四边形ABNM是矩形， ∴MN＝AB＝10， ∴A′N＝MN﹣A'M＝10， 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，折叠问题，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 7．（2025•介休市一模）手机移动支付给生活带来便捷．如图是张老师2022年12月26日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是（　　） A．收入19.00元 B．支出10元 C．支出3.00元 D．支出22.00元 【考点】正数和负数．版权所有 【专题】计算题；运算能力． 【答案】C 【分析】根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【解答】解：+19﹣10﹣12＝﹣3（元）， 即表示支出3元， 故选：C． 【点评】本题考查了正负数的意义，掌握有理数的加减运算是解题的关键． 8．（2025•介休市一模）如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离y cm与所挂物重x kg之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格： x/kg 1 2 3 … y/cm 8 13.5 19 若不挂重物时，秤跎到秤纽的水平距离是（　　） A．1cm B．2.5cm C．4cm D．5.5cm 【考点】一次函数的应用．版权所有 【专题】一次函数及其应用；应用意识． 【答案】B 【分析】根据表格数据，用待定系数法求出y与x的函数关系式，再令x＝0求出y的值即可． 【解答】解：设y＝kx+b， 把（1，8），（2，13.5）代入得：， 解得， ∴y＝5.5x+2.5， 令x＝0得y＝2.5， ∴不挂重物时，秤跎到秤纽的水平距离是2.5cm， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是用待定系数法求出一次函数的解析式． 9．（2025•介休市一模）不等式3x﹣2＞4的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】在数轴上表示不等式的解集．版权所有 【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用． 【答案】B 【分析】求出已知不等式的解集，表示在数轴上即可． 【解答】解：不等式移项得：3x＞6， 解得：x＞2， 表示在数轴上得：， 故选：B． 【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 10．（2025•雁塔区校级一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果抛物线y＝x2+2x+m+5只经过两个象限，那么m的取值范围是（　　） A．m≥﹣4 B．m＜﹣4 C．m＜﹣5 D．m≥﹣5 【考点】二次函数图象与系数的关系．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识． 【答案】A 【分析】根据抛物线抛物线y＝x2+2x+m+5只经过两个象限，且抛物线开口向上，得出最小值大于等于0，得出结论． 【解答】解：∵y＝x2+2x+m+5＝（x+1）2+m+4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，m+4）， ∵抛物线y＝x2+2x+m+5只经过两个象限， ∴m+4≥0， ∴m≥﹣4， 故选：A． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是利用数形结合的思想解答． 二．填空题（共5小题） 11．（2025•柳州二模）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正确的有　①②④　 （填番号） 【考点】等边三角形的性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】由已知条件，得到线段相等，角相等，可得到三角形全等，利用三角形全等求对应边，对应角相等求得其它结论． 【解答】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，BC＝CE，∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△DCB，①正确 由①得∠AEC＝∠CBD，∴△BCN≌△ECM，∴CM＝CN，②正确 假使AC＝DN，即CD＝CN，△CDN为等边三角形，∠CDB＝60°， 又∵∠ACD＝∠CDB+∠DBC＝60°，∴假设不成立，③错误； ∵∠DBC+∠CDB＝60°∠DAE+∠EAC＝60°，而∠EAC＝∠CDB，∴∠DAE＝∠DBC，④正确， ∴正确答案①②④ 【点评】本题考查了等边三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质．能够用全等求解边相等，角相等． 12．（2025•市中区一模）规定：f（x）＝px3+qx+1．例如，当x＝3时，f（3）＝33•p+3q+1＝27p+3q+1；已知f（1）的值为202，则f（﹣1）的值为 　﹣200　 ． 【考点】代数式求值．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据f（1）＝202得p×13+q×1+1＝202，即p+q＝201，然后根据f（1）＝p×（﹣1）3+q×（﹣1）+1＝﹣（p+q）+1即可得出答案． 【解答】解：依题意得：f（1）＝p×13+q×1+1＝202， 即p+q＝201， ∴f（1）＝p×（﹣1）3+q×（﹣1）+1＝﹣（p+q）+1＝﹣201+1＝﹣200． 故答案为：﹣200． 【点评】此题主要考查了求代数式的值，熟练掌握求代数式值的方法于技巧，理解整体思想的应用是解决问题关键． 13．（2025•兴宁市一模）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝4cm，则PA＝　（22）　 cm． 【考点】黄金分割．版权所有 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据黄金分割的定义得到PAAB，然后把AB＝4cm代入计算即可． 【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB， ∴PAAB4＝（22）cm． 故答案为（22）． 【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． 14．（2025•市中区一模）如图，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成一个大五边形，则图中∠BAC＝　36　 °． 【考点】平面镶嵌（密铺）；等腰三角形的性质．版权所有 【专题】多边形与平行四边形；推理能力． 【答案】36． 【分析】根据多边形的内角和公式计算正五边形的内角，然后计算∠BAC即可． 【解答】解：∵正五边形的内角为：108°， ∴∠BAC＝360°﹣108°×3＝36°． 故答案为：36． 【点评】本题考查了平面镶嵌，正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能． 15．（2025•南山区校级一模）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣2，4），则不等式kx+b＞4的解集为　x＞﹣2　 ． 【考点】一次函数与一元一次不等式．版权所有 【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式． 【答案】见试题解答内容 【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可． 【解答】解：观察图象知：当x＞﹣2时，kx+b＞4， 故答案为x＞﹣2． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 三．解答题（共5小题） 16．（2025•濉溪县一模）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上． （1）作△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标． （2）将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB2，求点B所走的路径的长度（结果保留π）． 【考点】作图﹣旋转变换．版权所有 【专题】作图题；几何直观． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）先利用勾股定理计算出AB，然后根据弧长公式计算点B所走的路径的长度． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1，点A1的坐标为（﹣1，﹣2）； （2）∵线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB2， ∴∠BAB2＝90°， ∵AB， ∴点B所走的路径的长度为π． 【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 17．（2025•介休市一模）如图，平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°． （1）求作：AB的垂直平分线MN，交AB于点M， 交BD延长线于点N（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）在（1）的条件下，设直线MN交AD于E，连接BE，且∠C＝22.5°，求证：NE＝AB． 【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．版权所有 【专题】作图题；几何直观；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用基本作图，作AB的垂直平分线即可； （2）先根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C＝22.5°，再利用线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，MN⊥AB，则∠EBA＝∠A＝22.5°，接着判断△DEB为等腰直角三角形得到DE＝DB，然后证明△NDE≌△ADB，从而得到结论． 【解答】（1）解：如图，MN为所作； （2）证明：如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A＝∠C＝22.5°， ∵MN垂直平分AB， ∴EA＝EB，MN⊥AB， ∴∠EBA＝∠A＝22.5°， ∴∠DEB＝∠A+∠EBA＝45°， ∵∠ADB＝90°， ∴△DEB为等腰直角三角形， ∴DE＝DB， ∵∠N+∠NED＝90°，∠A+∠MEA＝90°， 而∠NED＝∠AEM， ∴∠N＝∠A， 在△NDE和△ADB中， ， ∴△NDE≌△ADB（AAS）， ∴NE＝AB． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知线段的垂直平分线）．也考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质． 18．（2025•淮安一模）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C＝90°，以OA为半径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π） 【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；含30度角的直角三角形；圆周角定理．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）连接OD，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可； （2）连接DE、OE，求出阴影部分的面积＝扇形EOD的面积，求出扇形的面积即可． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵AO＝DO， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠CAD＝∠ADO， ∴AC∥OD， ∵∠ACD＝90°， ∴OD⊥BC， ∴BC与⊙O相切； （2）解：连接OE，ED，OE与AD交于点M． ∵∠BAC＝60°，OE＝OA， ∴△OAE为等边三角形， ∴∠AOE＝60°，AE＝AO＝OE， ∴∠ADE＝30°， 又∵∠OAD∠BAC＝30°， ∴∠ADE＝∠OAD， ∴ED∥AO， 由（1）得：AC∥OD， ∴四边形OAED是平行四边形， ∵AE＝AO， ∴平行四边形OAED是菱形， ∴OE⊥AD，且AM＝DM，EM＝OM， ∴S△AEDS△AOD， ∴阴影部分的面积＝S扇形ODEπ． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，切线的性质和判定，扇形的面积有关计算的应用，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键． 19．（2025•辽阳一模）某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，点B的垂直高度BE为130m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） （1）求索道AB的长（结果精确到1m）； （2）求山顶点D到水平地面的距离DF的长（结果精确到1m）． （参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，1.41） 【考点】解直角三角形的应用．版权所有 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】（1）AB的长约为500m； （2）DF的长为483m． 【分析】（1）通过解Rt△ABE可求得AB的长； （2）延长BC交DF于G，证明四边形BEFG是矩形，可得FG＝BE，∠CGD＝∠BGF＝90°，再解Rt△CDG可求解DG的长，进而可求解． 【解答】解：（1）在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠A＝15°，BE＝130m， ∴AB500（m）， 即AB的长约为500m； （2）延长BC交DF于G， ∵BC∥AE， ∴∠CBE＝90°， ∵DF⊥AF， ∴∠AFD＝90°， ∴四边形BEFG为矩形， ∴BG⊥DF，FG＝BE＝130m， ∴∠DGC＝90°， ∵CD＝AB＝500m，∠DCG＝45°， ∴DG＝CD•sin∠DCG＝500×sin45°＝500250（m）， ∴DF＝DG+FG＝130+250483（m）， 即DF的长为483m． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握三角函数的概念是解题的关键． 20．（2025•市中区一模）为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板CD长为1.6m，踏板CD与地面DE的坡比＝1：，支架AC长为0.8m，跑步机手柄为AB，且AB∥ED，A到地面的高度为h．支架与踏板的夹角（∠ACD）可以根据用户的舒适度需求在0°～90°调节． （1）求C到地面DE距离； （2）该人身高为1.8米，通过尝试h是身高0.8倍运动起来更加舒服． ①求此时点C到手柄AB的距离； ②求此时支架与踏板之间夹角的度数．（参考数据：cos50°≈0.64，cos37°≈0.8，sin50°＝cos40°≈0.76） 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）过C作CG⊥DE于G，由坡度坡角的关系求出∠CDG＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）①延长GC交AB于F，则CF⊥AB，求出h＝FG＝1.44（m），由（1）得CG＝0.8m，然后求出CF的长即可； ②由锐角三角函数定义求出∠ACF≈37°，再由（1）得∠DCG＝90°﹣∠CDG＝60°，然后求出∠ACD的度数即可． 【解答】解：（1）过C作CG⊥DE于G， ∵踏板CD与地面DE的坡比＝1：，CD＝1.6m， ∴tan∠CDG， ∴∠CDG＝30°， ∴CGCD＝0.8（m）， 即C到地面DE距离为0.8m； （2）①延长GC交AB于F， 则CF⊥AB， ∵该人身高为1.8米，通过尝试h是身高0.8倍运动起来更加舒服， ∴h＝FG＝1.8×0.8＝1.44（m）， 由（1）得：CG＝0.8m， ∴CF＝FG﹣CG＝1.44﹣0.8＝0.64（m）， 即此时点C到手柄AB的距离为0.64m； ②在Rt△ACF中，AC＝0.8m，cos∠ACF0.8， ∴∠ACF≈37°， 由（1）得：∠DCG＝90°﹣∠CDG＝60°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACF﹣∠DCG≈180°﹣37°﹣60°＝83°． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 考点卡片 1．正数和负数 1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． 2．科学记数法—表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律 x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值 |x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0） 3．代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． （2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 题型简单总结以下三种： ①已知条件不化简，所给代数式化简； ②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． 4．整式的混合运算 （1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． （2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 5．在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 6．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x． 7．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 8．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 9．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 10．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 11．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 12．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 13．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 14．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 15．平面镶嵌（密铺） （1）平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌． （2）正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°． 判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能． （3）单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形． （4）两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等． （5）用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案． 16．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 17．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 18．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 19．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 20．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 21．作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 22．翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 23．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 24．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为． 25．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 26．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 27．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$